RLC-動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析

..動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)與題解

一、基本要求1．明確過渡過程的含義,電路中發(fā)生過渡過程的原因及其實(shí)。2．熟練掌握換路定律及電路中電壓和電流初始值的計(jì)算。3．能熟練地運(yùn)用經(jīng)典分析RC和RL電路接通或斷開直流電源時(shí)過渡過程中的電壓和電流。明確RC和RL電路放電和充電時(shí)的物理過程與過渡過程中電壓電流隨時(shí)間的規(guī)律。4．明確時(shí)間常數(shù)、零輸入與零狀態(tài)、暫態(tài)與穩(wěn)態(tài)、自由分量與強(qiáng)制分量的概念,電路過渡過程中的暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。5．熟練掌握直流激勵(lì)RC和RL一階電路過渡過程分析的三要素法。能分析含受控源一階電路的過渡過程。6．明確疊加定理在電路過渡過程分析中的應(yīng)用,完全響應(yīng)中零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的分解方式。掌握階躍函數(shù)和RC,RL電路階躍響應(yīng)的計(jì)算。7．明確RLC電路發(fā)生過渡過程的物理過程,掌握RLC串聯(lián)二階電路固有頻率的計(jì)算和固有響應(yīng)與固有頻率的關(guān)系,以及振蕩與非振蕩的概念。會(huì)建立RLC二階電路描述過渡過程特性的微分方程。明確初始條件與電路初始狀態(tài)的關(guān)系和微分方程的解法。會(huì)計(jì)算RLC串聯(lián)二階電路在斷開直流電源時(shí)過渡過程中的電壓和電流。了解它在接通直流電源時(shí)電壓和電流的計(jì)算方法。二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)電路中過渡過程的分析,是本課程的重要內(nèi)容。教學(xué)內(nèi)容可分如下四部分：1．過渡過程的概念；2．換路定律；3．典型電路中的過渡過程,包括RC和RL一階電路和RLC串聯(lián)二階電路過渡過程的分析；4．疊加定理在電路過渡過程分析中的應(yīng)用。著重討論電路過渡過程的概念,換路定律,RC和RL一階電路過渡過程中暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和時(shí)間常數(shù)的概念,計(jì)算一階電路過渡過程的三要素法,完全響應(yīng)是的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),階躍響應(yīng),以及RLC串聯(lián)二階電路過渡過程的分析方法?，F(xiàn)就教學(xué)內(nèi)容中的幾個(gè)問題分述如下?！惨?/p>

關(guān)于過渡過程的概念與換路定律1．

關(guān)于過渡過程的概念電路從一種穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)變到另一種穩(wěn)定狀態(tài)所經(jīng)歷的過程,稱為過渡過程。電路過渡過程中的電壓和電流,是隨時(shí)間從初始值按一定的規(guī)律過渡到最終的穩(wěn)態(tài)值。產(chǎn)生過渡過程的原因,是由于含有儲(chǔ)能元件〔電容C、電感L以及耦合電感元件的電路發(fā)生換路工作狀態(tài)突然改變時(shí)引起的。因此,"換路"是產(chǎn)生過渡過程的外因,而內(nèi)因是電路是含有儲(chǔ)能元件,其實(shí)質(zhì)是由于電路是儲(chǔ)能元件能量的釋放與儲(chǔ)存不能突變的緣故。電路是的過渡過程,就是換路后電路的能量轉(zhuǎn)換過程。所以,電路產(chǎn)生過渡過程的充分必要的條件是：含有儲(chǔ)能元件的電路,發(fā)生換路〔如t=0時(shí)刻換路之后,即t>0時(shí)儲(chǔ)能元件的能量必須發(fā)生神化,電路是才能產(chǎn)生能量轉(zhuǎn)換的過程.如果電路換路之后,儲(chǔ)能元件的能量不發(fā)生變化,意味著換路后立即到達(dá)穩(wěn)態(tài),電路就不發(fā)生五家渠市過程了。2．

