數(shù)學九年級下冊第二十七章小結(jié)與復習

小結(jié)與復習第二十七章相似(1)形狀相同的圖形(2)相似多邊形(3)相似比：相似多邊形對應邊的比1.

圖形的相似形狀相同，大小不計各對應角相等、各對應邊成比例.?通過定義?平行于三角形一邊的直線截三角形?三邊成比例?兩邊成比例且夾角相等?兩角分別相等?兩直角三角形的斜邊和一條直角邊成比例(三個角分別相等，三條邊成比例)2.

相似三角形的判定?對應角相等、對應邊成比例?對應高、中線、角平分線的比等于相似比?周長比等于相似比?面積比等于相似比的平方3.

相似三角形的性質(zhì)(1)測高測量不能到達兩點間的距離,常構(gòu)造相似三角形求解.(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)(不能直接測量的兩點間的距離)測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決.(2)測距4.

相似三角形的應用(1)如果兩個圖形不僅相似，而且所有對應點的

連線都相交于同一點，那么這樣的兩個圖形

叫做位似圖形，這個點叫做位似中心.(這時

的相似比也稱為位似比)5.

位似(2)性質(zhì)：位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比；對應線段平行或者在一條直線上.(3)

位似性質(zhì)的應用：能將一個圖形放大或縮小.ABGCEDF●PB′A′C′D′E′F′G′ABCDEFGA′B′G′E′D′F′●PC′位似中的相似比，一般指新圖形與原圖形的比(4)平面直角坐標系中的位似當位似圖形在原點同側(cè)時，其對應頂點的坐標的比等于相似比

k；當位似圖形在原點兩側(cè)時，對應頂點的坐標的比等于相似比的相反數(shù)－k.考點一相似三角形的判定和性質(zhì)例

1

如圖，當滿足下列條件之一時，都可判定

△ADC∽△ACB：(1)

；(2)

；(3)

.∠ACD=∠B∠ADC=∠ACBBCAD或

AC2=AD·AB例

2

如圖，△ABC中，AB

=

9，AC

=

6，點E在AB上且AE

=

3，點F在AC上，連接EF，若△AEF

與△ABC相似，則AF=

.BCAE【分析】從題干分析△AEF與△ABC相似，此時對應關系不明確，需分類討論．2或4.5解析：當△AEF∽△ABC時，AE∶AB=AF∶AC，即3∶9=AF∶6，解得

AF=2；當△AFE∽△ABC時，AF∶AB=AE∶AC，即

AF∶9=3∶6，解得

AF=4.5．綜上所述，AF=2或4.5.例

3

如圖，在□

ABCD中，點E在邊BC上，BE∶EC=

1∶2，連接AE交BD于點F，則△BFE的面積與△DFA的面積之比為

.

1∶9ABCDEF【變式題】如圖，在□ABCD中，點E在邊BC上，EF

:AF

=1:3，連接AE交BD于點F，則△EFB的面積與△ABD

的面積之比為

.

1∶12ABCDEF【注意】求面積比時，要注意相似三角形、等高三角形的區(qū)別．解析：∵AD∥BC，∴△EFB∽△AFD，相似比為1∶3.∴S△EFB∶S△AFD=1∶9．∵△EFB與△ABF同高，∴S△EFB∶S△ABF=1:3．∴S△EFB∶S△ABD=1:12.證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°．∵CE是外角平分線，∴∠ACE＝60°．∴∠BAC＝∠ACE．又∵∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△CED．例

4

如圖，△ABC是等邊三角形，CE是外角平分線，點D在AC上，連接BD并延長與CE交于點E.(1)求證：△ABD∽△CED；ABCDFE(2)若AB=6，AD=2CD，求BE的長.解：作BM⊥AC于點M.

