同濟大學(高等數(shù)學)-第三篇-常微分方程

同濟大學(高等數(shù)學)_第三篇_常微分方程同濟大學(高等數(shù)學)_第三篇_常微分方程/NUMI）同樣的方法確定的系數(shù).綜上所述，我們有如下結論：二階常系數(shù)線性齊次微分方程有如下形式的特解其中是與同次（次）的多項式，而按不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的二重根，分別取0，1或2.例1求微分方程y5y6yxe2x的特解.解所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程且f(x)是Pm(x)ex型(其中Pm(x)x2).則與所給方程對應的齊次方程為y5y6y0，它的特征方程為r25r60.解得特征方程有兩個實根r12，r23.由于2是特征方程的單根，所以應設方程的特解為y*x(b0xb1)e2x，把它代入所給方程，得2b0x2b0b1x.比較兩端x同次冪的系數(shù)，得，2b01，2b0b10.由此求得，b11.于是求得所給方程的一個特解為.例2求微分方程的一個特解.解因為方程右端，屬于型，其中，且不是特征方程的根，所以可設特解為因而有，將代入原方程并整理，得比較兩端同次冪的系數(shù)，有解之得所以原方程的特解為.例3求微分方程的通解.解（1）先求對應齊次方程的通解因為特征方程有兩個相等的實根，所以對應齊次方程的通解為.（2）求非齊次方程的一個特解因為方程右端，屬于型，其中，，且是特征方程的二重根，故設特解為，因而有，，將代入原方程并整理，得，比較兩端同次冪的系數(shù)，得，于是特解為，所以原方程的通解為.型其中為常數(shù)，分別是的次，次多項式，并且其中有一個可以為零.我們可以推導出這種類型的二階常系數(shù)非齊次微分方程的特解的形式方程ypyqyex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]的特解形式應用歐拉公式可得ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]，其中，而mmax{ln}.設方程ypyqyP(x)e(i)x的特解為y1*xkQm(x)e(i)x，則必是方程的特解，其中k按i不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1.于是方程ypyqyex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]的特解為xkex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx].綜上所述，我們有如下結論：如果f(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]，則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程ypyqyf(x)的特解可設為y*xkex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx]，其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多項式，mmax{ln}，而k按i(或i)不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1.例4求微分方程的一個特解.解方程右端屬于型，其中，因為原方程對應的齊次方程的特征方程的根為，故不是特征方程的根，所以可設特解為，因而有，，將代入原方程并整理，得，比較兩端同次冪的系數(shù)，有，解之得，所以原方程的特解為.習題6-51．求方程下列微分方程的通解．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；；(8).2.求下列微分方程滿足初始條件下的特解：（1）；（2）；（3）；（4），.3．求下列微分方程的通解．（1）；（2）；（3）；（4）；(5)；(6).4.設函數(shù)滿足求.微分方程應用6.1經(jīng)濟應用如何用微分方程確定商品價格浮動的規(guī)律例1設某種商品的供給量與需求量是只依賴于價格的線性函數(shù)，并假設在時刻價格的變化率與這時的過剩需求量成正比.試確定這種商品的價格隨時間的變化規(guī)律.解設，（6-6-1），（6-6-2）其中，，，都是已知的正常數(shù).當供給量與需求量相等時，由（6-6-1）式與（6-6-2）式求出平衡價格為.當供給量小于需求量時，價格將上漲，這樣市場價格就隨時間的變化而圍繞平衡價格上下波動.因而我們設想價格是時間的函數(shù).由假定知道，的變化率與成正比，即，其中是正常數(shù).將（1）和（2）代入上式，得，（6-6-3）其中，都是正常數(shù).式是一階線性微分方程，其通解為如果初始價格，則（3）式的特解為，該式即為商品價格隨時間的變化規(guī)律.6.2工程應用建筑構件的冷卻時間如何計算？例2建筑構件開始的溫度為100℃，放在20℃的空氣中，開始的600s溫度下降到60℃.問從100解設物體的溫度為，冷卻系數(shù)，則該問題的方程,其初始條件為.方程中的負號是因為介質(zhì)溫度20℃<，物體放熱，是降溫過程，此時.該方程是可分離變量的微分方程，也是一階線性非齊次微分方程.其解為.又因為開始的600s下降到60℃，即，代入得.所以，當時，，解得.即2400s后，物體溫度下降到25℃.習題6-61．作直線運動的物體的速度與物體到原點的距離成正比，已知物體在10s時與原點相距100m，在20s時與原點相距200m,求物體的運動規(guī)律.2．試建立常微分方程，從微分方程的角度說明正確的減體重的方法.設每天的飲食可產(chǎn)生熱量,用于新陳代謝消耗熱量，活動消耗熱量體重，并且理想假定減重時產(chǎn)生的熱量主要由脂肪提供，每千克脂肪轉(zhuǎn)化的熱量為，記為體重，于是平衡方程為：.第7節(jié)MATLAB軟件的應用MATLAB中主要用dsolve來求解常微分方程的解析解，ode45,ode23,ode15s求解數(shù)值解，其中dsolve常用命令格式為：S=dsolve（‘方程1’,‘方程2’，...,‘初始條件1’,...,‘初始條件2’,...,ode45是最常用的求解微分方程數(shù)值解的命令，對于剛性方程組不宜采用，ode23與ode45類似，只是精度低一些，ode12s用來求解剛性方程組，是用格式同ode45.可以用helpdsolve,helpode45查閱有關這些命令的詳細信息.例1

