2020-2021學(xué)年北京市海淀區(qū)八一學(xué)校高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2020-2021學(xué)年北京市海淀區(qū)八一學(xué)校高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合愿要求的.1．（4分）若集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，則A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}2．（4分）下列函數(shù)中，值域?yàn)閇0，+∞）的是（）A．y＝2x B． C．y＝tanx D．y＝cosx3．（4分）實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則下列式子中正確的是（）A．a(chǎn)+c＜b+c B．a(chǎn)﹣c＞b﹣c C．a(chǎn)c＞bc D．4．（4分）已知a＝3﹣2，b＝log0.42，c＝log23，則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞a＞b5．（4分）已知f（x）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝logx，則f（x）＞0的解集是（）A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（0，1）6．（4分）某學(xué)習(xí)小組有3名男生和2名女生，現(xiàn)從該小組中先后隨機(jī)抽取兩名同學(xué)進(jìn)行成果展示，則在抽到第1個(gè)同學(xué)是男生的條件下，抽到第2個(gè)同學(xué)也是男生的概率為（）A． B． C． D．7．（4分）“l(fā)na＞lnb”是“3a＞3b”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．（4分）已知曲線：①y2＝x②x2+y2＝1③y＝x3④x2﹣y2＝1．上述四條曲線中，滿足：“若曲線與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則他們必相切”的曲線條數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．49．（4分）已知函數(shù)f（x）＝給出下列三個(gè)結(jié)論：①當(dāng)a＝﹣2時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，1）；②若函數(shù)f（x）無(wú)最小值，則a的取值范圍為（0，+∞）；③若a＜1且a≠0，則?b∈R，使得函數(shù)y＝f（x）﹣b恰有3個(gè)零點(diǎn)x1，x2，x3，且x1x2x3＝﹣1．其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．310．（4分）已知函數(shù)f（x）在定義域（0．+∞）上是單調(diào)函數(shù)，若對(duì)于任意x∈（0，+∞），都有f（f（x）﹣）＝2，則f（）的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.11．（4分）已知函數(shù)f（x）＝，那么f（f（﹣2））＝．12．（4分）（2x+）4的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為．13．（4分）小明計(jì)劃周六去長(zhǎng)沙參加會(huì)議，有飛機(jī)和火車兩種交通工具可供選擇，它們能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)的概率分別為0.95、0.8，若當(dāng)天天晴則乘飛機(jī)，否則乘火車，天氣預(yù)報(bào)顯示當(dāng)天天晴的概率為0.8．則小明能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)的概率為；若小明當(dāng)天準(zhǔn)時(shí)到達(dá)，則他是乘火車去的概率為．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）14．（4分）不等式的解集為．15．（4分）已知集合A＝{a1，a2，…，an，n∈N*且n＞2}，令TA＝{x|x＝ai+aj}，ai∈A，aj∈A，1≤i≤j≤n，card（TA）表示集合TA中元素的個(gè)數(shù)．①若A＝{2，4，8，16}，則card（TA）＝；②若ai+1﹣ai＝c（1≤i≤n﹣1，c為非零常數(shù)），則card（TA）＝．三、解答題：本大題共4小題，共40分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.16．（9分）甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時(shí)投籃結(jié)束．設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響．（Ⅰ）求甲獲勝的概率；（Ⅱ）求投籃結(jié)束時(shí)甲的投球次數(shù)ξ的分布列和期望．17．（10分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣3x2，g（x）＝ax2﹣4．（1）求函數(shù)f（x）的極值；（2）若對(duì)任意的x∈[0，+∞），都有f（x）≥g（x），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．