2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件：第一章集合、常用邏輯用語

第一章§1.1集合考試要求1.了解集合的含義，了解全集、空集的含義.2.理解元素與集合的屬于關(guān)系，理解集合間的包含和相等關(guān)系.3.會(huì)求兩個(gè)集合的并集、交集與補(bǔ)集.4.能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題，能使用Venn圖表示集合間

的基本關(guān)系和基本運(yùn)算.落實(shí)主干知識(shí)課時(shí)精練探究核心題型內(nèi)容索引LUOSHIZHUGANZHISHI落實(shí)主干知識(shí)1.集合與元素(1)集合中元素的三個(gè)特性：

、

、

.(2)元素與集合的關(guān)系是

或

，用符號(hào)

或

表示.(3)集合的表示法：

、

、

.(4)常見數(shù)集的記法確定性互異性無序性屬于不屬于∈?列舉法描述法圖示法集合非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)___N*(或N＋)_________NZQR2.集合的基本關(guān)系(1)子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中

都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作

(或B?A).(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且

，就稱集合A是集合B的真子集，記作

(或BA).(3)相等：若A?B，且

，則A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.空集是

的子集，是

的真子集.任意一個(gè)元素A?Bx?AABB?A任何集合任何非空集合3.集合的基本運(yùn)算表示運(yùn)算文字語言集合語言圖形語言記法并集所有屬于集合A

屬于集合B的元素組成的集合_________________

______交集所有屬于集合A

屬于集合B的元素組成的集合_________________

______補(bǔ)集全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合_________________

____或且{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}A∪BA∩B?UA常用結(jié)論1.若集合A有n(n≥1)個(gè)元素，則集合A有2n個(gè)子集，2n－1個(gè)真子集.2.A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列舉法表示為{－1,0,1}.(

)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(

)(3)若1∈{x2，x}，則x＝－1或x＝1.(

)(4)對(duì)任意集合A，B，都有(A∩B)?(A∪B).(

)√×××1.若集合A＝{x∈N|2x＋10>3x}，則下列結(jié)論正確的是A.2∈A

B.8?AC.{4}∈A

D.{0}?A√2.已知集合M＝{＋1，－2}，N＝{b,2}，若M＝N，則a＋b＝______.－13.已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x2≥4}，則A∩B＝____________，A∪(?UB)＝_____________.∵全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x2≥4}＝{x|x≤－2或x≥2}，∴?UB＝{x|－2<x<2}，∴A∩B＝{x|2≤x≤3}，A∪(?UB)＝{x|－2<x≤3}.{x|2≤x≤3}{x|－2<x≤3}TANJIUHEXINTIXING探究核心題型例1

(1)(2020·全國Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為A.2

B.3

C.4

D.6√A∩B＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N*，y≥x}＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，共4個(gè)元素.題型一集合的含義與表示(2)若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，則實(shí)數(shù)a＝________.①當(dāng)a－3＝－3時(shí)，a＝0，此時(shí)A＝{－3，－1，－4}，②當(dāng)2a－1＝－3時(shí)，a＝－1，此時(shí)A＝{－4，－3，－3}舍去，③當(dāng)a2－4＝－3時(shí)，a＝±1，由②可知a＝－1舍去，則當(dāng)a＝1時(shí)，A＝{－2,1，－3}，綜上，a＝0或1.0或1若集合A＝{x|kx2＋x＋1＝0}中有且僅有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)k的取值集合是________.教師備選依題意知，方程kx2＋x＋1＝0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，思維升華解決集合含義問題的關(guān)鍵有三點(diǎn)：一是確定構(gòu)成集合的元素；二是確定元素的限制條件；三是根據(jù)元素的特征(滿足的條件)構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問題.跟蹤訓(xùn)練1

(1)已知集合A＝

，則集合A中的元素個(gè)數(shù)為A.3 B.4C.5 D.6√∴x－2的取值有－4，－2，－1,1,2,4，∴x的值分別為－2,0,1,3,4,6，又x∈N，故x的值為0,1,3,4,6.故集合A中有5個(gè)元素.(2)已知a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝

，則a2023＋b2023＝____.0∴a＋b＝0，∴a＝－b，∴{1,0，－b}＝{0，－1，b}，∴b＝1，a＝－1，∴a2023＋b2023＝0.例2

(1)設(shè)集合P＝{y|y＝x2＋1}，M＝{x|y＝x2＋1}，則集合M與集合P的關(guān)系是A.M＝P

B.P∈MC.MP

D.PM因?yàn)镻＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，M＝{x|y＝x2＋1}＝R，因此PM.√題型二集合間的基本關(guān)系(2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________.[－1，＋∞)∵B?A，①當(dāng)B＝?時(shí)，2m－1>m＋1，解得m>2；解得－1≤m≤2.綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[－1，＋∞).延伸探究

