2022北京初三一模數(shù)學匯編：新定義（含答案）

1/12022北京初三一模數(shù)學匯編新定義一、解答題1．（2022·北京東城·一模）對于平面直角坐標系中的點C及圖形G，有如下定義：若圖形G上存在A，B兩點，使得為等腰直角三角形，且，則稱點C為圖形G的“友好點”．(1)已知點，，在點，，中，線段OM的“友好點”是_______；(2)直線分別交x軸、y軸于P，Q兩點，若點為線段PQ的“友好點”，求b的取值范圍；(3)已知直線分別交x軸、y軸于E，F(xiàn)兩點，若線段EF上的所有點都是半徑為2的的“友好點”，直接寫出d的取值范圍．2．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐標系xOy中，點P不在坐標軸上，點P關(guān)于x軸的對稱點為P1，點P關(guān)于y軸的對稱點為P2，稱△P1PP2為點P的“關(guān)聯(lián)三角形”．(1)已知點A(1，2)，求點A的“關(guān)聯(lián)三角形”的面積；(2)如圖，已知點B(m，n)，⊙T的圓心為T(2，2)，半徑為2．若點B的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙T有公共點，直接寫出m的取值范圍；(3)已知⊙O的半徑為r，OP=2r，若點P的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙O有四個公共點，直接寫出∠PP1P2的取值范圍．3．（2022·北京大興·一模）在平面直角坐標系xOy中，的半徑為1，已知點A，過點A作直線MN．對于點A和直線MN，給出如下定義：若將直線MN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，直線MN與有兩個交點時，則稱MN是的“雙關(guān)聯(lián)直線”，與有一個交點P時，則稱MN是的“單關(guān)聯(lián)直線”，AP是的“單關(guān)聯(lián)線段”．(1)如圖1，，當MN與y軸重合時，設(shè)MN與交于C，D兩點．則MN是的“______關(guān)聯(lián)直線”（填“雙”或“單”）；的值為______；(2)如圖2，點A為直線上一動點，AP是的“單關(guān)聯(lián)線段”．①求OA的最小值；②直接寫出△APO面積的最小值．4．（2022·北京豐臺·一模）在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1，T（0，t）為y軸上一點，P為平面上一點．給出如下定義：若在⊙O上存在一點Q，使得△TQP是等腰直角三角形，且∠TQP＝90°，則稱點P為⊙O的“等直點”，△TQP為⊙O的“等直三角形”．如圖，點A，B，C，D的橫、縱坐標都是整數(shù)．(1)當t＝2時，在點A，B，C，D中，⊙O的“等直點”是；(2)當t＝3時，若△TQP是⊙O“等直三角形”，且點P，Q都在第一象限，求的值．5．（2022·北京市燕山教研中心一模）對于平面直角坐標系中的線段，給出如下定義：若存在使得，則稱為線段的“等冪三角形”，點R稱為線段的“等冪點”．(1)已知．①在點中，線段的“等冪點”是____________；②若存在等腰是線段的“等冪三角形”，求點B的坐標；(2)已知點C的坐標為，點D在直線上，記圖形M為以點為圓心，2為半徑的位于x軸上方的部分．若圖形M上存在點E，使得線段的“等冪三角形”為銳角三角形，直接寫出點D的橫坐標的取值范圍．6．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為r，對于平面上任一點P，我們定義：若在⊙O上存在一點A，使得點P關(guān)于點A的對稱點點B在⊙O內(nèi)，我們就稱點P為⊙O的友好點．(1)如圖1，若r為1．①已知點P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，0）中，是⊙O的友好點的是；②若點P（t，0）為⊙O的友好點，求t的取值范圍；(2)已知M（0，3），N（3，0），線段MN上所有的點都是⊙O的友好點，求r取值范圍．7．