空間兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系（原卷版）

13.2.2空間兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一兩直線(xiàn)的位置關(guān)系(1)定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn).(2)畫(huà)法：(1)基本事實(shí)4①文字語(yǔ)言：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行.②符號(hào)語(yǔ)言：直線(xiàn)a，b，c，a∥b，c∥b?a∥c.③作用：證明空間兩條直線(xiàn)平行.(2)等角定理①內(nèi)容：如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).②作用：證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ).(1)定義：平面內(nèi)兩條直線(xiàn)相交成4個(gè)角，其中不大于90°的角稱(chēng)為這兩條直線(xiàn)所成的角(或夾角)；規(guī)定兩直線(xiàn)平行時(shí)夾角為0°，垂直時(shí)夾角為90°.(2)范圍：兩條直線(xiàn)夾角α的取值范圍是0°≤α≤90°.考點(diǎn)二異面直線(xiàn)所成的角1.定義：已知兩條異面直線(xiàn)a，b，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O分別作直線(xiàn)a′∥a，b′∥b，則異面直線(xiàn)a與b所成的角(或夾角)就是直線(xiàn)a′與b′所成的銳角(或直角).2.范圍：0°<θ≤90°.特別地，當(dāng)θ＝90°時(shí)，a與b互相垂直，記作a⊥b.‘【題型歸納】題型一：異面直線(xiàn)的概念理解1．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）異面直線(xiàn)指的是（）A．兩條不相交的直線(xiàn) B．兩條不平行的直線(xiàn)C．不同在某個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn) D．不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)2．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下圖是正方體的平面展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體中，有以下判斷：①BF與DN平行；②CM與BN是異面直線(xiàn)；③DF與BN垂直；④AE與DN是異面直線(xiàn)．則判斷正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考期末）已知a，b為異面直線(xiàn)，aα，bβ，α∩β＝c，則直線(xiàn)c一定（）A．同時(shí)和直線(xiàn)a，b相交 B．至少與直線(xiàn)a，b中的一條相交C．至多與直線(xiàn)a，b中的一條相交 D．與直線(xiàn)a，b中一條相交，一條平行題型二：證明異面直線(xiàn)垂直4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖是正方體的平面展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體中，①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線(xiàn)；③CN與BM成60°；④DM與BN垂直.以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是（）A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④5．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．MN與CC1垂直B．MN與AC垂直C．MN與BD平行D．MN與A1B1平行6．（2018秋·河南洛陽(yáng)·高一階段練習(xí)）正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB1，BC1的中點(diǎn)，則以下結(jié)論中不成立的是A．EF與BB1垂直B．EF與BD垂直C．EF與CD異面D．EF與A1C1異面題型三：求異面直線(xiàn)所成的角7．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知正三棱柱的棱長(zhǎng)都相等，為棱的中點(diǎn)，則與所成角的正弦值為（）A． B． C． D．8．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在三棱錐A－BCD中，已知平面BCD，，若AB＝2，BC＝CD＝4，則AC與BD所成角的余弦值為（）A． B． C． D．9．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=A1A=2,M?N分別是BB1和B1C1的中點(diǎn),則直線(xiàn)AM與CN所成角的余弦值等于（）A． B． C． D．題型四：和異面直線(xiàn)所成的角有關(guān)的綜合性問(wèn)題10．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）空間四邊形中，且與所成的角為，、分別是、的中點(diǎn)，求與所成的角的大?。?1．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，，，，、分別為線(xiàn)段、上的點(diǎn)，且，．(1)求證：直線(xiàn)與為異面直線(xiàn)；(2)求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值．12．（2023·高一單元測(cè)試）如圖所示，在四面體中，E、F分別是線(xiàn)段AD、BC上的點(diǎn)，．(1)求證：直線(xiàn)與是異面直線(xiàn)；(2)若，，求、所成角的大?。倦p基達(dá)標(biāo)】一、單選題13．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若空間三條直線(xiàn)a，b，c滿(mǎn)足a⊥b，bc，則直線(xiàn)a與c（）A．一定平行 B．一定垂直C．一定是異面直線(xiàn) D．一定相交14．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在正方體中,分別為的中點(diǎn),則異面直線(xiàn)與所成角的大小為（）A． B． C． D．15．（2023·高一單元測(cè)試）在正四面體中，D為的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．16．