2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件：第八章立體幾何

第八章§8.1空間幾何體及其表面積與體積考試要求1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述

現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).2.能畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等簡(jiǎn)易組合)的三視圖，

能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出它們的直觀圖.3.了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式.落實(shí)主干知識(shí)探究核心題型內(nèi)容索引課時(shí)精練LUOSHIZHUGANZHISHI落實(shí)主干知識(shí)名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形

底面互相

且____多邊形互相

且____側(cè)棱___________相交于

但不一定相等延長(zhǎng)線交于____側(cè)面形狀________________________1.多面體的結(jié)構(gòu)特征平行全等平行相似平行且相等一點(diǎn)一點(diǎn)平行四邊形三角形梯形名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形

母線互相平行且相等，____于底面相交于_____延長(zhǎng)線交于____

軸截面全等的_____全等的__________全等的_____________側(cè)面展開(kāi)圖_______________

2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征垂直一點(diǎn)一點(diǎn)矩形等腰三角形等腰梯形圓面矩形扇形扇環(huán)3.三視圖與直觀圖三視圖畫法規(guī)則：長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等直觀圖斜二測(cè)畫法：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x′軸、y′軸的夾角為

，z′軸與x′軸和y′軸所在平面

.(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍

，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度

，平行于y軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度為

.垂直45°或135°平行于坐標(biāo)軸不變?cè)瓉?lái)的一半

圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖

側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝_____S圓錐側(cè)＝____S圓臺(tái)側(cè)＝_________4.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式2πrlπrlπ(r1＋r2)l5.柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝___錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝______臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下球S＝_____V＝_____Sh4πR21.在繪制三視圖時(shí)，分界線和可見(jiàn)輪廓線都用實(shí)線畫出，被遮擋的部分的輪廓線用虛線表示出來(lái)，即“眼見(jiàn)為實(shí)、不見(jiàn)為虛”.在三視圖的判斷與識(shí)別中要特別注意其中的虛線.常用結(jié)論判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.(

)(2)用一個(gè)平行于底面的平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái).(

)(3)菱形的直觀圖仍是菱形.(

)(4)兩個(gè)球的體積之比等于它們的半徑比的平方.(

)×√××1.如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，剩下的幾何體是A.棱臺(tái)

B.四棱柱C.五棱柱

D.六棱柱√2.已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為A.1cm B.2cmC.3cm D.cm√設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，母線長(zhǎng)為l，因?yàn)閭?cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，所以πl(wèi)＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2.3.如圖，將一個(gè)長(zhǎng)方體用過(guò)相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個(gè)棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為_(kāi)_____.設(shè)長(zhǎng)方體的相鄰三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，1∶47TANJIUHEXINTIXING探究核心題型例1

(2021·全國(guó)甲卷)在一個(gè)正方體中，過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G.該正方體截去三棱錐A－EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是題型一空間幾何體命題點(diǎn)1三視圖√根據(jù)題目條件以及正視圖可以得到該幾何體的直觀圖，如圖，結(jié)合選項(xiàng)可知該幾何體的側(cè)視圖為D.例2有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形(如圖所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為_(kāi)_______.命題點(diǎn)2直觀圖命題點(diǎn)3展開(kāi)圖√設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，1.如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線畫出的是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是A.三棱錐

B.三棱柱C.四棱錐

D.四棱柱教師備選√由題意知，該幾何體的三視圖為一個(gè)三角形、兩個(gè)四邊形，經(jīng)分析可知該幾何體為三棱柱.2.(2022·益陽(yáng)調(diào)研)如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為45°的等腰梯形，已知直觀圖OA′B′C′的面積為4，則該平面圖形的面積為√√設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，則2πr＝4π，解得r＝2，思維升華(1)由幾何體求三視圖，要注意觀察的方向，掌握“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的基本要求，由三視圖推測(cè)幾何體，可以先利用俯視圖推測(cè)底面，然后結(jié)合正視圖、側(cè)視圖推測(cè)幾何體的可能形式.(2)①在斜二測(cè)畫法中，平行于x軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度減半.②S直觀圖＝

S原圖形.跟蹤訓(xùn)練1

(1)(2021·浙江)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是√方法二由三視圖可知，該幾何體是由底面為等腰直角三角形(腰長(zhǎng)為2)的直三棱柱截去一個(gè)底面為等腰直角三角形(腰長(zhǎng)為1)的直三棱柱后得到的，所以該幾何體的體積(2)(2022·中衛(wèi)模擬)已知水平放置的△ABC按“斜二測(cè)畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝

，那么△ABC是一個(gè)A.等邊三角形

B.直角三角形C.等腰三角形

D.鈍角三角形√根據(jù)斜二測(cè)畫法還原△ABC在直角坐標(biāo)系中的圖形，如圖，則BC＝B′C′＝2，所以△ABC是一個(gè)等邊三角形.(3)(2022·曲靖模擬)如圖，在水平地面上的圓錐形物體的母線長(zhǎng)為12，底面圓的半徑等于4，一只小蟲(chóng)從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行一周后回到點(diǎn)P處，則小蟲(chóng)爬行的最短路程為√如圖，設(shè)圓錐側(cè)面展開(kāi)扇形的圓心角為θ，則由題意可得2π×4＝12θ，在△POP′中，OP＝OP′＝12，則小蟲(chóng)爬行的最短路程為例4

