工程制圖全套教程四

第4章

投影變換的基本概念

目錄.ppt

教學提示：當幾何元素相對于投影面處于一般位置時，是無法從投影圖上直接獲取其真實形狀、距離和角度的。由此可知，在進行空間問題的圖示和圖解過程中，如果能通過某種變換規(guī)則，使空間幾何元素相對于投影面由一般位置轉換為特殊位置，使其投影或直接反映實形，或具有積聚性。應用的投影變換方法有更換投影面法(換面法)和旋轉幾何元素法(旋轉法)兩種。本章僅簡單介紹其中的換面法，并以基本繪圖軟件AutoCAD為例，介紹如何利用其三維功能圖解空間問題的基本思路。教學要求：要求學生通過學習本章內(nèi)容，了解投影變換理論的基本概念，熟悉使用換面法解決空間基本問題的作圖過程，了解如何利用計算機繪圖軟件中的三維功能解決空間問題的基本思路?！?.1投影變換概述

●4.2點的換面●4.3用換面法解決的4個基本作圖問題

●4.4計算機輔助畫法集合問題的圖解法本章內(nèi)容4.1投影變換概述

從前面所介紹的投影理論可知，當幾何元素相對于投影面處于一般位置時，是無法從投影圖上直接獲取其真實形狀、距離和角度的。例如，要獲取一個處于一般位置的直角梯形ABCD的實形［如圖4.1(a)所示］，只有當它處于投影面平行面(如水平面)的位置，才能獲得，如圖4.1(b)所示；同樣，要得知一點K到一個三角形平面EFG之間的真實距離［如圖4.2(a)所示］，也只有當該平面垂直于某一投影面時(如鉛垂面)，才能在這個投影面上直接獲得它們的真實距離，如圖4.2(b)所示。(a)(b)(a)(b)圖4.1尋求梯形的實形圖4.2尋求點到平面的真實距離

4.1投影變換概述由此可知，在進行空間問題的圖示和圖解過程中，如果能通過某種變換規(guī)則，使空間幾何元素相對于投影面由一般位置轉換為特殊位置，使其投影或直接反映實形，或具有積聚性，那么，問題就可以得到簡化。這種變換規(guī)則就稱為投影變換。

常用的投影變換方法有更換投影面法(換面法)和旋轉幾何元素法(旋轉法)兩種。本章僅簡單介紹其中的換面法，并以基本繪圖軟件AutoCAD為例，介紹如何利用其三維功能圖解空間問題的基本思想。

投影變換研究的是如何改變空間幾何元素與投影面的相對位置，借助于改變以后所得的新投影(即輔助投影)，以簡便地解決空間問題。

換面法的基本解題思路是：空間幾何元素本身在空間的位置不動，而在其所在的兩投影面體系中，保持一個投影面不動，用某一輔助投影面代替另一個投影面，使其相對于該輔助投影面4.1投影變換概述處于解題所需的有利位置。實際上，以V/H兩投影面體系為例，垂直于V面或H面的平面有無窮多個。每新設立一個投影面，就會與原始體系中的那個不變投影面形成一個新的投影體系。因此，在選擇輔助投影面時，首先必須將輔助投影面垂直于原投影體系中的另一個投影面(不變投影面)，以構成一個新的兩投影面體系，并且應考慮到所選擇的輔助投影面必須處于最有利于解題的位置。如圖4.3(a)所示的是如何應用換面法將一個鉛垂面ABC變換為輔助投影面V1的平行面。此時，由于△ABC∥V1，因此，△ABC在V1面上的投影△a1′b1′c1′即反映其實形。其圖解過程如圖4.3(b)所示。4.1投影變換概述(a)(b)圖4.3換面法的基本解題思路4.1投影變換概述旋轉法的基本解題思路則是：保持投影體系不動，而將幾何元素圍繞某一軸線旋轉到對投影面處于特殊位置，以便使其反映出形狀、距離、角度等的真實大小，使問題得到簡化。如圖4.4(a)所示的是應用旋轉法將一個鉛垂面變換為正平面的過程。即令△ABC繞一鉛垂軸旋轉一個角度，直到平行于V面。使△ABC的正面投影反映出它的真實形狀。如圖4.4(b)所示是其投影作圖過程。將投影變換的基本概念與計算機輔助圖形軟件相結合，可以更直接、更形象、更準確而快速地解決空間幾何元素的定形和定位問題。

