小五數(shù)學第9講：工程問題(教師版)

小五數(shù)學第9講：工程問題(教師版)小五數(shù)學第9講：工程問題(教師版)/NUMPAGES30小五數(shù)學第9講：工程問題(教師版)小五數(shù)學第9講：工程問題(教師版)第九講工程問題1基本公式：工作總量=工作效率×工作時間工作效率=工作總量÷工作時間工作時間=工作總量÷工作效率2解題關鍵：這類題一般不給出總量，所以要把工作總量看做單位“1”，那么工效=1/時間3用分數(shù)解工程問題的方法：把工作總量看作單位“1”。分別找出各自的工作效率和合作工作效率。根據(jù)“工程總量÷工作效率和=合作的時間”列式解答。4基本題型普通合作問題、交替工作問題、功效變化問題、方程組型問題、水池注水問題熟記基本公式，把工作總量看作單位1例1、一項工作，甲獨做12天完成，乙獨做20天完成。①甲乙合做1天完成全工程的幾分之幾？②甲乙合做3天完成全工程的幾分之幾？還剩幾分之幾沒完成？③甲乙合做幾天可完成全工程？④甲乙合做幾天完成全工程的一半？⑤甲乙合做5天后，余下的再由乙單獨完成，還需幾天？⑥甲先做2天后，余下的乙也參加同做，還需幾天完成？答案：①2/15②2/53/5③15/2④15/4⑤20/3⑥75/12解析：①甲乙合做1天完成全工程的1/12+1/20=2/15②甲乙合做3天完成全工程的2/15×3=2/5還剩1-2/5=3/5③1÷2/15=15/2④1/2÷2/15=15/4⑤甲乙合做5天完成2/15×5=2/3還剩1-2/3=1/3乙單獨完成，還需1/3÷1/20=20/3⑥甲先做2天完成1/12×2=1/6還剩1-1/6=5/65/6÷2/15=75/12例2、一堆沙子，甲車運完要6小時，乙車運完要8小時，丙車運完要9小時。①甲、乙、丙三車合運1小時，可以運走這堆沙子的幾分之幾？②甲、乙、丙同時合運幾小時可運完？③甲、乙、丙合運幾小時，還剩這堆沙子的2/3？④甲、乙同時合運3小時后，丙也參加，還需幾小時運完？答案：①29/72②72/29③24/29④9/29解析：①甲車的工作效率為1/6,乙車的工作效率為1/8,丙車的工作效率為1/9.甲、乙、丙三車合運1小時，可以運走這堆沙子的1/6+1/8+1/9=29/72②1÷29/72=72/29③1/3÷29/72=24/29④甲、乙同時合運3小時后完成(1/6+1/8)×3=7/8，1-7/8=1/81/8÷29/72=9/29例3、一件工作，甲單獨做12小時完成，乙單獨做9小時可以完成。如果按照甲先乙后的順序，每人每次1小時輪流進行，完成這件工作需要幾小時？答案：31/3解析：設這件工作為“1”，則甲、乙的工作效率分別是1/12和1/9。按照甲先乙后的順序，每人每次1小時輪流進行，甲、乙各工作1小時，完成這件工作的7/36，甲、乙這樣輪流進行了5次，即10小時后，完成了工作的35/36，還剩下這件工作的1/36，剩下的工作由甲來完成，還需要1/3小時，因此完成這件工作需要31/3小時。例4甲、乙兩項工程分別由一、二隊來完成。在晴天，一隊完成甲工程需要12天。二隊完成乙工程需要15天；在雨天，一隊的工作效率要下降40％，二隊的工作效率要下降10％。結(jié)果兩隊同時完成這兩項工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天？答案：10解析：晴天，一隊完成甲工程的工作效率為1/12，二隊完成乙工程的工作效率為1/15，雨天，一隊完成甲工程的工作效率為1/12×60%=1/20，二隊完成乙工程的工作效率為1/15×90％=3/50設雨天x天，（1-1/20x）÷1/12=（1-3/50x）÷1/15x=10例5一家商店要進行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費用共3520元；若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可完成，需付兩組費用共3480元，問：(1)甲、乙兩組工作一天，商店應各付多少元？(2)已知甲組單獨做需12天完成，乙組單獨做需24天完成，單獨請哪組，商店所付費用最少？答案：甲組單獨做一天商店應付300元，乙組單獨做一天商店應付140元。乙組單獨做費用最少解析：(1)設甲組單獨做一天商店應付x元，乙組單獨做一天商店應付y元，依題意得：