換路定律若t=0時(shí)刻換路,t=0_表示換路前最后的瞬間,t=0表示換路后最初瞬間。電壓和電流的初始值就是t=0時(shí)的數(shù)值,用u<0>和表示。如果換路時(shí)刻電容電流和電感電壓都是有限值,則換路時(shí)刻電容電壓和電感電流不能躍變,即,,這就是換路定律。關(guān)于換路定律應(yīng)該明確的是：〔1適用于換路定律的電量,只有電容電壓和電感電流,其它電量是不適用換路定律的。因?yàn)殡娙蓦妷汉碗姼惺茈娏魇请娐返臓顟B(tài)變量,決定電路的儲(chǔ)能狀態(tài),即=,。因此,儲(chǔ)能不能躍變,必然是電容電壓和電感受電流不能躍變。而電路中的其它電量,如電容電流、電感電壓、電阻電壓和電流等,過都是非狀態(tài)變量,在換路時(shí)刻是可以躍變的?！?換路定律適用電路的條件是,換路時(shí)刻電路中的電容電流和電感電壓均為有限值,否則換路定律不能應(yīng)用。這是由電容和電感元件的基本性質(zhì)所決定的。即伏安特性為因t=0時(shí)刻電容電流為有限值,上式中的積分項(xiàng)為零。同理,因t=0時(shí)刻電感電壓為有限值,上式中的積分項(xiàng)為零。否則,如果換路時(shí)刻電容電流和電感電壓不是的限值,電容電壓和電感電流可能躍變。如圖4-1〔a所示電路,時(shí)刻開關(guān)K閉合,則,電容電壓發(fā)生強(qiáng)制躍變,必然換路時(shí)刻電容電流,為非有限值；又如圖4-1〔b所示電路,時(shí)刻進(jìn)行換路,輸入電感元件L,,電感電流發(fā)生強(qiáng)制躍變,必然換路時(shí)刻電感電壓為,為非有限值。由此可見,換路時(shí)刻電容電流和電感電壓為非有限值,則電容電壓和電感電流可能發(fā)生躍變,換路定律不能應(yīng)用。圖4-1電容電壓和電感電流的強(qiáng)制躍變3．初始值與電路我們所討論的RC和RL以及RLC電路都是適用換路定律的。這類電路換路后電路的初始值,對(duì)于電容電壓和電感電流而言,求出和后,便可按換路定律求出和電路時(shí),視為電壓源,視為電流源。4．穩(wěn)太值與穩(wěn)態(tài)電路過渡過程結(jié)束后,電路中的電壓和電流的最終值,就是新的穩(wěn)定狀態(tài)的數(shù)值,即穩(wěn)態(tài)值。穩(wěn)態(tài)值一般作出過渡過程結(jié)束后的穩(wěn)態(tài)電路來求出。如直流電源激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)電路,稱為直流穩(wěn)態(tài)電路,這時(shí)電路中電容相當(dāng)于開路,這時(shí)按相量法計(jì)算出穩(wěn)態(tài)值。5．電路過渡過程分析的目的與立法電路中過渡過程分析的目的,主要是研究過渡過程中電壓和電流的變化規(guī)律。它與動(dòng)態(tài)電路換路后的結(jié)構(gòu)和儲(chǔ)能元件的性質(zhì)、數(shù)目及初始儲(chǔ)能等有關(guān),由列出和求解描述電路動(dòng)態(tài)過程的微分方程的解來確定。電路過渡過程的分析方法,有經(jīng)典法和變換域分析法。經(jīng)典分析法是在時(shí)域以待支路的電壓或電流為變量,列出電路換路后的微分方程,并直接求解滿足初始條件微分方程的解答,得出時(shí)間函數(shù)的電壓電流,本章就是采用這種方法來分析過渡過程問題的,這換域分析法是應(yīng)用拉普拉斯變換方法來求解電路過渡過程中的電壓和電流,這種方法將在第十三章介紹?！捕P(guān)于RC和RL一階電路過程的分析1．典型RC和RL一階電路含有一個(gè)獨(dú)立儲(chǔ)能元件的電路,動(dòng)態(tài)特性是用一階微分方程來描述,稱為一階電路。如圖4-2〔a,〔b所示RC和RL串聯(lián)電路是典型的一階電路。其它的一階電路,可以應(yīng)用戴維南定理等效化簡為典型的一階電路。2．直流RC和RL一階電路的微分方程如果RC和RL電路的激勵(lì)源是直流電源,稱為直流一階電路。為了分析RC和RL一階電路過渡過程中電壓和電流的變化規(guī)律,需根據(jù)KVL,KCL和元件VAR列出時(shí)電圖4-2典型RC和RL一階電路路的微分方程。如圖4-2<a>所示電路,,以為變量,時(shí)電路的微分方程為這是常系數(shù)線性非齊次一階微分方程。齊次微分方程是電路換路后過渡過程中的電容電壓隨時(shí)間變化的規(guī)律,就是滿足初始條件微分方程的解。又如圖12-2<b>所示RL電路,,以為變量,時(shí)電路的微分方程為這是常系數(shù)線性非齊次一階微分方程。齊次微分方程是電路換路后過渡過程中的電流隨時(shí)間變化的規(guī)律,就是滿足初始條件微分方程的解。電路的初始條件,由初始狀態(tài)來確定。3．過渡過程是的暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)〔1如圖12-2〔a所示RC電路,初始狀態(tài),且時(shí)的,是以為變量常系數(shù)一階非齊次方程的解,包含齊次微分方程的通解,和非齊次微分方程的特解。故微分方程的全解為根據(jù)初始條件,確定積分常數(shù)K。當(dāng)時(shí),則上式為故最后解出過渡過程中的電容電壓為上式等號(hào)右邊第一項(xiàng),按指數(shù)規(guī)律衰減,當(dāng)時(shí)為零,故稱為暫態(tài)響應(yīng),又稱自由分量；第二項(xiàng),是與激勵(lì)電源形式相同,而與時(shí)間無關(guān)的恒定值,當(dāng)時(shí),,故稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng),又稱為強(qiáng)制分量,由此可見,過渡過程中的電容電壓可以解為：暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)之和。