概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)

隨機(jī)試驗(yàn)(三條件)基本事件樣本空間隨機(jī)事件對(duì)立事件互斥事件事件式(事件和運(yùn)算符號(hào))古典概型(兩條件有限+等可能)幾何概型(點(diǎn)對(duì)應(yīng)子區(qū)域?qū)?yīng))條件不充分原理：對(duì)于任意兩個(gè)事件若沒(méi)有充分的理由來(lái)證明其中一個(gè)事件的概率會(huì)大于另一個(gè)事件的概率，那么可認(rèn)為這兩個(gè)事件的概率相同。頻率三性質(zhì)(0?11互斥求和)n很大統(tǒng)計(jì)概率概率(非負(fù)性規(guī)范性_1可列可加性—無(wú)窮)加法定理fl‘f i=i 】琢心片 wycg…"RAlTQ,P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)有包含關(guān)系才能直接減條件概率(非負(fù)性規(guī)范性可列可加性)乘法公式：P(AB)=P(B)P(AIB)…=FMJPCAzIAy)P(As|&4)…P(A”IA】…Az)全概率公式：完備事件組(兩條件)P<A)=少(B『)P(A|B,)i=l常分(B和B非)Bayes（貝葉斯）公式:P（B,|人）=害冬土也^,1=1,2,…史P（0）P（A|BQj=L先驗(yàn)概率后驗(yàn)概率 也常分為（B和B非）P28例1.231.24A與B相互獨(dú)立 等價(jià)于P（AB）=P（A）P（B）三個(gè)事件中兩兩相互獨(dú)立不能說(shuō)明三個(gè)相互n重Bernoulli概型（獨(dú)立重復(fù)結(jié)果只有兩） 二項(xiàng)分布幾何分布概率公式：P（B）=（E—"'p§k=1,2,…，超幾何分布（不放回）：尸（A）=' 『A=。：1,…，rnin（z?,M}作業(yè)反饋P44 19（幾何概型）28全概率公式323334Bayes35串并聯(lián)可靠性（符號(hào)標(biāo)記后化簡(jiǎn)可以通所有情況的并）3740二項(xiàng)分布38.個(gè)人認(rèn)為五局三勝制可等價(jià)為三勝四勝五勝總結(jié)：做事件題時(shí)，請(qǐng)先設(shè)好標(biāo)記符A、B等隨機(jī)變量（樣本空間的單值實(shí)函數(shù)）分布函數(shù)（小于等于）注意寫(xiě)F（x）是分段函數(shù)x取值分段分布函數(shù)三性質(zhì)（單調(diào)性有界性右連續(xù)性） 小于是F（a-0）柯西分布TOC\o"1-5"\h\z7廣 'X?=—arctan g7TL ￡=離散型隨機(jī)變量（有限或可列無(wú)窮） 分布列（非負(fù)性規(guī)范性）離散型分布函數(shù)為階梯函數(shù)二項(xiàng)分布中最可能成功次數(shù)k類期望（nl）p—1<kW3+1）/>Poisson泊松定理 用于簡(jiǎn)化計(jì)算二項(xiàng)分布的概率值n大p小limC：尻（1—p.L*=^-e\… " '項(xiàng)?一凡p58用于求P（X<=m）泊松分布求和可查表（m+1到正無(wú)窮）例2.9Poisson泊松分布 （隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)流）PCX=fe） *=0,1,-JA>0 Xf⑴（泊松二項(xiàng)幾何等）都是離散型分布連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度函數(shù)（非負(fù)性規(guī)范性分布函數(shù)導(dǎo)數(shù)）連續(xù)型隨機(jī)變量取固定值的概率為零概率為零不代表一定不發(fā)生F（x）是由離散型和連續(xù)型的分布函數(shù)組合成的組合型分布函數(shù)[0, 工<0,F&）=v1—― 0 <2.L _r32.連續(xù)型隨機(jī)變量的常用分布均勻分布指數(shù)分布(常用于描述壽命)X~E(A)foL，x>0,心TiT'弋’Io, 2，工<o，正態(tài)分布(Gauss分布) o■越大越胖六工)=一，—8<女<+8,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布X?N(0，1)可進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化,、 1W ,(p\JCJ=—ei,—8<工V+8查表公式FCr)=中(三二離散型隨機(jī)變量函數(shù)簡(jiǎn)單求和連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)求概率密度函數(shù)方法：定義求FY(y)再求導(dǎo)(已知fX(x))注意范圍代換一般情況x=h(y)5單調(diào)否則求和m=u 其他，作業(yè)反饋(P86)：29已知f(x)求F(x)注意給x進(jìn)行分段處理50求隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度函數(shù)注意對(duì)Y的范圍進(jìn)行討論聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)=P(X<=x,Y<=y)四性質(zhì)(多一面積非0)二維隨機(jī)變量的邊緣分布玲(艾)=F(H,+oo)二維離散型隨機(jī)變量簡(jiǎn)單求和二維連續(xù)型隨機(jī)變量 (非負(fù)性規(guī)范性區(qū)域性偏導(dǎo)性)FG,y)=Ifv)dudvJ—gJ—OC求邊緣概率密度八G)=[ /(工.