歷年高考拋物線真題詳解理科

------------------------------------------------------------------------歷年高考拋物線真題詳解理科歷年高考拋物線真題詳解理科1.【2017課標(biāo)1，理10】已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為A．16 B．14 C．12 D．102.【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且=2,則直線OM的斜率的最大值為()（A）（B）（C）（D）13.【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且=2,則直線OM的斜率的最大值為()（A）（B）（C）（D）14.【2016高考新課標(biāo)1卷】以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A、B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D、E兩點(diǎn).已知|AB|=,|DE|=,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(A)2(B)4(C)6(D)85.【2015高考四川，理10】設(shè)直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)M，且M為線段AB的中點(diǎn).若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）6.【2015高考浙江，理5】如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)，，，其中點(diǎn)，在拋物線上，點(diǎn)在軸上，則與的面積之比是（）A.B.C.D.【2017課標(biāo)II，理16】已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)。若為的中點(diǎn)，則8.【2016高考天津理數(shù)】設(shè)拋物線，（t為參數(shù)，p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.過(guò)拋物線上一點(diǎn)A作l的垂線，垂足為B.設(shè)C（p,0），AF與BC相交于點(diǎn)E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面積為，則p的值為_(kāi)________.10.【2017北京，理18】已知拋物線C：y2=2px過(guò)點(diǎn)P（1，1）.過(guò)點(diǎn)（0，）作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn).（Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）求證：A為線段BM的中點(diǎn).11.【2016高考江蘇卷】（本小題滿分10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線，拋物線（1）若直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程；（2）已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn)P和Q.①求證：線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為；②求p的取值范圍.12.【2017浙江，21】（本題滿分15分）如圖，已知拋物線，點(diǎn)A，，拋物線上的點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q．（Ⅰ）求直線AP斜率的取值范圍；（Ⅱ）求的最大值．13.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】已知拋物線：的焦點(diǎn)為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn)．（I）若在線段上，是的中點(diǎn)，證明；（II）若的面積是的面積的兩倍，求中點(diǎn)的軌跡方程.1.【2017課標(biāo)1，理10】已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為A．16 B．14 C．12 D．10【答案】A【解析】試題分析：設(shè)，直線方程為聯(lián)立方程得∴同理直線與拋物線的交點(diǎn)滿足由拋物線定義可知當(dāng)且僅當(dāng)（或）時(shí)，取得等號(hào).【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)2.【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且=2,則直線OM的斜率的最大值為()（A）（B）（C）（D）1【答案】C【解析】試題分析：設(shè)（不妨設(shè)），則由已知得，，，，，故選C.考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用．3.【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且=2,則直線OM的斜率的最大值為()（A）（B）（C）（D）1【答案】C【解析】試題分析：設(shè)（不妨設(shè)），則由已知得，，，，，故選C.考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用．【名師點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，結(jié)合題意要求，利用拋物線的參數(shù)方程表示出拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法求出點(diǎn)的坐標(biāo)，是我們求點(diǎn)坐標(biāo)的常用方法，由于要求最大值，因此我們把斜率用參數(shù)表示出后，可根據(jù)表達(dá)式形式選用函數(shù)，或不等式的知識(shí)求出最值，本題采用基本不等式求出最值．4.【2016高考新課標(biāo)1卷】以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A、B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D、E兩點(diǎn).已知|AB|=,|DE|=,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B【解析】考點(diǎn)：拋物線的性質(zhì)?！