(1)(2022·成都調(diào)研)如圖，四面體的各個(gè)面都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)圓柱的下底面圓周上，另一個(gè)頂點(diǎn)是上底面的圓心，則圓柱的表面積是√題型二表面積與體積命題點(diǎn)1表面積如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥平面ABC，E為垂足，點(diǎn)E為等邊三角形ABC的中心，連接AE并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)D.√∴將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個(gè)底面半徑為AB＝1，高為BC＝2的圓柱挖去一個(gè)底面半徑為AB＝1，高為BC－AD＝2－1＝1的圓錐，有一塔形幾何體由3個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn).已知最底層正方體的棱長(zhǎng)為2，則該塔形幾何體的表面積為_(kāi)____.教師備選36∴該幾何體的表面積為36.思維升華(1)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和.(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積是將其展開(kāi)后，展開(kāi)圖的面積與底面面積之和.(3)組合體的表面積求解時(shí)注意對(duì)銜接部分的處理.命題點(diǎn)2體積例5

(1)(2021·新高考全國(guó)Ⅱ)正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2,4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為√作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上、下底面的中心，如圖，因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2,4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，下底面面積S1＝16，上底面面積S2＝4，(2)(2020·新高考全國(guó)Ⅱ)棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱BB1，AB的中點(diǎn)，則三棱錐A1－D1MN的體積為_(kāi)__.1如圖，由正方體棱長(zhǎng)為2，又易知D1A1為三棱錐D1－A1MN的高，且D1A1＝2，(3)(2022·大同模擬)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)巨著，其卷第五“商功”有如下的問(wèn)題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無(wú)廣，高一丈.問(wèn)積幾何？”意思為：今有底面為矩形的屋脊形狀的多面體(如圖)，下底面寬AD＝3丈，長(zhǎng)AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF與平面ABCD平行，EF與平面ABCD的距離為1丈，則它的體積是A.4立方丈

B.5立方丈C.6立方丈

D.8立方丈√如圖，過(guò)E作EG⊥平面ABCD，垂足為G，過(guò)F作FH⊥平面ABCD，垂足為H，過(guò)G作PQ∥AD，交AB于Q，交CD于P，過(guò)H作MN∥BC，交AB于N，交CD于M，則它的體積V＝VE－AQPD＋VEPQ－FMN＋VF－NBCM由圖形的對(duì)稱性可知，AQ＝BN＝1，QN＝2，且四邊形AQPD與四邊形NBCM都是矩形.(2022·佛山模擬)如圖所示，在直徑AB＝4的半圓O內(nèi)作一個(gè)內(nèi)接直角三角形ABC，使∠BAC＝30°，將圖中陰影部分，以AB為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)180°形成一個(gè)幾何體，則該幾何體的體積為_(kāi)_____.教師備選如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D.在Rt△ABC中，AD＝ACcos30°＝3，BD＝AB－AD＝1，將圖中陰影部分，以AB為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)180°形成一個(gè)幾何體，該幾何體是以AB為直徑的半個(gè)球中間挖去兩個(gè)同底的半圓錐，思維升華求空間幾何體的體積的常用方法公式法規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式割補(bǔ)法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體等體積法通過(guò)選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積跟蹤訓(xùn)練2

(1)(2022·武漢質(zhì)檢)等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為1，現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積為√如果是繞直角邊旋轉(zhuǎn)，則形成圓錐，圓錐底面半徑為1，高為1，母線就是直角三角形的斜邊，長(zhǎng)為

，如果繞斜邊旋轉(zhuǎn)，則形成的是上、下兩個(gè)圓錐.圓錐的半徑是直角三角形斜邊上的高，所以圓錐的半徑為

，兩個(gè)圓錐的母線都是直角三角形的直角邊，母線長(zhǎng)是1，(2)(2022·天津和平區(qū)模擬)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則三棱錐A－B1CD1的體積為√如圖，三棱錐A－B1CD1是由正方體ABCD－A1B1C1D1截去四個(gè)小三棱錐A－A1B1D1，C－B1C1D1，B1－ABC，D1－ACD，又

＝23＝8，KESHIJINGLIAN課時(shí)精練1.下列說(shuō)法不正確的是A.圓柱的每個(gè)軸截面都是全等的矩形B.棱柱的兩個(gè)互相平行的面一定是棱柱的底面C.棱臺(tái)的側(cè)面是梯形D.用一個(gè)平面截一個(gè)球，得到的截面是一個(gè)圓面基礎(chǔ)保分練√12345678910111213141516B不正確，例如六棱柱的相對(duì)側(cè)面也互相平行.2.(2022·梧州調(diào)研)在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)學(xué)九章》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有木長(zhǎng)二丈四尺，圍之五尺.葛生其下，纏本兩周，上與木齊，問(wèn)葛長(zhǎng)幾何？”意思是“圓木長(zhǎng)2丈4尺，圓周長(zhǎng)為5尺，葛藤?gòu)膱A木的底部開(kāi)始向上生長(zhǎng)，繞圓木兩周，剛好頂部與圓木平齊，問(wèn)葛藤最少長(zhǎng)多少尺？”(注：1丈等于10尺)，則這個(gè)問(wèn)題中，葛藤長(zhǎng)的最小值為A.2丈4尺