（2022·北京門頭溝·一模）我們規(guī)定：在平面直角坐標系中，如果點到原點的距離為，點到點的距離是的整數(shù)倍，那么點就是點的倍關(guān)聯(lián)點．(1)當點的坐標為時，①如果點的2倍關(guān)聯(lián)點在軸上，那么點的坐標是；②如果點是點的倍關(guān)聯(lián)點，且滿足，．那么的最大值為________；(2)如果點的坐標為，且在函數(shù)的圖象上存在的2倍關(guān)聯(lián)點，求的取值范圍．8．（2022·北京房山·一模）如圖1，⊙I與直線a相離，過圓心I作直線a的垂線，垂足為H，且交⊙I于P，Q兩點（Q在P，H之間）．我們把點P稱為⊙I關(guān)于直線a的“遠點”，把PQ·PH的值稱為⊙I關(guān)于直線a的“特征數(shù)”．(1)如圖2，在平面直角坐標系xOy中，點E的坐標為（0，4），半徑為1的⊙O與兩坐標軸交于點A，B，C，D．①過點E作垂直于y軸的直線m﹐則⊙O關(guān)于直線m的“遠點”是點__________________（填“A”，“B”，“C”或“D”），⊙O關(guān)于直線m的“特征數(shù)”為_____________；②若直線n的函數(shù)表達式為，求⊙O關(guān)于直線n的“特征數(shù)”；(2)在平面直角坐標系xOy、中，直線l經(jīng)過點M（1，4），點F是坐標平面內(nèi)一點，以F為圓心，為半徑作⊙F．若⊙F與直線l相離，點N（–1，0）是⊙F關(guān)于直線l的“遠點”，且⊙F關(guān)于直線l的“特征數(shù)”是，直接寫出直線l的函數(shù)解析式．9．（2022·北京朝陽·一模）在平面直角坐標系中，對于直線，給出如下定義：若直線與某個圓相交，則兩個交點之間的距離稱為直線關(guān)于該圓的“圓截距”．(1)如圖1，的半徑為1，當時，直接寫出直線關(guān)于的“圓截距”；(2)點M的坐標為，①如圖2，若的半徑為1，當時，直線關(guān)于的“圓截距”小于，求k的取值范圍；②如圖3，若的半徑為2，當k的取值在實數(shù)范圍內(nèi)變化時，直線關(guān)于的“圓截距”的最小值為2，直接寫出b的值．10．（2022·北京西城·一模）在平面直角坐標系xOy中，對于△ABC與⊙O，給出如下定義：若△ABC與⊙O有且只有兩個公共點，其中一個公共點為點A，另一個公共點在邊BC上（不與點B，C重合），則稱△ABC為⊙O的“點A關(guān)聯(lián)三角形”．(1)如圖，⊙O的半徑為1，點．△AOC為⊙O的“點A關(guān)聯(lián)三角形”．①在，這兩個點中，點A可以與點______重合；②點A的橫坐標的最小值為_______；(2)⊙O的半徑為1，點，點B是y軸負半軸上的一個動點，點C在x軸下方，△ABC是等邊三角形，且△ABC為⊙O的“點A關(guān)聯(lián)三角形”．設(shè)點C的橫坐標為m，求m的取值范圍；(3)⊙O的半徑為r，直線與⊙O在第一象限的交點為A，點．若平面直角坐標系xOy中存在點B，使得△ABC是等腰直角三角形，且△ABC為⊙O的“點A關(guān)聯(lián)三角形”，直接寫出r的取值范圍．11．（2022·北京順義·一模）在平面直角坐標系中，的半徑為2．對于直線和線段BC，給出如下定義：若將線段BC沿直線l翻折可以得到的弦（，分別是B，C的對應(yīng)點），則稱線段BC是以直線l為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”．例如：在圖1中，線段BC的是以直線l為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”．(1)如圖2，點，，，，，的橫、縱坐標都是整數(shù)．在線段，，中，以直線l為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”是______；(2)△ABC是邊長為a的等邊三角形，點，若BC是以直線l為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”，求a的值；(3)如果經(jīng)過點的直線上存在以直線l為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出這條直線與y軸交點的縱坐標m的取值范圍．