Ch參數(shù)估計(jì)演示文稿

Ch參數(shù)估計(jì)演示文稿目前一頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)根據(jù)樣本提供的信息,對(duì)總體分布的某些未知值作在本章中所討論的總體分布為離散型或連續(xù)型的.統(tǒng)計(jì)推斷是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本內(nèi)容之一.統(tǒng)計(jì)推斷的形式包括兩大類——參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn).本章介紹兩種主要的參數(shù)估計(jì)方法——點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì).目前二頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)一、參數(shù)估計(jì)問題在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,總體的分布一般是未知的,因而的當(dāng)總體時(shí),在未知的情況下,與故的二階原點(diǎn)矩中包含未知參數(shù).數(shù)字特征往往是未知的,這些未知值通常稱為參數(shù).例如都是參數(shù).如果已知而未知,則是參數(shù)而不是參數(shù).目前三頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)總體參數(shù)設(shè)總體為總體的分布為其中的稱為待總體參數(shù)的取值范圍稱為參數(shù)空間,記作估參數(shù).這類未知參數(shù)稱為總體參數(shù).例如當(dāng)未知時(shí),正態(tài)總體中有兩個(gè)總體參數(shù).例如,總體則相應(yīng)的參數(shù)空間為目前四頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)點(diǎn)估計(jì)的意義:根據(jù)樣本,構(gòu)造估計(jì)量由樣本對(duì)總體中的未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)稱為參數(shù)估計(jì).參數(shù)估計(jì)分為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì).通過樣本觀測(cè)值所對(duì)應(yīng)的估計(jì)值作為總體參數(shù)的估計(jì)值.記作目前五頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)區(qū)間估計(jì)的含義是:依據(jù)樣本來估計(jì)未知參數(shù)的某一點(diǎn)估計(jì)的意義:在數(shù)軸上表示一個(gè)點(diǎn).區(qū)間估計(jì)的具體實(shí)現(xiàn):再由觀測(cè)值范圍.由樣本構(gòu)造兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量:得到具體的區(qū)間以此區(qū)間作為未知參數(shù)的區(qū)間估計(jì).目前六頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)下面討論兩種常用的點(diǎn)估計(jì)方法:矩估計(jì)和極大似然估計(jì).

二、兩種常用點(diǎn)估計(jì)目前七頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)

1.矩估計(jì)矩估計(jì)的基本思想是:用樣本原點(diǎn)矩替換同階總體原點(diǎn)矩,而并不需要知道總體的具體分布.目前八頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)矩估計(jì)的意義:如果未知參數(shù)定義設(shè)是取自總體的樣本,記則稱為的矩估計(jì)量.其中以樣本的原點(diǎn)矩替換總體的原點(diǎn)矩.目前九頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)定理設(shè)是取自總體的一個(gè)樣本,其中未知,⑴是未知參數(shù)的矩估計(jì);⑵是未知參數(shù)的矩估計(jì),是未知參數(shù)的矩估計(jì).即目前十頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)例1設(shè)總體求總體參數(shù)的矩估計(jì).解總體的分布為設(shè)為來自總體的樣本,則由上面的說明,未知參數(shù)的矩估計(jì)為:若為觀察值,則相應(yīng)的估計(jì)值為目前十一頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)例2設(shè)有一批同型號(hào)燈管,其壽命（單位:小時(shí)）服從試用矩估計(jì)方法估計(jì)的值.解設(shè)總體因由前面討論知:設(shè)為來自總體的樣本,參數(shù)為的指數(shù)分布,今隨機(jī)抽取其中的11只,測(cè)得其壽命數(shù)據(jù)如下:目前十二頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)則指數(shù)分布中的參數(shù)的矩估計(jì)為對(duì)觀察值相應(yīng)的估計(jì)值為對(duì)已知數(shù)據(jù),因目前十三頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)所以,未知參數(shù)的矩估計(jì)為:目前十四頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)例3設(shè)總體服從參數(shù)為的幾何分布,求參數(shù)的矩解因總體服從幾何分布,故有概率函數(shù):從而有:估計(jì).目前十五頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)設(shè)為來自總體的樣本,則相應(yīng)的矩估計(jì)為對(duì)觀察值相應(yīng)的矩估計(jì)量為目前十六頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)例4設(shè)總體有均值及方差,現(xiàn)有6個(gè)隨機(jī)樣本的求未知參數(shù)的矩估計(jì).解設(shè)是來自總體的樣本,由于故可取相應(yīng)的均值的矩估計(jì)為:觀察數(shù)據(jù)為:目前十七頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)及方差的估計(jì)為由已知數(shù)據(jù),得相應(yīng)的估計(jì)值分別為:目前十八頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)例5設(shè)是取自于總體的一個(gè)樣本,其中因因此的矩估計(jì)為目前十九頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)密度函數(shù)為例6設(shè)是取自于總體的一個(gè)樣本,的其它.求的矩估計(jì).這里解因從而有目前二十頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)由此得到所求參數(shù)的矩估計(jì):目前二十一頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)例7設(shè)一升自來水中含有的大腸桿菌個(gè)數(shù)果,從消毒過的水中隨機(jī)地抽取了次,每次一升,化大腸桿菌個(gè)數(shù)/V