在工程上,RC電路電容放電過程中的電容電壓為電容放電電壓是從初始值按指數(shù)規(guī)律衰減為零,就是指數(shù)規(guī)律衰減的因子。RC電路當(dāng)電容充電過程中的電容電壓為電容充電電壓是從零按指數(shù)規(guī)律上升到穩(wěn)態(tài)值就是從零按指數(shù)規(guī)律增長的因子。電路中的電流則根據(jù)電容零件的VAR得出,即〔2如圖12-2〔b所示RL電路,若初始狀態(tài),且。時(shí)的,是以為變量的非齊次微分方程滿足初始條件的解,即式中,是暫態(tài)響應(yīng)；是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。4．時(shí)間常數(shù)〔1在上述RC和RL電路過渡過程中和的暫態(tài)響應(yīng),含有衰減因子和,e是指數(shù)的分母RC和的量綱是時(shí)間,單位是秒,它們的數(shù)值決定于電路中的參數(shù)R,C和R、L均為常數(shù),故稱為時(shí)間常數(shù),用表示。對(duì)于圖12-2所示典型一階電路,RC電路,RL電路。對(duì)于非典型一階電路,時(shí)間常數(shù)中的R,戴維南等效電路的等效電阻?！?時(shí)間常數(shù)是一階微分方程的特征方程的負(fù)倒數(shù)。如圖12-2〔a所示電路微分方程的特征方程是故特征根為因此,時(shí)間常數(shù)特征根具有頻率的量綱,即秒。由電路的參數(shù)R,C確定,反映電路的固有性質(zhì),故稱為固有頻率?！?時(shí)間常數(shù)是決定電壓過渡過程中電壓和電流變化快慢的物理量。其值是過渡過程中暫態(tài)響應(yīng)衰減到初始值36.8%所需的時(shí)間。值越大,衰減就越慢,過渡過程就越長；反之,值越小,衰減就越快,則過渡過程就越短。從理論上講,要經(jīng)過無限長時(shí)間暫態(tài)響應(yīng)才能衰減為零,過渡過程才能結(jié)束。但是,在工程一般認(rèn)為經(jīng)過〔3~5的時(shí)間,暫態(tài)響應(yīng)已衰減趨于零,過渡過程便結(jié)束了?！?還應(yīng)指出,對(duì)于同一電路時(shí),電路中不同支路的電壓和電流暫態(tài)響應(yīng)衰減的時(shí)間常數(shù)都是相同的。換句話說,一個(gè)電路換路后只有一個(gè)時(shí)間常數(shù)。5．直流一階電路分析計(jì)算的三要素法由于直流一附上電路換路后在過渡過程中的電壓和電流,是從初始值按指數(shù)規(guī)律衰減到穩(wěn)態(tài)值,或者是從初始值按指數(shù)規(guī)律上升到穩(wěn)態(tài)值。而指數(shù)規(guī)律的變化又決定于時(shí)間常數(shù)。因此,過渡過程中的電壓和電流是隨時(shí)間的變化規(guī)律,由初始值、穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間常數(shù)所確定。只要計(jì)算出初始值、穩(wěn)態(tài)值和時(shí)間常數(shù),則過渡過程中的電壓和電流,便可直接由如下三要素公式得出,即上式中,是暫態(tài)響應(yīng),是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。上式所示三要素公式化,適用于直流激勵(lì)、有損耗一階電路,時(shí)刻換路,時(shí)電路的過渡過程分析。有損耗一階電路的戴維南等效電阻R是正值,特征根S是一個(gè)負(fù)數(shù),暫態(tài)響應(yīng)含負(fù)指數(shù),隨時(shí)間作衰減變化。三要素法是一階電路過渡過程分析的實(shí)用計(jì)算法,不必列出和求解電路的微分方程,只要直接計(jì)算出待求響應(yīng)變量的初始值、穩(wěn)態(tài)值和電路的時(shí)間常數(shù)即可,具有簡捷方便的優(yōu)點(diǎn)。因此,在工程實(shí)際中具有重要意義。6．關(guān)于正弦激勵(lì)一階電路過渡過程的分析計(jì)算步驟,與直流激勵(lì)一階電路分析方法相同。如圖12-2〔a所示RC電路,時(shí)刻換路,接入電源,是開關(guān)K閉合時(shí)刻電源電壓的相位角。經(jīng)典法分析計(jì)算的步驟如下：〔1時(shí)以電容電壓為變量的微分方程為〔2解微分方程：齊次方程的通解為非齊次微分方程的特解,就是穩(wěn)態(tài)響應(yīng),按時(shí)穩(wěn)態(tài)電路,用相量法求出。即正弦穩(wěn)態(tài)時(shí)RC串聯(lián)電路的電容電壓為式中：是穩(wěn)態(tài)電容電壓有效值；是RC串聯(lián)電路的阻抗角。