久麕燑c(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的性質(zhì)及運(yùn)算,注意解析幾何問(wèn)題中最容易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤,所以解題時(shí)一定要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性與技巧性,基礎(chǔ)題失分過(guò)多是相當(dāng)一部分學(xué)生數(shù)學(xué)考不好的主要原因.5.【2015高考四川，理10】設(shè)直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)M，且M為線段AB的中點(diǎn).若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】顯然當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，必有兩條直線滿足題設(shè).當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為.設(shè)，則，相減得.由于，所以，即.圓心為，由得，所以，即點(diǎn)M必在直線上.將代入得.因?yàn)辄c(diǎn)M在圓上，所以.又（由于斜率不存在，故，所以不取等號(hào)），所以.選D.利用這個(gè)范圍即可得到r的取值范圍。6.【2015高考浙江，理5】如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)，，，其中點(diǎn)，在拋物線上，點(diǎn)在軸上，則與的面積之比是（）A.B.C.D.【答案】A.【解析】，故選A.【考點(diǎn)定位】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，屬于中檔題，解題時(shí)，需結(jié)合平面幾何中同高的三角形面積比等于底邊比這一性質(zhì)，結(jié)合拋物線的性質(zhì)：拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于其到焦點(diǎn)的距離求解，在平面幾何背景下考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，是高考中小題的熱點(diǎn)，在復(fù)習(xí)時(shí)不能遺漏相應(yīng)平面幾何知識(shí)的復(fù)習(xí).7.【2017課標(biāo)II，理16】已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)。若為的中點(diǎn)，則。【答案】6【解析】試題分析：點(diǎn)A，【考點(diǎn)】拋物線的定義；梯形中位線在解析幾何中的應(yīng)用。【名師點(diǎn)睛】拋物線的定義是解決拋物線問(wèn)題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化。如果問(wèn)題中涉及拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來(lái)，那么用拋物線定義就能解決問(wèn)題。因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦問(wèn)題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，這樣就可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。8.【2016高考天津理數(shù)】設(shè)拋物線，（t為參數(shù)，p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.過(guò)拋物線上一點(diǎn)A作l的垂線，垂足為B.設(shè)C（p,0），AF與BC相交于點(diǎn)E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面積為，則p的值為_(kāi)________.【答案】【解析】試題分析：拋物線的普通方程為，，，又，則，由拋物線的定義得，所以，則，由得，即，所以，，所以，．考點(diǎn)：拋物線定義【名師點(diǎn)睛】1.凡涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離時(shí)，一般運(yùn)用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理．2．若P(x0，y0)為拋物線y2＝2px(p＞0)上一點(diǎn)，由定義易得|PF|＝x0＋eq\f(p,2)；若過(guò)焦點(diǎn)的弦AB的端點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長(zhǎng)為|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出；若遇到其他標(biāo)準(zhǔn)方程，則焦半徑或焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可由數(shù)形結(jié)合的方法類似地得到．9.【2016高考浙江理數(shù)】若拋物線y2=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是_______．【答案】【解析】試題分析：考點(diǎn)：拋物線的定義．【思路點(diǎn)睛】當(dāng)題目中出現(xiàn)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時(shí)，一般會(huì)想到轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．解答本題時(shí)轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，進(jìn)而可得點(diǎn)到軸的距離．10.【2017北京，理18】已知拋物線C：y2=2px過(guò)點(diǎn)P（1，1）.過(guò)點(diǎn)（0，）作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn).（Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）求證：A為線段BM的中點(diǎn).【答案】（Ⅰ）方程為，拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），準(zhǔn)線方程為.