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2016年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試第4頁(yè),共14頁(yè)2016年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試(A卷)說(shuō)明:評(píng)閱試卷時(shí),請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn).填空題只設(shè)8分和0分兩檔;其他各題的評(píng)閱,請(qǐng)嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)分檔次給分,不要增加其他中間檔次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步驟正確,在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次給分,解答題中第9小題4分為一個(gè)檔次,第10、11小題5分一個(gè)檔次,不要增加其他中間檔次.一、填空題:本大題共8小題,每小題8分,共64分1.設(shè)實(shí)數(shù)滿足,則的取值范圍是2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,,其中是虛數(shù)單位,分別表示的共軛復(fù)數(shù),則的模為3.正實(shí)數(shù)均不等于1,若,,則的值為4.袋子A中裝有2張10元紙幣和3張1元紙幣,袋子B中裝有4張5元紙幣和3張1元紙幣.現(xiàn)隨機(jī)從兩個(gè)袋子中各取出兩張紙幣,則A中剩下的紙幣面值之和大于B中剩下的紙幣面值之和的概率為5.設(shè)P為一圓錐的頂點(diǎn),A,B,C是其底面圓周上的三點(diǎn),滿足=90°,M為AP的中點(diǎn).若AB=1,AC=2,,則二面角M—BC—A的大小為6.設(shè)函數(shù),其中是一個(gè)正整數(shù).若對(duì)任意實(shí)數(shù),均有,則的最小值為7.雙曲線C的方程為,左、右焦點(diǎn)分別為、,過(guò)點(diǎn)作直線與雙曲線C的右半支交于點(diǎn)P,Q,使得=90°,則的內(nèi)切圓半徑是8.設(shè)是1,2,…,100中的4個(gè)互不相同的數(shù),滿足則這樣的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)為二、解答題:本大題共3小題,共56分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.9.(本題滿分16分)在中,已知.求的最大值.10.(本題滿分20分)已知是R上的奇函數(shù),,且對(duì)任意,均有.求…的值.11.(本題滿分20分)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,F(xiàn)是軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).以F為焦點(diǎn),O為頂點(diǎn)作拋物線C.設(shè)P是第一象限內(nèi)C上的一點(diǎn),Q是軸負(fù)半軸上一點(diǎn),使得PQ為C的切線,且|PQ|=2.圓均與直線OP相切于點(diǎn)P,且均與軸相切.求點(diǎn)F的坐標(biāo),使圓與的面積之和取到最小值.2016年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試(A卷)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明:評(píng)閱試卷時(shí),請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn).填空題只設(shè)8分和0分兩檔;其他各題的評(píng)閱,請(qǐng)嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)分檔次給分,不要增加其他中間檔次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步驟正確,在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次給分,解答題中第9小題4分為一個(gè)檔次,第10、11小題5分一個(gè)檔次,不要增加其他中間檔次.一、填空題:本大題共8小題,每小題8分,共64分1.