>)dyT(jf)=Z(-rIJ—B J—CXJ二維積分時(shí)先畫(huà)出積分區(qū)域注意分段分析二維正態(tài)分布的邊緣分布為一維正態(tài)分布(X,Y)?N頃1■cH；伊，p)二維離散變量的條件分布?叱Iaz、P(X="Y=?)Pa.i叮連續(xù)型隨機(jī)變量條件概率密度/xiY(^Iy)= N。,—8VWV+8條件分布條件是作為已知量注意范圍和分情況當(dāng)一r<^<+r時(shí),fxiY(x1fxiY(x1’)=雋31.2?y/rr^~~y0,—3<工<+ ,其他.X與Y相互獨(dú)立F(x,y)=FX(x)FY(y)f(x,y)=fX(x)fY(y)獨(dú)立性定理先拆分再歸一化二維正態(tài)分布中要使X和Y相互獨(dú)立，則p=0二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)分布簡(jiǎn)單求和二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)分布二維積分z作為已知量Z=X+Y的分布先求f(x,z-x)再畫(huà)x,z區(qū)域，再分段一維積分= f(工,￡—或者=[f(z—y3設(shè)線性函數(shù)aX+bY^-c,其中a、b,[為常數(shù)尹0,概率密度函數(shù)E)=擊￡>?，(或者=有匚/(—「，滬)或者直接畫(huà)(x,y)區(qū)域，對(duì)z進(jìn)行分類二維積分，再求導(dǎo)Z=X/Y的分布同上「十9—f(^yy)iyIdy.J—8自由度為2的卡方分布與參數(shù)為1/2的指數(shù)分布相同極值分布 前提：相互獨(dú)立 否則自己積分FmJ)=]1FQ)=1—U(I—F電(汾)作業(yè)反饋(P116)： 積分最重要先畫(huà)積分域5由f(x,y)求F(x,y)時(shí)也要注意分段6用極坐標(biāo)做圓域積分時(shí)注意雅克比r1819條件分布時(shí)注意分母>0 2932熟練運(yùn)用求fZ(z)方法數(shù)學(xué)期望(絕對(duì)收斂)p123例4.5連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E(X)=可(Q&J—?>隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 簡(jiǎn)單代入數(shù)學(xué)期望存在，絕對(duì)收斂E(1X1)<正無(wú)窮E(X+Y)=E(X)+E(Y)若獨(dú)立E(XY)=E(X)E(Y)隨機(jī)變量的方差D(X)數(shù)值上等于SnA2EX)FX廠* 等于成(正態(tài)分布)D(X)=EW)一[E(X)?DCcX)=//XX)若相互獨(dú)立，簡(jiǎn)單系數(shù)平方和Chebyshev不等式期望方差PUX-產(chǎn)|多)wg常用分布期望和方差分布分布律或密度函數(shù)期望方差超幾何分布H（n,M,N） — P(X=A)=華蟲(chóng),J0,],2,…,m1Mri——NM(.M\N—nnN帕斯卡<Pascal）分布P(X=￡}=Q_；〃(】一p)—,3=r，尸十1,…，0<P<1rPYE)pzPWP)rr均勾分布~、f1,，a<f（工）=任一fl〔0， 其他，a±b12指數(shù)分布""o, Y0，J_T1Z正志分布N（四&）§5)= e ，一g<r<8,727^—?</<<oo(CT>0產(chǎn)CT2協(xié)方差cov(X,Y)cov(X,Y)=E[(X-E(X))(y-E(Y))].相關(guān)系數(shù)_.cov(X,Y)PXY=~L /D<xy,/D(Y)cov(X,y)=E(XY)—E(X)E(Y),cov(XtY)=~￡D(X-Y)-D(X)-D(Y)]■-.''.?I；vWL 、E「Y)cov（x+yTZ）-cov（x,Z）+cov（y,Z）Cauchy-Schwarz（柯西-許瓦茲）不等式P144獨(dú)立則不相關(guān) 反之不然二維正態(tài)隨機(jī)變量X和Y不相關(guān)和相互獨(dú)立是等價(jià)的作業(yè)反饋（P149）：6下電梯22截木棒23證明題（均值不等式）24？ 