學(xué)習(xí)張量必看一個(gè)文檔學(xué)會(huì)張量張量分析

目錄

引言張量的基本概念，愛(ài)因斯坦求和約定符號(hào)ij與erst

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分AppendixA目前一頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)引言

廣義相對(duì)論（1915）、理論物理連續(xù)介質(zhì)力學(xué)（固體力學(xué)、流體力學(xué)）現(xiàn)代力學(xué)的大部分文獻(xiàn)都采用張量表示主要參考書(shū):W.Flugge,TensorAnalysisandContinuumMechanics,Springer,1972.黃克智等，張量分析，清華大學(xué)出版社，2003.目前二頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)張量基本概念標(biāo)量（零階張量）例如：質(zhì)量，溫度質(zhì)量密度應(yīng)變能密度等等。其值與坐標(biāo)系選取無(wú)關(guān)。

目前三頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)張量基本概念矢量（一階張量）例如：位移，速度，加速度，力，法向矢量,等等。目前四頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)矢量（一階張量）矢量u在笛卡爾坐標(biāo)系中分解為其中u1,u2,u3

是u的三個(gè)分量，e1,

e2,e3是單位基矢量。張量基本概念目前五頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)矢量（一階張量）既有大小又有方向性的物理量;其分量與坐標(biāo)系選取有關(guān)，滿足坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系；遵從相應(yīng)的矢量運(yùn)算規(guī)則。張量基本概念目前六頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)矢量(可推廣至張量)的三種記法：實(shí)體記法：u

分解式記法：分量記法：AppendixA.1張量基本概念目前七頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)AppendixA.1張量基本概念指標(biāo)符號(hào)用法三維空間中任意點(diǎn)P的坐標(biāo)（x,y,z）可縮寫(xiě)成xi,其中x1=x,x2=y,x3=z。兩個(gè)矢量a和b的分量的點(diǎn)積(或稱數(shù)量積)為：目前八頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)愛(ài)因斯坦求和約定如果在表達(dá)式的某項(xiàng)中，某指標(biāo)重復(fù)地出現(xiàn)兩次，則表示要把該項(xiàng)在該指標(biāo)的取值范圍內(nèi)遍歷求和。該重復(fù)的指標(biāo)稱為啞指標(biāo)，簡(jiǎn)稱啞標(biāo)。張量基本概念目前九頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)

由于aibi=biai，即矢量點(diǎn)積的順序可以交換：由于啞標(biāo)i僅表示要遍歷求和，故可成對(duì)地任意交換。例如：只要指標(biāo)j或m在同項(xiàng)內(nèi)僅出現(xiàn)兩次，且取值范圍和i相同。張量基本概念目前十頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)約定：

如果不標(biāo)明取值范圍，則拉丁指標(biāo)i,j,k,…表示三維指標(biāo)，取值1,2,3；希臘指標(biāo),,

,…均為二維指標(biāo)，取值1,2。張量基本概念目前十一頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)

拉丁指標(biāo)

希臘指標(biāo)張量基本概念目前十二頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)二階張量應(yīng)變，應(yīng)力，速度梯度，變形梯度，等。三階張量壓電張量，等。四階張量彈性張量，等。張量基本概念目前十三頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)二階（或高階）張量的來(lái)源描述一些復(fù)雜的物理量需要二階（或高階）張量；低階張量的梯度；低階張量的并積；更高階張量的縮并，等。張量基本概念目前十四頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)應(yīng)力張量張量基本概念目前十五頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)張量的三種記法：實(shí)體記法：分解式記法：分量記法：張量基本概念目前十六頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)張量基本概念愛(ài)因斯坦求和約定目前十七頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)采用指標(biāo)符號(hào)后，線性變換表示為利用愛(ài)因斯坦求和約定，寫(xiě)成：其中j是啞指標(biāo)，i是自由指標(biāo)。張量基本概念目前十八頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)

例如一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)要用應(yīng)力張量來(lái)表示，它是具有二重方向性的二階張量，記為