解出穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為〔3過渡過程中電容電壓為=〔4確定積分常數(shù)K,若,當(dāng)時(shí)刻,上式為〔5最后解出過渡過程中的電容電壓為過渡過程中電容電壓的暫態(tài)響應(yīng),與開關(guān)K閉合的時(shí)刻有關(guān),由于正弦電源電壓接入電路初相角的數(shù)值,取決于開關(guān)閉合的時(shí)刻。當(dāng)不財(cái)?shù)臅r(shí)刻開關(guān)閉合時(shí),積分常數(shù)K的數(shù)值不同。如果當(dāng)〔時(shí)刻開關(guān)閉合,則積分常數(shù),暫態(tài)響應(yīng)為零,電路稱路后立即到達(dá)穩(wěn)態(tài)值,沒有過渡過程。如果當(dāng)或時(shí)刻開關(guān)K閉合,則積分常數(shù)為最大值,這時(shí)電容兩端可能出現(xiàn)過電壓。對(duì)于正弦電源接入RL電路的分析,按上述同樣的步驟進(jìn)行,可以得出與RC電路類似的結(jié)果,讀者自行總結(jié)。正弦電源激勵(lì)動(dòng)態(tài)電路過渡過程的分析是本章學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)?！踩P(guān)于零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)與完全響應(yīng)從現(xiàn)貨電路理念的觀點(diǎn),電路中不僅獨(dú)立電源是電路的激勵(lì),而且儲(chǔ)能元件的初始儲(chǔ)能,即初始狀態(tài)也是一種激勵(lì)。因?yàn)閺哪芰坑^點(diǎn)而言,獨(dú)立電源可以向電路提供電能,也可以從電路吸收電能；儲(chǔ)能元件亦有相似的效果,同樣可以向電路釋放電能,也可以從電路中吸收能量,儲(chǔ)存于電場或磁場中。然而應(yīng)明確,獨(dú)立電源和儲(chǔ)能元件是兩種不同性質(zhì)的元件,它們的伏安特性是完全不同的。因此,既然動(dòng)態(tài)電路的獨(dú)立電源和儲(chǔ)能形色倉皇的初始儲(chǔ)能都是電路的激勵(lì),那么旅游活動(dòng)可以應(yīng)用疊加定理來分析換路后電路中的電壓和電流。1．零輸入響應(yīng)輸入就是電路外加電源激勵(lì),零輸入就是外加電源激勵(lì)為零。電路反由儲(chǔ)能元件的初始狀態(tài)作用下的響應(yīng),稱為零輸入響應(yīng)。如圖4-2〔a所示RC電路,,則零輸入響應(yīng)為2．零狀態(tài)響應(yīng)電路在非零狀態(tài)下,由外加電源激勵(lì)下產(chǎn)生的響應(yīng)。稱為零狀態(tài)響應(yīng)。如圖4-2〔a所示RC電路,初始狀態(tài),則零狀態(tài)響應(yīng)為3．完全響應(yīng)電路在非零狀態(tài)下,由外加電源激勵(lì)和初始儲(chǔ)能共同作用下產(chǎn)生的響應(yīng),稱為完全響應(yīng)。如圖4-2〔a所示RC電路,且,則按疊加定理,完全響應(yīng)是零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和。即應(yīng)該指出,從概念上應(yīng)明確如下幾點(diǎn)：〔1零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),都不能與產(chǎn)生它的原因成正比,即零輸入響應(yīng)與儲(chǔ)能元件的初始狀態(tài)成正比,而零狀態(tài)響應(yīng)則與外加電源電壓成正比。但是,完全響應(yīng)則既不與儲(chǔ)能元件的初始狀態(tài)成正比,也不與外加電源激勵(lì)成正比?！?零輸入響應(yīng)不同于暫態(tài)響應(yīng),零狀態(tài)響應(yīng)不同于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。一般而言,完全響應(yīng)是的零輸入響應(yīng)包含在暫態(tài)響應(yīng)當(dāng)之中,零狀態(tài)響應(yīng)是自由分量和強(qiáng)制分量之和；而穩(wěn)態(tài)響應(yīng)則僅是強(qiáng)制分量,與外激勵(lì)電源的形式相同?！?完全響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和,總是存在的。而分解為暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)之和,則不總是存在的,因?yàn)樵谀承┣闆r下,暫態(tài)響應(yīng)可能為零?！?完全響應(yīng)的兩種分解方式,是從不同的角度描述電路中發(fā)生的過渡過程。從過渡的觀點(diǎn),暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的分解方式,是把換路后工作過程的層次描述的直觀明確；而從疊加的觀點(diǎn),零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的分解方式,是鬼魂激勵(lì)與響應(yīng)的因果關(guān)系表現(xiàn)得十分清楚。