解得

答：甲組單獨做一天商店應付300元，乙組單獨做一天商店應付140元。

(2)單獨請甲組做，需付款300×12＝3600元，單獨請乙組做，需付款24×140＝3360元，

故請乙組單獨做費用最少。

答：請乙組單獨做費用最少。

例6一個游泳池，甲管放滿水需6小時，甲、乙兩管同時放水，放滿需4小時。如果只用乙管放水，則放滿需多少小時？答案：12小時

解析：設游泳池放滿水的工作量為1，甲管放滿水需6小時，則甲每小時完成工作量的1/6甲、乙兩管同時放水，放滿需4小時，則甲乙共同注水，每小時可注游泳池的1/4，則乙每小時注水的量為1/4－1/6＝1/12，則如果只用乙管放水，則放滿需12小時。

另法：甲乙同時放水需要4小時=甲4乙4=甲6

則乙=0.5甲，需要12小時。A1、修一條路，甲隊獨修要12天，乙隊獨修要15天。①兩隊合修，多少天可以完成？②甲隊先修4天后，剩下的由乙隊來修，還要多少天才能修完？③兩隊合修5天后，剩下的由甲隊來修，還要多少天才能修完？答案：①20/3②10③3解析：①甲乙合修一天完成1/12+1/15=3/201÷3/20=20/3②甲隊先修4天后完成1/12×4=1/3，還剩1-1/3=2/3，2/3÷1/15=10③兩隊合修5天后完成3/20×5=3/4，還剩1-3/4=1/4，1/4÷1/12=3一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成?，F(xiàn)在甲先做了3天，余下的工作由乙繼續(xù)完成，乙還需要做幾天可以完成全部工作？答案：4解析：甲的工作效率為1/9，乙的工作效率為1/6.甲先做了3天完成1/9×3=1/3，還剩1-1/3=2/3.2/3÷1/6=43一件工程，甲、乙合作６天可以完成?，F(xiàn)在甲、乙合作２天后，余下的工程由乙獨做又用８天正好做完。這件工程如果由甲單獨做，需要幾天完成？答案：12

解析：甲、乙合作２天，甲2乙2，剩下應該是甲4乙4=乙8.則甲=乙，所以甲單獨完成需要甲6+乙6=12天。4、加工一批零件，單獨1人做，甲要10天完成，乙要15天完成，丙要12天完成。如果先由甲、乙兩人合做5天后，剩下的由丙1人做，還要幾天完成？答案：2解析：甲的工作效率1/10，乙的工作效率1/15，丙工作效率1/12.甲、乙兩人合做5天后完成（1/10+1/15）×5=5/6.還剩1-5/6=1/6，丙還需做1/6÷1/12=2天甲乙兩個水管單獨開，注滿一池水，分別需要20小時，16小時.丙水管單獨開，排一池水要10小時，若水池沒水，同時打開甲乙兩水管，5小時后，再打開排水管丙，問水池注滿還是要多少小時?答案：5解析：1/20+1/16=9/80表示甲乙的工作效率9/80×5=45/80表示5小時后進水量1-45/80=35/80表示還要的進水量35/80÷(9/80-1/10)=35表示還要35小時注滿答：5小時后還要35小時就能將水池注滿。B6