（或）。矢量和標(biāo)量是特殊的張量，矢量為一階張量，標(biāo)量為零階張量。AppendixA.1張量基本概念目前十九頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)在表達(dá)式或方程中自由指標(biāo)可以出現(xiàn)多次，但不得在同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次，若在同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次則是啞指標(biāo)。例：若i為自由指標(biāo)★張量基本概念目前二十頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)自由指標(biāo)表示：若輪流取該指標(biāo)范圍內(nèi)的任何值，關(guān)系式將始終成立。例如：表達(dá)式在自由指標(biāo)i取1，2，3時(shí)該式始終成立，即有張量基本概念★目前二十一頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)同時(shí)取值的自由指標(biāo)必須同名，獨(dú)立取值的自由指標(biāo)應(yīng)防止重名。自由指標(biāo)必須整體換名，即把方程或表達(dá)式中出現(xiàn)的同名自由指標(biāo)全部改成同一個(gè)新名字。i換成k★★張量基本概念目前二十二頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)指標(biāo)符號(hào)也適用于微分和導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。例如，三維空間中線元長(zhǎng)度ds和其分量dxi之間的關(guān)系可簡(jiǎn)寫(xiě)成：場(chǎng)函數(shù)f(x1,x2,x3)的全微分：★張量基本概念23目前二十三頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)可用同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩對(duì)(或幾對(duì))不同啞指標(biāo)的方法來(lái)表示多重求和。例如：若要對(duì)在同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次以上的指標(biāo)進(jìn)行遍歷求和，一般應(yīng)加求和號(hào)。如：★★張量基本概念24目前二十四頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)一般說(shuō)不能由等式兩邊消去ai導(dǎo)得但若ai可以任意取值等式始終成立，則可以通過(guò)取特殊值使得上式成立。★張量基本概念25目前二十五頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)小結(jié)通過(guò)啞指標(biāo)可把許多項(xiàng)縮寫(xiě)成一項(xiàng)，通過(guò)自由指標(biāo)又把許多方程縮寫(xiě)成一個(gè)方程。一般說(shuō)，在一個(gè)用指標(biāo)符號(hào)寫(xiě)出的方程中，若有k個(gè)獨(dú)立的自由指標(biāo)，其取值范圍是1～n，則這個(gè)方程代表了nk個(gè)分量方程。在方程的某項(xiàng)中若同時(shí)出現(xiàn)m對(duì)取值范圍為1～n的啞指標(biāo)，則此項(xiàng)含相互迭加的nm個(gè)項(xiàng)。張量基本概念26目前二十六頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)目錄AppendixA

引言張量的基本概念，愛(ài)因斯坦求和約定符號(hào)ij與erst

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分27目前二十七頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)符號(hào)ij與erst

ij符號(hào)

(Kroneckerdelta)

定義(笛卡爾坐標(biāo)系)(i,j=1,2,…,n)

特性1.對(duì)稱性，由定義可知指標(biāo)i和j是對(duì)稱的，即28目前二十八頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)3.換標(biāo)符號(hào)，具有換標(biāo)作用。例如：2.ij

的分量集合對(duì)應(yīng)于單位矩陣。例如在三維空間即：如果符號(hào)的兩個(gè)指標(biāo)中，有一個(gè)和同項(xiàng)中其它因子的指標(biāo)相重，則可以把該因子的那個(gè)重指標(biāo)換成的另一個(gè)指標(biāo)，而自動(dòng)消失。符號(hào)ij與erst

29目前二十九頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)

類似地有符號(hào)ij與erst

30目前三十頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)erst符號(hào)(排列符號(hào)或置換符號(hào)，Eddington)

定義(笛卡爾坐標(biāo)系)當(dāng)r,s,t為正序排列時(shí)當(dāng)r,s,t為逆序排列時(shí)當(dāng)r,s,t中兩個(gè)指標(biāo)值相同時(shí)(1,2,3)及其輪流換位得到的(2,3,1)和(3,1,2)稱為正序排列。(3,2,1)及其輪流換位得到的(2,1,3)和(1,3,2)稱為逆序排列?；蚍?hào)ij與erst

31目前三十一頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)

特性共有27個(gè)元素，其中三個(gè)元素為1，三個(gè)元素為-1，其余的元素都是0對(duì)其任何兩個(gè)指標(biāo)都是反對(duì)稱的，即當(dāng)三個(gè)指標(biāo)輪流換位時(shí)(相當(dāng)于指標(biāo)連續(xù)對(duì)換兩次)，erst的值不變