在本例(2)中，若把B?A改為BA，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________.①當(dāng)B＝?時(shí)，2m－1>m＋1，∴m>2；[－1，＋∞)解得－1≤m≤2.綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[－1，＋∞).已知M，N均為R的子集，若N∪(?RM)＝N，則A.M?N

B.N?MC.M??RN

D.?RN?M√由題意知，?RM?N，其Venn圖如圖所示，∴只有?RN?M正確.教師備選思維升華(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系問題時(shí)，必須考慮空集的情況，否則易造成漏解.(2)已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題.跟蹤訓(xùn)練2

(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|x2－6x<0}，則滿足AC?B的集合C的個(gè)數(shù)為A.4 B.6C.7 D.8√∵A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，且AC?B，∴集合C的所有可能為{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共7個(gè).(2)已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，則實(shí)數(shù)a的值為________.∵M(jìn)＝{－1,1}，且M∩N＝N，∴N?M.若N＝?，則a＝0；0，±1∴a＝±1綜上有a＝±1或a＝0.命題點(diǎn)1集合的運(yùn)算例3

(1)(2021·全國乙卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,2}，集合N＝{3,4}，則?U(M∪N)等于A.{5} B.{1,2}C.{3,4} D.{1,2,3,4}√題型三集合的基本運(yùn)算方法一(先求并再求補(bǔ))因?yàn)榧螹＝{1,2}，N＝{3,4}，所以M∪N＝{1,2,3,4}.又全集U＝{1,2,3,4,5}，所以?U(M∪N)＝{5}.方法二(先轉(zhuǎn)化再求解)因?yàn)?U(M∪N)＝(?UM)∩(?UN)，?UM＝{3,4,5}，?UN＝{1,2,5}，所以?U(M∪N)＝{3,4,5}∩{1,2,5}＝{5}.(2)集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|1<x<5}，則集合(?RA)∩B＝__________.A＝{x|x2－3x－4>0}＝{x|x<－1或x>4}，∴?RA＝{x|－1≤x≤4}，∴(?RA)∩B＝{x|1<x≤4}．{x|1<x≤4}命題點(diǎn)2利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值(范圍)例4

(1)(2022·廈門模擬)已知集合A＝{1，a}，B＝{x|log2x<1}，且A∩B有2個(gè)子集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為A.(－∞，0]B.(0,1)∪(1,2]C.[2，＋∞)D.(－∞，0]∪[2，＋∞)√由題意得，B＝{x|log2x<1}＝{x|0<x<2}，∵A∩B有2個(gè)子集，∴A∩B中的元素個(gè)數(shù)為1；∵1∈(A∩B)，∴a?(A∩B)，即a?B，∴a≤0或a≥2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，0]∪[2，＋∞).(2)已知集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|a－1≤x≤a＋1}，若A∩B＝?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______________________.(－∞，－3)∪(4，＋∞)A＝{x|x2－x－6≤0}＝{x|－2≤x≤3}，∵A∩B＝?，∴a－1>3或a＋1<－2，即a>4或a<－3.(2022·銅陵模擬)已知A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}，若A∩(?RB)≠?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.1≤a≤2 B.1<a<2C.a≤1或a≥2 D.a<1或a>2√教師備選A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}，所以?RB＝{x|a－1<x<a＋1}；又A∩(?RB)≠?，所以a－1<0或a＋1>3，解得a<1或a>2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a<1或a>2.思維升華對(duì)于集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示；如果集合中的元素是連續(xù)的，可用數(shù)軸表示，此時(shí)要注意端點(diǎn)的情況.跟蹤訓(xùn)練3

(1)(2021·全國甲卷)設(shè)集合M＝{x|0<x<4}，N＝

，則M∩N等于√因?yàn)镸＝{x|0<x<4}，(2)(2022·南通模擬)設(shè)集合A＝{1，a＋6，a2}，B＝{2a＋1，a＋b}，若A∩B＝{4}，則a＝_____，b＝_____.由題意知，4∈A，所以a＋6＝4或a2＝4，當(dāng)a＋6＝4時(shí)，則a＝－2，得A＝{1,4,4}，故應(yīng)舍去；當(dāng)a2＝4時(shí)，則a＝2或a＝－2(舍去)，當(dāng)a＝2時(shí)，A＝{1,4,8}，B＝{5,2＋b}，又4∈B，所以2＋b＝4，得b＝2.所以a＝2，b＝2.22例5

