第一講-分類加法原理與分步乘法原理（原卷版）

第一講分類與分步計(jì)數(shù)原理入門測例1.由數(shù)字0，1,2,3這四個(gè)數(shù)字，可組成多少個(gè)：（1）無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？（2）可以有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？（3）無重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？例2.如果，從甲地到乙地有2條路可通，從乙地到丙地有3條路可通；從甲地到丁地有4條路可通，從丁地到丙地有2條路可通.問從甲地到丙地共有多少種不同的走法？例3.有三項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目均設(shè)冠軍和亞軍各一名獎(jiǎng)項(xiàng)：（1）學(xué)生甲參加了這三個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，但只獲得一個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，學(xué)生甲獲獎(jiǎng)的不同情況有多少種？（2）有4名學(xué)生參加這三個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，若一個(gè)學(xué)生可以獲得多項(xiàng)冠軍，那么各項(xiàng)冠軍獲得者的不同情況有多少種？

題型一：分類加法計(jì)數(shù)原理知識(shí)清單知識(shí)1：分類加法計(jì)數(shù)原理（1）分類加法計(jì)數(shù)原理的概念做一件事，完成它有類辦法，做第一類辦法有種不同的方法，做第二類辦法有種不同的方法……做第類辦法有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法.（2）分類加法計(jì)數(shù)原理的特點(diǎn)分類加法計(jì)數(shù)原理又稱分類計(jì)數(shù)原理或加法原理，其特點(diǎn)是各類中的每一種方法都可以完成要做的事情，我們可以用，，…，來表示分類加法計(jì)數(shù)原理，一共有種方法，強(qiáng)調(diào)每一類中的一種方法就可以完成這件事．（3）分類的原則分類計(jì)數(shù)時(shí)，首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)，確定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，然后利用這個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，分類時(shí)要注意兩條基本原則：一是完成這件事的任何一種方法必須分為相應(yīng)的類：二是不同類的任何方法必須是不同的方法，只要滿足這兩條基本原則，就可以確保計(jì)數(shù)的不重不漏．①明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事，完成這件事可以有哪些辦法，怎樣才算完成這件事．②完成這件事的種方法是相互獨(dú)立的，無論哪種方案中的哪種方法部可以單獨(dú)完成這件事，而不需要再用到其他的方法．③確立恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，準(zhǔn)確地對(duì)這件事進(jìn)行分類，要求每一種方法必定屬于某一類方案，不同類方案的任意兩種方法是不同的方法，也就是分類時(shí)必須做到既不重復(fù)也不遺漏．④分類加法計(jì)數(shù)原理的集合表述形式做一件事，完成它的辦法用集合表示，被分成n類，分別用集合表示，即，且，中分別有種不同的方法，即集合中分別有個(gè)元素，那么完成這件事共有的方法，即集合中的元素的個(gè)數(shù)為．

典型例題例1.一部記錄影片在4個(gè)單位輪映，每一單位放映1場，有多少種輪映次序？例2.從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船.假定火車每日1班，汽車每日3班，輪船每日2班，那么一天中從甲地到乙地有多少種不同的走法？例3.某校高三共有三個(gè)班，各班人數(shù)如下表：男生數(shù)女生數(shù)總數(shù)高三（1）班302050高三（2）班303060高三（3）班352055（1）從三個(gè)班中選1名學(xué)生任學(xué)生會(huì)主席，有多少種不同的選法？（2）從高三（1）班、高三（2）班男生中或從高三（3）班戈生中選1名學(xué)生任學(xué)生會(huì)生活部部長，有多少種不同的選法？方法總結(jié)：根據(jù)已知條件確定好分類標(biāo)準(zhǔn)后，分類應(yīng)滿足：完成一件事的任何一種方法，必屬于某一類而且僅屬于某一類，即“類”與“類”之間是相互獨(dú)立的，是確定的．在解題時(shí)，應(yīng)首先分清楚怎樣才算完成這件事，完成這件事有類方法，其中的每一種都可以獨(dú)立完成這件事．

題型二：分步乘法計(jì)數(shù)原理知識(shí)清單知識(shí)1：分步乘法計(jì)數(shù)原理（1）分步乘法計(jì)數(shù)原理的慨念做一件事，完成它需要分成個(gè)步驟，做第一個(gè)步驟有種不同的方法，做第二個(gè)步驟有種不同的方法……做第個(gè)步驟有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法.（2）分步乘法計(jì)數(shù)原理的特點(diǎn)分步乘法計(jì)數(shù)原理的特點(diǎn)是在所有的各步之中，每一步中都要使用一種方法才能完成要做的事情，可以利用圖形→→…→來表示分步乘法計(jì)數(shù)原理，圖中的“→”強(qiáng)調(diào)要依次完成各個(gè)步驟才能完成要做的事情，從而共m1×m2×…mn種不同的方法可以完成這件事．（3）分步的原則應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：①明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事，單獨(dú)用題目中所給的某種方法是不是能完成這件事，也就是說，是否必須經(jīng)過幾步才能完成這件事：②完成這件事需要分成若干個(gè)步驟，只有每個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，這件事就不可能完成：③根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這n個(gè)步驟逐步去做，才能完成這件事，各個(gè)步驟之中既不能重復(fù)也不能遺漏．