符號(hào)ij與erst

32目前三十二頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)

常用實(shí)例三個(gè)相互正交的單位基矢量構(gòu)成正交標(biāo)準(zhǔn)化基。它具有如下重要性質(zhì)：每個(gè)基矢量的模為1，即eiej＝1(當(dāng)i＝j(luò)時(shí))

不同基矢量互相正交，即eiej＝0

(當(dāng)i≠j時(shí))

上述兩個(gè)性質(zhì)可以用ij表示統(tǒng)一形式：eiej＝ij符號(hào)ij與erst

33目前三十三頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)

當(dāng)三個(gè)基矢量ei,ej,ek構(gòu)成右手系時(shí)，有

而對(duì)于左手系，有：

符號(hào)ij與erst

34目前三十四頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)2.矢量的點(diǎn)積：3.矢量的叉積(或稱矢量積)：

如果沒(méi)有特殊說(shuō)明，我們一般默認(rèn)為右手系。符號(hào)ij與erst

35目前三十五頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)叉積的幾何意義是“面元矢量”，其大小等于由矢量a和b構(gòu)成的平行四邊形面積，方向沿該面元的法線方向。★符號(hào)ij與erst

36目前三十六頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)★★★符號(hào)ij與erst

37目前三十七頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)三個(gè)矢量a,b,c的混合積是一個(gè)標(biāo)量，其定義為：符號(hào)ij與erst

★若交換混合積中相鄰兩個(gè)矢量的順序，混合積的值反號(hào)。當(dāng)a,b,c構(gòu)成右手系時(shí)，混合積表示這三個(gè)矢量所構(gòu)成的平行六面體體積。若構(gòu)成左手系，則為體積的負(fù)值。38目前三十八頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)由此可見(jiàn)符號(hào)ij和erst分別與矢量代數(shù)中的點(diǎn)積和叉積有關(guān)。利用(1)和(2)式有符號(hào)ij與erst

39目前三十九頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)4.三階行列式的值符號(hào)ij與erst

40目前四十頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)符號(hào)ij與erst

4.三階行列式的值41目前四十一頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)符號(hào)ij與erst

4.三階行列式的值42目前四十二頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)5.e-

恒等式，其一般形式為：即退化形式為：符號(hào)ij與erst

43目前四十三頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)1.平衡方程：如何用張量改寫(xiě)彈性力學(xué)基本方程？xyz44目前四十四頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)2.幾何方程：如何用張量改寫(xiě)彈性力學(xué)基本方程？45目前四十五頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)3.本構(gòu)方程（各向同性材料）：如何用張量改寫(xiě)彈性力學(xué)基本方程？提示：可以用到σkk和δij

γij=2εij

G=E/[2(1+ν)]46目前四十六頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)4.變形協(xié)調(diào)方程（平面應(yīng)變）：如何用張量改寫(xiě)彈性力學(xué)基本方程？提示：二維指標(biāo)為希臘字母,,,…，取值1,2。47目前四十七頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)目錄AppendixA

引言張量的基本概念，愛(ài)因斯坦求和約定符號(hào)ij與erst

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分48目前四十八頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換笛卡爾坐標(biāo)系(單位直角坐標(biāo)系)49目前四十九頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)

笛卡爾坐標(biāo)系(單位直角坐標(biāo)系)坐標(biāo)變化時(shí)，矢徑的變化為

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換50目前五十頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)

任意坐標(biāo)系坐標(biāo)變化時(shí)，矢徑的變化為

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換51目前五十一頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)

概念坐標(biāo)線當(dāng)一個(gè)坐標(biāo)任意變化而另兩個(gè)坐標(biāo)保持不變時(shí)，空間點(diǎn)的軌跡，過(guò)每個(gè)空間點(diǎn)有三根坐標(biāo)線?；噶渴笍綄?duì)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)定義的三個(gè)基矢量gi