設(shè)實(shí)數(shù)滿足,則的取值范圍是答案:解:由可得,原不等式可變形為即,所以.又,故.2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,,其中是虛數(shù)單位,分別表示的共軛復(fù)數(shù),則的模為答案:解:由運(yùn)算性質(zhì),,因?yàn)榕c為實(shí)數(shù),,故,,又,所以,從而因此,的模為.3.正實(shí)數(shù)均不等于1,若,,則的值為答案:解:令,,則,,條件化為,,由此可得,因此.4.袋子A中裝有2張10元紙幣和3張1元紙幣,袋子B中裝有4張5元紙幣和3張1元紙幣.現(xiàn)隨機(jī)從兩個(gè)袋子中各取出兩張紙幣,則A中剩下的紙幣面值之和大于B中剩下的紙幣面值之和的概率為答案:解:一種取法符合要求,等價(jià)于從A中取走的兩張紙幣的總面值小于從B中取走的兩張紙幣的總面值,從而.故只能從A中國(guó)取走兩張1元紙幣,相應(yīng)的取法數(shù)為.又此時(shí),即從B中取走的兩張紙幣不能都是1元紙幣,相應(yīng)有種取法.因此,所求的概率為.5.設(shè)P為一圓錐的頂點(diǎn),A,B,C是其底面圓周上的三點(diǎn),滿足=90°,M為AP的中點(diǎn).若AB=1,AC=2,,則二面角M—BC—A的大小為答案:解:由=90°知,AC為底面圓的直徑.設(shè)底面中心為O,則平面ABC,易知,進(jìn)而.設(shè)H為M在底面上的射影,則H為AO的中點(diǎn).在底面中作于點(diǎn)K,則由三垂線定理知,從而為二面角M—BC—A的平面角.因,結(jié)合與平行知,,即,這樣.故二面角M—BC—A的大小為.6.設(shè)函數(shù),其中是一個(gè)正整數(shù).若對(duì)任意實(shí)數(shù),均有,則的最小值為答案:16解:由條件知,其中當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取到最大值.根據(jù)條件知,任意一個(gè)長(zhǎng)為1的開(kāi)區(qū)間至少包含一個(gè)最大值點(diǎn),從而,即.反之,當(dāng)時(shí),任意一個(gè)開(kāi)區(qū)間均包含的一個(gè)完整周期,此時(shí)成立.綜上可知,正整數(shù)的最小值為.7.雙曲線C的方程為,左、右焦點(diǎn)分別為、,過(guò)點(diǎn)作直線與雙曲線C的右半支交于點(diǎn)P,Q,使得=90°,則的內(nèi)切圓半徑是答案:解:由雙曲線的性質(zhì)知,,.因=90°,故,因此從而直角的內(nèi)切圓半徑是8.設(shè)是1,2,…,100中的4個(gè)互不相同的數(shù),滿足則這樣的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)為答案:40解:由柯西不等式知,,等號(hào)成立的充分必要條件是,即成等比數(shù)列.于是問(wèn)題等價(jià)于計(jì)算滿足…的等比數(shù)列的個(gè)數(shù).設(shè)等比數(shù)列的公比,且為有理數(shù).記,其中為互素的正整數(shù),且.先考慮的情況.此時(shí),注意到互素,故為正整數(shù).相應(yīng)地,分別等于,它們均為正整數(shù).這表明,對(duì)任意給定的,滿足條件并以為公比的等比數(shù)列的個(gè)數(shù),即為滿足不等式的正整數(shù)的個(gè)數(shù),即.由于,故僅需考慮這些情況,相應(yīng)的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為.當(dāng)時(shí),由對(duì)稱(chēng)性可知,亦有20個(gè)滿足條件的等比數(shù)列.綜上可知,共有40個(gè)滿足條件的有序數(shù)組.二、解答題:本大題共3小題,共56分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.9.(本題滿分16分)在中,已知.求的最大值.解:由數(shù)量積的定義及余弦定理知,.同理得,,.故已知條件化為即.………………8分由余弦定理及基本不等式,得所以.………………12分等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).因此的最大值是.……………16分10.(本題滿分20分)已知是R上的奇函數(shù),,且對(duì)任意,均有.求…的值.解:設(shè)=1,2,3,…),則.在中取,注意到,及為奇函數(shù).可知……5分即,從而.……10分因此……20分11.