數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第二十七章小結(jié)與復(fù)習(xí)

小結(jié)與復(fù)習(xí)第二十七章相似

優(yōu)

翼

課

件

要點(diǎn)梳理考點(diǎn)講練課堂小結(jié)課后作業(yè)

九年級(jí)數(shù)學(xué)下（RJ）教學(xué)課件(1)形狀相同的圖形(2)相似多邊形要點(diǎn)梳理(3)相似比：相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比1.

圖形的相似①表象：大小不等，形狀相同.②實(shí)質(zhì)：各對(duì)應(yīng)角相等、各對(duì)應(yīng)邊成比例.?通過(guò)定義?平行于三角形一邊的直線?三邊成比例?兩邊成比例且?jiàn)A角相等?兩角分別相等?兩直角三角形的斜邊和一條直角邊成比例(三個(gè)角分別相等，三條邊成比例)2.

相似三角形的判定?對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例?對(duì)應(yīng)高、中線、角平分線的比等于相似比?周長(zhǎng)比等于相似比?面積比等于相似比的平方3.

相似三角形的性質(zhì)(1)測(cè)高測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的距離,常構(gòu)造相似三角形求解.(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)(不能直接測(cè)量的兩點(diǎn)間的距離)測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例”的原理解決.(2)測(cè)距4.

相似三角形的應(yīng)用(1)如果兩個(gè)圖形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心.(這時(shí)的相似比也稱為位似比)5.

位似(2)性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比；對(duì)應(yīng)線段平行或者在一條直線上.(3)

位似性質(zhì)的應(yīng)用：能將一個(gè)圖形放大或縮小.ABGCEDF●PB′A′C′D′E′F′G′A′B′C′D′E′F′G′ABGCEDF●P(4)平面直角坐標(biāo)系中的位似當(dāng)位似圖形在原點(diǎn)同側(cè)時(shí)，其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的比為k；當(dāng)位似圖形在原點(diǎn)兩側(cè)時(shí)，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的比為－k.位似中的相似比，一般指新圖形與原圖形的比考點(diǎn)講練考點(diǎn)一相似三角形的判定和性質(zhì)例1

如圖,當(dāng)滿足下列條件之一時(shí)，都可判定

△ADC∽△ACB．(1)

；(2)

；(3)

.∠ACD=∠B∠ACB=∠ADCBCAD或AC2=AD·AB例2如圖，△ABC中，AB=9，AC=6，點(diǎn)E在AB上且AE=3，點(diǎn)F在AC上，連接EF，若△AEF與△ABC相似，則AF=

.BCAE【分析】從題干分析△AEF與△ABC相似，此時(shí)對(duì)應(yīng)關(guān)系不明確，需分類討論例2如圖，△ABC中，AB=9，AC=6，點(diǎn)E在AB上且AE=3，點(diǎn)F在AC上，連接EF，若△AEF與△ABC相似，則AF=

.BCAE2或4.5解析：當(dāng)△AEF∽△ABC時(shí)，AE:AB=AF:AC，即3:9=AF:6，解得AF=2；當(dāng)△AFE∽△ABC時(shí)，AF:AB=AE:AC，即AF:9=3:6，解得AF=4.5；綜上所述AF=2或4.5.例3如圖，在□ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，BE:

EC=1:2，連接AE交BD于點(diǎn)F，則△BFE的面積與△DFA的面積之比為

.

1:9ABCDEF【變式題】如圖，在□ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，EF

:AF

=1:3，連接AE交BD于點(diǎn)F，則△EFB的面積與△ABD

的面積之比為

.

1:12ABCDEF【注意】求面積比時(shí)，要注意相似三角形、等高三角形的區(qū)別解析：∵AD∥BC，∴△EFB∽△AFD，相似比為1:3，∴S△EFB:S△AFD=1:9，∵△EFB與△ABF同高，∴S△EFB:S△ABF=1:3，∴S△EFB:S△ABD=1:12.證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°．∵CE是外角平分線，∴∠ACE＝60°，∴∠BAC＝∠ACE．又∵∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△CED．例4

如圖，△ABC是等邊三角形，CE是外角平分線，點(diǎn)D在AC上，連接BD并延長(zhǎng)與CE交于點(diǎn)E.(1)求證：△ABD∽△CED；ABCDFE(2)若AB=6，AD=2CD，求BE的長(zhǎng).解：作BM⊥AC于點(diǎn)M.