從電路理論的觀點(diǎn),電路零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分析,具有更普遍的意義?！?在工程上,如電容的放電過程中的電容電壓,運(yùn)行電機(jī)停機(jī)時(shí)激勵(lì)磁繞組滅磁過程中的繞組電流,都是零輸入響應(yīng)分析；又如零狀態(tài)電容的充電過程和投入電機(jī)運(yùn)行的磁繞組接入電源的升磁過程,都是零狀態(tài)響應(yīng)分析。因此,零輸入響應(yīng)分析和零狀態(tài)響應(yīng)分析,在實(shí)際工程中具有直接的實(shí)用意義。圖4-3階躍電源電壓RC電路系統(tǒng)〔四關(guān)于階躍函數(shù)與階躍響應(yīng)1．單位階躍函數(shù)的定義單位階躍函數(shù)的定義為單位延時(shí)階躍函數(shù)的定義為2．單位階躍函數(shù)的作用〔1用來表示時(shí)刻開關(guān)K閉合,直流電源接入動(dòng)態(tài)電路。如圖9-2〔a所示RC電路,可用圖12-3所示的由階躍電壓電源激勵(lì)的RC電路表示,代替了時(shí)刻K閉合將直流電源電壓接入RC電路的作用。〔2在時(shí)刻換路后過渡過程中的電壓和電流表達(dá)式,。表示了的作用。如圖4-2〔aRC電路時(shí)的電容電壓可以表示為或〔3用階躍函數(shù)表示矩形脈沖信號(hào),如圖4-4〔a的矩形脈沖電壓,可以用圖4-4〔b,〔c的階躍函數(shù)和延時(shí)階躍函數(shù)之和來表示,即=+圖4-4用階躍函數(shù)表示矩形脈沖=電壓波形圖3．單位階躍響應(yīng)的定義單位階躍響應(yīng)的定義為：零狀態(tài)電路在單位階躍函數(shù)電源激勵(lì)下的響應(yīng)。并用表示。RC電路的單位階躍響應(yīng)為單位延階躍時(shí)響應(yīng)為對(duì)于如圖4-3所示的RC電路的階躍響應(yīng)是如果電路的激勵(lì)是延時(shí)階躍函數(shù)時(shí),則RC電路的延時(shí)階躍響應(yīng)電容電壓為4．關(guān)于階躍函數(shù)激勵(lì)非零狀態(tài)電路的響應(yīng)應(yīng)用疊加定理,這時(shí)電路的完全響應(yīng)是零狀態(tài)響應(yīng),即階躍響應(yīng)和零輸入響應(yīng)之和。如圖4-3所示電路,,且。這時(shí)電路的階躍響應(yīng)為,零輸入響應(yīng)為。故電路的完全響應(yīng)電容電壓為+〔五關(guān)于RLC二階電路的分析方法由兩個(gè)獨(dú)立儲(chǔ)能元件組成的電路,其過渡過程的特征性用二階微分方程描述,故稱為二階電路。RLC串聯(lián)電路,是典型的二階電路。通過對(duì)它的分析來明確二階電路過渡過程的基本概念和分析方法,著重討論RLC串聯(lián)電路的放電過程,即電路的固有響應(yīng)也就是零輸入響應(yīng)。也介紹RLC串聯(lián)電路的充電過程,即零狀態(tài)響應(yīng)和完全響應(yīng)。1．電路的微分方程與初始條件如圖4-5所示RLC串聯(lián)二階電路,時(shí)以電容電壓為變量描述動(dòng)態(tài)過程特性的微分方程是圖4-5RLC串聯(lián)二階電路過渡過程中電容電壓隨時(shí)間變化的規(guī)律,就是微分方程的解。方程的求解,需有如下兩個(gè)初始條件：只要知道電路的兩個(gè)初始狀態(tài)和,按上式便可得出初始條件和。于是,RLC串聯(lián)電路的放電過程的,就是滿足上述初始條件齊次微分方程的解；充電過程的,就是滿足初始條件非齊次微分方程的解。2．電路的固有頻率與固有響應(yīng)電路的固有頻率,是二階微分方程的特征方程的根。即它是由電路本身R,L,C元件參數(shù)所確定,量綱是秒,反映電路本身的固有性質(zhì)。電路的固有響應(yīng)就是零輸入響應(yīng),是上述二階齊次微分方程的解。根據(jù)R,L,C元件參數(shù)的不同數(shù)值,固有頻率和固有響應(yīng),有如下四種形式?！?當(dāng)時(shí),固有頻率是兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)數(shù),即,。這時(shí)固有響應(yīng)是過阻尼放電過程,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為〔2當(dāng)時(shí),固有頻率是一對(duì)負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù),即,。這時(shí)固有頻率響應(yīng)是欠阻尼振蕩放電過程,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為〔3當(dāng)時(shí),固有頻率是兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)數(shù),即。