材料力學講義五三

Chapter13EnergyMethod第十三章能量法1

第十三章能量法

(EnergyMethods)§13-1概述（Introduction)§13-2桿件變形能的計算(Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading)§13-3互等定理（Reciprocal

theorems)§13-4單位荷載法莫爾定理(Unit-loadmethod&mohr’stheorem)§13-5卡氏定理(Castigliano’sTheorem)§13-6計算莫爾積分的圖乘法(Themeth-odofmomentareasformohr’sintegration)2§13-1概述（Introduction）在彈性范圍內(nèi),彈性體在外力作用下發(fā)生變形而在體內(nèi)積蓄的能量,稱為彈性變形能,簡稱變形能.一、能量方法（Energymethods)三、變形能（Strainenergy）二、外力功（Workoftheexternalforce）固體在外力作用下變形,引起力作用點沿力作用方向位移,外力因此而做功,則成為外力功.利用功能原理Vε=W來求解可變形固體的位移,變形和內(nèi)力等的方法.3可變形固體在受外力作用而變形時,外力和內(nèi)力均將作功.對于彈性體,不考慮其他能量的損失,外力在相應位移上作的功,在數(shù)值上就等于積蓄在物體內(nèi)的應變能.

Vε=W四、功能原理（Work-energyprinciple）Theformula:（Work-EnergyPrinciple）Wewillnotconsiderotherformsofenergysuchasthermalenergy,chemicalenergy,andelectromagneticenergy.Therefore,ifthestressesinabodydonotexceedtheelasticlimit,allofworkdoneonabodybyexternalforcesisstoredinthebodyaselasticstrainenergy.

4§13-2桿件變形能的計算(Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading)一、桿件變形能的計算（Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading）1.軸向拉壓的變形能（Strainenergyforaxialloads)此外力功的增量為：當拉力為F1時,桿件的伸長為Δl1當再增加一個dF1時,相應的變形增量為d(Δl1)5FFllFlFOll1dl1dF1F1積分得:6根據(jù)功能原理當軸力或截面發(fā)生變化時:

Vε=W,可得以下變形能表達式7（單位J/m3)比能（strainenergydensity）:單位體積的應變能.記作u當軸力或截面連續(xù)變化時：82.扭轉(zhuǎn)桿內(nèi)的變形能（Strainenergyfortorsionalloads）或lMeMeMe9純彎曲（purebending)橫力彎曲（nonuniformbending）3.彎曲變形的變形能（Strainenergyforflexuralloads）θMeMeMeMe104.組合變形的變形能（Strainenergyforcombinedloads)截面上存在幾種內(nèi)力,各個內(nèi)力及相應的各個位移相互獨立,力獨立作用原理成立,各個內(nèi)力只對其相應的位移做功.5.純剪切應力狀態(tài)下的比能（Strainenergydensityforpureshearingstateofstresses）假設(shè)單元體左側(cè)固定,因此變形后右側(cè)將向下移動dx.11dxdydzxyzabd因為很小,所以在變形過程中,上下兩面上的外力將不作功.只有右側(cè)面的外力（dydz）對相應的位移dx

作了功.dx

當材料在線彈性范圍內(nèi)內(nèi)工作時,上述力與位移成正比,因此,單元體上外力所作的功為比能為12

將=G

代如上式得dxdydzxyzabddx等直圓桿扭轉(zhuǎn)時應變能的計算13將代入上式得14

二、變形能的普遍表達式（Generalformulaforstrainenergy）F--廣義力(包括力和力偶)δ--廣義位移(包括線位移和角位移)B'C'F3BCF2AF1假設(shè)廣義力按某一比例由零增致最后值對應的廣義位移也由零增致最后值.15對于線性結(jié)構(gòu),位移與荷載之間是線性關(guān)系，任一廣義位移,例如

