菲涅耳衍射與夫瑯禾費(fèi)衍射演示文稿

菲涅耳衍射與夫瑯禾費(fèi)衍射演示文稿目前一頁(yè)\總數(shù)二十六頁(yè)\編于十三點(diǎn)優(yōu)選菲涅耳衍射與夫瑯禾費(fèi)衍射目前二頁(yè)\總數(shù)二十六頁(yè)\編于十三點(diǎn)1.2直角坐標(biāo)系中的惠更斯—菲涅耳原理假設(shè)衍射孔徑處于平面內(nèi)，在正Z方向被照明。我們要計(jì)算平行于平面且與其法向距離為Z的平面上的波場(chǎng)。Z軸在這兩個(gè)平面的原點(diǎn)穿過(guò)。則惠更斯—菲涅耳原理可以表述為：而精確值為：，則：其中，距離為：在上式的推導(dǎo)中用到了兩個(gè)近似，一個(gè)是標(biāo)量理論所固有的，另一個(gè)是從孔徑到觀察點(diǎn)的距離比波長(zhǎng)大得多的假設(shè)，即。目前三頁(yè)\總數(shù)二十六頁(yè)\編于十三點(diǎn)衍射的幾何關(guān)系示意圖：1.3.屏幕的振幅透射比一個(gè)屏幕的振幅透射比定義為緊貼屏幕后的場(chǎng)的復(fù)振幅與入射到屏幕上的復(fù)振幅的比值。值的范圍為0~1。目前四頁(yè)\總數(shù)二十六頁(yè)\編于十三點(diǎn)2.菲涅耳近似考慮表示式，二項(xiàng)式可展開(kāi)為：其中，為了得到給定精度所需的項(xiàng)數(shù)取決于b的大小。由此將變換為：

由于棄去除Z以外各項(xiàng)所帶來(lái)的誤差一般很小，但是對(duì)于出現(xiàn)在指數(shù)中的，誤差就比較大，基于這個(gè)原因，在指數(shù)中保留二項(xiàng)式展開(kāi)的兩項(xiàng)。于是處的場(chǎng)的表示式變成：這是一個(gè)卷積，可表示為：

（1）

目前五頁(yè)\總數(shù)二十六頁(yè)\編于十三點(diǎn)卷積的核為如果將因子提到積分號(hào)外，可得到另外一種形式：

（2）

（2）式是除了一個(gè)相乘因子外，它是緊靠孔徑右方的復(fù)場(chǎng)與一個(gè)二次相位因子的乘積的傅立葉變換。我們把結(jié)果形式（1）和（2）都叫做菲涅耳衍射積分，當(dāng)這個(gè)近似成立時(shí)，我們就說(shuō)處于菲涅耳衍射區(qū)，或等效地是在孔徑的近場(chǎng)。菲涅耳衍射的作用相當(dāng)于一個(gè)空不變線性系統(tǒng)，必具有傳遞函數(shù)：我們近似的要點(diǎn)：把球面波的表示式換成二次相位指數(shù)函數(shù)。目前六頁(yè)\總數(shù)二十六頁(yè)\編于十三點(diǎn)在頻域中描述:（1）各個(gè)頻率分量傳遞的振幅為1（2）表示各個(gè)分量到達(dá)平面都有相同的延遲（3）各頻率分量不同，相位延遲不同，表示位相的色散（4）可看出菲衍可看作空間傳播的一種特殊情況。目前七頁(yè)\總數(shù)二十六頁(yè)\編于十三點(diǎn)

2.1.正相位or負(fù)相位相位符號(hào)不僅與二次相位指數(shù)函數(shù)有關(guān)，而且與考慮球面波的精確表示式及與光軸傳播的角度有關(guān)。因此，如果穿過(guò)空間的運(yùn)動(dòng)方式是截?fù)舨ǖ陌l(fā)射更晚的部分，那么相矢量將會(huì)在順時(shí)針?lè)较蛏嫌兴M(jìn)展，相位必定會(huì)變得更負(fù)。相反，如果在空間運(yùn)動(dòng)是截?fù)舨ǖ陌l(fā)射更早的部分，那么相矢量還沒(méi)有時(shí)間在順時(shí)針?lè)较蛏限D(zhuǎn)那么遠(yuǎn)，而相位必定變得更正。因此，遠(yuǎn)離遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí)相位必須在正向增加，會(huì)聚球面波時(shí)且Z仍為正，則相位減少。目前八頁(yè)\總數(shù)二十六頁(yè)\編于十三點(diǎn)