這時(shí)固有響應(yīng)是臨界阻尼非振蕩放電過程。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為〔4當(dāng)時(shí),固有頻率是一對(duì)共軛虛數(shù),即,。這時(shí)固有響應(yīng)是無阻尼的電振蕩過程,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為已知電路中的兩個(gè)初始狀態(tài),便可得出兩個(gè)初始條件和,上述式中的積分常數(shù)和便可確定,放電過程中的響應(yīng)電容電壓便可解出。應(yīng)該指出,二階電路微分方程的初始條件和積分常數(shù)和的確定,是二階電路的分析計(jì)算中的難點(diǎn)。由以上分析可知,二階電路分析的基本步驟是：根據(jù)微分方程的特征方程計(jì)算出電路的固有頻率；根據(jù)固有頻率寫出固有響應(yīng)的表達(dá)式；根據(jù)電路的初始條件,確定求解方程計(jì)算積分常數(shù)和的初始條件和,并根據(jù)初始條件和固有響應(yīng)表達(dá)式確定積分常數(shù)和,便解出了放電過程中的響應(yīng)變量電容電壓。還應(yīng)指出,二階電路的固有頻率是"復(fù)頻率",即式中,是正實(shí)數(shù),它決定響應(yīng)的衰減特征,稱為衰減常數(shù)；是決定電路響應(yīng)衰減振蕩的特性,稱為阻尼角頻率。,是電路固有的振蕩角頻率,稱為諧振角頻率。上述計(jì)算固有頻率的關(guān)系式,是針對(duì)RLC串聯(lián)電路得出的。對(duì)于一般二階電路而言,微分方程為的特征方程為則電路的固有頻率是3．RLC串聯(lián)二階電路充電過程的分析方法當(dāng)外加直流激勵(lì)電壓源電壓時(shí),RLC串聯(lián)電路的充電過程,若電路初始儲(chǔ)能為零,就是零狀態(tài)響應(yīng)分析,若非零初始狀態(tài),則是完全響應(yīng)分析。二者是常系數(shù)二階非齊次微分方程的解,只是初始條件不同而已。它包括齊次微分方程的通解和非齊次微分方程的特解。齊次微分方程的形式與上述固有響應(yīng)的表達(dá)式相同；而非齊次微分方程的特解與激勵(lì)形式相同,由于微分方程中系數(shù)為1,故特解為。因此,RLC串聯(lián)電路充電過程電容電壓,根據(jù)R,L,C元件參數(shù)的不同有如下四種形式,即〔1當(dāng)時(shí),固有頻率是,。則〔2當(dāng)時(shí),固有頻率是,。則〔3當(dāng)時(shí),固有頻率是。則〔4當(dāng)時(shí),固有頻率,。則最后,根據(jù)初始條件和確定積分常數(shù)和,便解出響應(yīng)變量。4．關(guān)于振蕩與非振蕩的概念電路過渡過程的實(shí)質(zhì),就是能量的轉(zhuǎn)換過程。這種能量轉(zhuǎn)換的過程,由電路的兩個(gè)初始狀態(tài),和電路結(jié)構(gòu)及元件參數(shù)來確定。在無電源RLC串聯(lián)電路的放電過程中,電容和電感在初始時(shí)刻可能存在數(shù)值不同的電場能量和磁場能量,或者它們之一有儲(chǔ)能,另一無儲(chǔ)能。在過渡過程中電阻元件R總是消耗能量的,電容元件和電感元件是要釋放出原有儲(chǔ)能提供給電阻元件,轉(zhuǎn)換為熱能的。在這過程中,可能是電容與電感同是釋放出能量提供電阻元件消耗,形成非振蕩的放電過程；也可能出現(xiàn)電場能量與磁場能量的交換,形成振蕩放電過程,這將決定于電路元件的參數(shù)。如果RLC串聯(lián)電路的電阻元件R是數(shù)值較小,即時(shí),電阻元件消耗功率較小,按能量守恒原理,在放電開始一段時(shí)間內(nèi),某一儲(chǔ)能元件,如電容元件釋放出的電場能量,一部分為電阻R所消耗,另一部分為電感元件所吸收,儲(chǔ)存在磁場中,使磁場能量增加到某一最大值,而電容中的電場能量逐漸減少至零值；繼之另一段時(shí)間內(nèi),電感元件釋放出磁場能量,一部分為電阻R所消耗,另一部分為電容進(jìn)行反充電,不斷增加電場能量達(dá)到某一最大值,而電感元件中的磁場能量減少至零值。而后重復(fù)上述過程,往復(fù)循環(huán)進(jìn)行電容與電感元件之間的能量交換,形成電磁振蕩。由于電阻元件不斷的消耗功率,使電容與電感之間能量交換的規(guī)模不斷減少,直至儲(chǔ)能全部為電阻所消耗,過渡過程便結(jié)束,形成欠阻尼放電過程。要維持等幅振蕩,就要不斷補(bǔ)充電磁振蕩過程中的能量消耗,這就是電子振蕩器的基本原理。如果RLC串聯(lián)電路電阻R的數(shù)值較大,即時(shí),由于電阻元件消耗功率較大,根據(jù)能量守恒原理,這時(shí)電容和電感元件均不斷同時(shí)釋放儲(chǔ)能,提供給電阻R消耗,直至全部儲(chǔ)能為電阻元件所消耗,過渡過程便結(jié)束,形成非振蕩性的阻尼放電過程。