12．（2022·北京海淀·一模）在平面直角坐標系中，對于點，給出如下定義：當點滿足時，稱點Q是點P的等和點．已知點．(1)在，，中，點P的等和點有______；(2)點A在直線上，若點P的等和點也是點A的等和點，求點A的坐標；(3)已知點和線段MN，對于所有滿足的點C，線段MN上總存在線段PC上每個點的等和點．若MN的最小值為5，直接寫出b的取值范圍．13．（2022·北京通州·一模）在平面直角坐標系中，給出如下定義：點P為圖形G上任意―點，將點P到原點O的最大距離與最小距離之差定義為圖形G的“全距”．特別地，點P到原點O的最大距離與最小距離相等時，規(guī)定圖形G的“全距”為0．(1)如圖，點，．①原點O到線段AB上一點的最大距離為______，最小距離為______；②當點C的坐標為時，且的“全距”為1，求m的取值范圍；(2)已知OM＝2，等邊△DEF的三個頂點均在半徑為1的上．請直接寫出△DEF的“全距”d的取值范圍．

參考答案1．(1)C1、C3(2)1≤b<3或b>3(3)≤d≤【分析】（1）根據(jù)“友好點”的定義逐個判斷即可；（2）分兩種情況討論，直線PQ在點C上方或下方．過B作PQ的垂線，垂足為B，交x軸于H，根據(jù)題目中的定義知：BQ或BP的長度要大于或等于BC的長度，求解即可；（3）首先分析得到E點的運動范圍，作出圖形知OE≥2，當EH平分∠FEO時，其中H（2，0），是其最大臨界值，根據(jù)勾股定理求出最大值為，即得結(jié)論．（1）解：如圖所示，由題意知三角形OC1M為等腰直角三角形，C1符合題意；過C2作C2A⊥OM于A，則AM=3，C2A=4，三角形AMC2不是等腰三角形，C2不符合題意；過C3作C3B⊥OM于B，則C3B=AB=1，三角形ABC3是等腰直角三角形，符合題意；故答案為：C1、C3．（2）解：分兩種情況討論，當直線PQ在C點上方時，過C作CB⊥PQ于B，延長BC交x軸于H，如圖所示，則△BPH為等腰直角三角形，BP=BH>BC，故在線段PQ上必存在A點，使得∠ABC=90°，AB=BC，將x=2，y=1代入y=－x+b得：b=3，即b>3；當直線PQ在C點下方時，過C作CB⊥PQ于B，CB延長線交x軸于H，則當BQ≥BC時，符合題意，當直線PQ過H點時，BQ=BC，如圖所示，此時，－1+b=0，即b=1，即1≤b<3，綜上所述，b的取值范圍為：1≤b<3或b>3．（3）解：根據(jù)題意，為的弦，根據(jù)定義可知，，當取得最小，點在上，此時則則當取得最大值時，為的直徑，當?shù)拈L度變化時，總能在上找到點使得，則符合題意的點在如圖中陰影部分中運動，通過分析可知，當直線EF在下圖中的位置時，d取得最大值，此時，∠HEO=22.5°，即EH為∠EHF的平分線，過H作HM⊥EF于M，則HM=OH=2，∴FM=2，由勾股定理得：FH=，即OE=OF=，即d=∴≤d≤．【點睛】本題考查了新定義的問題，涉及到一次函數(shù)與圓的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，所用到的數(shù)學思想方法為數(shù)形結(jié)合、分類討論，該題綜合性較強．解題關(guān)鍵是讀懂題意，借助定義作出符合題意的圖形．2．(1)4(2)0<m≤4(3)0°<∠OP1P<30°或60°<∠OP1P<90°【分析】（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)三角形”的定義求得A1(1，-2)，A2(-1，2)，利用三角形的面積公式求解即可；（2）找到四邊形OADC是⊙T的外接四邊形，且D(2，2)，畫出圖形，利用“關(guān)聯(lián)三角形”的定義、數(shù)形結(jié)合即可求解；（3）分兩種情況，當PP2與⊙O相切時，PP1與⊙O相切時，利用“關(guān)聯(lián)三角形”的定義、數(shù)形結(jié)合即可求解．（1）解：∵點A(1，2)關(guān)于x軸的對稱點為A1(1，-2)，點A關(guān)于y軸的對稱點為A2(-1，2)，∴S△AA1A2的面積=×2×4=4；（2）解：∵⊙T的圓心為T(2，2)，半徑為2．