2.2.菲涅耳近似的精度菲涅耳近似的精度是由二項(xiàng)式棄去高于一次項(xiàng)的各項(xiàng)所引入誤差決定的。保證精度的充分條件是，棄去高次項(xiàng)所引進(jìn)的最大相位變化遠(yuǎn)小于1弧度。如果距離Z滿足：因而這個(gè)要求的觀察距離比較大。但是只要高次項(xiàng)不顯著改變菲涅耳衍射積分之值就行了，考慮上面卷積形式（2）式，如果對(duì)積分的主要貢獻(xiàn)來(lái)自的那些點(diǎn)，那么展開(kāi)式的高次項(xiàng)的具體值就不重要了，短得多的距離就可以得到很好的精度。 目前九頁(yè)\總數(shù)二十六頁(yè)\編于十三點(diǎn)

二次相位指數(shù)函數(shù)的積分如圖：

從圖可以看出，隨著X的增大，積分之值趨于其漸進(jìn)值1，之后圍繞1振蕩，但是漲落越來(lái)越小，因此，對(duì)這個(gè)函數(shù)與另一光滑而且緩變的函數(shù)的卷積的主要貢獻(xiàn)來(lái)自-2<X<2，因?yàn)樵诖朔秶獗环e函數(shù)快速振蕩，不會(huì)對(duì)總面積造成實(shí)質(zhì)的增加。目前十頁(yè)\總數(shù)二十六頁(yè)\編于十三點(diǎn)故有，對(duì)卷積積分的貢獻(xiàn)主要來(lái)自平面上的一個(gè)正方形，其中心在點(diǎn)，寬度為。隨著孔徑后的距離z的增大，這個(gè)正方形增大。當(dāng)這個(gè)正方形完全處于孔徑的敞開(kāi)部分之內(nèi)時(shí)，在距離z處觀察到的場(chǎng)，在很好的近似程度上就是如果沒(méi)有這個(gè)孔徑時(shí)的場(chǎng)。當(dāng)這個(gè)正方形完全處于孔徑的障礙的后面時(shí)，觀察點(diǎn)所在的區(qū)域在很好的近似程度上就是一個(gè)暗區(qū)，暗示由于孔徑的陰影。當(dāng)這個(gè)正方形跨在孔徑的敞開(kāi)和障礙兩部分之間時(shí)，觀察到的場(chǎng)處于亮區(qū)與暗區(qū)之間的過(guò)渡區(qū)內(nèi)。對(duì)于一維矩形狹縫的情況，可以證明，亮區(qū)與過(guò)渡區(qū)之間的邊界，以及暗區(qū)與過(guò)渡區(qū)之間的邊界，都是拋物線。注意，如果振幅透射比和/或衍射孔徑的照明不是一個(gè)比較光滑和緩變的函數(shù)，那么上述結(jié)論不一定成立。不過(guò)，只要衍射孔徑不包含精細(xì)結(jié)構(gòu)，并且他們由均勻的平面波照明，上述結(jié)論就成立。目前十一頁(yè)\總數(shù)二十六頁(yè)\編于十三點(diǎn)矩形狹縫區(qū)域示意圖如果允許z趨于零，也就是說(shuō)允許觀察點(diǎn)趨近衍射孔徑，那么二維的二次相位函數(shù)在極限下的行為就像是一個(gè)函數(shù)，產(chǎn)生一個(gè)與孔徑中的場(chǎng)全同的場(chǎng)。這樣的處理方法將預(yù)言：在孔徑后觀察到的場(chǎng)只不過(guò)是孔徑上的場(chǎng)在觀察平面上的投影。相關(guān)穩(wěn)相原理和菲涅耳近似精度的考察都有結(jié)論：一直到非常接近孔徑的距離，菲涅耳近似的精度都非常之好。目前十二頁(yè)\總數(shù)二十六頁(yè)\編于十三點(diǎn)

