實(shí)數(shù)-專(zhuān)題一、平方根、算數(shù)平方根

平方根、算數(shù)平方根一、引入:1.有人證明“任何兩數(shù)都相等”證法如下。你們看看問(wèn)題出在哪里:a2-2ab+b2=b2-2ab+a2(a-b)2=(b-a)2a-b=b-a2a=2ba=b若已知一個(gè)數(shù)的平方為下列各數(shù),你能把這個(gè)數(shù)的取值說(shuō)出來(lái)嗎?4125'°'4125'°'34'15'144'14丄69二、平方根定義：如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a,那么，這個(gè)數(shù)x就叫做a的平方根;也即，當(dāng)x2=a(a>0)時(shí)，我們稱(chēng)x是a的平方根，記做：x=±、瘍(a>0)。因此：1?當(dāng)a=0時(shí)，它的平方根只有一個(gè)，也就是0本身；2.當(dāng)a>0時(shí)，也就是a為正數(shù)時(shí)，它有兩個(gè)平方根，且它們是互為相反數(shù)，通常記做:x=+xa。當(dāng)aV0時(shí)，也即a為負(fù)數(shù)時(shí)，它不存在平方根。例1】因?yàn)? )2=144,所以144的平方根是 因?yàn)? )2=0.81，所以0.81的平方根是 TOC\o"1-5"\h\z(-2.345)2的平方根是 ，平方數(shù)是它本身的數(shù)是 ；平方數(shù)是它的相反數(shù)的數(shù) ；若Jx的平方根是±2,貝心= ；25 」在下列各數(shù)中0, ， -(-5)2,x2+2x+2，Ia—11，IaI-1,x/16有平方根的4個(gè)數(shù) 個(gè).(7)下列各式正確的是( ) _ _ _ _A、81=±9 b、|3.14—兀|二兀—3.14 c^;-27=-9訂 d、5-運(yùn)=y2(10)若a±0,則4a2的算術(shù)平方根是( )A、2a B、±2a C、例2】x2+2x+1的平方根為(A.沒(méi)有平方根 B.-—x2+x—1的平方根為(4A.±2(x-2) B.沒(méi)有平方根2a D、|2a|)±(x+1) C.0 D.1)C.0或沒(méi)有平方根D.0三、算術(shù)平方根：我們規(guī)定若一個(gè)正數(shù)X的平方等于a,即X2=a,貝y這個(gè)正數(shù)X就叫做a的算術(shù)平方根。記為“而”讀作“根號(hào)a”特別地，我們規(guī)定0的算術(shù)平方根是0,即J0=0。算術(shù)平方根的性質(zhì)：具有雙重非負(fù)性，即:亦>0a>0。一個(gè)正數(shù)有 個(gè)算術(shù)平方根，是 ；0有 個(gè)算術(shù)平方根，是TOC\o"1-5"\h\z；負(fù)數(shù) 。算術(shù)平方根與平方根的關(guān)系：算術(shù)平方根是平方根中正的一個(gè)值，它與它的相反數(shù)共同構(gòu)成了平方根。因此，算術(shù)平方根只有一個(gè)值，并且是非負(fù)數(shù)，它只表示為：丫萬(wàn)；而平方根具有兩個(gè)互為相反數(shù)的值，表示為：± 。例3.填空：(只討論非負(fù)的情況)⑴因?yàn)? 廠=36，所以36的算術(shù)平方根是 ，即「36= ；9 9 農(nóng)⑵因?yàn)? )2= ，所以W的算術(shù)平方根是 ，即= ；64 64 \64⑶因?yàn)? )2=0.81，所以0.81的算術(shù)平方根是 ，即= 【變式練習(xí)】1、 1.25的算術(shù)平方根是 ，平方根是 2、 選擇題(1)若x2二a，則( )A、x>0 B、x20 C、a>0 D、a三02)一個(gè)數(shù)若有兩個(gè)不同的平方根，貝這兩個(gè)平方根的和為()A、大于0B、等于0(3)A、大于0B、等于0(3)下列結(jié)果錯(cuò)誤的有(①■v(-2)2=±2；“I ^7③12~7的算術(shù)平方根是牙；42A.1個(gè) B.2個(gè))②心16的算術(shù)平方根是4；④(一兀)2的平方根是兀C.3個(gè) D.4個(gè)下列語(yǔ)句寫(xiě)成式子正確的是(_)A.7是49的算術(shù)平方根，即\：?jiǎn)?±7.B.C.±7是49的平方根，7是(-7)2的算術(shù)平方根，即f(-7B.C.±7是49的平方根，D.「7是7的算術(shù)平方根，即『7=7設(shè)a為有理數(shù)，判斷下列說(shuō)法是否正確TOC\o"1-5"\h\z如果a存在平方根，則a>0；( )如果a有兩個(gè)平方根，則a>0；( )如果a沒(méi)有平方根，則a<0；( )如果a>0，則a的平方根也大于0。( )下列說(shuō)法中正確的是().下列說(shuō)法中正確的是().A.若a<0，則\.；a2<0B.x是實(shí)數(shù)，且x2=a，則a>0C.2—X有意義時(shí)，x<0 D.0.1的平方根是±0.01—個(gè)數(shù)擴(kuò)大為原來(lái)的m倍，那么它的算術(shù)平方根().A.擴(kuò)大到m倍B.擴(kuò)大到m2倍 C.擴(kuò)大到\：m倍D.不變【例4】使得T—a2有意義的a有().A.0個(gè)B.1個(gè)C.無(wú)數(shù)個(gè)D.以上都不對(duì)TOC\o"1-5"\h\z若正數(shù)a的算術(shù)平方根比它本身大，則( )A、0〈a〈1 B、a>0 C、a<1 D、a>1當(dāng)x= 時(shí)，':3x一1有意義；當(dāng)x 時(shí)，％3—2x有意義；若、：x+—x有意義，則\：x+1— ；若px+1+Iy—21—0，則x+y= ；代數(shù)式—3-耳a+b的最大值為 ，這是a,b的關(guān)系是 【變式練習(xí)】1、若a〈0,【變式練習(xí)】1、若a〈0,則A、B、C、土2D、02、 一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2、 一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為a，面積為乩則()A、a是b的平方根 B、a是b的的算術(shù)平方根3、 若n<i'1O<n+1，m<— <m+1，其中m、4、 若y—\2x一1+C—2x一1，求xy的值。C、a=±、:bD、b=\：an為整數(shù)，則m+n— 5、x5、x+2求2x+y的值。6、已知、：'x—3+Jxy—6—0，求xy的平方根?！纠?】已知\2.36—1.536，>23.6—4.858①求、邁36和、0.00236的值；②若E=0.4858，求x的值;【變式練習(xí)】1、已知*3=L732，則耳300= ，一耳0.03= ，叫3.0X10-6=變式練習(xí)】求下列各式中x的值：(1)(X-1)2=9 (2)(2x+1)2—36=0 (3)TOO(x—1)2二(-4)3【例7】已知一個(gè)數(shù)的平方根是3a+1和a+11，這個(gè)數(shù)是 【變式練習(xí)】1.已知2m+2的平方根是土4，3m+n+1的平方根是土5，求5m+3n的值。2.已知一個(gè)正數(shù)的平方根是2a-1和a-5,求a的值?！纠?】已知：a、b、c分別為△ABC的二邊長(zhǎng)，b、c滿足b2-4b+4+、.：c—3=0,且a滿足方程(a—4)2=4.(1)求厶ABC的周長(zhǎng)；(2)判斷△ABC的形狀.【變式練習(xí)】1、對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a、b，定義一種新的運(yùn)算如下，a*b=： (a+b>0)，女口：3*2=<3+2=.'5，那么6*(5*4)=a一b 3一22、已矢口|x—2+(y—4)2+Jz+3=0，求xyz+段2的值。3、實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖，且1^=\b\，化|a|+|a+b\-J(c-a)—2心。ca0b