∴四邊形OADC是⊙T的外接四邊形，∴D(2，2)，∵點B的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙T有公共點，且點B(m，n)，∴0<m≤4；（3）解：當PP2與⊙O相切于點E時，如圖：∵OE=r，OP=2r，∴∠OPE=30°，∴∠OPP1=∠OP1P=60°，∴當60°<∠OP1P<90°時，點P的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙O有四個公共點；當PP1與⊙O相切于點F時，如圖：∵OF=r，OP=2r，∴∠OPE=∠OP1P=30°，∴當0°<∠OP1P<30°時，點P的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙O有四個公共點；綜上，點P的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙O有四個公共點，∠PP1P2的取值范圍為：0°<∠OP1P<30°或60°<∠OP1P<90°．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．3．(1)雙，或(2)①；②【分析】（1）根據(jù)“雙關(guān)聯(lián)直線”定義即可判斷，需要利用分類討論的思想求解；（2）①過作直線的垂線交于點，明白此時的為最小值，利用等面積法求解；②當與直線垂直時，AP是的“單關(guān)聯(lián)線段”即AP是的切線時，面積最小，因為有條直角邊為1，當斜邊最短時，面積最?。?）解：當與軸重合時，與有兩個交點，由“雙關(guān)聯(lián)直線”定義知，是的“雙關(guān)聯(lián)直線”，設(shè)MN與交于C，D兩點，當點在軸正半軸時，，，當點在軸負半軸時，，，故答案為：雙，或；（2）解：①過作直線的垂線交于點，即可得到的最小值；當，當，，由勾股定理得：，解得：；②當與直線垂直時，AP是的“單關(guān)聯(lián)線段”即AP是的切線時，面積最小，因為有條直角邊為1，當斜邊最短時，面積最小，如下圖：，．【點睛】本題考查了新定義問題，垂線段距離最短、一次函數(shù)與幾何問題、切線的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握相應(yīng)的知識，利用分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想進行求解．4．(1)A、B、D(2)【分析】（1）根據(jù)坐標的特點及“等直三角形”的定義作圖即可判斷；（2）根據(jù)題意作圖，設(shè)Q（x，y），求出P點坐標，進而求出CP、OQ，故可求解．（1）如圖，△AQ1T，△BQ2T，△DQ3T是等腰直角三角形，Q1Q2Q3在⊙O上，故為等直點”故答案為：A、B、D；（2）如圖，依題意作⊙O的“等直三角形”△TQP∴TQ=PQ，∠TQP=90°過Q點作MHx軸，交y軸于M點，過點P作PH⊥MH于H點∴∠TMQ=∠QHP=90°∴∠TQM+∠MTQ=∠TQM+∠HQP=90°∴∠MTQ=∠HQP∴△TMQ≌△QHP（AAS）∴TM=QH，MQ=HP設(shè)Q（x，y）∴HM=MQ+QH=MQ+TM=x+3-y，PH=MQ=x∴P（x-y+3，x+y）∵C（3，0）∴PC=∵OQ=∴=．【點睛】此題主要考查直角坐標系、圓與全等三角形綜合，解題的關(guān)鍵是熟知等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用．5．(1)①，；②或(2)或【分析】（1）①根據(jù)定義求出三角形面積與OA2進行比較即可確定線段的“等冪點”；②根據(jù)定義可得，然后求出邊上的高為h，再結(jié)合△OAB為等腰三角形即可求出點B的坐標；（2）設(shè)半圓與x軸交于G，H兩點，過T作CH的平行線與半圓交于R，作CH的垂線交半圓于Q，直線y=x-3與y軸交于N，設(shè)D（x，x-3），過D作y軸平行線，與過C作x軸平行線交于F，求出N(0，-3),H(3，0)，可證△ONH為等腰直角三角形，點D運動分兩種情況，分別求出對應(yīng)的取值范圍即可.