(a)(b)圖4.4旋轉法的基本解題思路4.1投影變換概述

點是最基本的幾何元素。要運用換面法解決問題，首先必須掌握點的投影變換規(guī)律。4.2點的換面

為敘述清楚起見，仍以V和H組成的兩投影面體系為例，并將其記為。若在

的基礎上，保持H面(或V面)不動，則H面(或V面)即稱為不變投影面，垂直于H面(或V面)增設一個輔助投影面V1(或H1)，即形成了兩個相互關聯(lián)的兩投影面體系，分別用符號和

(或)表示。其中，X1表示輔助投影面與不變投影面的交線，V1(或H1)表示新設的輔助投影面。點A在V1(或H1)面上的投影a1′(或a1)稱為點A的輔助投影，而與其相關聯(lián)的投影a′和a則稱為不變投影。點的一次投影變換的變換過程、投影體系的展開及投影變換規(guī)律見表4-1，即：

(1)點的不變投影與輔助投影之間的連線垂直于X1軸。4.2.1點的一次換面4.2點的換面(2)點的輔助投影到輔助投影軸X1的距離等于被更換的投影到原投影軸OX的距離。表4-1點的一次投影變換及投影變換規(guī)律4.2點的換面點的二次換面指的是在第一次換面之后的基礎上，以第一次的投影體系

(或

)中的投影面V1(或H1)為不變投影面，增設與其垂直的新投影面H2(或V2)，組成新的投影體系

(或

)。在求第二次變換的新投影時，則以第一次變換建立起來的新體系中的兩個投影作為原體系，運用點的投影規(guī)律作圖。如圖4.5(a)所示的是空間一點A的二次投影變換的過程，而如圖4.5(b)所示則表示了A點的二次投影變換的作圖過程。從圖中可知，若第一次換面時，以H面為不變投影面，以V1面更換V面，那么第二次換面時，則以V1面為不變投影面，以H2更換H面。從而在第二次變換后構成了V1/H2的新體系，新的投影軸則用X2表示。由此可推出點的三次、四次或更多次投影變換的作圖方法。4.2.2點的二次換面4.2點的換面(a)(b)圖4.5點的二次投影變換4.2點的換面4.3用換面法解決的4個基本作圖問題

如何將一般位置直線或平面轉換為特殊位置直線或平面，是換面法所要解決的最基本問題。將一般位置直線轉換為輔助投影面的平行線，可在該輔助投影面上得到直線的實長和對不變投影面傾角的真實大小。表4-2中以V/H體系為原投影體系，列出了用換面法求作一般位置直線的實長及對H面或V面的傾角的作圖過程。表4-2求一般位置直線的實長及對投影面的傾角、4.3.1將一般位置直線變?yōu)橥队懊嫫叫芯€

4.3用換面法解決的4個基本作圖問題從表中的分析可知，要求一般位置直線的實長，可任取V、H面中的一個投影面為不變投影面，而另一投影面則以V1(或H1)來替代，形成新的投影體系

(或

)。顯然，新投影面V1(或H1)的更換條件是V1(或H1)必須平行于一般位置直線AB。在投影作圖時，即作X1軸平行于直線AB的水平投影ab(或正面投影a′b′)。4.3用換面法解決的4個基本作圖問題一般位置直線對投影面的傾角，其實就是指對不變投影面的傾角。也就是說，若要求得直線對H面的傾角，則H面必須設為不變投影面，用V1面更換V面。這時，直線在V1面上的投影a1′b1′與X1軸的夾角即為的真實大小。同理，要求得直線對V面的傾角，則V面必須設為不變投影面，而用H1面更換H面。直線在H1面上的投影a1b1與X1軸的夾角即為的真實大小。4.3用換面法解決的4個基本作圖問題4.3.2將投影面平行線變換為投影面垂直線