(1)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定義集合A，B之間的運(yùn)算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，則A*B中的所有元素?cái)?shù)字之和為A.15 B.16C.20 D.21√題型四集合的新定義問題由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，得A＝{0,1,2,3}.因?yàn)锳*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，所以A*B中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A*B＝{1,2,3,4,5,6}，所以A*B中的所有元素?cái)?shù)字之和為21.(2)若集合A1，A2滿足A1∪A2＝A，則稱(A1，A2)為集合A的一種分拆，并規(guī)定：當(dāng)且僅當(dāng)A1＝A2時(shí)，(A1，A2)與(A2，A1)是集合A的同一種分拆.若集合A有三個(gè)元素，則集合A的不同分拆種數(shù)是_____.27不妨令A(yù)＝{1,2,3}，∵A1∪A2＝A，當(dāng)A1＝?時(shí)，A2＝{1,2,3}，當(dāng)A1＝{1}時(shí)，A2可為{2,3}，{1,2,3}共2種，同理A1＝{2}，{3}時(shí)，A2各有2種，當(dāng)A1＝{1,2}時(shí)，A2可為{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}共4種，同理A1＝{1,3}，{2,3}時(shí)，A2各有4種，當(dāng)A1＝{1,2,3}時(shí)，A2可為A1的子集，共8種，故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27(種)不同的分拆.②③教師備選①中，{x∈R|x2＋ax＋1＝0}，二次方程判別式Δ＝a2－4，故－2<a<2時(shí)，方程無根，該數(shù)集是空集，不符合題意；②中，{x|x2－6x＋1≤0}，顯然0?A，思維升華解決集合新定義問題的關(guān)鍵解決新定義問題時(shí)，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義，緊扣題目所給定義，結(jié)合題目所給定義和要求進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，切忌同已有概念或定義相混淆.跟蹤訓(xùn)練4

對(duì)于任意兩集合A，B，定義A－B＝{x|x∈A且x?B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，記A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，則A*B＝___________________.{x|－3≤x<0或x>3}∵A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，∴A－B＝{x|x>3}，B－A＝{x|－3≤x<0}.∴A*B＝{x|－3≤x<0或x>3}.KESHIJINGLIAN課時(shí)精練1.(2022·天津模擬)設(shè)全集U＝{x∈N|x<6}，集合A＝{1,2,4}，B＝{1,2,3}，則?U(A∪B)等于A.{5}B.{0,5}C.{0,3,4,5}D.{－5，－4，－3，－2，－1,0,5}基礎(chǔ)保分練√12345678910111213141516∵集合A＝{1,2,4}，B＝{1,2,3}，∴A∪B＝{1,2,3,4}，∵U＝{x∈N|x<6}＝{0,1,2,3,4,5}，∴?U(A∪B)＝{0,5}.123456789101112131415162.已知集合U＝R，集合A＝{x|>2}，B＝{y|y＝x2＋2}，則A∩(?UB)等于A.R

B.(1,2]C.(1,2) D.[2，＋∞)√B＝{y|y＝x2＋2}＝[2，＋∞)，∴?UB＝(－∞，2)，∴A∩(?UB)＝(1,2).123456789101112131415163.已知集合M＝{1,2,3}，N＝{(x，y)|x∈M，y∈M，x＋y∈M}，則集合N中的元素個(gè)數(shù)為A.2

B.3

C.8

D.9√由題意知，集合N＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，所以集合N的元素個(gè)數(shù)為3.123456789101112131415164.(2022·青島模擬)已知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，則a1＋a2＋a3等于A.1

B.2

C.3

D.6√集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集為{a1}，{a2}，{a3}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2，a3}，則所有非空真子集的元素之和為a1＋a2＋a3＋a1＋a2＋a1＋a3＋a2＋a3＝3(a1＋a2＋a3)＝9，所以a1＋a2＋a3＝3.123456789101112131415165.已知集合P＝{(x，y)|x＋y＝1}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，則下列說法正確的是①P∪Q＝R；②P∩Q＝{(1,0)，(0,1)}；③P∩Q＝{(x，y)|x＝0或1，y＝0或1}；④P∩Q的真子集有3個(gè).A.①②④