(1)解：①，，=，P1是線段OA的“等冪點”．=，P2不是線段OA的“等冪點”．=，P3不是線段OA的“等冪點”．=，P4是線段OA的“等冪點”．∴是線段的“等冪點”的是，故答案為：；②如圖，∵是線段的“等冪三角形”，∴∵點，設(shè)中邊上的高為h，，∴，∴點B在直線或上，又∵是等腰三角形，∴點B在半徑為2的上，或在半徑為2的上，或線段的垂直平分線上，∴綜上，點B的坐標為或；(2)解：設(shè)半圓與x軸交于G，H兩點，過T作CH的平行線與半圓交于R，作CH的垂線交半圓于Q，直線y=x-3與y軸交于N，設(shè)D（x，x-3），過D作y軸平行線，與過C作x軸平行線交于F，當x=0時，y=-3,N(0，-3),當y=0時，x-3=0，x=3，H(3，0)，∴ON=3=OH，△ONH為等腰直角三角形，∠OHN=∠ONH=45°，點D運動分兩種情況，第一種情況點D在射線CH，去掉線段CH部分運動，∵TC⊥NH，∠OHN=45°，∴△TCH為等腰直角三角形，在Rt△TCH中TH=2，TC=CH=TH×sin45°=2，QC=2，又因為△ECD為銳角三角形，點E在上運動，點E到CD的距離h的范圍是，CD=CF÷cos45°=CF=(x-2)，∵線段的“等冪三角形”，S△CDE==CD2，∴h=2CD=2(x-2)，∴，解得，點D在H右側(cè)，x>3，∴；第二種情況點D在射線CU上，去掉線段CU部分運動，點E在上運動，又因為△ECD為銳角三角形，GU=GH×cos45°=，∴，∵線段的“等冪三角形”，S△CDE==CD2，∴h=2CD=2(2-x)，則，解得，D的橫坐標的取值范圍為或．【點睛】本題考查新定義問題，仔細閱讀新定義，抓住三角形的高為底的二倍，涉及三角形面積，等腰三角形，線段垂直平分線，直線與圓的位置關(guān)系，銳角三角函數(shù)，列雙邊不等式，解不等式等知識，難度較大，綜合較強，熟練掌握多方面知識才是解題關(guān)鍵．6．(1)①；②或(2)【分析】（1）由⊙O友好點的定義可判段出結(jié)果；點P應(yīng)在半徑為的圓環(huán)內(nèi)．（2）根據(jù)定義可列出不等式組，解出可得到結(jié)果．（1）①由題意知：當時，P為⊙O的友好點．∴⊙O的友好點是．②根據(jù)友好點的定義，只要點在半徑圓環(huán)內(nèi)都是⊙O的友好點，或．（2）∵M（0，3），N（3，0），∴圓心O到線段MN的距離為∴在x軸上點N到⊙O最左側(cè)的距離為∴根據(jù)題意可列不等式組得解得∴不等式組解集為：∴r的取值范圍為：【點睛】本題考查圓綜合題，中心對稱，列不等式組等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用特殊點，特殊位置解決問題．7．(1)①（1.5，0）或（﹣4.5，0），②3(2)1－≤b≤1＋【分析】（1）①根據(jù)點的坐標為，點的2倍關(guān)聯(lián)點在軸上，利用關(guān)聯(lián)點的定義即可求解；②根據(jù)點是點的倍關(guān)聯(lián)點，且滿足，，列出不等式，即可求解；（2）根據(jù)當直線與⊙相切時，即直線和，b分別取最大值b1和最小值b2，分兩種情況解答即可．（1）解：①∵點的坐標為，∴點到原點的距離為1.5，∴a＝1.5，∵點的2倍關(guān)聯(lián)點在軸上∴2a＝3∴點M的橫坐標為-1.5＋3＝1.5或﹣1.5－3＝﹣4.5∴點M的坐標是（1.5，0）或（﹣4.5，0）故答案為：（1.5，0）或（﹣4.5，0）②∵點是點的倍關(guān)聯(lián)點，且滿足，∴a＝1.5∴點M的坐標是（-1.5，1.5k）當時，即，解得，當時，即，解得，∴k的取值范圍為，∵k是整數(shù)，∴k的最大值是3故答案為：3（2）解：∵點的坐標為∴a＝1，∴的2倍關(guān)聯(lián)點在以點為圓心，半徑為2的圓上∵在函數(shù)的圖象上存在的2倍關(guān)聯(lián)點，∴當直線與⊙相切時，即直線和，b分別取最大值b1和最小值b2，如圖所示，在Rt△AB中，∠AB＝90°，∠AB＝45°，A＝2∴sin∠AB＝∴∴點B的坐標是（1＋，0）代入得﹣（1＋）＋b1＝0解得b1＝1＋∴直線AB為在Rt△CD中，∠DC＝90°，∠DC＝45°，D＝2∴sin∠DC＝∴∴點C的坐標是（1－，0）代入得﹣（1－）＋b2＝0解得b2＝1－∴直線CD為∴1－≤b≤1＋【點睛】本題主要考查了坐標系中的點之間的距離，一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，圓的切線、解直角三角形等知識，數(shù)形結(jié)合是解決此題的關(guān)鍵．