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換52目前五十二頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)參考架空間每點(diǎn)處有三個(gè)基矢量，它們組成一個(gè)參考架或稱坐標(biāo)架。任何具有方向性的物理量都可以對(duì)其相應(yīng)作用點(diǎn)處的參考架分解。對(duì)笛卡爾坐標(biāo)系：坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換53目前五十三頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)三個(gè)相互正交的單位基矢量ei構(gòu)成正交標(biāo)準(zhǔn)化基坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換54目前五十四頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)歐氏空間中的一般坐標(biāo)系現(xiàn)在的坐標(biāo)線可能不再正交；不同點(diǎn)處的坐標(biāo)線可能不再平行；基矢量的大小和方向都可能隨點(diǎn)而異；各點(diǎn)處的參考架不再是正交標(biāo)準(zhǔn)化基。

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換55目前五十五頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換56目前五十六頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)將新基對(duì)老基

分解：轉(zhuǎn)換系數(shù)：反之：

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換57目前五十七頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)向新坐標(biāo)軸

投影，即用點(diǎn)乘上式兩邊，則左邊：右邊：坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換58目前五十八頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)由上述兩式可得新坐標(biāo)用老坐標(biāo)表示的表達(dá)式

經(jīng)過(guò)類似推導(dǎo)可得老坐標(biāo)用新坐標(biāo)表示的表達(dá)式

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換59目前五十九頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的矩陣形式(設(shè)新老坐標(biāo)原點(diǎn)重合)

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換60目前六十頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的一般定義設(shè)在三維歐氏空間中任選兩個(gè)新、老坐標(biāo)系，和是同一空間點(diǎn)P的新、老坐標(biāo)值，則方程組定義了由老坐標(biāo)到新坐標(biāo)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，稱正轉(zhuǎn)換。其逆變換為對(duì)(*)式微分(*)坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換61目前六十一頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)處處不為零，則存在相應(yīng)的逆變換，即可反過(guò)來(lái)用唯一確定其系數(shù)行列式(雅克比行列式)坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換62目前六十二頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)容許轉(zhuǎn)換由單值、一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)、且J處處不為零的轉(zhuǎn)換函數(shù)所實(shí)現(xiàn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換正常轉(zhuǎn)換J

處處為正，把右手系轉(zhuǎn)換右手系反常轉(zhuǎn)換J

處處為負(fù)，把右手系轉(zhuǎn)換成左手系坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換63目前六十三頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)目錄AppendixA

引言張量的基本概念，愛(ài)因斯坦求和約定符號(hào)ij與erst

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分64目前六十四頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)

張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律張量，都不會(huì)因人為選擇不同參考坐標(biāo)系而改變其固有性質(zhì)，然而其分量的值則與坐標(biāo)選擇密切相關(guān)。所以，張量的分量在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)應(yīng)滿足一定的規(guī)律，以保證其坐標(biāo)不變性。張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律65目前六十五頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)

標(biāo)量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律設(shè)一個(gè)標(biāo)量在新、老坐標(biāo)系中的值為t和t’，則矢量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律

張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律66目前六十六頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)張量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律以三維空間的二階張量為例，其分解式是：其中，Tij

為張量分量，eiej稱為基矢量，就是把兩個(gè)基矢量并寫(xiě)在一起，不作任何運(yùn)算，成為構(gòu)成矢量的基。張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律張量的分量表示法張量的實(shí)體表示法（并矢表示法）67目前六十七頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)

張量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律即張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律68目前六十八頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)高階張量的分量滿足如下轉(zhuǎn)換規(guī)律張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律69目前六十九頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)注：在一個(gè)表示全部張量分量集合的指標(biāo)符號(hào)中，自由指標(biāo)的數(shù)目等于張量的階數(shù)K，每個(gè)自由指標(biāo)的取值范圍等于張量的維數(shù)n，各指標(biāo)在其取值范圍內(nèi)的任何一種可能組合都表示了張量的一個(gè)分量，所以n維K階張量共有nK個(gè)分量。張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律70目前七十頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)

張量方程

定義每項(xiàng)都由張量組成的方程稱為張量方程。特性具有與坐標(biāo)選擇無(wú)關(guān)的重要性質(zhì)，可用于描述客觀物理現(xiàn)象的固有特性和普遍規(guī)律。張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律71目前七十一頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)目錄