B.②③④C.②④

D.③④√12345678910111213141516∴P∩Q＝{(1,0)，(0,1)}，故②正確，③錯(cuò)誤；又P，Q為點(diǎn)集，∴①錯(cuò)誤；又P∩Q有兩個(gè)元素，∴P∩Q有3個(gè)真子集，∴④正確.123456789101112131415166.已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.a<－2 B.a≤－2C.a>－4 D.a≤－4√集合A＝{x|－2≤x≤2}，123456789101112131415167.(2022·重慶模擬)已知全集U＝{x∈N|log2x<3}，A＝{1,2,3}，?U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，則集合B不可能為A.{3,6} B.{3,4,5}C.{2,3,6} D.{3,5,6}√12345678910111213141516由log2x<3得0<x<23，即0<x<8，于是得全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，因?yàn)?U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，則有A∩B＝{3},3∈B；對(duì)于A選項(xiàng)，若B＝{3,6}，則A∩B＝{3}，?U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，A可能；對(duì)于B選項(xiàng)，若B＝{3,4,5}，則A∩B＝{3}，?U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，B可能；12345678910111213141516對(duì)于C選項(xiàng)，若B＝{2,3,6}，則A∩B＝{2,3}，所以?U(A∩B)＝{1,4,5,6,7}，矛盾，故C不可能；對(duì)于D選項(xiàng)，若B＝{3,5,6}，則A∩B＝{3}，?U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，D可能.123456789101112131415168.已知全集U的兩個(gè)非空真子集A，B滿足(?UA)∪B＝B，則下列關(guān)系一定正確的個(gè)數(shù)是①A∩B＝?；②A∩B＝B；③A∪B＝U；④(?UB)∪A＝A.A.1

B.2

C.3

D.4√12345678910111213141516令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，滿足(?UA)∪B＝B，但A∩B≠?，A∩B≠B，故①②均不正確；由(?UA)∪B＝B，知(?UA)?B，∴U＝A∪(?UA)?(A∪B)，∴A∪B＝U，由(?UA)?B，知(?UB)?A，∴(?UB)∪A＝A，故③④均正確.123456789101112131415169.設(shè)U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1,2}，則實(shí)數(shù)m＝______.由題意可知，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}＝{0,3}，即0,3為方程x2＋mx＝0的兩個(gè)根，所以m＝－3.－31234567891011121314151610.(2022·寧夏模擬)已知全集U＝R，集合M＝{x∈Z||x－1|<3}，N＝{－4，－2,0,1,5}，則下列Venn圖中陰影部分的集合為__________.集合M＝{x∈Z||x－1|<3}＝{x∈Z|－3<x－1<3}＝{x∈Z|－2<x<4}＝{－1,0,1,2,3}，Venn圖中陰影部分表示的集合是M∩(?RN)＝{－1,2,3}.{－1,2,3}12345678910111213141516∵A∩B＝{－2}，∴－2∈B，若m＝－2，則A＝{4，－2}，B＝{－2，－5}，∴A∩B＝{－2}，A∪B＝{－5，－2,4}；若m－3＝－2，則m＝1，∴A＝{1，－2}，B＝{1，－2}，∴A∩B＝{1，－2}(舍去)，綜上，有A∪B＝{－5，－2,4}.11.已知集合A＝{m2，－2}，B＝{m，m－3}，若A∩B＝{－2}，則A∪B＝_____________.{－5，－2,4}1234567891011121314151612.已知集合A＝{x|y＝lg(a－x)}，B＝{x|1<x<2}，且(?RB)∪A＝R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.[2，＋∞)由已知可得A＝(－∞，a)，?RB＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，∵(?RB)∪A＝R，∴a≥2.12345678910111213141516技能提升練1234567891011121314151613.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，則m＝______，n＝____.－1112345678910111213141516A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，則B＝{x|m<x<2}，畫出數(shù)軸，可得m＝－1，n＝1.14.對(duì)班級(jí)40名學(xué)生調(diào)查對(duì)A，B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果：贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成，另外，對(duì)A，B都不贊成的學(xué)生數(shù)比對(duì)A，B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人，問對(duì)A，B都贊成的學(xué)生有____人.18贊成B的人數(shù)為24＋3＝27，設(shè)對(duì)A，B都贊成的學(xué)生有x人，12345678910111213141516拓展沖刺練12345678910111213141516A.15 B.16C.32 D.256√1234567891011121314151616.已知集合A＝{x|8<x<10}，設(shè)集合U＝{x|0<x<9}，B＝{x|a<x<2a－1}，若(?UB)∩A＝{x|8<x<9}，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.12345678910111213141516當(dāng)B＝?時(shí)，2a－1≤a，解得a≤1，此時(shí)?UB＝U，(?UB)∩A＝U∩A＝{x|8<x<9}，符合題意；當(dāng)B≠?時(shí)，2a－1>a，解得a>1，因?yàn)榧蟄＝{x|0<x<9}，B＝{x|a<x<2a－1}，所以?UB＝{x|0<x≤a或2a－1≤x<9}，因?yàn)??UB)∩A＝{x|8<x<9}，1234567891011121314151612345678910111213141516本課結(jié)束第一章§1.2命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件考試要求1.理解命題的概念.2.了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會(huì)分析四種命題的

