江蘇省蘇州市平江中學(xué)(三星路校區(qū))高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

江蘇省蘇州市平江中學(xué)(三星路校區(qū))高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知非零向量=a，=b，且BCOA，c為垂足，若，則等于參考答案：B【知識點(diǎn)】平面向量基本定理及向量坐標(biāo)運(yùn)算F2由于=λ，根據(jù)向量投影的定義，得λ就是向量在向量方向上的投影，即λ=。【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一個(gè)向量在另一個(gè)向量方面上和投影的定義即可得出答案．2.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其側(cè)視圖是等邊三角形，則該幾何體的體積等于

A．

B.

C.

D．參考答案：D略3.若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則的值為（

）

A．－2

B．2

C．－4

D．4參考答案：D略4.己知分別為雙曲線的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，是等腰直角三角形，且

，則的離心率為(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：C因?yàn)槭堑妊苯侨切?，且，可設(shè),則,即,所以,化簡得,解得或(舍去),選C.5.命題“”的否定是

A．

B． C．

D．參考答案：C略6.設(shè)復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：A7.已知為非零向量，則“函數(shù)為偶函數(shù)”是“”的A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：C略8.已知橢圓，是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，且直線的斜率分別為，若，則橢圓的離心率為（

）A.

B.

C.

D．參考答案：C9.若= （

）A．1 B．—1 C．2 D．—2參考答案：A10.設(shè)函數(shù)f（x）=ex+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若實(shí)數(shù)a，b滿足f（a）=0，g（b）=0，則(

) A．0＜g（a）＜f（b） B．f（b）＜g（a）＜0 C．f（b）＜0＜g（a） D．g（a）＜0＜f（b）參考答案：D考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：先判斷函數(shù)f（x），g（x）在R上的單調(diào)性，再利用f（a）=0，g（b）=0判斷a，b的取值范圍，即可得到正確答案．解答： 解：∵y=ex和y=x﹣2是關(guān)于x的單調(diào)遞增函數(shù)，∴函數(shù)f（x）=ex+x﹣2在R上單調(diào)遞增，分別作出y=ex，y=2﹣x的圖象如右圖所示，∴f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，又∵f（a）=0，∴0＜a＜1，同理，g（x）=lnx+x2﹣3在R+上單調(diào)遞增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=+（）2﹣3=＞0，又∵g（b）=0，∴1，∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=eb+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0，∴g（a）＜0＜f（b）．故選：D．點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)圖象．熟練掌握函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)零點(diǎn)的判定定理是解題的關(guān)鍵．本題運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.從集合中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，從集合中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則“事件”發(fā)生的概率是___________．參考答案：12.在直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程是（是參數(shù)），若以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，則曲線的極坐標(biāo)方程可寫為________________.參考答案：13.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若{an}和{Sn}都是等差數(shù)列，且公差相等，則a2=

.

參考答案：由等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)得點(diǎn)睛：在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問題時(shí)，有兩個(gè)處理思路,一是利用基本量,將多元問題簡化為一元問題,雖有一定量的運(yùn)算,但思路簡潔,目標(biāo)明確;二是利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì),性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識地去應(yīng)用.但在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形.在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問題時(shí)，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運(yùn)算量”的方法.14.

已知點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn)，、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn).為內(nèi)心，若，則雙曲線的離心率為

.參考答案：215.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為

.參考答案：（-1,11）16.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）如圖，為圓O的直徑，為圓O上一點(diǎn)，和過的切線互相垂直，垂足為，過的切線交過的切線于，交圓O于，若，，則=

.參考答案：17.一個(gè)幾何體的三視圖如下圖所示，則該幾何體的體積為

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.函數(shù)，為常數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求的最大值;(2)若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù),求的取值范圍。參考答案：解：（1）當(dāng)時(shí)，，則的定義域?yàn)椋骸?分.

………3分;在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).……5分的最大值為.……………6分(2).若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù),則,或在區(qū)間上恒成立.在區(qū)間上恒成立.即在區(qū)間上恒成立.…………9分設(shè)

在區(qū)間上為增函數(shù).………………11分只需.…………略19.（本小題滿分12分）參考答案：（1）不存在極值點(diǎn);（2）﹣＜a＜0;（3）a≤﹣