引言張量的基本概念，愛(ài)因斯坦求和約定符號(hào)ij與erst

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分72目前七十二頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)張量代數(shù)&商判則

相等若兩個(gè)張量和相等則對(duì)應(yīng)分量相等若兩個(gè)張量在某個(gè)坐標(biāo)系中的對(duì)應(yīng)分量相等，則它們?cè)谌魏纹渌鴺?biāo)系中對(duì)應(yīng)分量也相等。73目前七十三頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)

和、差兩個(gè)同階張量與之和(或差)是另一個(gè)同階張量其分量關(guān)系為張量代數(shù)&商判則74目前七十四頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)

數(shù)積張量A和一個(gè)數(shù)(或標(biāo)量函數(shù))相乘得另一同維同階張量T其分量關(guān)系為張量代數(shù)&商判則75目前七十五頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)

并積兩個(gè)同維不同階（或同階）張量A和B的并積T是一個(gè)階數(shù)等于A、B階數(shù)之和的高階張量。設(shè)則其分量關(guān)系為注意：張量代數(shù)&商判則76目前七十六頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)

縮并若對(duì)基張量中的任意兩個(gè)基矢量求點(diǎn)積，在張量將縮并為低二階的新張量。

其分量關(guān)系為張量代數(shù)&商判則77目前七十七頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)若在基張量中取不同基矢量的點(diǎn)積，則縮并的結(jié)果也不同。例如若張量代數(shù)&商判則

縮并78目前七十八頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)

內(nèi)積并積加縮并運(yùn)算稱為內(nèi)積。例如和

的一種內(nèi)積是其分量關(guān)系為張量代數(shù)&商判則79目前七十九頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)

點(diǎn)積前張量A的最后基矢量與后張量B的第一基矢量縮并的結(jié)果，記為，是最常用的一種內(nèi)積。兩個(gè)二階張量的點(diǎn)積相當(dāng)于矩陣乘法。張量代數(shù)&商判則80目前八十頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)對(duì)前、后張量中兩對(duì)近挨著的基矢量縮并的結(jié)果稱為雙點(diǎn)積，共有兩種：并雙點(diǎn)積串雙點(diǎn)積張量代數(shù)&商判則

雙點(diǎn)積81目前八十一頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)

并矢把K個(gè)獨(dú)立矢量并寫(xiě)在一起稱為并矢量，它們的并積是一個(gè)K階張量。矢量的并積不服從交換律，并矢量中各矢量的順序不得任意調(diào)換。張量代數(shù)&商判則82目前八十二頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)和任意矢量的內(nèi)積（包括點(diǎn)積）為K-1階張量的量一定是個(gè)K階張量。一個(gè)K階張量連續(xù)地和n個(gè)任意矢量求內(nèi)積，其縮并的結(jié)果是一個(gè)K-n階張量。張量代數(shù)&商判則

商判則83目前八十三頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)OperationNumberoforder并積差乘-1點(diǎn)乘-2雙點(diǎn)乘-4張量乘法運(yùn)算和結(jié)果的階數(shù)84目前八十四頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)目錄

引言張量的基本概念，愛(ài)因斯坦求和約定符號(hào)ij與erst

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分85目前八十五頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)特殊張量，主方向與主分量

常用特殊張量零張量則：

86目前八十六頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)

單位張量

笛卡爾坐標(biāo)系中分量為ij的二階張量I，即單位張量和任意張量的點(diǎn)積就等于該張量本身：I·a＝a，I·A＝A特殊張量，主方向與主分量87目前八十七頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)特殊張量，主方向與主分量

球形張量主對(duì)角分量為，其余分量為零的二階張量。它是數(shù)

與單位張量的數(shù)積。即88目前八十八頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)

轉(zhuǎn)置張量對(duì)于二階張量，由對(duì)換分量指標(biāo)而基矢量順序保持不變所得到的新張量稱為張量T的轉(zhuǎn)置張量。特殊張量，主方向與主分量89目前八十九頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)

對(duì)稱張量

反對(duì)稱張量特殊張量，主方向與主分量90目前九十頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)轉(zhuǎn)置張量等于其負(fù)張量的張量。即滿足反對(duì)稱張量的主對(duì)角張量均為零。三維二階反對(duì)稱張量的獨(dú)立分量只有三個(gè)。n維二階對(duì)稱張量有