2.3.菲涅耳近似和角譜現(xiàn)從角譜分析方法的觀點(diǎn)來(lái)理解菲涅耳近似的涵義。自由空間傳播的傳遞函數(shù)為：菲涅耳衍射的脈沖響應(yīng)做傅里葉變換，得到菲涅耳衍射的傳遞函數(shù)：由此可見(jiàn)，在菲涅耳近似中，表示傳播的一般的空間相位彌散化為一個(gè)二次相位彌散。上式右端的因子代表一個(gè)恒定的相位延遲，另一項(xiàng)則代表在不同方向行進(jìn)的平面波所遭受的不同的相位延遲。從角譜的視角來(lái)看，只要涉及的衍射角小，菲涅耳近似就是夠精確的，因此，菲涅耳近似和傍軸近似是等價(jià)的。目前十三頁(yè)\總數(shù)二十六頁(yè)\編于十三點(diǎn)

2.4.兩個(gè)共焦球面之間的菲涅耳衍射共焦的兩個(gè)球面，如果一個(gè)球面的球心在另一個(gè)球面上，兩個(gè)球面和前面所用的平面相切，切點(diǎn)是Z軸穿過(guò)這些平面的交點(diǎn)，距離是兩個(gè)球冠之間的距離。寫(xiě)出兩球面的方程，通過(guò)方程求出兩個(gè)球冠上兩點(diǎn)的距離，再通過(guò)二項(xiàng)式展開(kāi)化簡(jiǎn)（即對(duì)球面做傍軸近似）得到菲涅耳衍射方程：目前十四頁(yè)\總數(shù)二十六頁(yè)\編于十三點(diǎn)它表示除了常數(shù)相乘因子和標(biāo)度因子外，右邊的球冠上觀察到的場(chǎng)是左邊的帽形球面上的場(chǎng)的傅里葉變換。當(dāng)分析球冠間的衍射時(shí)，用瑞利索末菲的結(jié)果作為計(jì)算的基礎(chǔ)實(shí)際上是不對(duì)的，因?yàn)檫@個(gè)結(jié)果顯然只對(duì)平面孔徑造成的衍射才成立。但是，基爾霍夫的分析仍然正確，只要傍軸條件成立，它的預(yù)言同瑞利索末菲的預(yù)言是一樣的。目前十五頁(yè)\總數(shù)二十六頁(yè)\編于十三點(diǎn)

3.夫瑯禾費(fèi)衍射考慮另一個(gè)條件更苛刻的近似，這個(gè)近似如果成立的話，將會(huì)對(duì)計(jì)算有極大的簡(jiǎn)化。在菲涅耳衍射區(qū)內(nèi)，觀察到的場(chǎng)可以通過(guò)對(duì)孔徑上的場(chǎng)分布與二次相位函數(shù)的乘積做傅里葉變換求出。如果除菲涅耳近似外還滿足更強(qiáng)的（夫瑯禾費(fèi)）近似Z>>那么（2）式中積分號(hào)下的二次相位因子在整個(gè)孔徑上近似等于1，而觀察的場(chǎng)就可以從孔徑上的場(chǎng)分布本身的傅里葉變換直接求出，因此在夫瑯禾費(fèi)衍射區(qū)內(nèi)，如前所述，在光學(xué)頻段，夫瑯禾費(fèi)近似成立所要求的條件可以是相當(dāng)苛刻的。例如，當(dāng)波長(zhǎng)為0.6(紅光）、孔徑寬度為2.5cm（一英寸）時(shí)，觀察距離Z必須滿足Z>>1600m。目前十六頁(yè)\總數(shù)二十六頁(yè)\編于十三點(diǎn)但是孔徑用一個(gè)向觀察者會(huì)聚的球面波照明，或者將一個(gè)會(huì)聚透鏡放在觀察者和孔徑之間的適當(dāng)位置上，夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣能夠在比指定的距離更近的距離上觀察到。最后，既然夫瑯禾費(fèi)衍射只是菲涅耳衍射的特殊情形，傳遞函數(shù)式（3）就應(yīng)該對(duì)菲涅耳衍射與夫瑯禾費(fèi)衍射二者都有效。這就是說(shuō)，永遠(yuǎn)能以菲涅耳近似的全部精度計(jì)算夫瑯禾費(fèi)內(nèi)的衍射場(chǎng)。目前十七頁(yè)\總數(shù)二十六頁(yè)\編于十三點(diǎn)