18．（9分）某社區(qū)超市購(gòu)進(jìn)了A，B，C，D四種新產(chǎn)品，為了解新產(chǎn)品的銷售情況，該超市隨機(jī)調(diào)查了15位顧客（記為ai，i＝1，2，3，…，15）購(gòu)買這四種新產(chǎn)品的情況，記錄如下（單位：件）：顧客產(chǎn)品a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13a14a15A11111B11111111C1111111D111111（Ⅰ）若該超市每天的客流量約為300人次，一個(gè)月按30天計(jì)算，試估計(jì)產(chǎn)品A的月銷售量（單位：件）；（Ⅱ）為推廣新產(chǎn)品，超市向購(gòu)買兩種以上（含兩種）新產(chǎn)品的顧客贈(zèng)送2元電子紅包．現(xiàn)有甲、乙、丙三人在該超市購(gòu)物，記他們獲得的電子紅包的總金額為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）若某顧客已選中產(chǎn)品B，為提高超市銷售業(yè)績(jī)，應(yīng)該向其推薦哪種新產(chǎn)品？（結(jié)果不需要證明）19．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x2﹣alnx﹣x，其中常數(shù)a≠0．（Ⅰ）若函數(shù)f（x）為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最大值；（Ⅱ）如果函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

2020-2021學(xué)年北京市海淀區(qū)八一學(xué)校高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合愿要求的.1．（4分）若集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，則A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}【分析】利用交集定義直接求解．【解答】解：∵集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B＝{x|1＜x＜2}．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．（4分）下列函數(shù)中，值域?yàn)閇0，+∞）的是（）A．y＝2x B． C．y＝tanx D．y＝cosx【分析】此題考查求函數(shù)的定義域與值域，對(duì)應(yīng)求出值域即可確定正確答案為B【解答】解：A，y＝2x的值域?yàn)椋?，+∞），故A錯(cuò)B，y＝的定義域?yàn)閇0，+∞），值域也是[0，+∞），故B正確．C，y＝tanx的值域?yàn)椋ī仭蓿?∞），故C錯(cuò)D，y＝cosx的值域?yàn)閇﹣1，+1]，故D錯(cuò)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題目屬于基礎(chǔ)題型，準(zhǔn)確求出每一個(gè)函數(shù)的值域，即可確定正確答案，考查學(xué)生的基礎(chǔ)解題能力．3．（4分）實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則下列式子中正確的是（）A．a(chǎn)+c＜b+c B．a(chǎn)﹣c＞b﹣c C．a(chǎn)c＞bc D．【分析】先由數(shù)軸觀察a、b、c的大小關(guān)系，然后根據(jù)不等式的基本性質(zhì)對(duì)各項(xiàng)作出正確判斷．【解答】解：由數(shù)軸可以看出a＜b＜0＜c．對(duì)于A，∵a＜b，∴a+c＜b+c，故A正確；對(duì)于B，∵a＜b，∴a﹣c＜b﹣c，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，∵a＜b，c＞0，∴ac＜bc，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，∵a＜b＜0＜c，∴＞0＞，故D錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了不等式的基本性質(zhì)及實(shí)數(shù)和數(shù)軸的基本知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．4．（4分）已知a＝3﹣2，b＝log0.42，c＝log23，則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞a＞b【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出：log0.42＜0，log23＞1，并得出0＜3﹣2＜1，這樣即可得出a，b，c的大小關(guān)系．【解答】解：0＜3﹣2＜1，log0.42＜log0.41＝0，log23＞log22＝1，∴c＞a＞b．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（4分）已知f（x）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝logx，則f（x）＞0的解集是（）A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（0，1）【分析】由已知結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的解析式，然后結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解．