復(fù)合函數(shù)及隱函數(shù)求導(dǎo)

復(fù)合函數(shù)及隱函數(shù)求導(dǎo)第1頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月先復(fù)習(xí)一元函數(shù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則第2頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則這個(gè)復(fù)合過程，下面先對二元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)進(jìn)行討論可以形象的用一條鏈來描述：第3頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月定理1且下述復(fù)合過程可以形象的用一條鏈來描述：多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則簡言之即：“分道相加，連線相乘”第4頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月解第5頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月說明：簡單表示為1.第6頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月解第7頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月2.復(fù)合過程兩者的區(qū)別xf??為了區(qū)別將其改為可以形象的用一條鏈來描述：第8頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月例3解第9頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月定理1可推廣到中間變量和自變量多于兩個(gè)的情形3.復(fù)合過程形象的用一條鏈來描述：第10頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.解:第11頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月例4解第12頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)合過程形象的用一條鏈來描述：第13頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月解第14頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)合過程形象的用一條鏈來描述：第15頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月解第16頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月例7解第17頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月為簡便起見,引入記號例8

設(shè)

f

具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解:令則第18頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)題第19頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第20頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第21頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)題答案第22頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第23頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第24頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月二、隱函數(shù)求導(dǎo)法證明第25頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月若F(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),二階導(dǎo)數(shù):則還有第26頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月例1解第27頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月令則提示：練習(xí)第28頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月證明第29頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月由對稱性解第30頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)解第31頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月解令則第32頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.設(shè)解法1利用隱函數(shù)求導(dǎo)再對

x

求導(dǎo)第33頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月解法2利用公式設(shè)則兩邊對

x求偏導(dǎo)第34頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月三、多元復(fù)合函數(shù)的全微分設(shè)函數(shù)的全微分為可見無論u,v是自變量還是中間變量,

則復(fù)合函數(shù)都可微,其全微分表達(dá)

形式都一樣,這性質(zhì)叫做全微分形式不變性.第35頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.例1.利用全微分形式不變性解解:所以的全微分第36頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月隱函數(shù)的求導(dǎo)法則小結(jié)第37頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題第38頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題解答第39頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)題第40頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第41頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第42頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)題答案第43頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第44頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.由F、G的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式稱為F、G的雅可比行列式.以兩個(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例,即第45頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3.的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)則方程組③的單值連續(xù)函數(shù)且有偏導(dǎo)數(shù)公式:①在點(diǎn)②的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件滿足:導(dǎo)數(shù)；第46頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月定理證明略.僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式如下：(P85)第47頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月有隱函數(shù)組則兩邊對x求導(dǎo)得設(shè)方程組在點(diǎn)P