相互關(guān)系.3.理解必要條件、充分條件與充要條件的含義.落實(shí)主干知識(shí)課時(shí)精練探究核心題型內(nèi)容索引LUOSHIZHUGANZHISHI落實(shí)主干知識(shí)1.命題用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以

的陳述句叫做命題，其中

的語句叫做真命題，

的語句叫做假命題.判斷真假判斷為真判斷為假2.四種命題及其相互關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系若q，則p若綈p，則綈q若綈q，則綈p(2)四種命題的真假關(guān)系①兩個(gè)命題互為逆否命題，它們具有

的真假性.②兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性

.相同沒有關(guān)系3.充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的

條件，q是p的

條件p是q的

條件p?q且q?pp是q的必要不充分條件___________p是q的充要條件______p是q的

條件p?q且q?p充分必要充分不必要p?q且q?pp?q既不充分也不必要常用結(jié)論充分、必要條件與對(duì)應(yīng)集合之間的關(guān)系設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}.①若p是q的充分條件，則A?B；②若p是q的充分不必要條件，則AB；③若p是q的必要不充分條件，則BA；④若p是q的充要條件，則A＝B.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)“x2－2x－3>0”是命題.(

)(2)“x>1”是“x>0”的充分不必要條件.(

)(3)若原命題為真，則這個(gè)命題的否命題、逆命題、逆否命題中至少有一個(gè)為真.(

)(4)p是q的充分不必要條件等價(jià)于q是p的必要不充分條件.(

)×√√√1.“a>b”是“ac2>bc2”的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件√當(dāng)a>b時(shí)，若c2＝0，則ac2＝bc2，所以a>b?ac2>bc2，當(dāng)ac2>bc2時(shí)，c2≠0，則a>b，所以ac2>bc2?a>b，即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分條件.2.命題“同位角相等，兩直線平行”的逆否命題是______________________________.兩直線不平行，同位角不相等3.方程x2－ax＋a－1＝0有一正一負(fù)根的充要條件是_____________.依題意得a－1<0，∴a<1.a∈(－∞，1)TANJIUHEXINTIXING探究核心題型例1

(1)(2022·玉林質(zhì)檢)下列四個(gè)命題為真命題的個(gè)數(shù)是①命題“若x>1，則x2>1”的否命題；②命題“梯形不是平行四邊形”的逆否命題；③命題“全等三角形面積相等”的否命題；④命題“若兩條直線沒有公共點(diǎn)，則這兩條直線是異面直線”的逆命題.A.1

B.2

C.3

D.4題型一命題及其關(guān)系√①命題“若x>1，則x2>1”的否命題為“若x≤1，則x2≤1”，不正確，例如取x＝－2.②命題“梯形不是平行四邊形”是真命題，因此其逆否命題也是真命題.③命題“全等三角形面積相等”的否命題“不是全等三角形的面積不相等”是假命題.④命題“若兩條直線沒有公共點(diǎn)，則這兩條直線是異面直線”的逆命題“若兩條直線是異面直線，則這兩條直線沒有公共點(diǎn)”是真命題.綜上可得真命題的個(gè)數(shù)為2.(2)能說明“若f(x)>f(0)對(duì)任意的x∈(0,2]都成立，則f(x)在[0,2]上是增函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是_______________________________.f(x)＝sinx，x∈[0,2](答案不唯一)由正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性知，當(dāng)x∈(0,2]時(shí)，f(x)>f(0)＝sin0＝0，故f(x)＝sinx滿足條件f(x)>f(0)對(duì)任意的x∈(0,2]都成立，但f(x)在[0,2]上不一直都是增函數(shù).(2022·合肥模擬)設(shè)x，y∈R，命題“若x2＋y2>2，則x2>1或y2>1”的否命題是A.若x2＋y2≤2，則x2≤1或y2≤1B.若x2＋y2>2，則x2≤1或y2≤1C.若x2＋y2≤2，則x2≤1且y2≤1D.若x2＋y2>2，則x2≤1且y2≤1教師備選√根據(jù)否命題的定義可得命題“若x2＋y2>2，則x2>1或y2>1”的否命題是“若x2＋y2≤2，則x2≤1且y2≤1”.思維升華判斷命題真假的策略(1)判斷一個(gè)命題為真命題，需要推理證明；判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出反例即可.(2)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個(gè)命題直接判斷不易進(jìn)行時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價(jià)命題的真假.跟蹤訓(xùn)練1