30協(xié)方差矩陣36協(xié)方差應(yīng)用Chapter5大數(shù)定律和中心極限定理Bernoulli大數(shù)定律（頻率確定概率）依概率收斂（獨(dú)立同分布）limP（~~Pe）=0limP（但一p|<L\n / rr—a\n /若滿足以下條件，則服從大數(shù)定律Chebyshev大數(shù)定律D（X）有共同上界，則服從大數(shù)定律（互不相關(guān)）Markov（馬爾可夫）條件服從大數(shù)定律餉（支K）-0,（Hf8）Ni=lMarkov大數(shù)定律條件更弱沒(méi)有同分布獨(dú)立性不相關(guān)的假設(shè)中心極限定理和的分布收斂于正態(tài)分布（標(biāo)準(zhǔn)化）Lindeberg-Levy（林德貝格-勒維）中心極限定理Xi獨(dú)立同分布且方差存在，求和近似為正態(tài)分布P164例5.6DeMoivre-Laplace（棣莫弗-拉普拉斯）中心極限定理二項(xiàng)分布求和近似正態(tài)分布P165例5.75.8作業(yè)反饋：多用Markov條件證明服從大數(shù)定律中心極限定律：標(biāo)準(zhǔn)化后查止態(tài)分布表Chapter6數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本(個(gè)體與總體分布相同樣本中個(gè)體具有獨(dú)立性)統(tǒng)計(jì)量(不包含任何參數(shù))樣本原點(diǎn)矩樣本中心矩二階中心矩Sn人2樣本方差SA2一些常用公式sU字=-^-stft . n—1SnA2=D(X)=E(XA2)-E(X)A2 E(SA2)=D(X)SA2是SnA2無(wú)偏估計(jì)量修正分位點(diǎn)抽樣分布統(tǒng)計(jì)量的分布(無(wú)未知參數(shù))以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為基礎(chǔ)X~N-若則E(X’)=w,D3)=2n②t分布T~t(n)類正態(tài)分布設(shè)X?N(。*1). 且X與V相互獨(dú)立TX③F分布F?F(m,n)2 ?設(shè)u?x6),v?x3),且x與y相互獨(dú)立，則稱P_u/戒V/n](mn)=f⑶* 若F~F(根'71),則*~F3.m).6.X服從正態(tài)分布Y一nS：_（n-l）S2子n ?￡（汗-1）7 xs—】）$/右作業(yè)反饋（P192）：1516在一百Xi為正態(tài)分布時(shí) 可求Xi的線性組合的分布18多進(jìn)行如下拆分G-1）S，_“X,. 2興\，Chapter7參數(shù)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)法頻率替換法順序估計(jì)法（中位數(shù)代表均值極差代表方差）矩估計(jì)法（樣本矩依概率收斂于總體矩）計(jì)算總體矩->反解參數(shù)->用樣本矩代替總體矩最大似然估計(jì)法（概率最大的隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中最可能發(fā)生）計(jì)算L（0）->lnL（0）->對(duì)8求偏導(dǎo)得似然方程組->解方程組（若嚴(yán)格單調(diào)無(wú)解則可直接對(duì)取值范圍進(jìn)行估計(jì)）正態(tài)分布的最大似然估計(jì)量u=—習(xí)X]=X.S?=—習(xí)（X[—X）'=Sf.L77” 71E

估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)①無(wú)偏性（估計(jì)量的最基本要求）無(wú)偏估計(jì)量不唯用SA2代替SnA2作為方差的無(wú)偏估計(jì)量②有效性（在無(wú)偏的基礎(chǔ)上增加對(duì)方差的要求）條件：先無(wú)偏方差越小越有效最小Rao-Gramer不等式（離散連續(xù)）方差越小越有效最小Rao-Gramer不等式（離散連續(xù)）t￡r/ainp(x；C]一前一）J③一致性定義（依概率收斂）矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量均是一致估計(jì)量對(duì)于無(wú)偏估計(jì)量，若滿足下列條件，則為一致估計(jì)量lim=0區(qū)間估計(jì)法先保證可信度，再提高精度構(gòu)造樞軸量（只含待估參數(shù)分布確定且不依賴于別的未知參數(shù)）確定樞軸量->置信度看出概率->將樞軸量轉(zhuǎn)換成參數(shù)求解5.幾個(gè)重要的樞軸量已知方差，求均值的置信區(qū)間P(X—P(X—%*-~rV〃VX+方差未知，求均值T=——J —1)S/Vn(X—MM—1)—>X+頃(m—1)- VM已知均值，求方差￡(Xlkp( </V )—i“尸'洋心) x-5小7-1ff未知均值，求方差2_(n-DS2 Mtf「(孕廠葺)<-2<"二氣)=iV(n—1)X】-*3—1)/兩個(gè)正態(tài)分布組合情況見(jiàn)課本P219單側(cè)置信區(qū)間類雙側(cè)非正態(tài)總體均值的置信區(qū)間對(duì)于指數(shù)分布2nAX—x"(2n)當(dāng)n很大時(shí)V—U= ￡■的近似分布為N(0,1)S/4n作業(yè)反饋(P227)：12拆分15xA2=x(x-1)+xChapter8假設(shè)檢驗(yàn) P240檢驗(yàn)表統(tǒng)計(jì)假設(shè)（針對(duì)總體分布所作的假設(shè)）H0原假設(shè)H1備選假設(shè)參數(shù)假設(shè)（小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的）構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量->構(gòu)造拒絕域->代入數(shù)據(jù)（檢驗(yàn)觀察值是否落在拒絕域）兩類錯(cuò)誤例8.3第I類錯(cuò)誤：棄真 犯錯(cuò)概率P（拒絕Ho|H。為真）=P（