8．(1)①D；10；②⊙O關(guān)于直線n的“特征數(shù)”為6；(2)或【分析】（1）①根據(jù)題干中“遠點”及“特征數(shù)”的定義直接作答即可；②過圓心O作OH⊥直線n，垂足為點H，交⊙O于點P、Q，首先判斷直線n也經(jīng)過點E（0，4），在中，利用三角函數(shù)求出∠EFO=60°，進而求出PH的長，再根據(jù)“特征數(shù)”的定義計算即可；（2）連接NF并延長，設(shè)直線l的解析式為y=kx+b1,用待定系數(shù)法得到，再根據(jù)兩條直線互相垂直，兩個一次函數(shù)解析式的系數(shù)k互為負倒數(shù)的關(guān)系可設(shè)直線NF的解析式為y=x+b2,用待定系數(shù)法同理可得，消去b1和b2，得到關(guān)于m、n的方程組；根據(jù)⊙F關(guān)于直線l的“特征數(shù)”是，得出NA=，再利用兩點之間的距離公式列出方程(m+1)2+n2=，把代入，求出k的值，便得到m、n的值即點A的坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法求直線l的函數(shù)表達式．注意有兩種情況，不要遺漏．（1）解：（1）①⊙O關(guān)于直線m的“遠點”是點D，⊙O關(guān)于直線m的“特征數(shù)”為=2×5=10；②如下圖：過圓心O作OH⊥直線n，垂足為點H，交⊙O于點P、Q，∵直線n的函數(shù)表達式為，當x=0時，y=4；當y=0時，x=，∴直線n經(jīng)過點E（0，4），點F（，0），在中，∵===，∴∠FEO=30°，∴∠EFO=60°，在中，∵，∴HO=·FO=2，∴PH=HO+OP=3，∴PQ·PH=2×3=6，∴⊙O關(guān)于直線n的“特征數(shù)”為6；（2）如下圖，∵點F是圓心，點是“遠點”，∴連接NF并延長，則直線NF⊥直線l，設(shè)NF與直線l的交點為點A（m，n），設(shè)直線l的解析式為y=kx+b1（k≠0）,將點與A（m，n）代入y=kx+b1中，②-①得：n-4=mk-k，③又∵直線NF⊥直線l，∴設(shè)直線NF的解析式為y=x+b2（k≠0）,將點與A（m，n）代入y=x+b2中，④-⑤得：-n=+，⑥聯(lián)立方程③與方程⑥，得：解得：，∴點A的坐標為（，）；又∵⊙F關(guān)于直線l的“特征數(shù)”是，⊙F的半徑為，∴NB·NA=，即2·NA=，解得：NA=，∴[m-(-1)]2+(n-0)2=()2，即(m+1)2+n2=18，把代入，解得k=-1或k=；當k=-1時，m=2，n=3，∴點A的坐標為（2，3），把點A（2，3）與點代入y=kx+b1中，解得直線l的解析式為；當k=時，m=，n=，∴點A的坐標為（，），把點A（，）與點代入y=kx+b1中，解得直線l的解析式為．∴直線l的解析式為或．【點睛】本題是一次函數(shù)與圓的綜合題，考查了直線與圓的位置關(guān)系、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、解直角三角形等，理解“遠點”和“特征數(shù)”的意義，熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、兩點之間距離公式、兩條直線互相垂直的兩個一次函數(shù)解析式中系數(shù)k互為負倒數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．9．(1)(2)①或