在許多空間距離問題的求解過程中，將一般位置直線轉換為投影面平行線或投影面垂直線，可使問題得到簡化。而由于投影體系中投影面之間的兩兩垂直特點，以及正投影法的投影特性，要將一般位置直線轉換為投影面垂直線，是不可能直接達到目的的。必須首先將其轉換為投影面平行線，然后再進行連續(xù)的第二次換面，才能將其轉換為投影面垂直線(讀者可自行證明)。因此，將投影面平行線變換為投影面垂直線的問題，是換面法的基本作圖問題之一。如圖4.6(a)所示的是將一條水平線AB變換為輔助投影面V1的垂直線的空間轉換過程。從圖中可知，由于輔助投影面V1垂直于水平線AB，而AB又平行于H面，因此V1面必定垂直于不變投影面H。換面后，直線AB垂直于V1面，其投影在V1面上積聚為一點。如圖4.6(b)所示為投影變換的作圖過程。作圖時，首先在適當位置上作X1軸垂直于AB的水平4.3用換面法解決的4個基本作圖問題投影ab，再應用投影變換規(guī)律作出其輔助投影a1′b1′(a1′b1′積聚為一點)。如圖4.6(c)所示是將一般位置直線轉換為投影面垂直線的投影作圖過程。該過程分兩步進行，經(jīng)歷了兩次連續(xù)換面。第一次換面將直線轉換為輔助投影面V1的平行線，第二次換面才將直線轉換為輔助投影面H2的垂直線，讀者可自行練習，并進行分析對比。4.3用換面法解決的4個基本作圖問題(a三)三(三b)三(c三)圖4.三6將直三線變?nèi)龘Q為三投影三面垂三直線4.三3用換三面法三解決三的4個基三本作三圖問三題將一三般位三置平三面變?nèi)龘Q為三投影三面垂三直面三，可三在輔三助投三影面三上求三得該三平面三對不三變投三影面三的傾三角的三真實三大小三。換三句話三說，三當所三作的三輔助三投影三面同三時垂三直于三給定三的一三般位三置平三面P和原三體系三中的三某一三不變?nèi)队叭鏁r三，則三平面P與不三變投三影面三在輔三助投三影面三上的三投影三積聚三為兩三條直三線，三它們?nèi)g三的夾三角即三為兩三平面三之間三二面三角的三真實三大小三，亦三即該三平面P對不三變投三影面三的傾三角的三真實三大小三，如三圖4.三7所示三。表4-三3所示三為求三作一三般位三置平三面對V、H面的三傾角三、三的三作圖三方法三及投三影特三性，三至于三求作三一般三位置三平面三對W面的三傾角三的問三題，三讀者三可自三行推三導。4.三3.三3將一三般位三置平三面變?nèi)龘Q為三投影三面垂三直面4.三3用換三面法三解決三的4個基三本作三圖問三題圖4.三7求作三一般三位置三平面三對投三影面三傾角三的解三題思三路4.三3用換三面法三解決三的4個基三本作三圖問三題表4-三3用換三面法三求一三般位三置平三面對三投影三面的三傾角4.三3用換三面法三解決三的4個基三本作三圖問三題將投三影面三垂直三面變?nèi)龘Q為三投影三面平三行面三，可三在輔三助投三影面三上得三到該三平面三的實三形。如圖4.三8(三a)所示三，欲三求作三鉛垂三面△AB三C的實三形，三必須三作輔三助投三影面V1平行三于△AB三C。顯三然，三此時V1也同三時垂三直于H面，三并與H面組三成了三一個三新的三投影三體系X1，△AB三C則轉三換成三了該三體系三中的三正平三面。三作圖三時首三先作X1軸平三行于三△AB三C的水三平積三聚性三投影ab三c，然三后應三用投三影變?nèi)龘Q規(guī)三律求三出△AB三C各頂三點的三輔助三投影a1′、b1′、c1′，最三后連三成△a1′b1′c1′。如三圖4.三8(三b)所示三。顯然三，若三需求三作一三般位三置平三面的三實形三，需三經(jīng)過三兩次三連續(xù)三換面三。首三先將三給定三的一三般位三置平三面轉三換為三輔助三投影三體系I的垂三直面三，再三以此三為基三礎進三行連三續(xù)的三第二三次換三面，三將其三轉換三為輔三助投三影體三系II的平三行面三，如三圖4.