B.2丈5尺C.2丈6尺

D.2丈8尺√1234567891011121314151612345678910111213141516如圖，由題意，圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，一條直角邊(即圓木的高)長(zhǎng)24尺，另一條直角邊長(zhǎng)5×2＝10(尺)，因此葛藤長(zhǎng)的最小值為＝26(尺)，即為2丈6尺.3.(2021·北京)某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為√1234567891011121314151612345678910111213141516根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體－正三棱錐O－ABC，其側(cè)面為等腰直角三角形，底面為等邊三角形，由三視圖可得該正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為1，4.(2022·蘭州模擬)玉琮是一種內(nèi)圓外方的筒型玉器，它與玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被稱為“六器”，是古人用于祭祀神祇的一種禮器.《周禮》中載有“以玉作六器，以禮天地四方，以蒼璧禮天，以黃琮禮地”等文.如圖為齊家文化玉琮，該玉琮中方內(nèi)空，形狀對(duì)稱，圓筒內(nèi)徑2.0cm，外徑2.4cm，筒高6.0cm，方高4.0cm，則其體積約為(單位：cm3)A.23.04－3.92π B.34.56－3.92πC.34.56－3.12π D.23.04－3.12π√12345678910111213141516由題圖可知，組合體由圓柱、長(zhǎng)方體構(gòu)成，123456789101112131415165.(2022·商洛模擬)正多面體被古希臘圣哲認(rèn)為是構(gòu)成宇宙的基本元素，加上它們的多種變體，一直是科學(xué)、藝術(shù)、哲學(xué)靈感的源泉之一.如圖，該幾何體是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正八面體，則此正八面體的體積與表面積之比為12345678910111213141516√12345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516如圖，連接AD1，BC1分別延長(zhǎng)至F，G，使得AD＝AF，BC＝BG，連接EG，F(xiàn)G，∵四棱柱ABCD－A1B1C1D1為正四棱柱，∴AB⊥平面ADD1A1，AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥AF，AB⊥BG，又AB＝AD＝AF，∴四邊形ABGF為正方形，12345678910111213141516∴D1E＋CE的最小值為D1G，7.已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為12345678910111213141516√8.(2022·邯鄲模擬)攢尖是我國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見(jiàn)于亭閣式建筑、園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐.已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的銳二面角為θ，這個(gè)角接近30°，若取θ＝30°，側(cè)棱長(zhǎng)為

米，則A.正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為4米B.正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為3米C.正四棱錐的側(cè)面積為24

平方米D.正四棱錐的側(cè)面積為12

平方米12345678910111213141516√如圖，在正四棱錐S－ABCD中，O為正方形ABCD的中心，H為AB的中點(diǎn)，則SH⊥AB，設(shè)底面邊長(zhǎng)為2a.因?yàn)椤蟂HO＝30°，123456789101112131415169.如圖是水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,2)，則由斜二測(cè)畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點(diǎn)B′到x′軸的距離為_(kāi)____.1234567891011121314151612345678910111213141516利用斜二測(cè)畫法作正方形ABCO的直觀圖如圖，在坐標(biāo)系O′x′y′中，B′C′＝1，∠x(chóng)′C′B′＝45°.過(guò)點(diǎn)B′作x′軸的垂線，垂足為點(diǎn)D′.在Rt△B′D′C′中，10.在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱的底面直徑為40cm，母線長(zhǎng)最短50cm，最長(zhǎng)80cm，則斜截圓柱的側(cè)面面積S＝_______cm2.123456789101112131415162600π將題圖所示的相同的兩個(gè)幾何體對(duì)接為圓柱，則圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖為矩形.11.(2020·江蘇)如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的.已知螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半徑為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是__________cm3.1234567891011121314151612345678910111213141516螺帽的底面正六邊形的面積12.(2022·佛山質(zhì)檢)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，底面圓周上的兩點(diǎn)A，B滿足△SBA為等邊三角形，且面積為4

，又知圓錐軸截面的面積為8，則圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_______.1234567891011121314151612345678910111213141516又設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，則由軸截面的面積為8，得rh＝8；又r2＋h2＝16，13.(2021·全國(guó)乙卷)以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為_(kāi)__________________________(寫出符合要求的一組答案即可.)12345678910111213141516技能提升練圖①圖②圖③圖④

圖⑤③④(答案不唯一，②⑤也可)根據(jù)“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”及圖中數(shù)據(jù)，可知圖②③只能是側(cè)視圖，圖④⑤只能是俯視圖，則組成某個(gè)三棱錐的三視圖，所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次是③④或②⑤.若是③④，則原幾何體如圖1所示；若是②⑤，則原幾何體如圖2所示.12345678910111213141516圖1

圖21234567891011121314151614.(2022·南京模擬)小張周末準(zhǔn)備去探望奶奶，到商店買了一盒點(diǎn)心，為了美觀起見(jiàn)，售貨員用彩繩對(duì)點(diǎn)心盒做了一個(gè)捆扎(如圖①所示)，并在角上配了一個(gè)花結(jié).彩繩與長(zhǎng)方體點(diǎn)心盒均相交于棱的四等分點(diǎn)處.設(shè)這種捆扎方法所用繩長(zhǎng)為l1，一般的十字捆扎(如圖②所示)所用繩長(zhǎng)為l2.若點(diǎn)心盒的長(zhǎng)、寬、高之比為2∶2∶1，則

的值為_(kāi)_____.圖①

圖②∵點(diǎn)心盒的長(zhǎng)、寬、高之比是2∶2∶1，∴設(shè)點(diǎn)心盒的長(zhǎng)、寬、高分別為4a,4a,2a，12345678910111213141516l2＝4×4a＋4×2a＝24a，圖①圖②15.魯班鎖(也稱孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方)起源于古代中國(guó)建筑的榫卯結(jié)構(gòu).如圖1，這是一種常見(jiàn)的魯班鎖玩具，圖2是該魯班鎖玩具的直觀圖，每條棱的長(zhǎng)均為2，則該魯班鎖的表面積為拓展沖刺練12345678910111213141516圖1