②-≤b≤【分析】(1)直線與圓的交點分別為A(0，1)和B(-1，0)，則OA=OB=1，根據(jù)勾股定理計算即可．(2)①根據(jù)圓的垂徑定理，確定弦長為時，弦的位置，注意分類，確定直線的解析式，根據(jù)直線的增減性，確定k的范圍．②分最短弦長2的弦在x軸上方和下方，兩種情形求解．(1)解：如圖1，∵，∴直線的解析式為y=x+1，∴直線與y軸的交點為A(0，1)，與x軸的交點為B(-1，0)，∵的半徑為1，∴圓O與y軸的正半軸交點為A(0，1)，與x軸的負半軸交點為B(-1，0)，∴直線關(guān)于該圓的“圓截距”為AB，∵OA=OB=1，∴AB=．(2)①如圖2，設(shè)直線與y軸正半軸交點為A，且A(0，1)∵點M的坐標為，的半徑為1，∴圓與x軸正半軸交點為B(2，0)，當時，直線的解析式為y=kx+1，當直線經(jīng)過點B時，2k+1=0，解得k=；過點M作MF⊥AB，垂足為F，∵OA=1，OB=2，∴AB=，∴sin∠ABO=，∵MB=1，sin∠ABO=，∴，，設(shè)直線AB與圓M的另一個交點為C，則BC=2BF=，∵關(guān)于的“圓截距”小于，∴k的取值范圍是；設(shè)直線AM與圓的一個交點為N，∵點A(0，1)，點M的坐標為，∴OA=OM，∴∠AMO=45°，∴∠BMN=45°，根據(jù)圓的對稱性，直線AB和直線AD關(guān)于直線AN對稱，此時ED=CB，∴∠DMN=45°，∴∠DMB=90°，∴D的坐標為(1，-1)，∴k+1=-1，解得k=-2，直線AD的解析式為y=-2x+1，∵關(guān)于的“圓截距”小于，∴k的取值范圍是；綜上所述，k的取值范圍是或．②如圖3，設(shè)圓M與x軸的正半軸交點為A,當AF=2時，作直線AB交y軸的正半軸于點B，此時b的值最大，過點M作MD⊥AB，垂足為D，∵AF=2，∴AD=1，∵MA=2，∴∠DMA=30°，∠BAO=60°，∵OA=3，tan∠BAO=，∴OB=OAtan60°=，此時b的最大值為；設(shè)圓M與x軸的正半軸交點為A,當AF=2時，作直線AC交y軸的負半軸于點C，此時b的值最小，過點M作ME⊥AC，垂足為E，∵AG=2，∴AE=1，∵MA=2，∴∠EMA=30°，∠CAO=60°，∵OA=3，tan∠CAO=，∴OC=OAtan60°=，此時b的最小值為-；故b的取值范圍-≤b≤．【點睛】本題考查了了垂徑定理，一次函數(shù)的解析式和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，勾股定理，熟練掌握圓的性質(zhì)，靈活運用特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．10．(1)①，②(2)m的取值范圍為1≤m＜；(3)<r≤或r>4．【分析】（1）根據(jù)“點A的關(guān)聯(lián)三角形”的定義，只有除OC與⊙O有一個交點外，線段AC與⊙O也只有一個交點，所以當過點C作⊙O的切線時，點A應(yīng)在弧MN上，求出M點的坐標，即可知點A的橫坐標為，即可判斷點A應(yīng)與重合，點A的橫坐標的最小值為；（2）先求出B'C'=，過點C'作C'G⊥y軸于G，構(gòu)造直角三角形，表示出GM=B'G，BM=2B'G，進而用勾股定理求出B'G，即可求出答案；（3）符合△ABC等腰直角三角形的B點有6個，當r較小時，沒有符合題意的B點，隨著r增大，當AB1與圓O有交點，直到B1落在圓O上，r=，此時仍不滿足題意，當r>時，符合，直至下圖的臨界位置：AC與圓O相切，B1與O重合，此時r==，分①r>，②<r≤4，③r>4，進行討論，即可求解．（1）解：①當點A與點重合時，連接與圓相交，而OC也與圓相交，這樣△AOC就與圓有三個交點，所以不符合“點A關(guān)聯(lián)三角形”的定義；過C作⊙O的切線CM，交⊙O于M，連接OM，如圖，∴OC=2，OM=1，∴設(shè)M（x，y），則解得或當時，線段CM與⊙O有唯一交點，∵∴當點A與重合時，△AOC與⊙O是“點A的關(guān)聯(lián)三角形”；②由①得，∴點A的橫坐標的最小值為；（2）解：如圖，∵△ABC為⊙O的“點A關(guān)聯(lián)三角形”，∴線段AC和AB除過點A外，不能與⊙O有交點，當線段AC除點A外不與⊙O有交點，當AC與⊙O相切時，∴AC⊥x軸，此時，點A的橫坐標為1，∴點C的橫坐標為1，即m=1，∴時，線