23屆老高考數(shù)學(xué)備用題：第六單元 三角函數(shù)與解三角形

第六單元三角函數(shù)與解三角形§6.1任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)1．集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是()答案C解析當(dāng)k＝2n(n∈Z)時，2nπ＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋eq\f(π,2)，此時α表示的范圍與eq\f(π,4)≤α≤eq\f(π,2)表示的范圍一樣；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時，2nπ＋π＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq\f(π,2)，此時α表示的范圍與π＋eq\f(π,4)≤α≤π＋eq\f(π,2)表示的范圍一樣.故選C.2.在平面直角坐標(biāo)系中，角α的頂點在原點，始邊在x軸的正半軸上，角α的終邊經(jīng)過點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,8)，sin\f(π,8)))，且0<α<2π，則α＝()A.eq\f(π,8) B.eq\f(3π,8) C.eq\f(5π,8) D.eq\f(7π,8)答案D解析因為角α的終邊經(jīng)過點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,8)，sin\f(π,8)))，且0<α<2π，所以根據(jù)三角函數(shù)的定義，可知cosα＝－coseq\f(π,8)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,8)))＝coseq\f(7π,8)，則α＝eq\f(7π,8)，故選D.3．已知為角終邊上的一點，則（）.A. B. C. D.【答案】C【詳解】因為為角終邊上的一點，所以，而，故選C.4.(2021·重慶高三模擬）如圖所示，扇環(huán)的兩條弧長分別是4和10，兩條直邊與的長都是3，則此扇環(huán)的面積為（）A．84 B．63 C．42 D．21答案D解析設(shè)扇環(huán)的圓心角為，小圓弧的半徑為，由題可得且，解得，，從而扇環(huán)面積.故選D.5．（2021·北京高三模擬）已知角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊在軸的正半軸上，終邊與單位圓交于第二象限的點P，且點的縱坐標(biāo)為，則（）A． B． C． D．答案D解析因為角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊在軸的正半軸上，終邊與單位圓交于第二象限的點P，且點的縱坐標(biāo)為，所以，所以根據(jù)三角函數(shù)的定義，得cosα=?，所以.故選D.6.密位制是度量角的一種方法．把一周角等分為6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作為角的度量單位的單位制叫做密位制．在角的密位制中，采用4個數(shù)碼表示角的大小，單位名稱密位二字可以省去不寫．密位的寫法是在百位數(shù)和十位數(shù)之間畫一條短線連接（不足100密位的角用0補(bǔ)全百位和十位），例如7密位寫成“”，2021密位寫成“”，1周角等于6000密位，記作“”．如果一個半徑為2的扇形的面積為，則其圓心角用密位制表示為（）A． B． C． D．答案B解析設(shè)扇形半徑為r，圓心角為，則扇形面積為，則，則其表示的密位為，即17-50.

故選：B§6.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式1．若，則（）A． B． C． D．答案:C解析：∵，∴.故選C.2.若，則（）A．1 B．2 C．3 D．4答案:C解析：,所以原式，故選C.4．（2021·貴州貴陽高三月考）若，則（）A． B． C． D．答案:B解析：，所以，或，所以1-2sin2a+.故選B5．（2021·合肥高三模擬）已知頂點在原點，始邊在x軸非負(fù)半軸的銳角繞原點逆時針轉(zhuǎn)后，終邊交單位圓于，則的值為（）答案：C解析：A．B． C． D．設(shè)銳角繞原點逆時針轉(zhuǎn)后得角，則，由為銳角，根據(jù)題意角終邊交單位圓于，則，則若，則.所以，與為銳角不符合.若，則.故選C.§6.3兩角的和（差）公式及其應(yīng)用1．若，且，則（）A． B． C． D．答案：A解析：因為，所以，又，所以，所以,故選A.2．平面直角坐標(biāo)系中，為第四象限角，角的終邊與單位圓交于，若，則（）A． B． C． D．答案：B解析：根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，，，又，所以.故選B.3．已知0＜α＜＜β＜π，tan＝，cos(β－α)＝.（1）求的值；（2）求β的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因為tan＝，所以＝sin＝2sincos＝＝＝＝.（2）因為0＜α＜，＝，所以＝又0＜α＜＜β＜π，所以0＜β－α＜π由cos(β－α)＝，得0＜β－α＜.所以sin(β－α)＝＝，所以＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)＋cos(β－α)＝×＋×＝＝.由＜β＜π，得β＝π.§6.4簡單的三角恒等變換1.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．的圖象關(guān)于點對稱B．在上的值域為C．若，則，D．將的圖象向右平移個單位得的圖象【答案】D【解析】，令，則，故，故A項錯誤；當(dāng)時，，，故B項錯誤；因為的周期，所以若，則，，故C項錯誤；將的圖象向右平移個單位得的圖象，故D項正確；故選D.§6.5三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)1．用“五點法”作的圖像時，首先描出的五個點的橫坐標(biāo)是（）A． B．C． D．答案B解析由五點作圖法，令，解得.故選B3.