一件工程，甲、乙合作６天可以完成?，F(xiàn)在甲、乙合作２天后，余下的工程由乙獨做又用８天正好做完。這件工程如果由甲單獨做，需要幾天完成？答案：12

解析：甲、乙合作２天，甲2乙2，剩下應該是甲4乙4=乙8.則甲=乙，所以甲單獨完成需要12天。7、一項工作，甲、乙兩人合作8天完成，乙、丙兩人合作9天完成，丙、甲兩人合作18天完成。那么丙一個人來做，完成這項工作需要多少天？答案：48解析：甲、乙兩人合作一天完成1/8，乙、丙兩人合作一天完成1/9，丙、甲兩人合作一天完成1/18，甲-丙=1/8-1/9=1/72，甲+丙=1/18，丙的工作效率=（1/18-1/72）÷2=1/48，完成這項工作需要1÷1/48=48天8有一條公路，甲隊獨修需10天，乙隊獨修需12天，丙隊獨修需15天，現(xiàn)在讓三個隊合修，但中間甲隊撤出去到另外工地，結(jié)果用了6天才把這條公路修完。當甲隊撤出后，乙、丙兩隊一同合修了多少天才完成？答案：34/15解析：甲的工作效率=1/10，乙的工作效率=1/12，,丙的工作效率=1/15設當甲隊撤出后，乙、丙兩隊一同合修了x天才完成.(1/10+1/12+1/15)(6-x)+(1/12+1/15)x=1x=34/159一件工程，甲、乙兩人合作8天可以完成，乙、丙兩人合作6天可以完成，丙、丁兩人合作12天可以完成。那么甲、丁兩人合作多少天可以完成？答案：24解析：總量為1，工作效率甲+乙=1/8，乙+丙=1/6，丙+丁=1/12，則甲+丁=1/8-1/6+1/12=1/24甲、丁兩人合作1÷1/24=24天可以完成10抄一份書稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相當甲、乙每天工作效率和的。如果三人合抄，只需8天就完成了，那么乙一人單獨抄，需要多少天才能完成？答案：6解析：工作總量為1，依題意，工作效率甲=乙+丙①，丙=（甲+乙）×1/5②，甲+乙+丙=1/8③，①代入②得，乙=2丙④，①代入③得，乙+丙=1/4⑤。由④⑤得乙=1/6，乙一人單獨抄，需要1÷1/6=6天才能完成。11一份稿件,甲、乙、丙三人單獨打各需20、24、30小時?，F(xiàn)在三人合打，但甲因中途另有任務提前撤出，結(jié)果用12小時全部完成。那么，甲只打了幾小時？答案：2

解析：設打這份稿件的總工作量是“1”，則甲、乙、丙三人的工作效率分別1/20、1/24和1/30。在甲中途撤出前后，其實乙、丙二人始終在打這份稿件，乙、丙12小時打了這份稿件的9/10，還剩下稿件的1/10，這就是甲打的。所以，甲只打了2小時。

C

12

鋪設一條自來水管道，甲隊單獨鋪設8天可以完成，而乙隊每天可鋪設50米。如果甲、乙兩隊同時鋪設，4天可以完成全長的2／3，這條管道全長是多少米?

