實(shí)數(shù)的概念和運(yùn)算(基礎(chǔ))知識(shí)講解

實(shí)數(shù)的概念和運(yùn)算（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】了解無(wú)理數(shù)和實(shí)數(shù)的意義；了解有理數(shù)的概念、運(yùn)算在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍適用.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、有理數(shù)與無(wú)理數(shù)有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都稱(chēng)為有理數(shù).無(wú)限不循環(huán)小數(shù)又叫無(wú)理數(shù).要點(diǎn)詮釋?zhuān)?）無(wú)理數(shù)的特征：無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無(wú)限.無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)不能表示成分?jǐn)?shù)的形式.（2）常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有三種形式：①含n類(lèi)?②看似循環(huán)而實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如:1.313113111 .③帶有根號(hào)的數(shù)，但根號(hào)下的數(shù)字開(kāi)方開(kāi)不盡,要點(diǎn)二、實(shí)數(shù)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù).實(shí)數(shù)的分類(lèi)"正有理數(shù)、有理數(shù)］零 ］有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)實(shí)數(shù)＜ 負(fù)有理數(shù)「正無(wú)理數(shù)〕無(wú)理數(shù).無(wú)中數(shù)I無(wú)限不循環(huán)小數(shù)［ ［負(fù)無(wú)理數(shù)J實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).數(shù)軸上的任何一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，反之任何一個(gè)實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng).要點(diǎn)三、實(shí)數(shù)大小的比較正實(shí)數(shù)大于0，負(fù)實(shí)數(shù)小于0.兩個(gè)正數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)較大；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)較小.從數(shù)軸上看，右邊的點(diǎn)所表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)所表示的數(shù)大.要點(diǎn)四、實(shí)數(shù)的運(yùn)算有理數(shù)關(guān)于相反數(shù)和絕對(duì)值的意義同樣適合于實(shí)數(shù).當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)以后，實(shí)數(shù)之間不僅可以進(jìn)行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）、乘方運(yùn)算，而且正數(shù)及0可以進(jìn)行開(kāi)平方運(yùn)算，任意一個(gè)實(shí)數(shù)可以進(jìn)行開(kāi)立方運(yùn)算.在進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算時(shí)，有理數(shù)的運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)等同樣適用.要點(diǎn)五、近似數(shù)及有效數(shù)字近似數(shù)：完全符合實(shí)際地表示一個(gè)量多少的數(shù)叫做準(zhǔn)確數(shù)；與準(zhǔn)確數(shù)達(dá)到一定接近程度的數(shù)叫做近似數(shù).精確度：近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度即近似程度.對(duì)近似程度的要求叫做精確度.要點(diǎn)詮釋?zhuān)壕_度有兩種形式：①精確到哪一位.②保留幾個(gè)有效數(shù)字.有效數(shù)字：從一個(gè)數(shù)的左邊第一個(gè)不為零的數(shù)字起，往右到末位數(shù)字為止的所有的數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字，如0.208的有效數(shù)字有三個(gè)：2，0，8．【典型例題】類(lèi)型一、實(shí)數(shù)概念a1、指出下列各數(shù)中的有理數(shù)和無(wú)理數(shù)：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"—22———2 —. —、迂, ,「-馬,3-8,39,0,-,1-巨5、瓦0.1010010001\o"CurrentDocument"7 3【思路點(diǎn)撥】對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)時(shí)，應(yīng)先對(duì)某些數(shù)進(jìn)行計(jì)算或化簡(jiǎn)，然后根據(jù)它的最后結(jié)果進(jìn)行分類(lèi)，不能僅看到根號(hào)表示的數(shù)就認(rèn)為是無(wú)理數(shù).n是無(wú)理數(shù)，化簡(jiǎn)后含n的代數(shù)式也是無(wú)理數(shù).\o"CurrentDocument"22 LL 2【答案與解析】有理數(shù)有〒，-\9380,-3，無(wú)理數(shù)有2,兀,39,1—卞2,5鶯'5,0.1010010001【總結(jié)升華】有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都稱(chēng)為有理數(shù).無(wú)限不循環(huán)小數(shù)又叫無(wú)理數(shù).常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有三種形式:①含兀類(lèi)?②看似循環(huán)而實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：0.1010010001…….③帶有根號(hào)的數(shù)，但根號(hào)下的數(shù)字開(kāi)方開(kāi)不盡，如如証，39，邁，1—邁.舉一反三：【變式】（2015春?聊城校級(jí)月考）在下列語(yǔ)句中：無(wú)理數(shù)的相反數(shù)是無(wú)理數(shù)；一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值一定是非負(fù)數(shù)；有理數(shù)比無(wú)理數(shù)?。粺o(wú)限小數(shù)不一定是無(wú)理數(shù).其中正確的是（ ）②③B.②③④C?①②④D?②④【答案】C;解：①因?yàn)閷?shí)數(shù)包括有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，無(wú)理數(shù)的相反數(shù)不可能式有理數(shù)，故本選項(xiàng)正確;一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值一定三0,故本選項(xiàng)正確；數(shù)的大小，和它是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)無(wú)關(guān)，故本選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，故本選項(xiàng)正確.類(lèi)型二、實(shí)數(shù)大小的比較【答案與解析】解：作商，得了5=''5.因?yàn)閞5>1，即彳5>1，所以才>0.5.【總結(jié)升華】根據(jù)若a，b均為正數(shù)，則由>1，纟=1，?<1”分別得到結(jié)論“a>b,a=b,a<b，”從而比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小.比較大小的方法有作差法和作商法等，根據(jù)具體情況選用適當(dāng)?shù)姆椒?舉一反三：【變式】比較大小TOC\o"1-5"\h\z-兀 -3.14 V7 <5 4 72 2忑 3近2 -39 0— — 3— — —-3—-価 I-4朽I—-（-7）【答案】V;>;V;V;V;>; <?a”3、2015棗莊）實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則下列式子中正確的是（ ） ■ ■ ? ? >a 0cxA、ac>bcB.Ia-bI=a-bC.-aV-bVcD.-a-c>-b-c【答案】D;【解析】解：???由圖可知，aVbVOVc,A、acVbc，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、 vaVb，「.a-bV0，???la-bl=b-a，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、 vaVbVO，-a>-b，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、 v-a>-b，c>0，-a-c>-b-c，故D選項(xiàng)正確.故選：D.【總結(jié)升華】本題考查的是實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟知數(shù)軸上各點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.類(lèi)型三、實(shí)數(shù)的運(yùn)算4、化簡(jiǎn):⑴22—1.41 ⑵IJ7—心7—411 ⑶11—事2i+&'2—j3i+i、廳一21【答案與解析】解：K-'2—1.4I=*2—1.4I〔7—Iu'7—411=lJ7—4+打 =2J7-4I1—\'2I+K;2—x.''3I+R.'3—2I=\:2—1+\：3-\:2+2-\-3=1.【總結(jié)升華】有理數(shù)關(guān)于相反數(shù)和絕對(duì)值的意義同樣適合于實(shí)數(shù)有理數(shù)的運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)等同樣適用.