(1)(2022·安順模擬)命題“若x，y都是奇數(shù)，則x＋y是偶數(shù)”的逆否命題是A.若x，y都是偶數(shù)，則x＋y是奇數(shù)B.若x，y都不是奇數(shù)，則x＋y不是偶數(shù)C.若x＋y不是偶數(shù)，則x，y都不是奇數(shù)D.若x＋y不是偶數(shù)，則x，y不都是奇數(shù)√命題“若x，y都是奇數(shù)，則x＋y是偶數(shù)”的逆否命題是“若x＋y不是偶數(shù)，則x，y不都是奇數(shù)”.(2)命題p：若m≤a－2，則m<－1.若p的逆否命題為真命題，則a的取值范圍是__________.(－∞，1)依題意，命題p的逆否命題為真命題，則命題p為真命題，即“若m≤a－2，則m<－1”為真命題，則a－2<－1，解得a<1.例2

(1)已知p：

<1，q：log2x<0，則p是q的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件題型二充分、必要條件的判定√由log2x<0知0<x<1，所以q對(duì)應(yīng)的x的范圍為(0,1)，顯然(0,1)(0，＋∞)，所以p是q的必要不充分條件.(2)(2021·全國甲卷)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn.設(shè)甲：q>0，乙：{Sn}是遞增數(shù)列，則A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件√當(dāng)a1<0，q>1時(shí)，an＝a1qn－1<0，此時(shí)數(shù)列{Sn}單調(diào)遞減，所以甲不是乙的充分條件.當(dāng)數(shù)列{Sn}單調(diào)遞增時(shí)，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn>0，若a1>0，則qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，則qn<0(n∈N*)，不存在.所以甲是乙的必要條件.在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC為直角三角形”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件教師備選√在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，則∠B＝90°，即△ABC為直角三角形，若△ABC為直角三角形，推不出∠B＝90°，所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立，綜上，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC為直角三角形”的充分不必要條件.思維升華充分條件、必要條件的兩種判定方法(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性問題.(2)集合法：根據(jù)p，q對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問題.跟蹤訓(xùn)練2

(1)“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件√若a>2，b>2，則a＋b>4，ab>4.當(dāng)a＝1，b＝5時(shí)，滿足a＋b>4，ab>4，但不滿足a>2，b>2，所以a＋b>4，ab>4?a>2，b>2，故“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的充分不必要條件.(2)(2022·成都模擬)若a，b為非零向量，則“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√因?yàn)閍⊥b，所以a·b＝0，則(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，所以“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充分條件；反之，由(a＋b)2＝a2＋b2得a·b＝0，所以非零向量a，b垂直，“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的必要條件.故“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充要條件.例3

已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈A是x∈B的必要條件，求m的取值范圍.題型三充分、必要條件的應(yīng)用由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴A＝{x|－2≤x≤10}.由x∈A是x∈B的必要條件，知B?A.∴當(dāng)0≤m≤3時(shí)，x∈A是x∈B的必要條件，即所求m的取值范圍是[0,3].延伸探究本例中，若把“x∈A是x∈B的必要條件”改為“x∈A是x∈B的充分不必要條件”，求m的取值范圍.∵x∈A是x∈B的充分不必要條件，∴AB，解得m≥9，故m的取值范圍是[9，＋∞).(2022·泰安檢測(cè))已知p：x≥a，q：|x＋2a|<3，且p是q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.(－∞，－1] B.(－∞，－1)C.[1，＋∞) D.(1，＋∞)√教師備選因?yàn)閝：|x＋2a|<3，所以q：－2a－3<x<－2a＋3，記A＝{x|－2a－3<x<－2a＋3}，p：x≥a，記為B＝{x|x≥a}.因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以AB，所以a≤－2a－3，解得a≤－1.思維升華求參數(shù)問題的解題策略(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.(2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).跟蹤訓(xùn)練3

(1)使

≥1成立的一個(gè)充分不必要條件是A.1<x<3 B.0<x<2C.x<2 D.0<x≤2√依題意由選項(xiàng)組成的集合是(0,2]的真子集，故選B.(2)若不等式(x－a)2<1成立的充分不必要條件是1<x<2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.[1,2]由(x－a)2<1得a－1<x<a＋1，因?yàn)?<x<2是不等式(x－a)2<1成立的充分不必要條件，解得1≤a≤2.KESHIJINGLIAN課時(shí)精練1.(2022·韓城模擬)設(shè)p：2<x<3，q：|x－2|<1，那么p是q的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件基礎(chǔ)保分練√12345678910111213141516解不等式|x－2|<1得－1<x－2<1，解得1<x<3，因?yàn)閧x|2<x<3}{x|1<x<3}，因此p是q的充分不必要條件.2.(2022·馬鞍山模擬)“若x，y∈R，x2＋y2＝0，則x，y全為0”的逆否命題是A.若x，y∈R，x，y全不為0，則x2＋y2≠0B.若x，y∈R，x，y不全為0，則x2＋y2＝0C.若x，y∈R，x，y不全為0，則x2＋y2≠0D.若x，y∈R，x，y全為0，則x2＋y2≠0√根據(jù)命題“若p，則q”的逆否命題為“若綈q，則綈p”，可以寫出“若x，y∈R，x2＋y2＝0，則x，y全為0”的逆否命題是“若x，y∈R，x，y不全為0，則x2＋y2≠0”.123456789101112131415163.(2021·浙江)已知非零向量a，b，c，則“a·c＝b·c”是“a＝b”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件√由a·c＝b·c，得到(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分條件.123456789101112131415164.已知a，b，c，d是實(shí)數(shù)，則“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√12345678910111213141516當(dāng)a＝b＝c＝d＝0時(shí)，ad＝bc，但a，b，c，d不成等比數(shù)列，當(dāng)a，b，c，d成等比數(shù)列時(shí)，ad＝bc，則“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的必要不充分條件.5.(2022·太原模擬)下列四個(gè)命題：①“在△ABC中，若AB>AC，則∠C>∠B”的逆命題；②“若ab＝0，則a＝0”的逆否命題；③“若ac＝cb，則a＝b”的逆命題；④“若a＝b，則a2＝b2”的否命題.其中是真命題的為A.①④