三9所示三。4.三3.三4將投三影面三垂直三面變?nèi)龘Q為三投影三面平三行面4.三3用換三面法三解決三的4個基三本作三圖問三題(a三)三(b三)圖4.三8求鉛三垂面AB三C的實三形三圖4.三9求一三般位三置平三面的三實形CA三D-三3D技術三在現(xiàn)三代化CA三D軟件三中十三分普三及。三用計三算機三輔助三圖解三畫法三幾何三問題三，同三樣是三建立三在正三投影三的理三論基三礎上三，但三其解三題過三程只三需兩三大步三驟：三首先三對工三程設三計及三表達三中的三畫法三幾何三問題三進行三空間三分析三并進三行實三體建三模，三實現(xiàn)三計算三機可三視化三；然三后在三三維三環(huán)境三下的三實體三模型三上直三接求三解及三表達三，從三而使三得求三解過三程直三觀形三象，三易于三掌握三和分三析，三可大三大提三高設三計和三作圖三的精三度和三速度三，也三更適三合于三現(xiàn)代三化無三圖紙三設計三、表三達和三制造三的生三產(chǎn)方三式。三為了三說明三問題三，本三節(jié)介三紹的三計算三機輔三助圖三解體三系仍三建立三在Au三to三CA三D-三3D技術三之上三。4.三4計算三機輔三助畫三法幾三何問三題的三圖解三法使用Au三to三CA三D-三3D技術三求解三畫法三幾何三空間三問題三的計三算機三輔助三工具三主要三有以三下3個：三①用三戶坐三標系UC三S；②三點的三過濾三；③三查詢?nèi)ぞ呷?.用戶三坐標三系UC三S用戶三坐標三系UC三S是一三種三三維坐三標系三。前三面已三經(jīng)提三到，三在Au三to三CA三D中設三置的三世界三坐標三系、三柱面三坐標三系、三球面三坐標三系及三用戶三坐標三系等4種三三維坐三標系三中，三系統(tǒng)三默認三的坐三標系三是世三界坐三標系三。要改三變當三前坐三標系三的方三式可三使用三用戶三坐標三系UC三S命令三來實三現(xiàn)。三使用三這一三功能三，可三將三三維空三間直三角坐三標系三的原三點和三方向三按解三題需三要方三便靈三活地三進行三平移三、旋三轉等三多方三位的三坐標三變換三，并三在新三確定三的空三間直三角坐三標系三中以XO三Y平面三為基三面作三圖。UC三S的調三用方三法有三多種三：(1三)命令三行輸三入：UC三S↙，可三在命三令行三出現(xiàn)三如圖4.三10的提三示。4.三4.三1求解三畫法三幾何三問題三的主三要工三具4.三4計算三機輔三助畫三法幾三何問三題的三圖解三法(2三)三UC三S工具三欄的三調用三：“視圖”下拉三菜單/工具三欄/U三CS，可三調出三如圖4.三11所示三的UC三S工具三欄。圖4.三10三UC三S命令三行圖4.三11三UC三S工具三欄4.三4計算三機輔三助畫三法幾三何問三題的三圖解三法該命三令的三常用三選項三及作三用見三表4-三4表4-三4三U三CS命令三的常三用選三項說三明4.三4計算三機輔三助畫三法幾三何問三題的三圖解三法4.三4計算三機輔三助畫三法幾三何問三題的三圖解三法4.三4計算三機輔三助畫三法幾三何問三題的三圖解三法2.點的三過濾這一三功能三可以三在確三定直三線的三兩個三端點三時，三從前三一點P1(x1，y1，z1)中取三出1個或2個方三向的三坐標三值作三為下三一點三的P2(x2，y2，z2)坐標三值。4.三4計算三機輔三助畫三法幾三何問三題的三圖解三法1)過濾三一個三坐標過濾三點的三一個三坐標三，一三般用三于繪三制XO三Y平面三中的三直線三問題三。如三要繪三制如三圖4.三12三(a三)所示三的平三面圖三形，三則當三繪制三到直三線DE時，三欲由D點向三左畫三水平三線至E點，三由于A點與E點的x值相三同(即xE=xA但yE三yA)，此三時則三可在三輸入E點坐三標后三，先三輸入“.x”，回三車，三在“于(即需三要相三比較三的點)”提示三下選三擇4.