2可表示為F3ABCF1F2B'C1F1,C2F2,C3F3分別表示力F1,F2,F3在C點引起的豎向位移.C1,C2,C3是比例常數(shù).F3/F2在比例加載時也是常數(shù)F1/F2和2與F2之間的關(guān)系是線性的.同理,1與F1,3與F3之間的關(guān)系也是線性的.16在整個加載過程中結(jié)構(gòu)的變形能等于外力的功iFiF3ABCF1F2B'——克拉貝隆原理（只限于線性結(jié)構(gòu)）Fii17三、變形能的應用（Applicationofstrainenergy）1.計算變形能（Calculatingstrainenergy）2.利用功能原理計算變形（Work-energyprincipleforcalculatingdeflection）例題1試求圖示懸臂梁的變形能,并利用功能原理求自由端B的撓度.ABFlx解：由Vε=W得18例題2試求圖示梁的變形能,并利用功能原理求C截面的撓度.ABCFx1x2abl解：由Vε=W得19例題3試求圖示四分之一圓曲桿的變形能,并利用功能原理求B截面的垂直位移.已知EI為常量.解：ABFORθ由Vε=W得20例題4拉桿在脅線彈性輪范圍內(nèi)渡工作.抗拉剛犧度EI,受到F1和F2兩個周力作植用.若先在B截面歇加F1,然后葉在C截面加F2;若先在C截面鵲加F2,然后餓在B截面加F1.分別叫計算厭兩種濾加力鞋方法套拉桿練的應化變能.ABCabF1F221（1）先驚在B截面加F1,然后巴在C截面均加F2ABCabF1（a）在B截面姜加F1,B截面管的位塑移為外力端作功銹為（b）再休在C上加F2F2C截面的位移為F2作功為22（c）在加F2后,B截面又嘩有位移在加F2過程濱中F1作功（魯常力作旬功）所以應割變能為ABCabF1F223（2）若他先在C截面墳加F2,然后B截面香加F1.（a）在C截面普加F2后,F2作功（b）在B截面加F1后,F1作功ABCabF1F224（c）加F1引起C截面?zhèn)蔚奈坏酪圃诩覨1過程中F2作功追（常諷力作宗功）ABCabF1F2所以應假變能為注意盯：（1）扇計算外今力作功訴時,注意變柄力作功月與常力恒作功的拜區(qū)別.（2）應漫變能Vε只與擴外力睬的最耕終值重有關(guān),而與加電載過程近和加載胞次序無顏關(guān).252解:梁中木點的勸撓度條為:梁右端乏的轉(zhuǎn)角蹈為:MeACBFl/2l/2梁的變秧形能為:1例題5以彎橋曲變胞形為歇例證訪明應變能Vε只與閥外力肯的最終值有潑關(guān),而與加疾載過程和加載批次序無框關(guān).26先加甚力F后,再加力骨偶Me（1）先加壟力F后,C點的位折移力F所作棍的功店為（2）力婚偶由幫零增贈至最宮后值MeB截面的殺轉(zhuǎn)角為力偶Me所作的誓功為ACBFl/2l/2ACBFl/2l/2Me127先加樹上的昏力F所作的泛功為C截面的嘆位移為3ACBl/2l/2F與力偶Me所作的伍功為ACBFl/2l/21Me28兩力覽作用爭點沿跌力作敢用方榨向的拜位移渾分別潤為F1,F2（1）設(shè)在刑線彈性簡結(jié)構(gòu)上慕作用力1,2一、較功的春互等鴿定理（Rec鑒ipr澆oca轉(zhuǎn)lw賓ork善th名eor定em）§13-3互等單定理（Re池ci頂pr則oc駕al規(guī)T衛(wèi)he廣or鎮(zhèn)em搜s亮)12F1F229F1F212F1和F2完成的輩功應為（2）在隸結(jié)構(gòu)扒上再襲作用叢有力F3,F4沿F3和F4方向的孕相應位踢移為3,4F334F4F3和F4完成的跳功應為30（3）在F3和F4的作用揮下,F1和F2的作用課點又有蔑位移F1和F2在1′和2′上完成薦的功漲應為F1F212F334F4因此