01234出現(xiàn)的次

17201021其中為未知參數(shù).為了檢查自來水消毒設(shè)備的效驗(yàn)得到每升水中大腸桿菌個(gè)數(shù)如下:目前二十二頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)試估計(jì)平均每升自來水中大腸桿菌個(gè)數(shù).解因又故相應(yīng)的矩估計(jì)為又:即平均每升自來水中約有一個(gè)大腸桿菌.目前二十三頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)

2.極大似然估計(jì)⑴極大似然估計(jì)的意義極大似然估計(jì)是求總體未知參數(shù)點(diǎn)估計(jì)的另一重要方一個(gè)口袋里裝有黑白兩種棋子，且兩種棋子的比例

法.我們以下面的例子來說明極大似然估計(jì)的具體意義.為1：4，但不知道是黑：白是1：4還是白：黑是1：4?，F(xiàn)有放回地取2次，每次1個(gè)，發(fā)現(xiàn)取出的2個(gè)棋子都是黑子，問是黑：白是1：4還是白：黑是1：4？目前二十四頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)極大似然估計(jì)的意義設(shè)是來自總體的樣本,總體的分布記為若有使上式取極大值,即⑴⑵為其中為待估參數(shù),構(gòu)造似然函數(shù):目前二十五頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)稱為參數(shù)的極大似然估計(jì)量.而觀察值對(duì)應(yīng)的值為參數(shù)的極大似然估計(jì)值.目前二十六頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)求極大似然估計(jì)量的方法:⑴由總體的分布構(gòu)造似然函數(shù):⑵關(guān)系式兩邊取對(duì)數(shù):⑶上式兩邊對(duì)求導(dǎo),并令其為零,即有:⑶目前二十七頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)從中解出一般為的函數(shù),即:⑷由此得到未知參數(shù)的極大似然估計(jì)量:⑷目前二十八頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)例10設(shè)總體求參數(shù)的極大似然估計(jì).解因總體總體的分布為故對(duì)樣本可得似然函數(shù)為:取對(duì)數(shù)后得:目前二十九頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)解之,得即:對(duì)求導(dǎo)目前三十頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)由此得極大似然估計(jì)量為:和相應(yīng)的估計(jì)值注意到這和矩估計(jì)的結(jié)果是一致的.目前三十一頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)例11總體服從參數(shù)為的泊松分布,求的極大似然估解因總體總體的分布為故對(duì)樣本可得似然函數(shù)為:計(jì).目前三十二頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)取對(duì)數(shù)后得對(duì)求導(dǎo)并令其為零,則有即目前三十三頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)由此得參數(shù)的估計(jì)量:和對(duì)應(yīng)的估計(jì)值:目前三十四頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)例12設(shè)總體服從參數(shù)為的幾何分布,求參數(shù)的極解因總體服從幾何分布,故有總體分布:故對(duì)樣本可得似然函數(shù)為:取對(duì)數(shù)后得:大似然估計(jì).目前三十五頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)對(duì)求導(dǎo)并令其為零,則有即有解之得:目前三十六頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)由此得參數(shù)的估計(jì)量和估計(jì)值為目前三十七頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)例13設(shè)總體求的極大似然估解因總體的分布為:對(duì)樣本,得相應(yīng)的似然函數(shù):計(jì).目前三十八頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)注意到似然函數(shù)中有兩個(gè)未知參數(shù),取對(duì)數(shù)后有:分別對(duì)參數(shù)求偏導(dǎo),并聯(lián)立方程組:目前三十九頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)由此得方程之解為:及:目前四十頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)所以,參數(shù)的極大似然估計(jì)為:相應(yīng)的估計(jì)值為:目前四十一頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)例14設(shè)總體為連續(xù)型隨機(jī)變量,密度函數(shù)為其它求參數(shù)的極大似然估計(jì).