圖2√12345678910111213141516由題圖可知，該魯班鎖玩具可以看成是一個(gè)棱長(zhǎng)為2＋2

的正方體截去了8個(gè)正三棱錐所余下來(lái)的幾何體，且被截去的正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為

，圖1

圖21234567891011121314151616.(2022·壽光模擬)沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開(kāi)始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過(guò)連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱為該沙漏的一個(gè)沙時(shí).如圖，某沙漏由上、下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm，細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高度為圓錐高度的

(細(xì)管長(zhǎng)度忽略不計(jì))，假設(shè)該沙漏每秒鐘漏0.02cm3的沙，且細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，以下結(jié)論不正確的是(π≈3.14)12345678910111213141516A.沙漏中的細(xì)沙體積為

cm3B.沙漏的體積是128πcm3C.細(xì)沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約

為2.4cmD.該沙漏的一個(gè)沙時(shí)大約是1985秒√12345678910111213141516A項(xiàng)，根據(jù)圓錐的截面圖可知，細(xì)沙在上部時(shí)，細(xì)沙的底面半徑與圓錐的底面半徑之比等于細(xì)沙的高與圓錐的高之比，12345678910111213141516C項(xiàng)，設(shè)細(xì)沙流入下部后的高度為h1，根據(jù)細(xì)沙體積不變可知，沙漏每秒鐘漏下0.02cm3的沙，本課結(jié)束第八章培優(yōu)課§8.2球的切、接問(wèn)題例1

(1)已知正方體的棱長(zhǎng)為a，則它的外接球半徑為_(kāi)______，與它各棱都相切的球的半徑為_(kāi)_____.題型一特殊幾何體的切、接問(wèn)題(2)已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_(kāi)_____.圓錐內(nèi)半徑最大的球即為圓錐的內(nèi)切球，設(shè)其半徑為r.作出圓錐的軸截面PAB，如圖所示，則△PAB的內(nèi)切圓為圓錐的內(nèi)切球的大圓.在△PAB中，PA＝PB＝3，D為AB的中點(diǎn)，AB＝2，E為切點(diǎn)，思維升華(1)正方體與球的切、接常用結(jié)論正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝

a；②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝

a.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)(2022·成都模擬)已知圓柱的兩個(gè)底面的圓周在體積為的球O的球面上，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為A.4π

B.8π

C.12π

D.16π√如圖所示，設(shè)球O的半徑為R，由球的體積公式得設(shè)圓柱的上底面半徑為r，球的半徑與上底面夾角為α，則r＝2cosα，圓柱的高為4sinα，∴圓柱的側(cè)面積為4πcosα×4sinα＝8πsin2α，∴圓柱的側(cè)面積的最大值為8π.(2)(2022·長(zhǎng)沙檢測(cè))在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是____.易知AC＝10.設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，因?yàn)?r＝4>3，所以最大球的直徑2R＝3，A.2π

B.4π

C.6π

D.8π√題型二補(bǔ)形法由題意可采用補(bǔ)形法，考慮到四面體ABCD的對(duì)棱相等，所以將四面體放入一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為x，y，z的長(zhǎng)方體，并且x2＋y2＝3，x2＋z2＝5，y2＋z2＝4，則有(2R)2＝x2＋y2＋z2＝6(R為外接球的半徑)，得2R2＝3，所以外接球的表面積為S＝4πR2＝6π.(2)(2022·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校月考)如圖，在多面體中，四邊形ABCD為矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通過(guò)添加一個(gè)三棱錐可以將該多面體補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，那么添加的三棱錐的體積為_(kāi)___，補(bǔ)形后的直三棱柱的外接球的表面積為_(kāi)___.6π如圖添加的三棱錐為直三棱錐E－ADF，可以將該多面體補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱ADF－BCE，因?yàn)镃E⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，直三棱柱ADF－BCE的體積為如圖，分別取AF，BE的中點(diǎn)M，N，連接MN，與AE交于點(diǎn)O，因?yàn)樗倪呅蜛FEB為矩形，所以O(shè)為AE，MN的中點(diǎn)，在直三棱柱ADF－BCE中，CE⊥平面ABCD，F(xiàn)D⊥平面ABCD，即∠ECB＝∠FDA＝90°，所以上、下底面為等腰直角三角形，直三棱柱的外接球的球心即為點(diǎn)O，連接DO，DO即為球的半徑，所以外接球的表面積為4π·DO2＝6π.思維升華補(bǔ)形法的解題策略(1)側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長(zhǎng)方體中去求解；(2)直三棱錐補(bǔ)成三棱柱求解.√跟蹤訓(xùn)練2

已知三棱錐P－ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積為以線段PA，PB，PC為相鄰三條棱的長(zhǎng)方體PAB′B－CA′P′C′被平面ABC所截的三棱錐P－ABC符合要求，如圖，長(zhǎng)方體PAB′B－CA′P′C′與三棱錐P－ABC有相同的外接球，其外接球直徑為長(zhǎng)方體體對(duì)角線PP′，設(shè)外接球的半徑為R，則(2R)2＝PP′2＝PA2＋PB2＋PC2＝12＋22＋32＝14，則所求表面積S＝4πR2＝π·(2R)2＝14π.√題型三定義法例3