【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．B11B12解析：（1）f（x）=ax2+2x+1﹣lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2ax+2﹣=，當(dāng)a=﹣時(shí)，f′（x）=﹣=﹣，當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）≤0恒成立，即有f（x）在（0，+∞）遞減，則有f（x）不存在極值點(diǎn)；（2）由于f′（x）=2ax+2﹣=（x＞0），令h（x）=2ax2+2x﹣1，f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)的充要條件即為h（x）=0有兩個(gè)不相等的正根，則有a≠0，判別式4+8a＞0，且﹣＞0，﹣＞0，解得﹣＜a＜0；（3）由于f′（x）=2ax+2﹣=（x＞0），令h（x）=2ax2+2x﹣1，當(dāng)a=0時(shí)，h（x）=2x﹣1，當(dāng)x＞，f（x）遞增，0＜x＜，f（x）遞減，不合題意；當(dāng)a＞0，g（x）的對稱軸x=﹣＜0，g（x）在（0，+∞）遞增，g（0）=﹣1＜0，即有g(shù)（x）在x＞0上有正有負(fù)，f（x）有增有減，不合題意；當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）的對稱軸x=﹣＞0，g（0）=﹣1＜0，由題意可得g（x）只需滿足判別式4+8a≤0即可．解得a≤﹣．綜上可得a的取值范圍為（﹣∞，﹣]．【思路點(diǎn)撥】（1）求出當(dāng)a=﹣時(shí)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到極值；（2）求出導(dǎo)數(shù)，令h（x）=2ax2+2x﹣1，f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)的充要條件即為h（x）=0有兩個(gè)不相等的正根，運(yùn)用判別式大于0和韋達(dá)定理，解不等式即可得到a的范圍；（3）求出導(dǎo)數(shù)，令h（x）=2ax2+2x﹣1，討論a=0，a＞0，a＜0，通過對稱軸和二次函數(shù)的圖象，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號，即可求得a的范圍．20.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求a的取值范圍．參考答案：（1）；（2）．試題分析：（1）分，，三種情況解不等式；（2）的解集包含，等價(jià)于當(dāng)時(shí)，所以且，從而可得．試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于.①當(dāng)時(shí)，①式化為，無解；當(dāng)時(shí)，①式化為，從而；當(dāng)時(shí)，①式化為，從而.所以的解集為.（2）當(dāng)時(shí)，.所以的解集包含，等價(jià)于當(dāng)時(shí).又在的最小值必為與之一，所以且，得.所以的取值范圍為.點(diǎn)睛:形如(或)型的不等式主要有兩種解法：(1)分段討論法：利用絕對值號內(nèi)式子對應(yīng)方程的根，將數(shù)軸分為，，(此處設(shè))三個(gè)部分，將每部分去掉絕對值號并分別列出對應(yīng)的不等式求解，然后取各個(gè)不等式解集的并集．(2)圖像法：作出函數(shù)和的圖像，結(jié)合圖像求解．21.（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)＝ax＋lnx(a∈R)．(1)若a＝2，求曲線y＝f(x)在x＝1處切線的斜率；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)g(x)＝x2－2x＋2，若對任意x1∈(0，＋∞)，均存在x2∈[0,1]，使得f(x1)<g(x2)，求a的取值范圍．

參考答案：解：(1)由已知f′(x)＝2＋(x>0)，……………2分f′(1)＝2＋1＝3.故曲線y＝f(x)在x＝1處切線的斜率為3

……3分(2)f′(x)＝a＋＝(x>0)．……………………4分①當(dāng)a≥0時(shí)，由于x>0，故ax＋1>0，f′(x)>0恒成立，所以，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)．…………6分②當(dāng)a<0時(shí)，由f′(x)＝0，得x＝－.在區(qū)間(0，－)上，f′(x)>0；在區(qū)間(－，＋∞)上，f′(x)<0.所以，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，－)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－，＋∞)．……8分(3)由已知，轉(zhuǎn)化為f(x)max<g(x)max＝2，……………10分由(2)知，當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，值域?yàn)镽，故不符合題意．(或者舉出反例：存在f(e3)＝ae3＋3>2，故不符合題意．)

……11分當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在(0，－)上單調(diào)遞增，在(－，＋∞)上單調(diào)遞減，故f(x)的極大值即為最大值，f(－)＝－1＋ln()＝－1－ln(－a)，…………13分所以2>－1－ln(－a)，解得a<－.

…………14分22.已知函數(shù)f（x）=x2+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常數(shù)．（1）求函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)都在第一象限，試求常數(shù)a的取值范圍；（3）證明：?a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；證明題；分類討論；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；（2）討論a=0，a＞0，a＜0，運(yùn)用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求極值、最值，即可得到a的范圍；（3）設(shè)函數(shù)g（x）=f′（x）﹣=2x﹣（e+1）+﹣，計(jì)算g（1），g（e），討論當(dāng)a＞e（e﹣1）2或時(shí)，由零點(diǎn)存在定理，即可得證；當(dāng)時(shí)，求出g（x）的最小值，判斷它小于0，再由零點(diǎn)存在定理，即可得證．【解答】（1）解：函數(shù)f（x）=x2+a（x+lnx）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=2x+a（1+），f（1）=1+a，f′（1）=2+2a，則函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為y﹣（1+a）=（2+2a）（x﹣1），即y=（1+a）（2x﹣1）；（2）解：①a=0時(shí)，f（x）=x2，因?yàn)閤＞0，所以點(diǎn)（x，x2）在第一象限，依題意，f（x）=x2+a（x+lnx）＞0；②a＞0時(shí)，由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，x∈（0，1）時(shí)，lnx∈（﹣∞，0），alnx∈（﹣∞，0），從而“?x＞0，f（x）=x2+a（x+lnx）＞0”不成立；③a＜0時(shí)，由f（x）=x2+a（x+lnx）＞0得，設(shè)，g′（x）=+，x（0，1）1（1，+∞）g′（x）﹣0+g（x）↘極小值↗則g（x）≥g（1）=﹣1，從而，﹣1＜a＜0；綜上所述，常數(shù)a的取值范圍﹣1＜a≤0．（3）證明：直接計(jì)算知，設(shè)函數(shù)g（x）=f′（x）﹣=2x﹣（e+1）+﹣