這應(yīng)指出,如果二階電路的兩個(gè)獨(dú)立儲(chǔ)能元件的性質(zhì)相同的元件時(shí),在放電過程中,不存在電場能量與磁場能量的交換,不可能出現(xiàn)電磁振蕩,過渡過程只能是非振蕩性的放電過程。本章學(xué)習(xí)內(nèi)容的重點(diǎn)是直流一階電路的分析,特別是要明確RC和RL電路放電和充電過程中電壓和電流隨時(shí)間變化的規(guī)律,暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)、零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)和時(shí)間常數(shù)的概念,熟練掌握直流一階電路分析的三要素法。對(duì)于RLC二階電路,著重固有頻率與固有響應(yīng)的關(guān)系的掌握。三、解題指導(dǎo)〔一例題分析[例4-1]應(yīng)用經(jīng)典法求解一階電路過渡過程的分析計(jì)算。如圖4-6〔a所示電路,時(shí)刻進(jìn)行換路,開關(guān)K觸頭從a合于b,換路前電路處于穩(wěn)態(tài),試列出以為變量,時(shí)電路的微分方程；〔2求出時(shí)電流及其暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；〔3求出時(shí)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和完全響應(yīng)。解[解題思路]本題是用經(jīng)典法分析RL一階電路過渡過程的計(jì)算。由于所給出的電路是典型RL電路,故分析時(shí)應(yīng)將時(shí)電路應(yīng)用戴維南定理化簡為典型的RL串聯(lián)一階電路,從而方便地列出電路的微分方程。初始狀態(tài),亦即初始條件的計(jì)算,由于換路前電路處于直流穩(wěn)態(tài),則應(yīng)作出電路計(jì)算得出。按時(shí)等效電路便可列出以為變量電路的微分方程,便可分別解出電路的暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng),和零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)并得出完全響應(yīng)。[解題方法]〔1計(jì)算,作出電路如圖12-6〔b所示。則按分流關(guān)系計(jì)算得出A〔2應(yīng)用戴維南定理化簡時(shí)的圖4-6〔c電路為如圖4-6〔c所示等效電路。其中V〔3按圖4-6〔d所示等效電路,列出時(shí),以為變量的微分方程為〔4時(shí)的計(jì)算。求解上式所示微分方程,其通解為電路等效電路圖4-6例12-1電路圖特解為故得出全解的表達(dá)式為確定積分常數(shù)K。當(dāng)時(shí)刻,上式為解出過渡過程中的電流為=A其中,暫態(tài)響應(yīng)為A,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為A。〔5零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和完全響應(yīng)零輸入響應(yīng)為A零狀態(tài)響應(yīng)為A故完全響應(yīng)為+=+A[例12-2]應(yīng)用三要素法求含受控源一會(huì)電路的過渡超過程.如圖4-7<a>所示電路,時(shí)刻開關(guān)K閉合,換路前電路處于穩(wěn)態(tài),V。試用三要素法計(jì)算時(shí)電路中的電流和電壓。解[解題思路]本題是一含受控源RC一階電路的分析計(jì)算,應(yīng)用三要素法解題,分別計(jì)算出初始值,,穩(wěn)態(tài)值,和時(shí)電路的時(shí)間常數(shù)后,按三要素公式進(jìn)行計(jì)算便可得出結(jié)果。

電路圖電路電路圖4-7例12-2電路圖[解題方法]〔1計(jì)算初始值和根據(jù)換路定律得出=V作電路,如圖4-7〔b所示。應(yīng)用網(wǎng)孔分析法,選定繞行方向?yàn)轫槙r(shí)針方向,列出網(wǎng)孔方程分別為①②應(yīng)用克拉姆法則解上述網(wǎng)孔方程組得出A〔2計(jì)算穩(wěn)態(tài)值和作出電路,如圖4-7〔c所示,列回路KVL方程為得出AV〔3計(jì)算時(shí)電路的時(shí)間常數(shù)先求電容元件C斷開后電路的戴維南等效電阻。求電路如圖4-7〔d所示,是含受控源電路,應(yīng)用伏安關(guān)系,端口外加電壓源電壓為,產(chǎn)生輸入電流為。列KVL方程為故時(shí)間常數(shù)為s<4>按三要素公式計(jì)算和VA<二>部分練習(xí)題解答練習(xí)題4-3如圖<a>所示電路,t=0時(shí)刻開關(guān)K打開,換路前電路處于穩(wěn)態(tài)。試求換路后的初始值<a><b>練習(xí)題12-3的圖解<1>計(jì)算由于換路前電路處于穩(wěn)態(tài),則故按換路定律得出<2>計(jì)算作電路,如圖<b>所示。則有練習(xí)題4-5在RC電路電容放電過程中,,要求在放電開始后0.8秒內(nèi)放電過程基本結(jié)束。問放電回路中電阻R是多少？解若經(jīng)過時(shí)間放電過程基本結(jié)束,則因,則有練習(xí)題4-8如圖所示電路,t=0時(shí)刻開關(guān)K閉合,開關(guān)閉合前電路處于未充電。問開關(guān)閉合后經(jīng)1ms時(shí)間的電容電壓是多少？