(1)已知∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，若PA＝AB＝BC＝1，則四面體PABC的外接球(頂點(diǎn)都在球面上)的體積為如圖，取PC的中點(diǎn)O，連接OA，OB，由題意得PA⊥BC，又因?yàn)锳B⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，因此P，A，B，C四點(diǎn)在以O(shè)為球心的球面上，延伸探究

本例(1)條件不變，則四面體P－ABC的內(nèi)切球的半徑為_(kāi)_______.設(shè)四面體P－ABC的內(nèi)切球半徑為r.由本例(1)知，(2)在矩形ABCD中，BC＝4，M為BC的中點(diǎn)，將△ABM和△DCM分別沿AM，DM翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合于點(diǎn)P，若∠APD＝150°，則三棱錐M－PAD的外接球的表面積為A.12π B.34πC.68π D.126π√如圖，由題意可知，MP⊥PA，MP⊥PD.且PA∩PD＝P，PA?平面PAD，PD?平面PAD，所以MP⊥平面PAD.設(shè)△ADP的外接圓的半徑為r，設(shè)三棱錐M－PAD的外接球的半徑為R，則(2R)2＝PM2＋(2r)2，即(2R)2＝4＋64＝68，所以4R2＝68，所以外接球的表面積為4πR2＝68π.思維升華到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可.跟蹤訓(xùn)練3

(1)一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為

，底面周長(zhǎng)為3，則這個(gè)球的體積為_(kāi)____.設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為x，高為h，(2)(2022·哈爾濱模擬)已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是矩形，其中AD＝1，AB＝2，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD為等邊三角形，則四棱錐P－ABCD的外接球表面積為√如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA＝PD，取AD的中點(diǎn)E，則PE⊥AD，PE⊥平面ABCD，則PE⊥AB，由AD⊥AB，AD∩PE＝E，AD，PE?平面PAD，可知AB⊥平面PAD，由△PAD為等邊三角形，E為AD的中點(diǎn)知，PE的三等分點(diǎn)F(距離E較近的三等分點(diǎn))是三角形的中心，過(guò)F作平面PAD的垂線，過(guò)矩形ABCD的中心O作平面ABCD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)I，則I即外接球的球心.設(shè)外接球半徑為R，KESHIJINGLIAN課時(shí)精練√1234567891011121.正方體的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為123456789101112設(shè)正方體的外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r，棱長(zhǎng)為1，√123456789101112123456789101112作出圓錐的軸截面如圖所示.設(shè)該圓錐的外接球的球心為O，半徑為R，3.已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱錐的高為3，體積為6，則這個(gè)球的表面積為A.16π B.20πC.24π D.32π√123456789101112123456789101112如圖所示，在正四棱錐P－ABCD中，O1為底面對(duì)角線的交點(diǎn)，O為外接球的球心.設(shè)正四棱錐外接球的半徑為R，則OC＝R，OO1＝3－R，所以外接球的表面積為4π×22＝16π.4.已知棱長(zhǎng)為1的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積為√123456789101112123456789101112如圖將棱長(zhǎng)為1的正四面體B1－ACD1放入正方體ABCD－A1B1C1D1中，所以正方體的體對(duì)角線123456789101112因?yàn)檎拿骟w的外接球即為正方體的外接球，5.(2021·天津)兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為

，兩個(gè)圓錐的高之比為1∶3，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為A.3π

B.4π

C.9π

D.12π√123456789101112123456789101112如圖所示，設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)D，設(shè)圓錐AD和圓錐BD的高之比為3∶1，即AD＝3BD，所以AB＝AD＋BD＝4BD＝4，所以BD＝1，AD＝3，因?yàn)镃D⊥AB，AB為球的直徑，123456789101112所以△ACD∽△CBD，因此，這兩個(gè)圓錐的體積之和為6.(2022·蚌埠模擬)粽子，古時(shí)北方也稱“角黍”，是由粽葉包裹糯米、泰米等餡料蒸煮制成的食品，是中國(guó)漢族傳統(tǒng)節(jié)慶食物之一，端午食粽的風(fēng)俗，千百年來(lái)在中國(guó)盛行不衰，粽子形狀多樣，餡料種類繁多，南北方風(fēng)味各有不同，某四角蛋黃粽可近似看成一個(gè)正四面體，蛋黃近似看成一個(gè)球體，且每個(gè)粽子里僅包裹一個(gè)蛋黃，若粽子的棱長(zhǎng)為9cm，則其內(nèi)可包裹的蛋黃的最大體積約為(參考數(shù)據(jù)：