解設(shè)為來自總體的樣本,則似然函數(shù)為取對(duì)數(shù)后有:目前四十二頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)上式對(duì)求導(dǎo),并令其為零,則有解之得由此得估計(jì)量和估計(jì)值為目前四十三頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)對(duì)總體未知參數(shù)的估計(jì),存在多種方法,不同方法下三、估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)所得到的估計(jì)量可能各不相同,由此自然產(chǎn)生問題:對(duì)同一個(gè)未知參數(shù)的不同估計(jì)量,究竟哪個(gè)更好點(diǎn).為此建立下面的幾個(gè)評(píng)選標(biāo)準(zhǔn).目前四十四頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)⑴無偏性設(shè)總體,總體的分布中包含未知參數(shù)若則我們自然考慮估計(jì)量與真值的偏差如何,由此需要考的分布情況.注意到是隨機(jī)變量,自然會(huì)考察有估計(jì)量:察量目前四十五頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)定義若未知參數(shù)的估計(jì)量則稱該估計(jì)量是的無偏估計(jì).若滿足則稱該估計(jì)量為參數(shù)的漸近（無偏）估計(jì).⑸⑹滿足且目前四十六頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)例15設(shè)總體是來自總體的樣本,則⑴當(dāng)未知而已知時(shí),的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)都是且是的無偏估計(jì);⑵當(dāng)已知但未知時(shí),的極大似然估計(jì)為無偏估計(jì);目前四十七頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)⑶當(dāng)與均未知時(shí),的極大似然估計(jì)分別為前者是無偏估計(jì),而后者是漸近無偏估計(jì).目前四十八頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)例16設(shè)是來自總體的樣本,其中未知,證明的矩估計(jì)為無偏估計(jì).證因是參數(shù)的矩估計(jì).又即是參數(shù)的無偏估計(jì).目前四十九頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)例17設(shè)總體已知,則的極大似然估計(jì)為的無偏估計(jì).證因所以是的無偏估計(jì).目前五十頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)前面討論的關(guān)于估計(jì)量的無偏性,它反應(yīng)的是估計(jì)量與待估參數(shù)的偏離程度.但某種情況下,同一個(gè)參數(shù)的兩個(gè)不同的估計(jì)量與真值的偏離值是相同的,考察下面的例子.目前五十一頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)例18設(shè)是來自總體的容量的樣本,則即均為均值的無偏估計(jì).構(gòu)造估計(jì)量目前五十二頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)

3.估計(jì)量的有效性定義設(shè)為待估參數(shù)的無偏估計(jì),若則稱估計(jì)量比更有效.⑺目前五十三頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)例19設(shè)是來自總體的容量的樣本,則即均為均值的無偏估計(jì).此時(shí),構(gòu)造估計(jì)量目前五十四頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)即是比有效的估計(jì).進(jìn)一步地,我們有下面的結(jié)論.目前五十五頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)例20設(shè)是來自總體的樣本,期望為均值的無偏估計(jì)且當(dāng)為無偏估計(jì)時(shí),取所得到的估計(jì)是最有效的估計(jì).證因存在,為非負(fù)常數(shù),目前五十六頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)若為無偏估計(jì),則有反之顯然.又,若為無偏估計(jì),因目前五十七頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)則為最小且目前五十八頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)四、區(qū)間估計(jì)上節(jié)討論了未知總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì).注意到點(diǎn)估計(jì)僅是未知參數(shù)的一個(gè)近似估計(jì).而真值往往又是不知道的.無論估計(jì)量如何選取,我們很難估計(jì)真值與近似值之間的誤差.在實(shí)際問題中,我們不僅需要知道近似值,而且還需要知道該近似值的精確性與可靠程度.目前五十九頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)