【解答】解：因?yàn)閒（x）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝logx，當(dāng)x＜0時(shí)，﹣x＞0，則f（﹣x）＝﹣f（x）＝log（﹣x），所以f（x）＝﹣log（﹣x），又f（0）＝0，則由f（x）＞0可得，或，解可得0＜x＜1或x＜﹣1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性在求解不等式中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．6．（4分）某學(xué)習(xí)小組有3名男生和2名女生，現(xiàn)從該小組中先后隨機(jī)抽取兩名同學(xué)進(jìn)行成果展示，則在抽到第1個(gè)同學(xué)是男生的條件下，抽到第2個(gè)同學(xué)也是男生的概率為（）A． B． C． D．【分析】設(shè)事件A表示“抽到的第1個(gè)同學(xué)是男生”，事件B表示“抽到的第2個(gè)同學(xué)也是男生”，則P（A）＝，P（AB）＝＝，由此利用條件概率計(jì)算公式能求出在抽到第1個(gè)同學(xué)是男生的條件下，抽到第2個(gè)同學(xué)也是男生的概率．【解答】解：某學(xué)習(xí)小組有3名男生和2名女生，現(xiàn)從該小組中先后隨機(jī)抽取兩名同學(xué)進(jìn)行成果展示，設(shè)事件A表示“抽到的第1個(gè)同學(xué)是男生”，事件B表示“抽到的第2個(gè)同學(xué)也是男生”，則P（A）＝，P（AB）＝＝，則在抽到第1個(gè)同學(xué)是男生的條件下，抽到第2個(gè)同學(xué)也是男生的概率：P（B|A）＝＝＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查條件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．7．（4分）“l(fā)na＞lnb”是“3a＞3b”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】解指數(shù)不等式和對(duì)數(shù)不等式，求出兩個(gè)命題的等價(jià)命題，進(jìn)而根據(jù)充要條件的定義，可得答案．【解答】解：“3a＞3b”?“a＞b”，“l(fā)na＞lnb”?“a＞b＞0”，∵“a＞b＞0”是“a＞b”的充分而不必要條件，故“l(fā)na＞lnb”是“3a＞3b”的充分而不必要條件，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是充要條件，熟練掌握充要條件的定義是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．8．（4分）已知曲線：①y2＝x②x2+y2＝1③y＝x3④x2﹣y2＝1．上述四條曲線中，滿足：“若曲線與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則他們必相切”的曲線條數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】分別根據(jù)直線和拋物線，圓，冪函數(shù)，雙曲線有一個(gè)點(diǎn)的情況，進(jìn)行討論即可．【解答】解：①當(dāng)直線和拋物線y2＝x對(duì)稱軸平行時(shí)，曲線與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，但此時(shí)直線不是切線，故①錯(cuò)誤，②當(dāng)直線和圓x2+y2＝1只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線與圓相切，故②正確，③當(dāng)直線和x軸平行時(shí)，直線和y＝x3只有一個(gè)交點(diǎn)，但此時(shí)直線和曲線不相切，故③錯(cuò)誤，④當(dāng)直線和雙曲線x2﹣y2＝1的漸近線平行時(shí)，直線和雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)，但此時(shí)直線和雙曲線不相切，故④錯(cuò)誤，故正確的只有②，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查命題的真假判斷，涉及直線和曲線相切的位置關(guān)系的判斷，要求掌握常見(jiàn)曲線和直線的位置關(guān)系．9．（4分）已知函數(shù)f（x）＝給出下列三個(gè)結(jié)論：①當(dāng)a＝﹣2時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，1）；②若函數(shù)f（x）無(wú)最小值，則a的取值范圍為（0，+∞）；③若a＜1且a≠0，則?b∈R，使得函數(shù)y＝f（x）﹣b恰有3個(gè)零點(diǎn)x1，x2，x3，且x1x2x3＝﹣1．其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】直接利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)一步確定①的結(jié)論，再利用函數(shù)的圖象判定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值進(jìn)一步判定②的結(jié)論，最后利用分類討論思想的應(yīng)用判定③的結(jié)論．