例9】實(shí)數(shù)例9】實(shí)數(shù)a,b,c滿足（2-a》+\，'a2—b+c+c+8—0,且ax2+bx+c—0，求代數(shù)式x2—2x+5的值。1. 【變式練習(xí)】1.已知5I3a-b-7|+i2a+b—3=0求(b+a)a的平方根。求x,y,z的值。2.已知2(；x+Jy—1+\：z—2x+y+z,求x,y,z的值。中考鏈接：1.（2006?宿遷）如圖，矩形內(nèi)兩相鄰正方形的面積分別是2和6,那么矩形內(nèi)陰影部分的面積 .（結(jié)果保留根號(hào)）■12

噓證：21|=噓證：21|=噓證：2||=驗(yàn)證:唱P-t23-2)-2-22-l〔3紹-3)-3—32-1驗(yàn)證；普154'4151)按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過(guò)程的基本思路，猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證；(2)針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，寫(xiě)出用n(n為任意自然數(shù)，且n>2表示的等式，并給出證明.思考^題：已知有理數(shù)a,b,x,y倆足y+wx-語(yǔ)卜1—a2，|x_3—y_1-b2，試求a,b,x,y的值。四、小結(jié)：關(guān)于開(kāi)平方：求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算叫做開(kāi)平方。其中a叫做被開(kāi)方數(shù)。開(kāi)平方運(yùn)算與平方運(yùn)算互為逆運(yùn)算；一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，且它們互為相反數(shù)；0有一個(gè)平方根，就是它本身；負(fù)數(shù)不能進(jìn)行開(kāi)平方運(yùn)算；開(kāi)平方的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)規(guī)律：如果被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，向右或向左每移