4.夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的例子計(jì)算夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的步驟：振幅透射比孔徑上的場(chǎng)分布強(qiáng)度分布夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣單位振幅的單色平面波垂直入射照明對(duì)場(chǎng)分布做傅立葉變換傅里葉逆變換目前十八頁(yè)\總數(shù)二十六頁(yè)\編于十三點(diǎn)

4.1.矩形孔徑其振幅透射比為孔徑產(chǎn)生的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣為：強(qiáng)度分布為：夫瑯禾費(fèi)圖樣沿X軸的截面和矩形孔徑所產(chǎn)生的衍射圖樣的照片：

目前十九頁(yè)\總數(shù)二十六頁(yè)\編于十三點(diǎn)

4.2.圓形孔徑振幅透射比為：夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的振幅分布為：強(qiáng)度分布為：愛(ài)麗圖樣的截面圖和圓孔徑產(chǎn)生的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的照片：

目前二十頁(yè)\總數(shù)二十六頁(yè)\編于十三點(diǎn)4.3.薄正弦振幅光柵透射比函數(shù)：夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣為：強(qiáng)度分布為：薄正弦振幅光柵的衍射圖樣為：目前二十一頁(yè)\總數(shù)二十六頁(yè)\編于十三點(diǎn)由于一部分入射光被光柵吸收，此外，孔徑上的透射比的正弦式變化將中央衍射圖樣中的一部分能量偏轉(zhuǎn)到新加的兩個(gè)邊旁圖樣中去了。中央衍射圖樣稱為夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的零級(jí)，而兩個(gè)邊旁圖樣稱為一級(jí)。另一個(gè)在全息術(shù)和光學(xué)信息處理中有某些實(shí)用價(jià)值的量是光柵的衍射效率。衍射效率的定義為入射的光功率中有多少份額出現(xiàn)在該光柵的某個(gè)單一的衍射級(jí)上。目前二十二頁(yè)\總數(shù)二十六頁(yè)\編于十三點(diǎn)

4.4.薄正弦相位光柵振幅透射比函數(shù)定義為：緊貼屏幕后的場(chǎng)分布為：假設(shè)在限界孔徑內(nèi)有光柵的許多個(gè)周期（）,那么各個(gè)衍射項(xiàng)之間的交疊可以忽略，相應(yīng)的強(qiáng)度圖樣變?yōu)椋阂虼耍蚁辔还鈻诺囊氚涯芰繌牧慵?jí)衍射偏轉(zhuǎn)到許多更高級(jí)的衍射上去。以下是相位延遲的峰峰值m為8弧度時(shí)強(qiáng)度圖樣的截面圖。目前二十三頁(yè)\總數(shù)二十六頁(yè)\編于十三點(diǎn)根據(jù)系數(shù)大小的平方，可以求得薄正弦相位光柵的衍射效率。于是此光柵的q級(jí)衍射效率為：下圖為不同q值下的和的關(guān)系曲線圖：由圖可知，其比薄正弦振幅光柵的效率高得多，這個(gè)光柵不吸收光功率，因此出現(xiàn)在各級(jí)之上的功率之和為常數(shù)，不隨m而變，并且等于入射功率。目前二十四頁(yè)\總數(shù)二十六頁(yè)\編于十三點(diǎn)

4.菲涅耳衍射的例子本節(jié)主要講述了兩種計(jì)算菲涅耳衍射圖樣的方法，第一種為方孔徑產(chǎn)生的菲涅耳衍射下，基于衍射計(jì)算的卷積表示的經(jīng)典方法的應(yīng)用；第二個(gè)介紹了塔爾伯特成像的情況，主要說(shuō)明了頻域方法的巨大優(yōu)點(diǎn)。4.1.方孔徑的菲涅耳衍射設(shè)一個(gè)寬度為2w的方