,按先疏加F1,F2后F3,F4的次專序加渣力,結(jié)構(gòu)的府應變能側(cè)為1′和2′31F1F21234F4F3若按先披加F3,F4后加F1,F2的次拿序加贊力,又可治求得選結(jié)構(gòu)寺的應掌變能應為由于摔應變就能只婆決定息于力犧和位鑄移的熱最終洪值,與加力呈的次序撈無關(guān),故32功的擋互等弱定理（rec姨ipr搏oca率lw相ork須th佩eor連em）:第一組般力在第屋二組力棚引起的欺位移上銜所作的校功,等于第裹二組力典在第一懸組力引國起的位僚移上所附作的功.二、御位移評互等鼓定理（Rec動ipr島oca傍ld偶isp沙lac鞭eme托nt圖the銹ore捉m)若第柴一組耗力F1,第二組惜力只有F3,則如果F1=F3,則有33位移市互等逢定理（rec里ipr四oca偵lw飾ork灘th鑰eor躬em）：F1作用襯點沿F1方向因作煎用F3而引起戰(zhàn)的位色移等獅于F3作用點劃沿F3方向因作用F1而引起的蹦位移.（Th確e螺d拆ef狹le賠ct魂io博n圣at域A失d都ue繭t黎o黑a任lo默ad烏a供ct咱in噸g稀at丹B渠i踐s甚eq調(diào)ua橡l挪to呆t姑he趟d喜ef沾le乘ct摔io波n鞋at隨B屯d鴿ue稼t謹o炮th泊e嫁sa迫me匯l弱oa早d著ac蔑ti錦ng婚a趁t滿A羅)三、應注意（Not雷ice）（1）力和連位移都杠應理解博為廣義冷的.（2）這屑里是櫻指結(jié)苗構(gòu)不勁可能治發(fā)生未剛性簡位移庸的情狠況下,只是由互變形引易起的位纏移.34§1木3-4單位趕荷載迅法莫爾啟定理（Uni褲t-l鉤oad慚me勁tho幕d&mo爆hr塑’sthe閥ore壟m）一、莫噴爾定理縱的推導（Der舌iva爹tio鹿no榮fmoh殿r’sth搬eo腫re廉m）求任稅意點A的位移wAF1F2A35A圖b變形能正為aA圖F1F2=1F0AF1F2圖cwAF0=1（1）先樂在A點作用模單位力F0,再作用F1、F2力36（2）三個短力同時扮作用時任意點截面雅的彎炕矩:變形伶能:37（Moh嘩r’s豈Th伍eor顛em）桁架：二、普猴遍形式感的莫爾說定理（Ge齒ne屈ra色l幸fo惡rm茶ul英a討fo紛rmoh頃r’sth怖eo蠅re泊m）注意:上式中Δ應看姜成廣劉義位倡移,把單位蓄力看成搞與廣義恨位移相后對應的借廣義力.38三、使媽用莫爾螺定理的簡注意事養(yǎng)項（5）莫爾豎積分必憤須遍及持整個結(jié)貓構(gòu).（1）M（x）：結(jié)學構(gòu)在原山載荷下浩的內(nèi)力;（3）所加喪廣義單字位力與托所求廣喚義位移瓦之積,必須為弱功的量叉綱;（2）——去掉主動力,在所求廣義位移點,沿所求廣義位移的方向加廣義單位力時,結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的內(nèi)力;M（4）與M（x）的坐標系必須一致,每段桿的坐標系可自由建立;M（x）39A例題5抗彎壯剛度盯為EI的等截況面簡支公梁受均策布荷載榨作用,用單位阿載荷法桐求梁中托點的撓粘度wC和支偶座A截面暑的轉(zhuǎn)專角.剪力對王彎曲的拆影響不必計.qBCll/2ql/2ql/2解:在實螺際荷踩載作茄用下,任一x截面的監(jiān)彎矩為40AAB11/21/2C（1）求C截面的馳撓度在C點加變一向臣下的現(xiàn)單位遠力,任一x截面肢的彎摔矩為xqBCll/姻2ql/2ql/2ql/2AAB11/l1/lx（2）求A截面距的轉(zhuǎn)掃角在A截面加渡一單位桌力偶引起蔬的x截面皺的彎牲矩為qCll/2（順時付針）ql/242B例題6圖示坐外伸江梁,其抗堂彎剛錘度為EI.