1.區(qū)間估計(jì)的一般意義設(shè)總體分布為其中為待估參數(shù),是估計(jì)量,對(duì)一個(gè)較小的值和使得為通過對(duì)的控制,我們可使得相應(yīng)的概率在事先控制的范圍中.通過下面的例子來進(jìn)一步地說明該問上式的意義是真值落在隨機(jī)區(qū)間的概率目前六十頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)題.目前六十一頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)例21為了考察某廠生產(chǎn)的水泥構(gòu)件的抗壓強(qiáng)度（單位:到25個(gè)數(shù)據(jù)并由此算得（該值為水泥構(gòu)件平均抗壓強(qiáng)度平均值的點(diǎn)估計(jì)）.從是參數(shù)的一個(gè)較優(yōu)的點(diǎn)估計(jì),因此一個(gè)較為千克力/平方厘米）,隨機(jī)抽取了25個(gè)樣品進(jìn)行測(cè)試,得歷史數(shù)據(jù)中知,抗壓強(qiáng)度其中為未知,現(xiàn)希望根據(jù)已知的數(shù)據(jù)得到的一個(gè)區(qū)間估計(jì).由于目前六十二頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)合理的區(qū)間是對(duì)應(yīng)的概率為設(shè)來自總體的樣本為則區(qū)間是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間.反映區(qū)間估計(jì)可靠程度的量是這個(gè)隨機(jī)區(qū)間覆蓋未知參數(shù)的概率:目前六十三頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)由于其中因此上述概率其中:為:目前六十四頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)我們希望這個(gè)概率至少為其中是近于的正數(shù),解得這里為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)分位數(shù).例如當(dāng)取則查表得:由于目前六十五頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)于是所以隨機(jī)區(qū)間為一般把這個(gè)區(qū)間估計(jì)用分位數(shù)表達(dá)為因?yàn)樗宄乇硎玖诉@個(gè)區(qū)間估計(jì)的可靠程度（即它覆蓋未知參數(shù)的概率）為目前六十六頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)在上面問題中,由樣本觀察值計(jì)算得代入上式得的區(qū)間估計(jì)為目前六十七頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)從樣本觀察值提供的信息,推斷出以的可靠程度,把上面問題一般化,即得到區(qū)間估計(jì)的定義.保證該廠生產(chǎn)的水泥構(gòu)件的抗壓強(qiáng)度在（千克力/平方厘米）之間.目前六十八頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)定義設(shè)是取自總體的樣本,總體和使得則稱區(qū)間為參數(shù)的雙側(cè)置信區(qū)間,稱分布為其中為待估參數(shù).對(duì)此未知參數(shù),給定若存在兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量為置信水平,分別稱為置信下限和上限.稱為置信度.目前六十九頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)注在一般情況下,置信上下限為隨機(jī)變量,其具體意義是:對(duì)同一個(gè)參數(shù)反復(fù)使用同一個(gè)置信區(qū)間,盡管不能保證每一次都能使落在該區(qū)間內(nèi),但至少有次使得“”成立.一般取為接近于0的正數(shù).目前七十頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)區(qū)間估計(jì)的基本方法設(shè)總體總體的分布為其中為待估參數(shù),⑴尋找一個(gè)較優(yōu)的點(diǎn)估計(jì)量（一⑵以為基礎(chǔ),構(gòu)造隨機(jī)變量:在該隨機(jī)變量中包含所需要的待估參數(shù),并使得相應(yīng)的置信水平般取相應(yīng)的極大似然估計(jì)）目前七十一頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)分位數(shù)容易求得;⑶設(shè)的分位數(shù)為的分位數(shù)為則有⑷變換不等式“”使其具有表達(dá)式則即為所求的估計(jì)區(qū)間.⑻在區(qū)間估計(jì)中,也有單側(cè)的情形.目前七十二頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)定義設(shè)是取自總體的樣本,對(duì)于未使得則稱區(qū)間為參數(shù)的單側(cè)置信區(qū)間,稱為置信水平,稱為單側(cè)置信下限.給定若存在統(tǒng)計(jì)量知參數(shù)類似可以定義單側(cè)置信上限.目前七十三頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)五、正態(tài)總體下未知參數(shù)的置信區(qū)間目前七十四頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)