≈2.45，π≈3.14)A.20cm3

B.22cm3C.26cm3

D.30cm3√123456789101112123456789101112如圖，正四面體ABCD，其內(nèi)切球O與底面ABC切于O1，設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為a，內(nèi)切球半徑為r，連接BO1并延長(zhǎng)交AC于F，易知O1為△ABC的中心，點(diǎn)F為邊AC的中點(diǎn).123456789101112∵VD－ABC＝VO－ABC＋VO－BCD＋VO－ABD＋VO－ACD√123456789101112123456789101112三棱錐P－ABC的外接球即為以AB，AC，AP為鄰邊的長(zhǎng)方體的外接球，取BC的中點(diǎn)O1，∴O1為△ABC的外接圓圓心，∴OO1⊥平面ABC，如圖.當(dāng)OD⊥截面時(shí)，截面的面積最小，123456789101112∴截面面積為πr2＝π，當(dāng)截面過(guò)球心時(shí)，截面圓的面積最大為πR2＝13π，故截面面積的取值范圍是[π，13π].√1234567891011128.(2021·全國(guó)甲卷)已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，則三棱錐O－ABC的體積為連接OO1，則OO1⊥平面ABC，1234567891011129.已知三棱錐S－ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且SA＝1，SB＝SC＝2，則三棱錐S－ABC的外接球的半徑是____.123456789101112如圖所示，將三棱錐補(bǔ)為長(zhǎng)方體，則該棱錐的外接球直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，設(shè)外接球半徑為R，則(2R)2＝12＋22＋22＝9，123456789101112123456789101112如圖，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥平面ABC于點(diǎn)D，連接AD并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連接PE.因?yàn)椤鰽BC是正三角形，所以AE是BC邊上的高和中線，D為△ABC的中心.123456789101112因?yàn)镻D＝1，設(shè)球的半徑為r，以球心O為頂點(diǎn)，三棱錐的四個(gè)面為底面，把正三棱錐分割為四個(gè)小三棱錐，11.等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝5，BC＝6，將它沿高AD翻折，使二面角B－AD－C成60°，此時(shí)四面體ABCD外接球的體積為_(kāi)_______.123456789101112123456789101112由題意，設(shè)△BCD所在的小圓為O1，半徑為r，又因?yàn)槎娼荁－AD－C為60°，即∠BDC＝60°，所以△BCD為邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，由正弦定理可得，設(shè)外接球的半徑為R，且AD＝4，在Rt△ADE中，123456789101112123456789101112設(shè)△ABC的外接圓圓心為O1，半徑為r，連接O1O，如圖，易得O1O⊥平面ABC，123456789101112即直三棱柱ABC－A1B1C1的外接球半徑R＝2，本課結(jié)束第八章§8.3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系考試要求1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.落實(shí)主干知識(shí)探究核心題型內(nèi)容索引課時(shí)精練LUOSHIZHUGANZHISHI落實(shí)主干知識(shí)1.四個(gè)公理公理1：如果一條直線上的

在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).公理2：過(guò)

的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們

過(guò)該點(diǎn)的公共直線.公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相

.兩點(diǎn)不在一條直線上有且只有一條平行2.空間中直線與直線的位置關(guān)系共面直線

直線

直線異面直線：不同在

一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)平行相交任何3.空間中直線與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系有：

、

、________________三種情況.直線在平面內(nèi)直線與平面相交直線與平面平行4.空間中平面與平面的位置關(guān)系平面與平面的位置關(guān)系有

、

兩種情況.5.等角定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角

.平行相交相等或互補(bǔ)判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說(shuō)α，β相交于過(guò)A點(diǎn)的任意一條直線.(

)(2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面.(

)(3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合.(

)(4)沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線.(

)×√××1.如圖是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，如果將它還原為正方體，則下列說(shuō)法不正確的是A.AB與CD是異面直線B.GH與CD相交C.EF∥CDD.EF與AB異面√把展開(kāi)圖還原成正方體，如圖所示.還原后點(diǎn)G與C重合，點(diǎn)B與F重合，由圖可知ABC正確，EF與AB相交，故D錯(cuò).2.如果直線a?平面α，直線b?平面β.且α∥β，則a與bA.共面

B.平行C.是異面直線

D.可能平行，也可能是異面直線√α∥β，說(shuō)明a與b無(wú)公共點(diǎn)，∴a與b可能平行也可能是異面直線.3.如圖，在三棱錐A－BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則(1)當(dāng)AC，BD滿足條件________時(shí)，四邊形EFGH為菱形；∵四邊形EFGH為菱形，∴EF＝EH，AC＝BD∴AC＝BD.(2)當(dāng)AC，BD滿足條件____________________時(shí)，四邊形EFGH為正方形.∵四邊形EFGH為正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，AC＝BD且AC⊥BD∴AC＝BD且AC⊥BD.TANJIUHEXINTIXING探究核心題型例1

如圖所示，已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求證：題型一平面基本性質(zhì)的應(yīng)用(1)D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；∵EF是△D1B1C1的中位線，∴EF∥B1D1.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF，BD確定一個(gè)平面，即D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面.(2)若A1C交平面DBFE于R點(diǎn)，則P，Q，R三點(diǎn)共線.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)平面A1ACC1為α，平面BDEF為β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β，則Q是α與β的公共點(diǎn)，同理，P是α與β的公共點(diǎn)，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.∴R∈α，且R∈β，則R∈PQ，故P，Q，R三點(diǎn)共線.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，連接D1F，CE.求證：教師備選(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；如圖所示，連接CD1，EF，A1B，∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，又∵A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1，∴EF與CD1能夠確定一個(gè)平面ECD1F，即E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面.(2)CE，D1F，DA三線共點(diǎn).∴四邊形CD1FE是梯形，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則P∈CE，且P∈D1F，∵CE?平面ABCD，D1F?平面A1ADD1，∴P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.又∵平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三線共點(diǎn).思維升華共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明(1)證明共面的方法：先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi).(2)證明共線的方法：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上.(3)證明共點(diǎn)的方法：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn).跟蹤訓(xùn)練1