5、若Ia—2I+fb—3+(c—4)2=0，貝ya—b+c=【思路點(diǎn)撥】由有限個(gè)非負(fù)數(shù)之和為零，則每個(gè)數(shù)都應(yīng)為零可得到方程中a，b，c的值.【答案】3；【解析】a=2解：由非負(fù)數(shù)性質(zhì)可知：＜即＜b=3，.: a—b+c=2—3+4=3.解：由非負(fù)數(shù)性質(zhì)可知：＜【總結(jié)升華】初中階段所學(xué)的非負(fù)數(shù)有|a|，a2,Ja，非負(fù)數(shù)的和為0,【總結(jié)升華】初中階段所學(xué)的非負(fù)數(shù)有|a|，a2,Ja，非負(fù)數(shù)的和為0,只能每個(gè)非負(fù)數(shù)分別為0.舉一反三:【變式】已知(X+16)2+Iy+31+、；'z-3二0，求pxyz的值.x=x=-16

解得＜y=-3?z=3x+16=0解：由已知得＜y+3=0,z-3=0.?.后=v;(-16)x(-3)x3=12.類(lèi)型四、近似數(shù)和有效數(shù)字6、下列各數(shù)有幾個(gè)有效數(shù)字，分別是什么？6、下列各數(shù)有幾個(gè)有效數(shù)字，分別是什么？(1)0.01020；(2)1.50萬(wàn)；(3)15000； (4)-2.30x104【答案與解析】解：由有效數(shù)字的定義可得:(1)0.01020有4個(gè)有效數(shù)字，分別為：1，0，2，0