（Ⅱ）詳見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（Ⅰ）代入點(diǎn)求得拋物線的方程，根據(jù)方程表示焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為（），與拋物線方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，直線ON的方程為，聯(lián)立求得點(diǎn)的坐標(biāo)，證明.試題解析：解：（Ⅰ）由拋物線C：過(guò)點(diǎn)P（1，1），得.所以拋物線C的方程為.拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），準(zhǔn)線方程為.，所以.故A為線段BM的中點(diǎn).【考點(diǎn)】1.拋物線方程；2.直線與拋物線的位置關(guān)系【名師點(diǎn)睛】本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)換與化歸能力，當(dāng)看到題目中出現(xiàn)直線與圓錐曲線時(shí)，不需要特殊技巧，只要聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，借助根與系數(shù)關(guān)系，找準(zhǔn)題設(shè)條件中突顯的或隱含的等量關(guān)系，把這種關(guān)系“翻譯”出來(lái)，有時(shí)不一定要把結(jié)果及時(shí)求出來(lái)，可能需要整體代換到后面的計(jì)算中去，從而減少計(jì)算量.11.【2016高考江蘇卷】（本小題滿分10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線，拋物線（1）若直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程；（2）已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn)P和Q.①求證：線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為；②求p的取值范圍.【答案】（1）（2）①詳見(jiàn)解析，②【解析】值范圍。（2）設(shè)，線段PQ的中點(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)P和Q關(guān)于直線對(duì)稱，所以直線垂直平分線段PQ,于是直線PQ的斜率為，則可設(shè)其方程為①由消去得因?yàn)镻和Q是拋物線C上的相異兩點(diǎn)，所以從而，化簡(jiǎn)得.方程（*）的兩根為，從而因?yàn)樵谥本€上，所以因此，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為②因?yàn)樵谥本€上所以，即由①知，于是，所以因此的取值范圍為考點(diǎn)：直線與拋物線位置關(guān)系12.【2017浙江，21】（本題滿分15分）如圖，已知拋物線，點(diǎn)A，，拋物線上的點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q．（Ⅰ）求直線AP斜率的取值范圍；（Ⅱ）求的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】試題分析：（Ⅰ）由兩點(diǎn)求斜率公式可得AP的斜率為，由，得AP斜率的取值范圍；（Ⅱ）聯(lián)立直線AP與BQ的方程，得Q的橫坐標(biāo)，進(jìn)而表達(dá)與的長(zhǎng)度，通過(guò)函數(shù)求解的最大值．試題解析：（Ⅰ）設(shè)直線AP的斜率為k，則，∵，∴直線AP斜率的取值范圍是．（Ⅱ）聯(lián)立直線AP與BQ的方程解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是，因?yàn)閨PA|==|PQ|=，所以|PA||PQ|=令，因?yàn)?，所以f(k)在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，因此當(dāng)k=時(shí)，取得最大值．的最大值。13.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】已知拋物線：的焦點(diǎn)為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn)．（I）若在線段上，是的中點(diǎn)，證明；（II）若的面積是的面積的兩倍，求中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）．【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)出與軸垂直的兩條直線，然后得出的坐標(biāo)，然后通過(guò)證明直線與直線的斜率相等即可證明結(jié)果了；（Ⅱ）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用面積可求得，設(shè)出的中點(diǎn)，根據(jù)與軸是否垂直分兩種情況結(jié)合求解．試題解析：由題設(shè).設(shè)，則，且.記過(guò)兩點(diǎn)的直線為，則的方程為......3分（Ⅰ）由于在線段上，故.記的斜率為，的斜率為，則，所以.......5分（Ⅱ）設(shè)與軸的交點(diǎn)為，則.由題設(shè)可得，所以（舍去），.設(shè)滿足條件的的中點(diǎn)為.當(dāng)與軸不垂直時(shí)，由可得.而，所以.當(dāng)與軸垂直時(shí)，與重合，所以，所求軌跡方程為.....12分考點(diǎn)：1、拋物線定義與幾何性質(zhì)；2、直線與拋物線位置關(guān)系；3、軌跡求法．與從動(dòng)點(diǎn)。14.【2015高考新課標(biāo)1，理20】在直角坐標(biāo)系中，曲線C：y=與直線(＞0)交與M,N兩點(diǎn)，（Ⅰ）當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；（Ⅱ）y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？說(shuō)明理由.【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）存在【解析】試題分析：（Ⅰ）先求出M,N的坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用設(shè)而不求思想即將代入曲線C的方程整理成關(guān)于的一元二次方程，設(shè)出M,N的坐標(biāo)和P點(diǎn)坐標(biāo)，