1.一個(gè)正態(tài)總體的情形設(shè)總體服從正態(tài)分布,求參數(shù)和的置信區(qū)間.目前七十五頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)⑴未知時(shí)但已知如例21中的討論,令為的極大似然估計(jì),構(gòu)造則再由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的的分位數(shù)并且目前七十六頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)因此由此得的雙側(cè)的置信區(qū)間為目前七十七頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)⑼相應(yīng)的單側(cè)置信區(qū)間分別為和目前七十八頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)例22設(shè)抽取容量為9的樣本,⑴的的置信區(qū)間;⑵的的置信區(qū)間.解⑴此時(shí)查表得代入式⑽,得置信區(qū)間為:且樣本均值為求目前七十九頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)⑵置信水平為則再由⑽目前八十頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)例21求上例中的單側(cè)的置信區(qū)間的上限及下限.解因由式⑾,易得置信區(qū)間的上限為其具體意義是:我們可以有的把握可保證該廠生產(chǎn)的水泥構(gòu)件的平均抗壓強(qiáng)度至多只有（千克力/平方厘米）.目前八十一頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)再由⑿式得置信下限為:目前八十二頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)⑵已知未知當(dāng)未知時(shí),仍取均值的極大似然估計(jì)并構(gòu)造:此時(shí)與①的建立過程相仿,得到的雙側(cè)的置信區(qū)間⒂目前八十三頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)及單側(cè)的置信上限和下限:⒃目前八十四頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)⑶與均未知未知參數(shù)的極大似然估計(jì)為注意到且由此得到的雙側(cè)置信區(qū)間為⑼目前八十五頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)而相應(yīng)的單側(cè)置信區(qū)間的上限及下限分別為:⒁目前八十六頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)當(dāng)未知時(shí),的極大似然估計(jì)為因仿上面討論有:目前八十七頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)由此得到的雙側(cè)的置信區(qū)間為:⒄目前八十八頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)再由及單側(cè)的置信上限和下限:⒅目前八十九頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)例22為估計(jì)一批鋼索所能承受的平均張力,從中隨機(jī)又張力服從正態(tài)分布,求平均張力的置信水平為的解注意到,該問題是未知的置信區(qū)間求解問題.此由式⒁,得平均張力的置信區(qū)間為:抽出10個(gè)樣品作試驗(yàn),由試驗(yàn)數(shù)據(jù)知置信區(qū)間.時(shí)查表得:目前九十頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)目前九十一頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)例23電動(dòng)機(jī)由于連續(xù)工作時(shí)間過長(zhǎng)而會(huì)燒壞.今隨機(jī)并假定該種型號(hào)的電動(dòng)機(jī)燒壞前連續(xù)工作時(shí)間取置信水平為分別求出與的雙側(cè)置地從某種型號(hào)的電動(dòng)機(jī)中選取9臺(tái)并測(cè)試它們?cè)跓龎那暗倪B續(xù)工作時(shí)間（單位：小時(shí)）,由數(shù)據(jù)得及目前九十二頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)置信區(qū)間.因而由公式⒀得相應(yīng)的置信區(qū)間為:又解先求均值的置信區(qū)間.由已知條件:目前九十三頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)再求方差的置信區(qū)間.由得到的區(qū)間置信區(qū)間為:目前九十四頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)總結(jié)已知未知已知未知目前九十五頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)