B.②③

C.①③

D.②④√1234567891011121314151612345678910111213141516①“在△ABC中，若AB>AC，則∠C>∠B”的逆命題是“在△ABC中，若∠C>∠B，則AB>AC”，是真命題；②“若ab＝0，則a＝0”是假命題，所以其逆否命題也是假命題；③“若ac＝cb，則a＝b”的逆命題是“若a＝b，則ac＝cb”，是真命題；④“若a＝b，則a2＝b2”的否命題是“若a≠b，則a2≠b2”，是假命題.6.(2022·青島模擬)“?x>0，a≤x＋

”的充要條件是A.a>2 B.a≥2C.a<2 D.a≤2√1234567891011121314151612345678910111213141516因?yàn)閤>0，7.已知命題“若m－1<x<m＋1，則1<x<2”的逆命題是真命題，則m的取值范圍是A.(1,2) B.[1,2)C.(1,2] D.[1,2]√命題的逆命題“若1<x<2，則m－1<x<m＋1”成立，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1,2].123456789101112131415168.(2022·廈門模擬)已知命題p：x<2m＋1，q：x2－5x＋6<0，且p是q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為12345678910111213141516√12345678910111213141516∵命題p：x<2m＋1，q：x2－5x＋6<0，即2<x<3，p是q的必要不充分條件，∴(2,3)(－∞，2m＋1)，∴2m＋1≥3，解得m≥1.實(shí)數(shù)m的取值范圍為m≥1.9.(2022·延邊模擬)若“方程ax2－3x＋2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是真命題，則a的取值范圍是____________.1234567891011121314151610.(2022·衡陽模擬)使得“2x>4x”成立的一個(gè)充分條件是____________________.12345678910111213141516x<－1(答案不唯一)由于4x＝22x，故2x>22x等價(jià)于x>2x，解得x<0，使得“2x>4x”成立的一個(gè)充分條件只需為集合{x|x<0}的子集即可.11.直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝a2(a>0)有公共點(diǎn)的充要條件是_____________.12345678910111213141516a∈[1，＋∞)直線y＝kx＋1過定點(diǎn)(0,1)，依題意知點(diǎn)(0,1)在圓x2＋y2＝a2內(nèi)部(包含邊界)，∴a2≥1.又a>0，∴a≥1.12.給出下列四個(gè)命題：①命題“在△ABC中，sinB>sinC是B>C的充要條件”；②“若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則

＝a1a3”的否命題；③已知a，b是非零向量，“若a·b>0，則a與b的夾角為銳角”的逆命題；④命題“直線l與平面α垂直的充要條件是l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直.”其中真命題是________.(填序號(hào))12345678910111213141516①③12345678910111213141516對(duì)于①，在△ABC中，由正弦定理得sinB>sinC?b>c?B>C，①是真命題；③已知a，b是非零向量，“若a·b>0，則a與b的夾角為銳角”的逆命題“若a與b的夾角為銳角，則a·b>0”為真命題；④直線l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直是直線l與平面α垂直的必要不充分條件，④是假命題.技能提升練1234567891011121314151613.設(shè)集合A＝{x|－2－a<x<a，a>0}，命題p：1∈A，命題q：2∈A.若p和q中有且只有一個(gè)為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.0<a<1或a≥2 B.0<a<1或a>2C.1<a≤2 D.1≤a≤2√12345678910111213141516若p和q中有且只有一個(gè)為真命題，則有p真q假或p假q真，解得1<a≤2；綜上，1<a≤2.14.若“x2－4x＋3<0”是“x2－mx＋4<0”的充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________.12345678910111213141516m≥5依題意有x2－4x＋3<0?1<x<3，x2－mx＋4<0?mx>x2＋4，∵“x2－4x＋3<0”是“x2－mx＋4<0”的充分條件，∴m≥5.1234567891011121314151615.若“x>1”是“不等式2x>a－x成立”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.a>3