(1)如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)不共面的圖是√對(duì)于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四點(diǎn)共面；同理，B，C圖中四點(diǎn)也共面；D中四點(diǎn)不共面.(2)在三棱錐A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果EF∩HG＝P，則點(diǎn)PA.一定在直線BD上B.一定在直線AC上C.在直線AC或BD上D.不在直線AC上，也不在直線BD上√如圖所示，因?yàn)镋F?平面ABC，HG?平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因?yàn)槠矫鍭BC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.例2

(1)下列推斷中，錯(cuò)誤的是A.若M∈α，M∈β，α∩β＝l，則M∈lB.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC.l?α，A∈l?A?αD.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α，β重合√題型二空間位置關(guān)系的判斷對(duì)于A，因?yàn)镸∈α，M∈β，α∩β＝l，由公理3可知M∈l，A對(duì)；對(duì)于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直線AB?α，AB?β，即α∩β＝AB，B對(duì)；對(duì)于C，若l∩α＝A，則有l(wèi)?α，A∈l，但A∈α，C錯(cuò)；對(duì)于D，有三個(gè)不共線的點(diǎn)在平面α，β中，故α，β重合，D對(duì).(2)已知在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是長(zhǎng)方形A1B1C1D1與長(zhǎng)方形BCC1B1的中心，則下列說(shuō)法正確的是A.直線MN與直線A1B是異面直線B.直線MN與直線DD1相交C.直線MN與直線AC1是異面直線D.直線MN與直線A1C平行√如圖，因?yàn)镸，N分別是長(zhǎng)方形A1B1C1D1與長(zhǎng)方形BCC1B1的中心，所以M，N分別是A1C1，BC1的中點(diǎn)，所以直線MN與直線A1B平行，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)橹本€MN經(jīng)過(guò)平面BB1D1D內(nèi)一點(diǎn)M，且點(diǎn)M不在直線DD1上，所以直線MN與直線DD1是異面直線，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)橹本€MN經(jīng)過(guò)平面ABC1內(nèi)一點(diǎn)N，且點(diǎn)N不在直線AC1上，所以直線MN與直線AC1是異面直線，所以C正確；因?yàn)橹本€MN經(jīng)過(guò)平面A1CC1內(nèi)一點(diǎn)M，且點(diǎn)M不在直線A1C上，所以直線MN與直線A1C是異面直線，所以D錯(cuò)誤.1.設(shè)a，b，c是三條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是A.若a?α，b?β，則a與b是異面直線B.若a與b異面，b與c異面，則a與c異面C.若a，b不同在平面α內(nèi)，則a與b異面D.若a，b不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，則a與b異面教師備選√2.如圖所示，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH與MN是異面直線的圖形有______.(填序號(hào))②④思維升華(1)點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的判定，注意構(gòu)造幾何體(長(zhǎng)方體、正方體)模型來(lái)判斷，常借助正方體為模型.(2)對(duì)異面直線的判定常用到以下結(jié)論：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線是異面直線.跟蹤訓(xùn)練2

(1)空間中有三條線段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是A.平行

B.異面C.相交或平行

D.平行或異面或相交均有可能√根據(jù)條件作出示意圖，容易得到以下三種情況均有可能，如圖可知AB與CD有相交、平行、異面三種情況.(2)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列結(jié)論正確的是A.l與l1，l2都不相交B.l與l1，l2都相交C.l至多與l1，l2中的一條相交D.l至少與l1，l2中的一條相交√如圖1，l1與l2是異面直線，l1與l平行，l2與l相交，故A，B不正確；圖1

圖2如圖2，l1與l2是異面直線，l1，l2都與l相交，故C不正確.A.三角形

B.四邊形C.五邊形

D.六邊形√題型三空間幾何體的切割(截面)問(wèn)題先確定截面上的已知邊與幾何體上和其共面的邊的交點(diǎn)，再確定截面與幾何體的棱的交點(diǎn).如圖，設(shè)直線C1M，CD相交于點(diǎn)P，直線C1N，CB相交于點(diǎn)Q，連接PQ交直線AD于點(diǎn)E，交直線AB于點(diǎn)F，則五邊形C1MEFN為所求截面圖形.(2)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2.以D1為球心，

為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長(zhǎng)為_(kāi)__.延伸探究

將本例(2)中正方體改為直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2，∠BAD＝60°.以D1為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長(zhǎng)為_(kāi)____.如圖，設(shè)B1C1的中點(diǎn)為E，球面與棱BB1，CC1的交點(diǎn)分別為P，Q，連接DB，D1B1，D1P，D1E，EP，EQ，由∠BAD＝60°，AB＝AD，知△ABD為等邊三角形，∴D1B1＝DB＝2，∴△D1B1C1為等邊三角形，∴E為球面截側(cè)面BCC1B1所得截面圓的圓心，設(shè)截面圓的半徑為r，∴球面與側(cè)面BCC1B1的交線為以E為圓心的圓弧PQ.同理C1Q＝1，∴P，Q分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，平面α經(jīng)過(guò)直線BD且與直線C1E平行，若正方體的棱長(zhǎng)為2，則平面α截正方體所得的多邊形的面積為_(kāi)___.教師備選如圖，過(guò)點(diǎn)B作BM∥C1E交B1C1于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作BD的平行線，交C1D1于點(diǎn)N，連接DN，則平面BDNM即為符合條件的平面α，由圖可知M，N分別為B1C1，C1D1的中點(diǎn)，∴等腰梯形MNDB的高為∴梯形MNDB的面積為思維升華(1)作截面應(yīng)遵循的三個(gè)原則：①在同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們的交點(diǎn)；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線.(2)作交線的方法有如下兩種：①利用公理3作交線；②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線.跟蹤訓(xùn)練3