【解答】解：對(duì)于①：當(dāng)a＝﹣2時(shí)，由0＜e﹣2＜1，f（0）＝1＜f（e﹣2）＝|lne﹣2|＝2，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，1）上不單調(diào)遞減，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：若函數(shù)可轉(zhuǎn)換為，畫(huà)出函數(shù)的圖象，如圖所示：所以函數(shù)f（x）無(wú)最小值，則a的取值范圍為（0，+∞）．故②正確．對(duì)于③令y＝f（x）﹣b＝0，結(jié)合函數(shù)我的圖象，不妨設(shè)x1＜0＜x2＜1＜x3，則ax1+1＝﹣lnx2＝lnx3＝b，所以，，所以，令＝﹣1，即b＝﹣a+1，當(dāng)a＜0時(shí)，b＝﹣a+1＞1，故y＝f（x）﹣b＝0有三個(gè)零點(diǎn)，且x1?x2?x3＝﹣1，符合題意，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，0＜b＝﹣a+1＜1，故y＝f（x）﹣b＝0有三個(gè)零點(diǎn)，且x1?x2?x3＝﹣1，符合題意，故③正確．故正確答案為：②③，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的單調(diào)性，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題．10．（4分）已知函數(shù)f（x）在定義域（0．+∞）上是單調(diào)函數(shù)，若對(duì)于任意x∈（0，+∞），都有f（f（x）﹣）＝2，則f（）的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】由函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，且f（f（x）﹣）＝2，知f（x）﹣為一個(gè)常數(shù)，令這個(gè)常數(shù)為n，則有f（x）﹣＝n，f（n）＝2，所以＝2，解得n＝1，由此能求出f（）＝6．【解答】解：∵函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，且f（f（x）﹣）＝2，∴f（x）﹣為一個(gè)常數(shù)，令這個(gè)常數(shù)為n，則有f（x）﹣＝n，①f（n）＝2，②由①得f（x）＝n+，③②代入③，得＝2，解得n＝1，因此f（x）＝1+，所以f（）＝6．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.11．（4分）已知函數(shù)f（x）＝，那么f（f（﹣2））＝8．【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得f（﹣2）＝2，則有f（f（﹣2））＝f（2），計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）＝，則f（﹣2）＝2，則f（f（﹣2））＝f（2）＝2×22﹣4＝8，故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)的求值，注意函數(shù)解析式的定義，屬于基礎(chǔ)題．12．（4分）（2x+）4的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為24．【分析】由通項(xiàng)公式可得第3項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)．【解答】解：由通項(xiàng)公式得：Tr+1＝C（2x）4﹣r（）r＝24﹣rCx4﹣2r，令r＝2，得展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為：24﹣2C＝24，故答案為：24【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理．屬基礎(chǔ)題．13．（4分）小明計(jì)劃周六去長(zhǎng)沙參加會(huì)議，有飛機(jī)和火車兩種交通工具可供選擇，它們能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)的概率分別為0.95、0.8，若當(dāng)天天晴則乘飛機(jī)，否則乘火車，天氣預(yù)報(bào)顯示當(dāng)天天晴的概率為0.8．則小明能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)的概率為0.92；若小明當(dāng)天準(zhǔn)時(shí)到達(dá)，則他是乘火車去的概率為0.17．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）【分析】記“小明能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)”為事件A，“小明乘坐火車去”為事件B，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出小明能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)的概率；利用條件概率計(jì)算公式能求出若小明當(dāng)天準(zhǔn)時(shí)到達(dá)，則他是乘火車去的概率．【解答】解：記“小明能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)”為事件A，“小明乘坐火車去”為事件B，則小明能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)的概率為P（A）＝0.8×0.95+0.2×0.8＝0.92，P（AB）＝0.2×0.8＝0.16，若小明當(dāng)天準(zhǔn)時(shí)到達(dá)，則他是乘火車去的概率為：P（B|A）＝＝≈0.17．