(本題滿分20分)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,F(xiàn)是軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).以F為焦點(diǎn),O為頂點(diǎn)作拋物線C.設(shè)P是第一象限內(nèi)C上的一點(diǎn),Q是軸負(fù)半軸上一點(diǎn),使得PQ為C的切線,且|PQ|=2.圓均與直線OP相切于點(diǎn)P,且均與軸相切.求點(diǎn)F的坐標(biāo),使圓與的面積之和取到最小值.解:設(shè)拋物線C的方程是,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,并設(shè)的圓心分別為.設(shè)直線PQ的方程為,將其與C的方程聯(lián)立,消去可知.因?yàn)镻Q與C相切于點(diǎn)P,所以上述方程的判別式為,解得.進(jìn)而可知,點(diǎn)P的坐標(biāo)為.于是.由|PQ|=2可得①……5分注意到OP與圓相切于點(diǎn)P,所以.設(shè)圓與軸分別相切于點(diǎn)M,N,則分別是的平分線,故=90°.從而由射影定理知結(jié)合①,就有②……10分由共線,可得.化簡(jiǎn)得③……15分令,則圓的面積之和為.根據(jù)題意,僅需考慮T取到最小值的情況.根據(jù)②、③可知,.作代換,由于,所以.于是.上式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng),此時(shí),因此結(jié)合①得,從而F的坐標(biāo)為.………20分2016年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試一、(本題滿分40分)設(shè)實(shí)數(shù)…滿足…。求…的最大值。解:令…,由已知得,對(duì)…,2015,均有。若,則?!?0分以下考慮的情況。約定。由平均不等式得………………20分所以?!?0分當(dāng)…時(shí),上述不等式等號(hào)成立,且有…,此時(shí)。綜上所述,所求最大值為。………………40分二、(本題滿分40分)如圖所示,在中,X,Y是直線BC上兩點(diǎn)(X,B,C,Y順次排列),使得。設(shè),的外心分別為,,直線與AB,AC分別交于點(diǎn)U,V。證明:是等腰三角形。證法一:作的內(nèi)角平分線交BC于點(diǎn)P,設(shè)三角形ACX和ABY的外接圓分別為和。由內(nèi)角平分線的性質(zhì)知,。由條件可得。從而即?!?0分故P對(duì)圓和的冪相等,所以P在和的根軸上?!?0分于是,這表明點(diǎn)U,V關(guān)于直線AP對(duì)稱(chēng),從而三角形AUV是等腰三角形。…………40分證法二:設(shè)的外心為O,連接,。過(guò)點(diǎn),分別作直線BC的垂線,垂足分別為,作于點(diǎn)K。我們證明。在直角三角形中,由外心性質(zhì),。又,故。而分別是BC,CX的中點(diǎn),所以。因此這里R是的外接圓半徑。同理。…………10分由已知條件可得,故?!?0分由于,所以90°。同理90°?!?0分又因?yàn)椋?,從而。這樣,即是等腰三角形。………………40分三、(本題滿分50分)給定空間中10個(gè)點(diǎn),其中任意四點(diǎn)不在一個(gè)平面上,將某些點(diǎn)之間用線段相連,若得到的圖形中沒(méi)有三角形也沒(méi)有空間四邊形,試確定所連線段數(shù)目的最大值。解:以這10個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn),所連線段為邊。得到一個(gè)10階簡(jiǎn)單圖G。我們證明G的邊數(shù)不超過(guò)15.設(shè)G的頂點(diǎn)為…,共有條邊,用表示頂點(diǎn)的度。若對(duì)…,10都成立,則假設(shè)存在滿足。不妨設(shè),且與…均相鄰。于是…之間沒(méi)有邊,否則就形成三角形,所以,…之間恰有條邊?!?0分對(duì)每個(gè),至多與…中的一個(gè)頂點(diǎn)相鄰(否則設(shè)與相鄰,則就對(duì)應(yīng)了一個(gè)空間四邊形的四個(gè)頂點(diǎn),這與題設(shè)條件矛盾。)從而…與…之間的邊數(shù)至多條?!?0分在…這個(gè)頂點(diǎn)之間,由于沒(méi)有三角形,由托蘭定理,至多條邊,因此G的邊數(shù)…………30分如圖給出的圖共有15條邊,且滿足要求。綜上所述,所求邊數(shù)的最大值為15.………5
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