∵

AC＝AB＝6，∴AM＝CM＝3.∵AD＝2CD，∴CD＝2，AD＝4，

MD＝1.ABCDFEM即∴ABCDFEM在Rt△BDM中，由(1)△ABD∽△CED得，例5如圖，CD是⊙O的弦，AB是直徑，CD⊥AB，垂足為P，求證：PC2＝PA·PB.B·ACDOP證明：連接AC，BC.∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B=90°.又∵CD⊥AB，∴∠CPB＝90°，∠PCB＋∠B＝90°.∴∠A＝∠CPB，∴△APC∽△CPB.∴

PC2=AP·PB.∴考點(diǎn)二位似的性質(zhì)及應(yīng)用例6下列四個(gè)圖形中，位似圖形的有()A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)C已知△ABC∽△A′B′C′，下列圖形中，

△ABC和△A′B′C′不存在位似關(guān)系的是()B'A(A')C'BCB'A(A')C'BCB'A(A')C'BCB'AC'BCA'A.B.C.D.B針對(duì)訓(xùn)練例7如圖，下面的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)O和△ABC的頂點(diǎn)均為小正方形的頂點(diǎn).ABC(1)在圖中△ABC內(nèi)部作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似中心為點(diǎn)O，位似比為2:3.OA′B′C′解：如圖所示.(2)線段AA′的長(zhǎng)度是

.

如圖，△ABC在方格紙中.(1)請(qǐng)?jiān)诜礁窦埳辖⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使A(2，3)，

C(6，2)，并求出B點(diǎn)坐標(biāo)；解：如圖所示，

B(2，1).xyO針對(duì)訓(xùn)練(2)以原點(diǎn)O為位似中心，位似比為2，在第一象限內(nèi)將△ABC放大，畫(huà)出放大后的圖形△A′B′C′；xyOA′B′C′解：如圖所示.

(3)計(jì)算△A′B′C′的面積S.xyOA′B′C′解：考點(diǎn)三相似的應(yīng)用例8

如圖，某一時(shí)刻小樹(shù)AB的影子頂端與大樹(shù)CD的剛好重合．已知小樹(shù)AB高2.4米，大樹(shù)CD高5米，而大樹(shù)的影長(zhǎng)為2.5米，求小樹(shù)與大樹(shù)之間的距離BD.解：由題知△ABE∽△CDE，∴AB:CD=BE:DE，即2.4:5=BE:2.5，解得BE=1.2，∴BD=2.5-1.2=1.3（米）.如圖，某一時(shí)刻一根2m長(zhǎng)的竹竿EF的影長(zhǎng)GE為1.2m，此時(shí)，小紅測(cè)得一棵被風(fēng)吹斜的柏樹(shù)與地面成30°角，樹(shù)頂端B在地面上的影子點(diǎn)D與B到垂直地面的落點(diǎn)C的距離是3.6m，求樹(shù)AB的長(zhǎng)．2m1.2m3.6m針對(duì)訓(xùn)練【注意】太陽(yáng)光線是平行的2m1.2m3.6m解：如圖，CD＝3.6m，∵△BDC∽△FGE，∴BC＝6m.在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12m，即樹(shù)長(zhǎng)AB是12m.即∴例9

星期天，小麗和同學(xué)們?cè)诒躺硩徆珗@游玩，他們來(lái)到1928年馮玉祥將軍為紀(jì)念北伐軍陣亡將士所立的紀(jì)念碑前，小麗問(wèn)：“這個(gè)紀(jì)念碑有多高呢？”請(qǐng)你利用初中數(shù)學(xué)知識(shí)，結(jié)合光的反射原理，設(shè)計(jì)一種方案測(cè)量紀(jì)念碑的高度(畫(huà)出示意圖)，并說(shuō)明理由．解：如圖，線段AB為紀(jì)念碑，在地面上平放一面鏡子E，人退后到D處，在鏡子里恰好看見(jiàn)紀(jì)念碑頂A.若人眼距地面距離為CD，測(cè)量出CD、DE、

BE的長(zhǎng)，就可算出紀(jì)念碑AB的高．根據(jù)，即可算出AB的高．你還有其他方法嗎？理由：測(cè)量出CD、DE、BE的長(zhǎng)，因?yàn)椤螩ED＝∠AEB，∠D＝∠B＝90°，易得△ABE∽△CDE.

如圖，小明同學(xué)跳起來(lái)把一個(gè)排球打在離地2m遠(yuǎn)的地上，然后反彈碰到墻上，如果她跳起擊球時(shí)的高度是1.8m，排球落地點(diǎn)離墻的距離是6m，假設(shè)球一直沿直線運(yùn)動(dòng)，球能碰到墻面離地多高的地方？針對(duì)訓(xùn)練ABOCD2m6m1.8m解：∵∠ABO=∠CDO=90°，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD.∴∴解得CD=5.4m.故球能碰到墻面離地5.4m高的地方．ABOCD2m6m1.8m例10如圖，△ABC是一塊銳角三角形材料，邊BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？ABCDEFGH解：設(shè)正方形EFHG為加工成的正方形零件，邊GH在BC

上，頂點(diǎn)E、F分別在AB、

AC