典型例題例1.一個(gè)三層書架的上層放有5本不同的數(shù)學(xué)書，中層放有3本不同的語文書，下層放有2本不同的英語書：（1）從書架上任取一本書，有多少種不同的取法？（2）從書架上任取三本書，其中數(shù)學(xué)書、語文書、英文書各一本，有多少種不同種的取法？例2.用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的：（1）銀行存折的四位密碼？（2）四位數(shù)？（3）四位奇數(shù)？例3.我們把壹元硬幣有牡丹的一面叫做正面，有幣值的一面叫做反面.現(xiàn)依次拋出5,枚壹元硬幣，按照拋出的順序得到一個(gè)由5個(gè)“正”或“反”組成的序列，如“正、反、反、反、正”.問：一共可以得到多少個(gè)不同的這樣的序列？例4.乘積展開后，共有_______項(xiàng)；方法總結(jié)：應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理時(shí)，關(guān)鍵是確定分步的步驟，必須是連續(xù)做完幾步，要不漏不重．

題型三：綜合問題知識(shí)清單知識(shí)1:分類加法計(jì)算原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的關(guān)系（1）分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理解決的都是有關(guān)做一件事的不同方法的種數(shù)問題，都是計(jì)數(shù)的方法，二者的區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是分類問題，其各種方法之間是相互獨(dú)立的，其中的任何一種方法都可以單獨(dú)完成這件事：分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是分步問題，各個(gè)步驟之間相互依存，只有各個(gè)步驟都完成，才算完成這件事，單獨(dú)的一步或幾步不能完成這件事．（2）兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別在于分類加法計(jì)數(shù)原理每次得到的都是最后結(jié)果，而分步乘法計(jì)數(shù)原理每步得到的都是中間結(jié)果，可以用下表表示：區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理①完成一件事，共有類辦法，關(guān)鍵詞是分類完成一件事．共分個(gè)步驟，關(guān)鍵同是分步②每類辦法都能獨(dú)立完成這件事，它們是獨(dú)立的，一次性的，且每一次得到的部是最后結(jié)果，只需一種方法就可以完成這件事每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不可能獨(dú)立完成這件事，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事③各類辦法之間是互斥的，并列的，獨(dú)立的各步之問是有關(guān)聯(lián)的，不獨(dú)立的，關(guān)鍵確保不遺漏、不重復(fù)（3）計(jì)數(shù)原理的選擇如果完成一件事有類辦法，這類辦法彼此之間是相互獨(dú)立的，無論哪一類辦法中的哪一種方法都能完成這件事情，求完成這件事情的方法種數(shù)，就用分類加法計(jì)數(shù)原理；如果完成一件事情要分成個(gè)步驟，各個(gè)步驟都是不可或缺的，需要依次完成所有的步驟，才能完成這件事情，而完成每一個(gè)步驟各有若干種不同的方法，求完成這件事情的方法種數(shù)，就用分步乘法計(jì)數(shù)原理．從思想方法的角度看，分類加法計(jì)數(shù)原理是將問題進(jìn)行“分類”思考；分步乘法計(jì)數(shù)原理是將問題進(jìn)行“分步”思考，這兩種方法貫穿本章的始終．

典型例題例1.由數(shù)字0，1,2,3這四個(gè)數(shù)字，可組成多少個(gè)：（1）無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？（2）可以有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？（3）無重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？例2.如果，從甲地到乙地有2條路可通，從乙地到丙地有3條路可通；從甲地到丁地有4條路可通，從丁地到丙地有2條路可通.問從甲地到丙地共有多少種不同的走法？例3.有三項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目均設(shè)冠軍和亞軍各一名獎(jiǎng)項(xiàng)：（1）學(xué)生甲參加了這三個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，但只獲得一個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，學(xué)生甲獲獎(jiǎng)的不同情況有多少種？（2）有4名學(xué)生參加這三個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，若一個(gè)學(xué)生可以獲得多項(xiàng)冠軍，那么各項(xiàng)冠軍獲得者的不同情況有多少種？例4.用十個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)：（1）三位數(shù)？（2）無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？（3）小于500的無重復(fù)的三位數(shù)字？（4）小于500，且末位數(shù)字是8或9的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？（5）小于100的無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)？方法總結(jié)：在解決計(jì)數(shù)問