段AC除點A外不與⊙O有交點，當線段AB除點A外不與⊙O有交點，即點B在（-1，0）處，記作點B'，∴OB'=1，∵A（1，0），∴OA=1，∴OA=OB'，∴∠OB'A=45°，∵△ABC為等邊三角形，∴B'C'=AB'，∠AB'C'=60°，在Rt△A'OB'中，AB'=，∴B'C'=，過點C'作C'G⊥y軸于G，∴∠B'GC'=90°，∠C'B'G=180°-45°-60°=75°，∴∠B'C'G=15°，在C'G上取一點M，連接B'M，使B'M=C'M，∴∠B'MG=30°，在Rt△B'GM中，則GM=B'G，BM=2B'G，∴C'G=GM+C'M=（+2）B'G，在Rt△B'GC'中，根據(jù)勾股定理得，B'G2+C'G2=B'C'2，B'G2+[（+2）B'G]2=（）2，∴B'G=，∴C'G=，∴m＜時，線段AB除點A外不與⊙O有交點，綜上分析得，m的取值范圍為1≤m＜；（3）解：如圖，符合△ABC等腰直角三角形的B點有6個，當r較小時，沒有符合題意的B點，隨著r增大，如下圖1所示，當AB1與圓O有交點，直到B1落在圓O上，如圖2所示，設(shè)A（m，m），C（4，0），B（x，y）則r=OA=m過A作x軸平行線，交y軸于D，過C作CE⊥AD于E則△ADB1≌△ACE∴AD=CE=m=m-x，DB1=AE=4-m=m-y∴x=0，y=2m-4即B1點恒在y軸上，當B1點在圓O上時，即OB1=r時，可得：r+m=4-m，故m+m=4-m解得：m=，∴r=，此時仍不滿足題意，當r>時，符合，直至下圖的臨界位置：AC與圓O相切，B1與O重合，如圖3所示，易得：r==AC==①當r>時，由圖可知，AC將與圓O存在兩個交點，不符題意∴<r≤②當<r≤4時，AC與圓O有兩個交點，不符題意③當r>4時，如圖4所示，設(shè)A（m，m），C（4，0），B（x，y），r2=2m2∵，∴∵

∴△ACE≌△AB4D∴AD=y-m=CE=4-m，DB4=AE=m=x-m∴y=4，x=2m此時OB42=4m2+16>r2即B4圓O外部，C在圓O內(nèi)部，B4C與圓O必有一個交點，符合題意∴r>4符合題意綜上所述，r的取值范圍是：<r≤或r>4．圖1

圖2

圖3

圖4【點睛】本題是圓的綜合題，主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，綜合運用這些知識點是解題的關(guān)鍵．11．(1)，，(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)定義作關(guān)于的對稱點，若線段是的弦，則再次對稱（依題意定義）即為的弦，據(jù)此求解即可；（2）根據(jù)（1）的方法，根據(jù)等邊三角形的對稱性，可知軸，設(shè)交軸于點，交于點，解進而求得的長，即的值；（3）根據(jù)題意，作的切線，，求得直線解析式，即可求得的取值范圍．（1）根據(jù)定義作關(guān)于的對稱點，若線段是的弦，則再次對稱（依題意定義）即為的弦，如圖，是的弦，與關(guān)于軸對稱，則是以直線l為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”故答案為：（2）如圖，設(shè)1交軸于點，交于點，的半徑為2,，則在中，∴所在直線是等邊三角形的對稱軸，則，在中，（3）如圖，過點作的切線，與交于點，取的中點,連接，,的半徑為2，是與的交點是等邊三角形同理也是等邊三角形是等邊三角形設(shè)直線的解析式為，的解析式為解得直線的解析式為，的解析式為根據(jù)定義可知，經(jīng)過點的直線上存在以直線l為軸的的“關(guān)聯(lián)線段”，則直線與相交，或【點睛】本題考查了新定義問題，軸對稱的性質(zhì)，解直角三角形，圓的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，切線的性質(zhì)，理解定義，將圓心對稱是解題的關(guān)鍵．12．(1)，；(2)；(3)．【分析】（1）根據(jù)新定義計算即可；（2）由（1）可知，P的等和點縱坐標比橫坐標大2，根據(jù)等和點的定義，A的橫坐標比縱坐標大2，由此可得方程，求解即可；（3）因為線段MN上