用單位窩載荷法溝求C點的撓聚度和轉(zhuǎn)兄角.ACqF=qaa2a43BAABCa2a1解：xAB:（1）求截吃面的撓宮度（在C處加泉一單奶位力釀“1”）CqF=qaa2aFRAx1/244BC:BAABCa2aCqF=qaa2aFRA1/2xx145BABC:AB:（2）求C截面的頁轉(zhuǎn)角（著在C處加一標單位力猾偶）1xxABCa2axCqF=qaa2ax1/2a（）FRA46例題7剛架的臟自由端A作用集滿中力F.剛架各專段的抗宇彎剛度展已于圖裙中標出.不計掩剪力月和軸棄力對嗓位移隸的影承響.計算A點的垂嬸直位移捎及B截面的地轉(zhuǎn)角.aABCFlEI1EI2解:（1）計算A點的垂訂直位移,在A點加垂科直向下蔬的單位蔑力BClEI1EI2a147AB:BC:aABCFlEI1EI2xxABC1lEI1EI2xxa48（2）計算B截面的反轉(zhuǎn)角,在B上加一透個單位倦力偶矩AB:BC:ABCFlEI1EI2xxaABClEI1EI2xxa（）149例題8圖示剛碰架,兩桿盛的EI和EA分別相衡同,試求C點的水敏平位移.CFabAB解:在C點加一劉水平單佳位力1abBAC50Fab1abxxABBACCCB:xxAB:51Fab1abxxABBACCxx52例題9圖示釋為一假水平踐面內(nèi)逮的曲珠桿，B處為一既剛性節(jié)葵點，AB戴C=9弱0°在C處承綠受豎插直力F，設(shè)刮兩桿模的抗健彎剛串度和愚抗扭躲剛度習分別敞是EI和GIp，求C點豎向唉的位移.ABCFab53xx解:在C點加豎紫向單位榨力BC:ABCFabABC1abxxAB:54xxABCFabABC1abxx55例題10由三桿框組成的牧剛架,B,C為剛性若節(jié)點,三桿的池抗彎剛脅度都是EI,試用饑單位買載荷桃法求A1,A2兩點的烏相對位銜移.A1A2BCllFF56x解：在A1,A2處加一竄對水平臨單位力.B,C兩支座聯(lián)的反力釣均為零.A1B：BC：CA2：xxA1A2BCllFFxxxA1A2BCll1157例題11剛架適受力與如圖,求A截面仆的垂魄直位阿移,水平捐位移恩及轉(zhuǎn)換角.ABCllq58AB：BC：解:求A點鉛刺垂位忌移（驗在A點加氏豎向鳥單位飽力）xxxxABCllqABCllq159求A點水墓平位斯移（鞭在A點加水腐平單位絹力）AB：BC：xxxxABCllqABCllq160xx求A點的揪轉(zhuǎn)角厚（在A點加盯一單遙位力屠偶）AB:BC：xxABCllqABCllq1（）61例題12圖示為臨一簡單干桁架,其各桿濫的EA相等.在圖示榜荷載作蘇用下A、C兩節(jié)點壁間的相錫對位移.FaaFABCDE132456789a62FaaABCDE132456789aFaaFABCDE132456789a桁架求鳴位移的旗單位荷俯載法為116312345678桿件編號90-F-F-FF-2F010000aaaaaaa02Fa0000A,C兩點間釘?shù)木嚯x跌縮短.64例題13計算圖恢（a）所示開德口圓環(huán)口在F力作題用下似切口角的張害開量ΔAB.EI=常數(shù).BAORFF(a)65BARPF(b)BARP1(c蛾)解：OO66213設(shè)彈且性結(jié)陣構(gòu)在御支座瞎的約碑束下禍無任鴨何剛閑性位尋移.作用勺有外身力:F1,F2,體,Fi,相應稿的位挑移為撤：1,2,,i,§13-5卡氏旬定理(Ca傻st美ig恥li顧an肢o’奔sTh炕eo輔re春m)F1F2F3結(jié)構(gòu)蕩的變懲形能67只給Fi一個巖增量Fi.引起所父有力的因作用點惕沿力方牢向的位養(yǎng)移增量門為213F1F2F3在作用Fi的過程控中,Fi完成寶的功有為原有紅的所巧有力意完成演的功像為結(jié)構(gòu)應令變能的堤增量為68如果把籮原來的新力看作僑第一組汽力,而把Fi看作第寧二組力.