故答案為：0.92，0.17．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、條件概率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．14．（4分）不等式的解集為（1，+∞）．【分析】由原不等式，討論lnx＞0，或lnx＜0，即x＞1或0＜x＜1，構(gòu)造函數(shù)f（x）＝lnx﹣x+1，求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到所求解集．【解答】解：不等式，當(dāng)x＞1時(shí)，原不等式等價(jià)為x﹣1＞lnx，由f（x）＝lnx﹣x+1的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝﹣1，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；可得f（x）＜f（1）＝0，即有l(wèi)nx＜x﹣1；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，可得f（x）＜f（1），即為lnx＜x﹣1；這與0＜x＜1時(shí)，原不等式等價(jià)為x﹣1＜lnx，矛盾，綜上可得，原不等式的解集為（1，+∞），故答案為：（1，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的解法，注意運(yùn)用分類討論思想方法，以及構(gòu)造函數(shù)法，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．15．（4分）已知集合A＝{a1，a2，…，an，n∈N*且n＞2}，令TA＝{x|x＝ai+aj}，ai∈A，aj∈A，1≤i≤j≤n，card（TA）表示集合TA中元素的個(gè)數(shù)．①若A＝{2，4，8，16}，則card（TA）＝10；②若ai+1﹣ai＝c（1≤i≤n﹣1，c為非零常數(shù)），則card（TA）＝2n﹣3．【分析】對(duì)于①若A＝{2，4，8，16}，直接計(jì)算出TA＝{6，10，18，12，20，24}，即可得出答案；②若ai+1﹣ai＝c（1≤i≤n﹣1，c為非零常數(shù)），說(shuō)明數(shù)列a1，a2，…，an，構(gòu)成等差數(shù)列，利用特殊化思想，取特殊的等差數(shù)列進(jìn)行計(jì)算，結(jié)合類比推理可得card（TA）＝2n﹣3．【解答】解：①若A＝{2，4，8，16}，則TA＝{4，6，8，10，16，18，12，20，24，32}，∴card（TA）＝10；②若ai+1﹣ai＝c（1≤i≤n﹣1，c為非零常數(shù)），說(shuō)明數(shù)列a1，a2，…，an，構(gòu)成等差數(shù)列，取特殊的等差數(shù)列進(jìn)行計(jì)算，取A＝{1，2，3，…，n}，則TA＝{3，4，5，…，2n﹣1}，由于（2n﹣1）﹣3+1＝2n﹣3，∴TA中共2n﹣3個(gè)元素，利用類比推理可得若ai+1﹣ai＝c（1≤i≤n﹣1，c為非零常數(shù)），則card（TA）＝2n﹣3．故答案為：10；2n﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合與元素的位置關(guān)系和數(shù)列的綜合應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，解題時(shí)注意特殊化思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，避免錯(cuò)誤，屬基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共4小題，共40分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.16．（9分）甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時(shí)投籃結(jié)束．設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響．（Ⅰ）求甲獲勝的概率；（Ⅱ）求投籃結(jié)束時(shí)甲的投球次數(shù)ξ的分布列和期望．【分析】（1）設(shè)Ak，Bk分別表示甲、乙在第k次投籃投中，則P（Ak）＝，P（Bk）＝，k∈（1，2，3），由互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率與相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式能求出甲獲勝的概率．（2）ξ的所有可能為：1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能出投籃結(jié)束時(shí)甲的投籃次數(shù)ξ的分布列與期望．【解答】解：（1）設(shè)Ak，Bk分別表示甲、乙在第k次投籃投中，則P（Ak）＝，P（Bk）＝，k∈（1，2，3）．記“甲獲勝”為事件C，由互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率與相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式知：P（C）＝P（A1）+P（）+P（）＝+＝＝．