求下列微分方程的解析解（1）；（2）；（3）.解（1）輸入命令：clear;s=dsolve('Dy=a*y+b')輸出結果：s=-b/a+exp(a*t)*C1（2）輸入命令：clear;s=dsolve('D2y=sin(2*x)-y','y(0)=0','Dy(0)=1','x')simplify(s)

%以最簡形式顯示s輸出結果：s=(-1/6*cos(3*x)-1/2*cos(x))*sin(x)+(-1/2*sin(x)+1/6*sin(3*x))*cos(x)+5/3*sin(x)ans=-2/3*sin(x)*cos(x)+5/3*sin(x)（3）輸入命令：clear;s=dsolve('Df=f+g','Dg=g-f','f(0)=1','g(0)=1')simplify(s.f)

%s是一個結構simplify(s.g)輸出結果：ans=exp(t)*cos(t)+exp(t)*sin(t)ans=-exp(t)*sin(t)+exp(t)*cos(t)例2求解微分方程先求解析解，再求數(shù)值解，并進行比較.解輸入命令：clear;s=dsolve('Dy=-y+t+1','y(0)=1','t')輸出結果：simplify(s)可得解析解為.下面再求其數(shù)值解，先編寫M文件fun1.m輸入命令：%M函數(shù)fun1.mfunctionf=fun1(t,y)f=-y+t+1;再用命令clear;close;t=0:0.1:1;y=t+exp(-t);plot(t,y);

%化解析解的圖形holdon;

%保留已經(jīng)畫好的圖形，如果下面再畫圖，兩個圖形和并在一起[t,y]=ode45('fun1',[0,1],1);plot(t,y,'ro');

%畫數(shù)值解圖形，用小圈畫xlabel('t'),ylabel('y')輸出結果：如圖6-7-1

圖6-7-1解析解與數(shù)值解總復習6（A）一、選擇題.1.微分方程的階數(shù)是（）．(A).1(B).2(C).3(D).52.是方程的()，其中，為任意常數(shù)．通解（B）特解（C）是方程所有的解（D）上述都不對3.微分方程，當時為（）．（A）.一階線性齊次微分方程（B）.一階線性非齊次微分方程（C.）伯努利方程（D）.一階非線性齊次微分方程4.下列微分方程中，()是二階常系數(shù)齊次線性微分方程．（A）．（B）．（C）．（D）．5.在整個數(shù)軸上線性無關的一組函數(shù)為（）.（A）.（B）.（C）.（D）.6.用待定系數(shù)法求方程的特解時，下列設法正確的是（）.（A）.（B）.（C）.（D）.二、填空題.1.若函數(shù)滿足方程及，則．若是一階線性非齊次方程的兩個不同解，則用這兩個解可把其通解表示為．3.已知和是齊次線性方程的兩個解，則．三、計算題1、解下列微分方程．（1）；（2）；（3）；（4）.（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.2．求下列微分方程的通解或特解．（1）求的一個特解；（2）求的通解.（3）求微分方程滿足條件的解．四、應用題已知一鏈條掛在一釘子上,啟動時一端離釘子8m,另一端離釘子12m,如不計釘子對鏈條所產(chǎn)生的摩擦力,求鏈條滑下來所需的時間.總復習6（B）選擇題1.（2011、數(shù)學二）微分方程的特解形式為（）．（A）（B）（C）（D）2.（2008、數(shù)學二）在下列微分方程中，以（為任意常數(shù)）為通解的是（）． 3.（2010、數(shù)學二）設是一階線性非齊次微分方程的兩個特解，若常數(shù)使是該方程的解，是該方程對應的齊次方程的解，則（）．（A）（B）（C）（D）4.（2006、數(shù)學二）函數(shù)滿足的一個微分方程是（）．（A） （B）（C） （D）5.（2004、數(shù)學二）微分方程的特解形式可設為（）．（A）.（B）.（C）.（D）填空題1.（2013、數(shù)學一）已知是某個二階常系數(shù)線性微分方程三個解，則該方程的通解__________．2.（2012、數(shù)學二）