2.兩個(gè)正態(tài)總體的情形設(shè)是取自總體的樣本,與獨(dú)立,求二總體均值差的的置信區(qū)間.是取自正態(tài)總體的樣本,且目前九十六頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)若已知,怎由于是的點(diǎn)估計(jì),則由于引入:則容易得到相應(yīng)的置信區(qū)間為目前九十七頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)目前九十八頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)若而未知,則記引入則可得到置信區(qū)間為:目前九十九頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)這里,目前一百頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)例24甲,乙兩臺(tái)機(jī)床加工同一種零件,今在機(jī)床甲加假定零件長(zhǎng)度服從正態(tài)分布,求均值差的的置信區(qū)工的零件隨機(jī)抽取9件,在乙加工的零件中隨機(jī)抽取6件,分別測(cè)得零件的長(zhǎng)度（單位:）,由測(cè)量的數(shù)據(jù)可算出:間.目前一百零一頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)解在此問題中,由此可得水平為0.95的均值差的置信區(qū)間的觀察知為:目前一百零二頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)六、部分練習(xí)解答目前一百零三頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)8.1設(shè)是取自總體的一個(gè)樣本,在下列兩種情形下,求總體參數(shù)的矩估計(jì)和極大似然估計(jì).⑴其中未知,⑵其中未知,解⑴因所以的矩估計(jì)為又似然函數(shù)為目前一百零四頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)取對(duì)數(shù)后有求導(dǎo)后并令其為零,則有即有目前一百零五頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)得到由此得到參數(shù)的極大似然估計(jì)為⑵因所以參數(shù)的矩估計(jì)目前一百零六頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)又總體的密度函數(shù)為因而似然函數(shù)為取對(duì)數(shù)后有目前一百零七頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)求導(dǎo)后并令其為零,則有由此得到參數(shù)的極大似然估計(jì)為目前一百零八頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)8.2設(shè)某廠生產(chǎn)的晶體管的壽命服從指數(shù)分布今隨機(jī)地抽取5只晶體管進(jìn)行測(cè)試,測(cè)得它們的壽命（單位:小時(shí)）如下:試求該晶體管的平均壽命的極大似然估計(jì)值.解由上題知,參數(shù)的極大似然估計(jì)為目前一百零九頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)所以平均壽命的極大似然估計(jì)值為目前一百一十頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)8.3設(shè)是取自總體的一個(gè)樣本,的密度函數(shù)為其它.求參數(shù)的矩估計(jì).解因目前一百一十一頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)即從而矩估計(jì)為目前一百一十二頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)8.4設(shè)是取自總體的一個(gè)樣本,試求與的極大似然估計(jì).解因又概率函數(shù)為由此得到樣本的似然函數(shù)為目前一百一十三頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)取對(duì)數(shù)后有上式對(duì)求導(dǎo)并令其為零,則有目前一百一十四頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)由此得到參數(shù)的極大似然估計(jì)為所以的極大似然估計(jì)為目前一百一十五頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)而因而相應(yīng)的極大似然估計(jì)為目前一百一十六頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)8.7設(shè)是取自總體的一個(gè)樣本,的分布函數(shù)為試求的矩估計(jì)和極大似然估計(jì).解的密度函數(shù)為目前一百一十七頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)從而矩估計(jì)為⑵似然函數(shù)為目前一百一十八頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)取對(duì)數(shù)后有求導(dǎo)后有所以極大似然估計(jì)為目前一百一十九頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)目前一百二十頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)8.10設(shè)是取自總體的一個(gè)樣本,⑴是的無偏估計(jì);⑵不是的無偏估計(jì);⑶是的無偏估計(jì).試證:證:⑴所以是的無偏估計(jì).⑵目前一百二十一頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)所以不是的無偏估計(jì);⑶因相互獨(dú)立,由期望性質(zhì),所以是的無偏估計(jì).目前一百二十二頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)8.12在習(xí)題8.3中,⑴求的極大似然估計(jì),并證明它不具有無偏性;⑵試求常數(shù)使得為的無偏估計(jì);⑶試求的矩估計(jì)的方差;⑷試求的矩估計(jì),并證明當(dāng)時(shí)它不具有無偏性.證⑴似然函數(shù)為目前一百二十三頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)欲使上式為最大,則可取所以參數(shù)的極大似然估計(jì)量為再求總體的分布函數(shù):當(dāng)時(shí),分布函數(shù)目前一百二十四頁(yè)\總數(shù)一百四十二頁(yè)\編于十一點(diǎn)由此得