三4計算三機輔三助畫三法幾三何問三題的三圖解三法(a三)三(三b)三(c三)圖4.三12過濾三點的三一個三坐標4.三4計算三機輔三助畫三法幾三何問三題的三圖解三法圖4.三13過濾三一個三坐標三的命三令執(zhí)三行過2)過濾三兩個三坐標過濾三點的三兩個三坐標三，一三般是三指在XY三Z空間三直角三坐標三4.三4計算三機輔三助畫三法幾三何問三題的三圖解三法【例4.三1】如圖4.三14三(a三)所示三，要三求過三點A作一三直線AB垂直三于平三面P(B為垂三足，三此問三題也三可理三解為三求作三空間三點A向一三般位三置平三面P作投三影)。分析三：要求三直線AB⊥平面P，則三相對三于P面來三說，A、B兩點三的x、y坐標三值相三等而z值不三等。三若設三置一三個新三的空三間直三角坐三標系三，使三其XO三Y面“貼在”P面上三，則A、B兩點三的坐三標應三分別三為：A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，0)。其三中，x2=三x1，y2=三y1。這三時，三再利三用點三的過三濾工三具確三定B點。作圖三步驟三：①三坐標三系轉三換。三使用UC三S命令三中的“3點UC三S”命令三將三空間三直角三坐標三系的XY平面三貼于三平面P上，三如圖4.三14三(b三)所示三。②三應用三過濾三功能三確定三垂足B。調三用直三線命三令和“節(jié)點三捕捉”命令三，在“指定三第一三點”提示三下選三擇點A，然三后在“指定三下一三點”提示三下輸三入“.x三y”并回三車。4.三4計算三機輔三助畫三法幾三何問三題的三圖解三法(a三)三(b三)三(c三)圖4.三14過濾三兩個三坐標圖4.三15表明三了過三濾兩三個坐三標時三的命三令執(zhí)三行過三程。4.三4計算三機輔三助畫三法幾三何問三題的三圖解三法圖4.三15過濾三兩個三坐標三的命三令執(zhí)三行過三程3.查詢?nèi)ぞ哌@是三最直三接的三一種三設計三工具三。當三實體三建模三完成三后，三在“查詢”命令三的子三菜單三中(如圖4.三16所示)，可三以直三接查三詢指三定對三象的三距離三、面三積、三點坐三標的三精確三數(shù)值三及坐三標位三置和三方位三，還三可確三定實三體的三質量三特性三，如三實體三的質三量、三體積三、邊三界框三的大三小和三坐標三、實三體的三質心三、慣三性矩三、旋三轉半三徑及三主力三矩與三質心三的X-Y-Z方向三等。三這對三于工三程抽三象問三題中三的點三到直三線、三兩平三行直三線、三兩平三行平三面之三間的三距離三等幾三何量三定量三問題三的精三確求三解，三對于三工程三實際三問題三中零4.三4計算三機輔三助畫三法幾三何問三題的三圖解三法件部三件的三質量三特性三的確三定及三力學三設計三，都三具有三直接三、準三確、三高效三的功三能，三如圖4.三16所示三。圖4.三16查詢?nèi)?.三4計算三機輔三助畫三法幾三何問三題的三圖解三法在例4.三1中，三如要三求出AB的實三際長三度，三即點A到平三面P的垂三直距三離，三則可三使用“查詢”命令三中的三子命三令“距離(D)”，按三照命三令行三中的三提示三，分三別選三擇A點和B點，三即可三得知三其距三離值三為79三.0三24三1。例4.三1還可三以用“列表三顯示”的方三法直三接查三詢。三例如三在某三平面P上畫三了一三個多三邊形三后，三使用“工具/查詢/列表三顯示(L三)”命令三可直三接查三看到三該多三邊形三的所三有信三息。三按命三令行三提示三選擇三該多三邊形三，即三可彈三出一三個Au三to三CA三D文本三窗口三，其三中不三僅列三表顯三示出三了該三多邊三形各三頂點三的坐三標、三周長三和面三積，三還可三記錄三作圖三的全三部過三程，三如圖4.