A1000米

B1100米

C1200米

D1300米

答案：C解析：設乙需要X天完成這項工程，依題意可列方程

（1/8+1/X）×4=2/3

解得X=24

也即乙每天可完成總工程的1/24，也即50米，所以管道總長為1200米。

所以，正確答案為C。

另法：甲4天完成1/2，乙4天完成200米=1/6，全長1200米。13.兩根同樣長的蠟燭，點完一根粗蠟燭要2小時，而點完一根細蠟燭要1小時，一天晚上停電，小芳同時點燃了這兩根蠟燭看書，若干分鐘后來電了，小芳將兩支蠟燭同時熄滅，發(fā)現(xiàn)粗蠟燭的長是細蠟燭的2倍，問：停電多少分鐘?答案：40分鐘。解析：設停電了x分鐘根據(jù)題意列方程1-1/120*x=(1-1/60*x)*2解得x=4014.一項工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，這樣交替輪流做，恰好用整數(shù)天完工;如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，這樣交替輪流做，那么完工時間要比前一種多半天。已知乙單獨做這項工程需17天完成，甲單獨做這項工程要多少天完成?答案：8.5解析：由題意可知1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲=11/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲×0.5=1(1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后結(jié)束必須如上所示，否則第二種做法就不比第一種多0.5天)1/甲=1/乙+1/甲×0.5(因為前面的工作量都相等)得到1/甲=1/乙×2又因為1/乙=1/17所以1/甲=2/17，甲等于17÷2=8.5天15.修一條水渠，單獨修，甲隊需要20天完成，乙隊需要30天完成。如果兩隊合作，由于彼此施工有影響，他們的工作效率就要降低，甲隊的工作效率是原來的五分之四，乙隊工作效率只有原來的十分之九?，F(xiàn)在計劃16天修完這條水渠，且要求兩隊合作的天數(shù)盡可能少，那么兩隊要合作幾天?答案：10解析：由題意得，甲的工效為1/20，乙的工效為1/30，甲乙的合作工效為1/20*4/5+1/30*9/10=7/100，可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。又因為，要求“兩隊合作的天數(shù)盡可能少”，所以應該讓做的快的甲多做，16天內(nèi)實在來不及的才應該讓甲乙合作完成。只有這樣才能“兩隊合作的天數(shù)盡可能少”。設合作時間為x天，則甲獨做時間為(16-x)天1/20*(16-x)+7/100*x=1x=10答：甲乙最短合作10天16

一個水池有兩個排水管甲和乙，一個進水管丙.若同時開放甲、丙兩管，20小時可將滿池水排空；若同時開放乙、丙兩水管，30小時可將滿池水排空，若單獨開丙管，60小時可將空池注滿.若同時打開甲、乙、丙三水管，要排空水池中的滿池水，需幾小時？答案：10解析：工程問題最好采用方程法。

由題可設甲X小時排空池水，乙Y小時排空池水，則可列方程組

1/X-1/60=1/20

解得X=15

1/Y-1/60=1/30

解得Y=20

則三個水管全部打開，則需要1÷（1/15+1/20-1/60）=10

所以，同時開啟甲、乙、丙三水管將滿池水排空需10小時。1.師徒倆人加工同樣多的零件。當師傅完成了1/2時，徒弟完成了120個。當師傅完成了任務時，徒弟完成了4/5這批零件共有多少個?答案：300個解析：120÷(4/5÷2)=300個可以這樣想：師傅第一次完成了1/2，第二次也是1/2，兩次一共全部完工，那么徒弟第二次后共完成了4/5，可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5，剛好是120個。2.一件工作，甲、乙合做需4小時完成，乙、丙合做需5小時完成?，F(xiàn)在先請甲、丙合做2小時后，余下的乙還需做6小時完成。乙單獨做完這件工作要多少小時?答案：20解析：由題意知，1/4表示甲乙合作1小時的工作量，1/5表示乙丙合作1小時的工作量(1/4+1/5)×2=9/10表示甲做了2小時、乙做了4小時、丙做了2小時的工作量。根據(jù)“甲、丙合做2小時后，余下的乙還需做6小時完成”可知甲做2小時、乙做6小時、丙做2小時一共的工作量為1。所以1-9/10=1/10表示乙做6-4=2小時的工作量。1/10÷2=1/20表示乙的工作效率。1÷1/20=20小時表示乙單獨完成需要20小時。答：乙單獨完成需要20小時。3.某工程隊需要在規(guī)定日期內(nèi)完成，若由甲隊去做，恰好如期完成，若乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨做，恰好如期完成，問規(guī)定日期為幾天?答案：6天解析：由“若乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙隊單獨做，恰好如期完成，”可知：乙做3天的工作量=甲2天的工作量即：甲乙的工作效率比是3：2甲、乙分別做全部的的工作時間比是2：3時間比的差是1份實際時間的差是3天所以3÷(3-2)×2=6天，就是甲的時間，也就是規(guī)定日期方程方法：[1/x+1/(x+2)]×2+1/(x+2)×(x-2)=1解得x=6