根椐煌互等拾定理略去高階微量或者當Fi趨于累零時,上式蠻為這就訪是卡氏咳第二具定理（Cas炸tig喚lia銜no’牽sSe波co蒙nd芬T可he皺or庸em）（卡蹈氏定館理）（Ca嶼st零ig醒li鄙an年o’旬sThe蓄ore關(guān)m）69（1）卡陽氏第果二定聾理只梢適用贊于線鄙性彈惡性體說明（Dir挑ect申ion競s）：（2）Fi為廣棍義力，i為相齒應的曠位移一個力一個力偶一對力一對力偶一個線位移一個角位移相對線位移相對角位移70（3）卡凱氏第員二定燦理的齒應用（a）軸向源拉伸芹與壓色縮（b）扭轉(zhuǎn)（c）彎曲71（4）平面喜桁架（5）派組合變略形72例題14外伸興梁受源力如換圖所陽示,已知彈槍性模量EI.梁材拳料為吉線彈隸性體.求梁C截面的呢撓度和A截面的討轉(zhuǎn)角.FABCMelaFRA73AB:BC:ABClaFRAFx1x2解:Me74ABClaFRAFx1x2Me（）75例題15剛架結(jié)供構(gòu)如圖耗所示.彈性霜模量EI已知。拔材料為恢線彈性.不考慮啦軸力和蒜剪力的憑影響，屯計算C截面途的轉(zhuǎn)哲角和D截面型的水廢平位剖移.ABCDaa2aMe解:在C截面虛升設(shè)一力繳偶Ma,在D截面姜虛設(shè)題一水寸平力F.FRDFRAxFRAyMaF76CD:CB:AB:xxABCDaa2aMexFRDFRAxFRAyMaF772axxABCDaaMeFRDFRAxFRAy（）McF78例題16圓截面康桿ABC,（AB胡C=9剪0°）位于水少平平面捉內(nèi),已知桿襪截面直數(shù)徑d及材料掀的彈性績常數(shù)E,G.求C截面鼠處的術(shù)鉛垂瀉位移.不計剪掘力的影狀響.ABCllq79BC:彎曲粉變形ABlQMBxABCllqFxxAB:彎曲與零扭轉(zhuǎn)的頸組合變賣形（扭轉(zhuǎn)變驕形）（彎撿曲變猶形）8081例題17圖示礎(chǔ)剛架剛各段斑的抗亂彎剛惑度均訴為EI.不計軸舒力和剪鵝力的影街響.用卡東氏第卸二定繭理求紗截面D的水沈平位甩移D和轉(zhuǎn)偵角D.MaxF1FABCDll2l解:在D點虛設(shè)陰一力偶估矩MaCD:彎曲變失形82但是軸予力不計,因此橫之截面上的內(nèi)丈力只學計彎分矩.F1ABCF2FlMa將力F向C簡化得粒：力F（產(chǎn)生葛拉伸變委形）力偶責矩2Fl（產(chǎn)生彎脊曲變形礦）Ma（產(chǎn)唱生彎以曲變古形）AC產(chǎn)生拉巷伸與彎將曲的組敘合變形.橫截摘面上草的內(nèi)凍力有紛軸力譯和彎困矩.F1xFABCDll2lMa將Ma向C簡化得:83xBC段：BA段：F1FABCDll2lxF2FlxMaMa84§1僑3-6計算莫爾積謙分的圖姻乘法(Th黨em裹eth夜od龍of唯mom層ent歐ar干eas冊fo相rt環(huán)hemoh瞧r’sin皂te梳gr續(xù)at扇io弦n)等直桿叛的情況想下,莫爾衫積分船中的EI為常致量,可提爽到積護分號時外面只需計旺算:85因為是由單位力或單位力偶引起的彎矩,故沿桿長方向的圖一般是由直線或折線組成.M(x)圖一般是曲線.M(x)M(x)ldxxCxCM(x)M(x)MCMM86ωxCCM(x)xxl設(shè)在桿蒙長為l的一段柳內(nèi)M（x）圖是名曲線設(shè)直線睛方程是M(x)是直線,為l段內(nèi)圖M(x)的面積ω87M(x)xlxωxCCC為圖M(x)的形心,xC為其坐標為圖M(x)對y軸坐標的靜矩是和M(x)圖的形心對應處的M(x)的值.88M(x)xlxωxcC對于等劈燕直桿有即積分可用M(x)圖的面積w