三17所示三。單位三：m4.三4計算三機輔三助畫三法幾三何問三題的三圖解三法圖4.三17列表三顯示(L三IS三T)查詢4.三4計算三機輔三助畫三法幾三何問三題的三圖解三法4.三4.三2求解三空間三幾何三問題三的基三本方三法以畫三法幾三何的三空間三分析三為思三維主三線，三綜合三應用三以上三三個三主要三基本三工具三，即三可構三成以三下基三本求三解方三法。1.坐標三變換利用UC三S命令三，建三立坐三標變?nèi)龘Q的三概念三。設三計時三可以三根據(jù)三畫法三幾何三問題三中空三間分三析的三結果三，將三當前三的空三間直三角坐三標系三進行三平移三、旋三轉，三以實三現(xiàn)畫三法幾三何中三將一三般位三置幾三何量三變?yōu)槿厥馊恢萌龓缀稳浚倥淙喜槿兗叭叽缛龢俗⑷绕淙と?，三即可三解決三直線三的實三長、三平面三的實三形等三定形三問題三；直三線與三直線三、直三線與三平面三、平三面與三平面三之間三的夾三角等三問題三，如三圖4.三18所示三。4.三4計算三機輔三助畫三法幾三何問三題的三圖解三法圖4.三18點與三直線三向平三面P進行三投影2.直線三的投三影利用“點的三過濾”功能三以及三與UC三S坐標三變換三的配三合，三即可三實現(xiàn)三在計三算機三三維三環(huán)境三下將三空間三直線三向任三一平三面的三投影三，并三可使三一系三列畫三法幾三何空三間問三題迎三刃而三解。三如圖4.三18所示三，4.三4計算三機輔三助畫三法幾三何問三題的三圖解三法在作三出空三間直三線AB對平三面P的投三影ab后，三即可三引申三出“點到三平面三的距三離”、“直線三與平三面的三交點”、“直線三與平三面的三夾角”等問三題的三求解三。同理三，在三作出三空間三平面AB三C對平三面P的投三影后三，兩三平面三的交三線及三二面三角等三問題三也就三隨之三得到三了解三答，三分別三如圖4.三19和圖4.三20所示三。從三而對三空間三問題三實現(xiàn)三空間三直接三求解三。圖4.三19平面三的投三影及三其引三申出三的交三線問三題三圖4.三20平面三的投三影及三其引三申出三的二三面角三問題4.三4計算三機輔三助畫三法幾三何問三題的三圖解三法【例4.三2】用基三于Au三to三CA三D的計三算機三輔助三圖解三法，三求△AB三C對XO三Y投影三面的三夾角(如圖4.三20所示)?？臻g三分析三：這三是一三個求三解二三面角三的空三間幾三何問三題。三如圖4.三22所示三，要三求出三兩平三面間三夾角三，必三須作三出第三三個三平面P，使三其同三時垂三直于三已知三的兩三平面三。而三該兩三平面三與平三面P的交三線AD與DE的夾三角，三即為三所求三的二三面角三。圖4.三21求△AB三C對XO三Y投影三面的三夾角圖4.三22圖解三分析4.三4計算三機輔三助畫三法幾三何問三題的三圖解三法解題三步驟三：(1三)調用UC三S用戶三坐標三系。(2三)坐標三轉換三：調三用UC三S工具三欄中三的“3點UC三S”命令三，將三空間三直角三坐標三系的XO三Y面“貼在”題目三所給三的XO三Y平面三上，三如圖4.三23三(a三)所示三。(3三)作一三平面三垂直三于兩三已知三平面三，即三：①三用點三的過三濾功三能，三過A點作AE⊥XO三Y平面三，如三圖4.三23三(b三)所示三；②三使用“直線”命令三和“垂直三捕捉”輔助三工具三，過E點向CB作垂三線ED，再三連接AD，則三△AE三D即為三△AB三C和XO三Y面的三公垂三面，三如圖4.三23三(c三)所示三。(4三)再次三使用UC三S工具三欄中三的“3點UC三S”命令三，將XO三Y面“貼在”△AE三D平面三上，三然后三調用“標注”命令三中的三角度三標注三，即三可得三知二三面角三的真三實大三小，三如圖4.三2