已知函數(shù)，判斷下列給出的四個命題，其中正確的命題有（）個.①的最小正周期為；②將函數(shù)的圖象向左平移個單位，將得到一個偶函數(shù)；③函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；④“函數(shù)取得最大值”的一個充分條件是“”A．0 B．1 C．2D．3答案D解析①最小正周期為；②的圖象向左平移個單位得到，所以為偶函數(shù)；③當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；④令，得到，并且，函數(shù)取得最大值”的一個充分條件是“”.所以正確的有3個.故選D.4．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，再將所得函數(shù)圖象上的所有點保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫胶瘮?shù)的圖象，若函數(shù)在上沒有零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．答案D解析，將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，可得再將所得函數(shù)圖象上的所有點保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫郊矗?，設(shè)且則，函數(shù)在上沒有零點，即在上上沒有零點.所以，解得，所以故選D.5．函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個極大值點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．答案A解析因為，所以函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個極大值點等價于函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個極大值點.若在上有且僅有一個極大值點，則，解得.故選A.6.已知函數(shù)，下列四個結(jié)論：①在上單調(diào)遞增；②在上最大值?最小值分別是，-2；③的一個對稱中心是；④在上恰有兩個不等實根的充要條件為.其中正確的結(jié)論編號為_________.【答案】②④【解析】，對于①，因為，所以，則在上有增有減，故①不正確；對于②，因為，所以，則的最大值為，最小值為，故②正確；對于③，令，得，所以的對稱中心為，故③不正確；對于④，令，則，，如圖所以，故④正確.故答案為：②④§6.6函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象與性質(zhì)1．為了得函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象（）A．向左平移個單位 B．向左平移單位C．向右平移個單位 D．向右平移個單位答案：A解析：不妨設(shè)函數(shù)的圖象沿橫軸所在直線平移個單位后得到函數(shù)的圖象．于是，函數(shù)平移個單位后得到函數(shù)，，即，所以有，，取，．故選A．2．將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，則a的值可以為（）A． B． C． D．答案：C解析：由題意知，，其圖象向左平移a個單位得到函數(shù)，而函數(shù)，所以有，取得.故選C.3．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，為了得到函數(shù)的圖象，只要把的圖象上所有的點（）A．向左平行移動個單位長度B．向右平行移動個單位長度C．向左平行移動個單位長度D．向右平行移動個單位長度答案：D解析：由圖可知，，所以，，故，，故，所以，，所以，為了得到函數(shù)的圖象，只要把的圖象上所有的點向右平移個單位長度.故選D.4.已知函數(shù)，定義域為的函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖象的交點為，則（）A． B． C． D．答案：A解析：由得的圖象關(guān)于對稱，因為，定義域為，且，所以為奇函數(shù)，即也關(guān)于對稱，則函數(shù)與圖象的交點關(guān)于對稱，則不妨設(shè)關(guān)于點對稱的坐標(biāo)為，則，則，即，故選A.§6.7正弦定理和余弦定理1．在△ABC中，若AB＝eq\r(13)，BC＝3，C＝120°，則AC等于()A．1B．2C．3D．4答案：A解析：設(shè)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則a＝3，c＝eq\r(13)，C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1或b＝－4(舍去)，即AC＝1.故選A.2．（2021·全國高三模擬）內(nèi)角的對邊分別為，若，且，則該三角形的面積為（）A．1 B．4 C．3 D．答案：C解析：因為，所以由正弦定理得，即，所以，因為，所以，所以△ABC的面積為，故選C.3.（2021·陜西寶雞高三一模）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，，△ABC的面積為，則b=（）A． B． C． D．答案：B解析：，，成等差數(shù)列，，平方得，△ABC的面積為，且，故由，得，，由余弦定理得，解得，又為邊長，，故選.5.如圖，有一段河流，河的一側(cè)是以O(shè)為圓心，半徑為10eq\r(3)m的扇形區(qū)域OCD，河的另一側(cè)是一段筆直的河岸l，岸邊有一煙囪AB(不計B離河岸的距離)，且OB的連線恰好與河岸l垂直，設(shè)OB與圓弧的交點為E．經(jīng)測量，扇形區(qū)域和河岸處于同一水平面，在點C，點O和點E處測得煙囪AB的仰角分別為45°，30°和60°．(1)求煙囪AB的高度；(2)如果要在CE間修一條直路，求CE的長．解析：(1)設(shè)AB的高度為h．在△CAB中，因為∠ACB＝45°，所以CB＝h．在△OAB中，因為∠AOB＝30°，∠AEB＝60°，所以O(shè)B＝eq\r(3)h，EB＝eq\f(\r(3),3)h．由題意得eq\r(3)h－