(1)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點(diǎn)，用過(guò)點(diǎn)A，E，C1的平面截去該正方體的下半部分，則剩余幾何體的正視圖是√在正方體ABCD－A1B1C1D1中，過(guò)點(diǎn)A，E，C1的平面截去該正方體的下半部分后，剩余部分的直觀圖如圖.則該幾何體的正視圖為圖中粗線部分，故選A.(2)(2022·蘭州模擬)如圖，正方體A1C的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，過(guò)M的平面α與平面A1BC1平行，且與正方體各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長(zhǎng)為_(kāi)_______.在平面A1D1DA中尋找與平面A1BC1平行的直線時(shí)，只需要ME∥BC1，如圖所示，因?yàn)锳1M＝2MD1，故該截面與正方體的交點(diǎn)位于靠近D1，A，C的三等分點(diǎn)處，故可得截面為MIHGFE，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為3a，所以截面MIHGFE的周長(zhǎng)為ME＋EF＋FG＋GH＋HI＋I(xiàn)M＝9

a，又因?yàn)檎襟wA1C的棱長(zhǎng)為1，即3a＝1，KESHIJINGLIAN課時(shí)精練1.給出以下四個(gè)命題：①依次首尾相接的四條線段必共面；②過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；③空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角必相等；④垂直于同一直線的兩條直線必平行.其中正確命題的個(gè)數(shù)是A.0

B.1

C.2

D.3基礎(chǔ)保分練√1234567891011121314151612345678910111213141516①中，空間四邊形的四條線段不共面，故①錯(cuò)誤.②中，由公理2知道，過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，故②正確.③中，由空間角的等角定理知，空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故③錯(cuò)誤.④中，空間中，垂直于同一直線的兩條直線可相交、可平行、可異面，故④錯(cuò)誤.2.已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列判斷正確的是A.若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則直線m與n可能相交或異面B.若α⊥β，m?α，n?β，則直線m與n一定平行C.若m⊥α，n∥β，α⊥β，則直線m與n一定垂直D.若m∥α，n∥β，α∥β，則直線m與n一定平行√1234567891011121314151612345678910111213141516m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，對(duì)于A，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則直線m與n相交垂直或異面垂直，故A正確；對(duì)于B，若α⊥β，m?α，n?β，則直線m與n相交、平行或異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若m⊥α，n∥β，α⊥β，則直線m與n相交、平行或異面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若m∥α，n∥β，α∥β，則直線m與n平行或異面，故D錯(cuò)誤.3.(2022·營(yíng)口模擬)已知空間中不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線a，b，l，則“a，b，l兩兩相交”是“a，b，l共面”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√1234567891011121314151612345678910111213141516空間中不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線a，b，l，若a，b，l在同一平面，則a，b，l相交或a，b，l有兩個(gè)平行，另一直線與之相交，或三條直線兩兩平行.所以a，b，l在同一平面，則a，b，l兩兩相交不一定成立；而若a，b，l兩兩相交，則a，b，l在同一平面成立.故“a，b，l兩兩相交”是“a，b，l共面”的充分不必要條件.4.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M，N，F(xiàn)分別是B1C1，CC1，AB的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是√12345678910111213141516設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2a，作點(diǎn)E在平面ABCD內(nèi)的射影點(diǎn)G，連接EG，GF，12345678910111213141516連接DE，因?yàn)镋為平面ADD1A1的中心，又因?yàn)镸，N分別為B1C1，CC1的中點(diǎn)，所以MN∥B1C，又因?yàn)锽1C∥A1D，所以MN∥ED，且DE∩EF＝E，所以MN與EF異面，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.123456789101112131415165.如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是A.直線AC

B.直線ABC.直線CD

D.直線BC12345678910111213141516√12345678910111213141516由題意知，D∈l，l?β，所以D∈β，又因?yàn)镈∈AB，所以D∈平面ABC，所以點(diǎn)D在平面ABC與平面β的交線上.又因?yàn)镃∈平面ABC，C∈β，所以點(diǎn)C在平面β與平面ABC的交線上，所以平面ABC∩平面β＝CD.6.(2022·廈門模擬)下列說(shuō)法正確的是A.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形確定一個(gè)平面B.和同一條直線異面的兩直線一定共面C.與兩異面直線分別相交的兩直線一定不平行D.一條直線和兩平行線中的一條相交，也必定和另一條相交√1234567891011121314151612345678910111213141516兩組對(duì)邊分別相等的四邊形可能是空間四邊形，故A錯(cuò)誤；如圖1，直線DD1與B1C1都是直線AB的異面直線，同樣DD1與B1C1也是異面直線，故B錯(cuò)誤；如圖2，設(shè)直線AB與CD是異面直線，則直線AC與BD一定不平行，否則若AC∥BD，有AC與BD確定一個(gè)平面α，則AC?α，BD?α，所以A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，所以AB?α，CD?α，這與假設(shè)矛盾，故C正確；圖1圖212345678910111213141516如圖1，AB∥CD，而直線AA1與AB相交，但與直線CD不相交，故D錯(cuò)誤.圖112345678910111213141516②④12345678910111213141516①與同一條直線平行的兩個(gè)平面不一定平行，在本題的條件下，兩平面可能相交，所以①是假命題；②根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系，由a⊥α，a⊥β可得出α∥β，所以②是真命題；③根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系，可得a與b可以是平行或相交或異面，所以