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）兩條異面直線(xiàn)指的是（）A．不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)B．在空間內(nèi)不相交的兩條直線(xiàn)C．分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的直線(xiàn)D．某一個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)和這個(gè)平面外的一條直線(xiàn)17．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為a，求異面直線(xiàn)與所成的角．18．（2022春·廣東河源·高一?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在正方體．(1)求與所成角的大小；(2)求與平面所成的角．【高分突破】一、單選題19．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，則異面直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的正弦值為（）A． B． C． D．20．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖是正方體的平面展開(kāi)圖，則在這個(gè)正方體中，與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)是（）A． B． C． D．21．（2023·高一單元測(cè)試）如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值是（）A． B． C． D．22．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，在正三棱柱中，，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．23．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在正四面體ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CD，AC的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)AE，F(xiàn)G所成角的余弦值為（）A． B． C． D．24．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，E，F(xiàn)，G分別是的中點(diǎn)．若，則異面直線(xiàn)與所成角的大小為（）A． B． C． D．二、多選題25．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖是正方體的平面展開(kāi)圖，則在這個(gè)正方體中（）A．AB與CD平行 B．CD與GH是異面直線(xiàn)C．EF與GH成角 D．CD與EF平行26．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知正方體中，M為的中點(diǎn)，則下列直線(xiàn)中與直線(xiàn)BM是異面直線(xiàn)的有（）A． B． C． D．27．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，如果將它還原為正方體，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．直線(xiàn)與直線(xiàn)共面 B．直線(xiàn)與直線(xiàn)異面C．直線(xiàn)與直線(xiàn)共面 D．直線(xiàn)與直線(xiàn)異面28．（2022春·江蘇常州·高一校聯(lián)考期中）設(shè)A、B、C、D是空間中四個(gè)不同的點(diǎn)，下列命題中正確的是（）A．若AC與BD共面，則AD與BC共面B．若AC與BD是異面直線(xiàn)，則AD與BC也是異面直線(xiàn)C．若，則AD=BCD．若，則AD⊥BC29．（2022春·貴州六盤(pán)水·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G分別為BC，，的中點(diǎn)，則（）A．直線(xiàn)與直線(xiàn)DC所成角的正切值為B．直線(xiàn)與平面AEF不平行C．點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等D．平面AEF截正方體所得的截面面積為三、填空題30．（2023·高一）直三棱柱中，，，則與所成角大小為_(kāi)_____．31．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在空間四邊形中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，對(duì)角線(xiàn)，異面直線(xiàn)與所成角大小為60°，則的長(zhǎng)度是______．32．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）對(duì)于命題：①若、與成等角，則；②若，，則；③若，，則；④若，，，則、不可能平行．其中正確命題的序號(hào)是______．33．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，與所成的角為，則與平面所成角的正弦值為_(kāi)_______34．（2022秋·陜西咸陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)·商功》中劉徽注解“邪解立方得二塹堵”.如圖，在正方體中“邪解”得到一塹堵，為的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成的角為_(kāi)_____.35．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在直三棱柱中，，，分別是，的中點(diǎn)，，則與所成角的余弦值是_____________.四、解答題36．（2023春·全國(guó)·高一）已知是空間四邊形，如圖所示（，，，分別是、、、上的點(diǎn)）．(1)若直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，證明，，三點(diǎn)共線(xiàn)；(2)若，為，的中點(diǎn)，，，，求異面直線(xiàn)與所成的角的余弦值．37．（2023春·全國(guó)·高一）如圖，在空間四邊形中，，M，N分別是，的中點(diǎn)．若異面直線(xiàn)與所成的角為，求的長(zhǎng)．38．（2022春·上海閔行·高一閔行中學(xué)校）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1．(1)寫(xiě)出所有與是異面直線(xiàn)的棱；(2)若M