練習(xí)題4-8的圖

解<1>當(dāng)電容元件斷開后電路的戴維南等效電路：<2>計(jì)算電路的時(shí)間常數(shù)：<3>電容的充電電壓為t≥0<4>當(dāng)時(shí),電容電壓為練習(xí)題4-9如圖所示電路,當(dāng)t=0時(shí)刻開關(guān)閉合,換路前電路處于穩(wěn)態(tài)。求t≥0時(shí)電感電流<t>和電壓<t>和<t>。練習(xí)題4-9圖解<1>=<2>===<3>=t≥0==<>t≥0=3t≥0練習(xí)題4-13如圖所示電路,當(dāng)t=0時(shí)刻開關(guān)閉合,開關(guān)閉合前電路處于穩(wěn)態(tài)。求t≥0時(shí)電流。解應(yīng)用疊加定理解題。<1>2電流源作用于電路時(shí),因換路前電流源已作用于電路,且已處于穩(wěn)態(tài),故=2t≥0練習(xí)題4-13圖

<2>10V電壓源單獨(dú)作用于零狀態(tài)電路時(shí),t≥0電路中的電感電流為

<1>t≥0<3>進(jìn)行疊加得出電感電流為=+=+t≥0練習(xí)題4-21如圖<a>所示電路。,輸入如圖<b>所示波形電流求完全響應(yīng)。練習(xí)題4-21圖

解<1>求階躍響應(yīng),即零狀態(tài)響應(yīng)電流用延時(shí)階躍函數(shù)表示為=9<t-2>-9<t-4>當(dāng)9<t-2>電流作用時(shí)的階躍響應(yīng)為[1-]=3[]·<t-2>當(dāng)-9<t-4>電流作用時(shí)的階躍響應(yīng)為[]=[]·<>故階躍響應(yīng)為=3[]·<t-2>[]·<><2>零輸入響應(yīng)在初始狀態(tài)=2作用電路的響應(yīng)為==2<3>完全響應(yīng)為=+=3[]·<t-2>-3[]·<t-4>+2·練習(xí)題4-29如圖所示電路。當(dāng)t=0時(shí)刻開關(guān)K閉合,電路進(jìn)行充電,開關(guān)閉合前電路中無儲(chǔ)能。求t≥0時(shí)和.

練習(xí)題4-29圖

解<1>計(jì)算電路的固有頻率Hz<2>齊次微分方程的通解為非齊次微分方程的特解為完全解為+=6+<3>確定積分常數(shù)K1和K2初始狀態(tài)：=0,=0初始條件：=0當(dāng)t=0時(shí)刻,有=6+=0=-6對(duì)式<t>求導(dǎo)并取t=0值為故解出響應(yīng)電容電壓為<4>求響應(yīng)電流<t>本題解題中應(yīng)用的三角函數(shù)公式有：<三>部分習(xí)題解答

3.如圖4-86所示電路,時(shí)刻換路,開關(guān)觸頭離a閉合與b,換路前電路處于穩(wěn)態(tài)。<1>列出t≥0時(shí)以為變量的微分方程；<2>求t≥0時(shí)和；<3>計(jì)算出,和時(shí)刻電容中的儲(chǔ)能。解<1>t≥0時(shí)電路的微分方程為t≥0時(shí)響應(yīng)和t≥0t≥0<3>計(jì)算各時(shí)刻的儲(chǔ)能t=0時(shí)刻：t=5ms時(shí)刻：t=10ms時(shí)刻：t=20ms時(shí)刻：8.如圖4-89所示電路,時(shí)刻開關(guān)K打開,開關(guān)動(dòng)作前電路處于穩(wěn)態(tài),求≥0時(shí)以為變量的微分方程；<2>求t≥0時(shí)；<3>計(jì)算出時(shí)刻電感中的磁場能量。解<1>t≥0時(shí)電路的微分方程為<2>t≥0時(shí)的電流為由于換路前電路處于穩(wěn)態(tài),則有故得出t≥0<3>計(jì)算各時(shí)刻的儲(chǔ)能t=0ms時(shí)刻：t=0.2ms時(shí)刻：t=0.5ms時(shí)刻：t=1ms時(shí)刻：12.一個(gè)電感線圈被短接后,經(jīng)過1秒時(shí)間,電感中的電流衰減初始值的36.8﹪。如果經(jīng)過10電阻串聯(lián)短接時(shí),則經(jīng)過0.5秒后電感中的電流衰減初始值的36.8﹪。問線圈的電阻R是多少歐姆？解<1>線圈被短接后,經(jīng)過1秒電感電流減到初始值的36.8﹪,即為1的時(shí)間。故此時(shí)電路的時(shí)間常數(shù),即<2>經(jīng)過電阻串聯(lián)短接時(shí),則經(jīng)過0.5秒后電感中的電流衰減初始值的36.8﹪,即為1的時(shí)間。故此時(shí)電路的時(shí)間常數(shù),即<3>由上兩式可知故13.圖所示是直流單臂電橋原理圖,用來測量電感線圈的直流電阻。已知當(dāng)電橋平