和與M(x)圖形心C對應的的乘積來代替MC當M圖為涌正彎釀矩時,w應代以刊正號.當M圖為匯負彎洽矩時,w應代椒以負壇號.也應按彎矩符號給以正負號.MC注意有時M(x)圖為連續(xù)光滑曲線,而為折線,則應以折線的轉(zhuǎn)折點為界,把積分分成幾段,逐段使用圖乘法,然后求其和.M(x)89b幾中飾常見教圖形穗的面也積和懼形心跌的計辛算公很式alh三角形CClh頂點二次痰拋物覺線90lh頂點cN次拋腎物線lh頂點c二次轉(zhuǎn)拋物紅線3l/4l/491例題18均布償荷載張作用原下的裂簡支蜓梁,其EI為常數(shù).求跨中陣點的撓梢度.ABCql/2l/2FABCl/2l/2以圖的轉(zhuǎn)折點為界,分兩段使用圖乘法.M(x)C1C292ABCql/2l/2ABCFl/2l/2C1C293例題19圖示梁,抗彎剛周度為EI,承受婦均布喘載荷q及集中月力F作用.用圖固乘法蓄求:（1）集中五力作用愁端撓度堪為零時懇的F值；（2）集器中力殼作用盟端轉(zhuǎn)夫角為捏零時蹈的F值.FCABalq94FCAB解：aalqMql2/8Fa1ABalCM95例題20圖示臂開口軟剛架,EI為常數(shù).求A和B兩截面飽的相對束角位移qAB和沿F力作用嚷線方向涉的相對梨線位移ΔAB.aaa/2a/2ABFF96解：Fa/2a/2FFFa/2Fa/2a/2a/21a/2Baaa/2AA97例題21圖示剛騙架,EI為常數(shù).求A截面的埋水平位橡移ΔAH和轉(zhuǎn)撤角qA.BAaaq98aqa/2qa2/2解：BAaaaBAaaBaBAaaqqa/2qa11111a111qa2/299C例題22拐桿如予圖,A處為一逐軸承,允許桿亂在軸承搜內(nèi)自由勸轉(zhuǎn)動,但不能段上下移使動,已知:E=2煤10秤GPa,G=0獅.4E,求B點的葡垂直副位移.5A300B500=1F01020

解:（1）畫單位素載荷圖C5A300B500=60kNF11020

x1x1xx100（3）變形（2）求充內(nèi)力10雙1