個(gè)獨(dú)立分量。特殊張量，主方向與主分量

反對(duì)稱張量91目前九十一頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)任意二階張量T均可分解為對(duì)稱張量S和反對(duì)稱張量A之和：特殊張量，主方向與主分量

加法分解92目前九十二頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)任意二階對(duì)稱張量S均可分解為球形張量P和偏斜張量D之和：其中特殊張量，主方向與主分量

偏斜張量

93目前九十三頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)偏斜張量為偏斜張量三個(gè)對(duì)角分量之和為零：特殊張量，主方向與主分量

偏斜張量

94目前九十四頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)笛卡爾系中以erst為分量的三階張量，又稱排列張量特殊張量，主方向與主分量

置換張量95目前九十五頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)所有分量均不因坐標(biāo)轉(zhuǎn)換而改變的張量。例如：?jiǎn)挝粡埩縄、球形張量、置換張量等。標(biāo)量是零階的各向同性張量，而矢量則不是各向同性的。特殊張量，主方向與主分量

各向同性張量96目前九十六頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)

主方向與主分量二階張量可定義為一種由矢量a到矢量b的線性變換，即一般說(shuō)，矢量a與b并不同向。對(duì)于給定的任意二階張量T能否找到某個(gè)矢量，它在線性變換后能保持方向不變，即或特殊張量，主方向與主分量97目前九十七頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)其中是標(biāo)量。上式是求j

的線性齊次代數(shù)方程組，存在非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式為零特殊張量，主方向與主分量98目前九十八頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)這是關(guān)于的特征方程；其中是[Tij]的主對(duì)角分量之和，稱為張量T的跡，記作trT是矩陣[Tij]的二階主子式之和。

特殊張量，主方向與主分量99目前九十九頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)是矩陣的行列式，記作detT。特征方程的三個(gè)特征根稱為張量T的主分量。當(dāng)T是實(shí)對(duì)稱張量時(shí)，存在三個(gè)實(shí)特征根

特殊張量，主方向與主分量100目前一百頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)由特征方程求特征根：由每個(gè)(k)

分別求特征方向：方向矢量j(k)特殊張量，主方向與主分量101目前一百零一頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)由上述方法求得的三個(gè)單位矢量(k)＝j(luò)(k)ej稱為張量T的主方向。注：若(1),(2),(3)互不相等，則(1),(2),(3)互相垂直。對(duì)于二重根情況，例如(1)＝(2)，則垂直于(3)的任何方向都是主方向，可任選其中兩個(gè)互相垂直方向作為(1)和(2)。對(duì)于三重根情況，例如(1)＝(2)＝(3)，則任何方向都是主方向，可任選三個(gè)互相垂直的方向作為(1),(2)和(3)。特殊張量，主方向與主分量102目前一百零二頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)

主坐標(biāo)系沿主方向(1),

(2),(3)的正交坐標(biāo)系稱為張量T的主坐標(biāo)系。在主坐標(biāo)系中，有當(dāng)T為應(yīng)力張量時(shí)，(k)就是三個(gè)主應(yīng)力1,2和3特殊張量，主方向與主分量103目前一百零三頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)特征方程是一個(gè)與坐標(biāo)選擇無(wú)關(guān)的普遍方程，它的三個(gè)系數(shù)I1,I2和I3分別稱為張量T的第一、第二和第三不變量。

特征方程的根(k)也是三個(gè)不變量，相應(yīng)的主方向(k)也與坐標(biāo)無(wú)關(guān)。特殊張量，主方向與主分量

不變量104目前一百零四頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)目錄

引言張量的基本概念，愛(ài)因斯坦求和約定符號(hào)ij與erst

坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程張量代數(shù)，商法則常用特殊張量，主方向與主分量張量函數(shù)及其微積分105目前一百零五頁(yè)\總數(shù)一百一十七頁(yè)\編于十三點(diǎn)張量函數(shù)及其微積分在空間所論域內(nèi),每點(diǎn)定義的同階張量,構(gòu)成了張量場(chǎng)。一般張量場(chǎng)中被考察的張量隨位置而變化