∵

AC＝AB＝6，∴AM＝CM＝3.∵AD＝2CD，∴CD＝2，AD＝4，MD＝1.MABCDFE在

Rt△ABM和

Rt△BDM中，即∴由(1)△ABD∽△CED，得MABCDFE例

5

如圖，CD是⊙O的弦，AB是直徑，CD⊥AB，垂足為P，求證：PC2＝PA·PB.B·ACDOP證明：連接

AC，BC．∵AB是直徑，∴∠ACB=90°．∴∠A+∠B=90°．∵

CD⊥AB，∴∠APC=∠CPB=90°．∴∠PCB+∠B=90°．∴∠A=∠PCB．∴△APC∽△CPB．∴

PC2=AP·PB．∴考點二位似的性質(zhì)及應用例

6

下列四組圖形中，位似圖形有()A.1組B.2組

C.3組

D.4組C已知△ABC∽△A′B′C′，下列圖形中，△ABC和△A′B′C′不存在位似關系的是()B'A(A')C'BCB'A(A')C'BCB'A(A')C'BCB'AC'BCA'A.B.C.D.B針對訓練例7

如圖，下面的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點O和△ABC的頂點均為小正方形的頂點．ABC(1)在圖中△ABC內(nèi)部作

△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位

似中心為點O，位似

比為2:3.OA′B′C′解：如圖所示.(2)線段AA′的長度是

.

如圖，△ABC在邊長為1的小正方形組成的方格紙中.(1)請在方格紙上建

立平面直角坐標

系，使

A(2，3)，

C(6，2)，并求

出B點坐標；解：如圖所示，

B(2，1).xyO針對訓練xyO(2)以原點O為位似中心，位似比為2，在第一象限內(nèi)將△ABC放大，畫出放大后的圖形△A′B′C′；A′B′C′解：如圖所示.

(3)計算△A′B′C′

的

面積S.解：考點三相似的應用例

8

如圖，某一時刻小樹

AB的影子頂端與大樹

CD的剛好重合．已知小樹

AB高2.4米，大樹

CD高5米，而大樹的影長為2.5米，求小樹與大樹之間的距離

BD.解：由題知

△ABE∽△CDE，∴AB∶CD=BE∶DE，

即2.4∶5=BE∶2.5，

解得

BE=1.2．∴BD=2.5-

1.2=1.3（米）.2

m1.2m3.6m如圖，某一時刻一根2m長的竹竿EF的影長GE為1.2m，此時，小紅測得一棵被風吹斜的柏樹與地面成30°

角，樹頂端B在地面上的影子點D與B到垂直地面的落點C的距離是3.6m，求樹AB的長．【注意】太陽光線是平行的．針對訓練解：如圖，由題意知

CD=3.6

m，∠C=∠E=90°，BD∥FG．∴∠BDC=∠FGE．∴△BDC∽△FGE．解得BC=6

m.在Rt△ABC中，∵∠A=30°，∴AB=2BC=12m，即樹長AB是12m.2

m1.2m3.6m即∴例

9

星期天，小麗和同學們在碧沙崗公園游玩，他們來到1928年馮玉祥將軍為紀念北伐軍陣亡將士所立的紀念碑前，小麗問：“這個紀念碑有多高呢？”請你利用初中數(shù)學知識，結(jié)合光的反射原理，設計一種方案測量紀念碑的高度(畫出示意圖)，并說明理由．解：如圖，線段AB為紀念碑，在地面上平放一面鏡子

E，人退后到D處，在鏡子里恰好看見紀念碑頂端A.若人眼到地面的距離為CD，測量出CD、

DE、BE

的長，就可算出紀念碑AB的高．根據(jù)，即可算出AB的高．你還有其他方法嗎？理由：測量出CD、DE、BE的長，因為∠CED=∠AEB，∠D=∠B=90°，易得△ABE∽△CDE.

如圖，小明同學跳起來把一個排球打在離起跳點2m

遠的地上，然后反彈撞到墻上．如果他跳起擊球時的高度是1.8m，排球落地點離墻6m，假設球一直沿直線運動，球能碰到墻面離地多高的地方？ABOCD2m6m1.8m針對訓練解：∵∠ABO=∠CDO=90°，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD.∴即解得CD=5.4.故球能碰到墻面離地5.4m高的地方．ABOCD2m6m1.8m例

10

如圖，△ABC是一塊銳角三角形材料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是多少？ABCDEFGH解：如圖，設正方形EFHG為加工成

的正方形零件，邊GH在BC上，

頂點

E、F分別