B.a<3

C.a>4

D.a<4拓展沖刺練12345678910111213141516√若2x>a－x，即2x＋x>a.設(shè)f(x)＝2x＋x，則函數(shù)f(x)為增函數(shù).由題意知“2x＋x>a成立，即f(x)>a成立”能得到“x>1”，反之不成立.∵當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>3，∴a>3.16.已知r>0，x，y∈R，p：|x|＋

≤1，q：x2＋y2≤r2，若p是q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)r的取值范圍是__________.12345678910111213141516由圖可得p對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域是一個(gè)菱形及其內(nèi)部，即2x＋y－2＝0.由p是q的必要不充分條件，12345678910111213141516本課結(jié)束第一章§1.3簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與

存在量詞考試要求1.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義.2.理解全稱量詞和存在量詞的意義.3.能正確地對(duì)含一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.落實(shí)主干知識(shí)課時(shí)精練探究核心題型內(nèi)容索引LUOSHIZHUGANZHISHI落實(shí)主干知識(shí)1.簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)命題中的

、

、

叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞.(2)命題p且q、p或q、非p的真假判斷pqp且qp或q非p真真___真假真假___真假假真假真___假假假______真假真假真且或非2.全稱量詞和存在量詞(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，用符號(hào)“

”表示.(2)存在量詞：短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，用符號(hào)“

”表示.??3.全稱命題和特稱命題

將含有變量x的語句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，變量x的取值范圍用M表示名稱全稱命題特稱命題結(jié)構(gòu)對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立存在M中的元素x0，使p(x0)成立簡(jiǎn)記___________________________否定?x0∈M，綈p(x0)

，綈p(x)?x∈M，p(x)?x0∈M，p(x0)?x∈M1.邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”對(duì)應(yīng)集合運(yùn)算中的“并”“交”“補(bǔ)”，可借助集合運(yùn)算處理含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題.2.含有一個(gè)量詞命題的否定規(guī)律是“改變量詞，否定結(jié)論”.3.命題p與p的否定的真假性相反.常用結(jié)論判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)命題“3≥2”是真命題.(

)(2)命題p和綈p不可能都是真命題.(

)(3)“三角形的內(nèi)角和為180°”是特稱命題.(

)√√××1.已知p：2是偶數(shù)，q：2是素?cái)?shù)，則命題綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命題的個(gè)數(shù)為A.1

B.2

C.3

D.4√p和q顯然都是真命題，所以綈p，綈q都是假命題，p∨q，p∧q都是真命題.2.“等邊三角形都是等腰三角形”的否定是_______________________________________.存在一個(gè)等邊三角形，它不是等腰三角形3.命題“?x∈[－1,2]，x2－x－a>0”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____________.?x∈[－1,2]，x2－x－a>0，∴a<x2－x.TANJIUHEXINTIXING探究核心題型例1

(1)(2021·全國乙卷)已知命題p：?x∈R，sinx<1；命題q：?x∈R，e|x|≥1.則下列命題中為真命題的是A.p∧q

B.綈p∧qC.p∧綈q

D.綈(p∨q)√題型一含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題及其真假判斷由正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知，存在x∈R，使得sinx<1，所以命題p為真命題.對(duì)任意的x∈R，均有e|x|≥e0＝1成立，故命題q為真命題，所以命題p∧q為真命題.(2)(2022·陽泉模擬)為迎接2022年北京冬奧會(huì)，短道速滑隊(duì)組織甲、乙、丙等6名隊(duì)員參加選拔賽，比賽結(jié)果沒有并列名次.記“甲得第一名”為p，“乙得第一名”為q，“丙得第一名”為r，若p∨q是真命題，(綈q)∨r是真命題，則得第一名的是______.甲由p∨q是真命題，可知p，q中至少有一個(gè)是真命題，又比賽結(jié)果沒有并列名次，說明第一名要么是甲，要么是乙，則r是假命題，又(綈q)∨r是真命題，則綈q是真命題，即q為假命題，故得第一名的是甲.(2020·全國Ⅱ)設(shè)有下列四個(gè)命題：p1：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)；p2：過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面；p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行；p4：若直線l?平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l.則下述命題中所有真命題的序號(hào)是________.①p1∧p4；②p1∧p2；③綈p2∨p3；④綈p3∨綈p4.教師備選①③④p1是真命題，兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線