答案：選乙解析：設甲、乙兩公司每周完成總工程的和，由題意得：

，解得：

所以甲、乙單獨完成這項工程分別需要10周、15周。

設需要付甲、乙每周的工錢分別是萬元，萬元，根據(jù)題意得：

，解得：

故甲公司單獨完成需工錢：（萬元）；乙公司單獨完成需工錢：（萬元）。

答：甲公司單獨完成需6萬元，乙公司單獨完成需4萬元，故從節(jié)約的角度考慮，應選乙公司單獨完成.

5、甲乙兩根進水管，單開甲管10小時注滿水池，單開乙管15小時注滿水池，若兩管齊開，幾小時可注滿水池？答案：6解析：單開甲管每小時注入1/10，單開乙管每小時注入1/15,兩管齊開每小時注入1/10+1/15=1/6注滿水池需1÷1/6=66一個池上裝有3根水管。甲管為進水管，乙管為出水管，20分鐘可將滿池水放完，丙管也是出水管，30分鐘可將滿池水放完?，F(xiàn)在先打開甲管，當水池水剛溢出時，打開乙,丙兩管用了18分鐘放完，當打開甲管注滿水是，再打開乙管，而不開丙管，多少分鐘將水放完?答案:45分鐘。解析：1÷(1/20+1/30)=12表示乙丙合作將滿池水放完需要的分鐘數(shù)。1/12*(18-12)=1/12*6=1/2表示乙丙合作將漫池水放完后，還多放了6分鐘的水，也就是甲18分鐘進的水。1/2÷18=1/36表示甲每分鐘進水最后就是1÷(1/20-1/36)=45分鐘。1.一批樹苗，如果分給男女生栽，平均每人栽6棵;如果單份給女生栽，平均每人栽10棵。單份給男生栽，平均每人栽幾棵?答案:15棵解析：1÷(1/6-1/10)=15棵2蓄水池有甲丙兩條進水管和乙丁兩臺排水管。要注滿一池水，單開甲管要3小時，單開丙管要5小時。要排光一池水，單開乙管要4小時，單開丁管要6小時?，F(xiàn)知池內(nèi)有1/6池水，如果按甲乙丙丁、甲乙丙丁……的順序輪流各開一小時，問多少時間后，水開始溢出水池？

答案：20.75

解析：甲乙丙丁四條水管各開一個小時以后，也就是一個輪回，水池的水量是：

（1/3+1/5）-（1/4+1/6）=7/60；

當N個輪回結(jié)束，水池水量超過2/3時候，再單獨開甲就要有水溢出。

1/6+N×7/60=2/3

解得N≈4.3，取N=5

1-1/6-5×7/60=1/4

需要3/4小時。則總時間為4×5+3/4=20.75

3一項工程，甲獨做需10天，乙獨做需15天，如果兩人合做，他們的工作效率就要降低，甲只能完成原來的，乙只能完成原來的，現(xiàn)在要8天完成這項工程，兩人合作天數(shù)盡可能少，那么兩人要合作多少天？答案：5解析：甲單獨做的工作效率為1/10,乙單獨做的工作效率為1/15。甲乙合作后，甲的工作效率為1/10×4/5=2/25，乙的工作效率為1/15×9/10=3/50，甲乙合作每小時完成2/25+3/50=7/50。甲的速度比乙快，正確做法甲單獨做+兩人合作，設兩人要合作x天,則1/10×（8-x）+7/50×