﹣﹣﹣﹣（5分）（2）ξ的所有可能為：1，2，3，由獨(dú)立性知：P（ξ＝1）＝P（A1）+P（）＝＝，P（ξ＝2）＝P（）+P（）＝+（）2（）2＝，P（ξ＝3）＝P（）＝（）2（）2＝，綜上知，ξ的分布列為：ξ123P﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴Eξ＝＝（次）﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）∴甲獲勝的概率為；甲的投籃次數(shù)的期望為次．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查古典概型、互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率與相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．17．（10分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣3x2，g（x）＝ax2﹣4．（1）求函數(shù)f（x）的極值；（2）若對(duì)任意的x∈[0，+∞），都有f（x）≥g（x），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【分析】（1）求導(dǎo)，令f′（x）＝0得x＝0或x＝2，列表格分析f′（x），f（x）隨x變化情況進(jìn)而得出函數(shù)f（x）的極大值，極小值．（2）令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x3﹣（3+a）x2+4，求導(dǎo)，令F′（x）＝0，得x＝0或x＝，分當(dāng)≤0時(shí)，當(dāng)＞0，兩種情況討論F（x）的最小值，分析它是否可以大于等于0，進(jìn)而可得出a的取值范圍．【解答】解：（1）f′（x）＝3x2﹣6x，令f′（x）＝0，得x＝0或x＝2，f′（x），f（x）隨x變化情況如下表：x（﹣∞，0）0（0，2）2（2，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↑極大值↓極小值↑所以，當(dāng)x＝0時(shí)，f（x）有極大值0，當(dāng)x＝2時(shí)，f（x）有極小值﹣4．（2）令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x3﹣（3+a）x2+4，F(xiàn)′（x）＝3x2﹣2（3+a）x，由F′（x）＝0，得：x＝0或x＝，當(dāng)≤0時(shí)，即a≤﹣3時(shí)F′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，所以此時(shí)F（0）＝4為最小值，所以F（x）≥0恒成立，即f（x）≥g（x）．當(dāng)＞0，即a＞﹣3時(shí)，x0（0，）（，+∞）f′（x）0﹣0+f（x）↓極小值↑所以當(dāng)x＝時(shí)，F(xiàn)（x）取得最小值，若要滿足f（x）≥g（x），則F（）≥0，即[]3﹣（3+a）[]2+4＝﹣（3+a）3+4≥0，解得a≤0，所以﹣3＜a≤0，綜上所述，a的取值范圍是a≤0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，恒成立問(wèn)題，解題中注意分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題．18．（9分）某社區(qū)超市購(gòu)進(jìn)了A，B，C，D四種新產(chǎn)品，為了解新產(chǎn)品的銷售情況，該超市隨機(jī)調(diào)查了15位顧客（記為ai，i＝1，2，3，…，15）購(gòu)買這四種新產(chǎn)品的情況，記錄如下（單位：件）：顧客產(chǎn)品a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13a14a15A11111B11111111C1111111D111111（Ⅰ）若該超市每天的客流量約為300人次，一個(gè)月按30天計(jì)算，試估計(jì)產(chǎn)品A的月銷售量（單位：件）；（Ⅱ）為推廣新產(chǎn)品，超市向購(gòu)買兩種以上（含兩種）新產(chǎn)品的顧客贈(zèng)送2元電子紅包．現(xiàn)有甲、乙、丙三人在該超市購(gòu)物，記他們獲得的電子紅包的總金額為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）若某顧客已選中產(chǎn)品B，為提高超市銷售業(yè)績(jī)，應(yīng)該向其推薦哪種新產(chǎn)品？（結(jié)果不需要證明）【分析】（I）由題意可得：產(chǎn)品A的月銷售量約為5××30（件）．（II）一位顧客購(gòu)買兩種以上（含兩種）新產(chǎn)品的概率＝＝．現(xiàn)有甲、乙、丙三人在該超市購(gòu)物，記他們獲得的電子紅包的個(gè)數(shù)為ξ，則ξ～B（3，）．P（ξ＝k）＝．隨機(jī)變量X＝2ξ，即可得出．（III）某顧客已選中產(chǎn)品B，為提高超市銷售業(yè)績(jī)，應(yīng)該向其推薦D種新產(chǎn)品．【解答】解：（I）由題意可得：5××30＝3000（件）．因此產(chǎn)品A的月銷售量約為3000（件）．（II）一位顧客購(gòu)買兩種以上（含兩種）新產(chǎn)品的概率＝＝．現(xiàn)有甲、乙、丙三人在該超市購(gòu)物，記他們獲得的電子紅包的個(gè)數(shù)為ξ，則ξ～B（3，）．P（ξ＝k）＝．隨機(jī)變量X＝2ξ的分布列為：X0246PEX＝＝．（III）某顧客已選中產(chǎn)品B，為提高超市銷售業(yè)績(jī)，應(yīng)該向其推薦D種新產(chǎn)品．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)分布列及其數(shù)學(xué)期望、排列與概