力對點之矩合力矩定理

建筑力學(xué)4.1力對點之矩、合力矩定理第四章力矩與平面力偶系【學(xué)習(xí)目標】1.掌握力矩的概念與計算；2.理解力偶的概念及其性質(zhì)；3.掌握平面力偶系的平衡條件及其應(yīng)用；4.熟練掌握合力矩定理及其應(yīng)用。4.1力對點之矩、合力矩定理一、力對點之矩物體在力的作用下將產(chǎn)生運動效應(yīng)。運動可分解為移動和轉(zhuǎn)動。由經(jīng)驗可知，力使物體移動的效應(yīng)取決于力的大小和方向。那么，力使物體轉(zhuǎn)動的效應(yīng)與哪些因素有關(guān)呢？4.1力對點之矩、合力矩定理如圖4-1所示，用扳手擰緊螺母時，在扳手上作用一力F，使扳手和螺母一起繞螺絲中心O轉(zhuǎn)動，就是力F使扳手產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應(yīng)。由經(jīng)驗知，加在扳手上的力F離螺母中心O愈遠，擰緊螺母就愈省力；力F離螺母中心愈近，就愈費力。若施力方向與圖示力F的方向相反，扳手將按相反的方向轉(zhuǎn)動，就會使螺母松動。此外，如圖4-2所示，用釘錘拔釘子，以及用撬杠撬動笨重物體，等等，都有類似的情形。4.1力對點之矩、合力矩定理這些例子說明，力F使物體繞任一點O轉(zhuǎn)動的效應(yīng)，如圖4-3所示，決定于：（1）力F的大小以及力F相對于點O的轉(zhuǎn)向；（2）點O到力F的作用線的垂直距離d

。4.1力對點之矩、合力矩定理在平面問題中，我們把乘積Fd加上適當?shù)恼撎?，作為力F使物體繞點O轉(zhuǎn)動效應(yīng)的度量，并稱為力F對點O的矩，簡稱力矩，用Mo(F)或MO表示，即

MO(F)=Fd

（4-1）點O稱為矩心，力作用線到矩心的垂直距離d稱為力臂。正負號通常用來區(qū)別力使物體矩心轉(zhuǎn)動的方向，并規(guī)定：若力使物體繞矩心作逆時針方向轉(zhuǎn)動，力矩取正號，如圖4-3a所示;反之，取負號，如圖4-3b所示。4.1力對點之矩、合力矩定理由此在平面問題中可得結(jié)論如下：力對點之矩是一代數(shù)量，它的絕對值等于力的大小與力臂的乘積，它的正負可按下法確定：力使物體繞矩心作逆時針方向轉(zhuǎn)動時為正，反之為負。力矩的概念可以推廣到普遍的情形。在具體應(yīng)用時，對于矩心的選擇無任何限制，作用于物體上的力可以對平面內(nèi)任一點取矩。4.1力對點之矩、合力矩定理綜上所述，得出如下力矩性質(zhì)：（1）力F對點O的矩，不僅決定于力的大小，同時與矩心的位置有關(guān)。矩心的位置不同，力矩隨之而異。（2）力F對任一點的矩，不因為F的作用點沿其作用線移動而改變，因為力和力臂的大小均未改變。（3）力的大小等于零或力的作用線通過矩心，即公式（3-1）中的F=0或者d=0,則力矩等于零。（4）相互平衡的兩個力對同一點的矩的代數(shù)和等于零。在國際單位制中，力矩的單位是?！っ祝∟·m）或千牛·米（kN·m）。4.1力對點之矩、合力矩定理二、合力矩定理我們知道，平面匯交力系對物體的作用效果可以用它的合力FR來代替。那么，力系中各分力對平面內(nèi)某點的矩與它們的合力FR對該點的矩有什么關(guān)系呢？現(xiàn)在來研究這一問題。

4.1力對點之矩、合力矩定理設(shè)在物體上A點作用有同一平面內(nèi)的兩個匯交力F1和F2，它們的合力為FR（圖4-4）。在力的平面內(nèi)任選一點O為矩心，并垂直于OA作y軸。令Fy1、Fy2和FRy分別表示力F1、F2、FR在y軸上的投影，由圖4-4可以看出：Fy1=Ob1

；

Fy2=－Ob2

；FRy=Ob4.1力對點之矩、合力矩定理各力對O點的矩分別是Mo(F1)=Ob1·OA=

Fy1·OAMo(F2)=－Ob2·OA=Fy2·OAMo(FR)=Ob·OA=FRy·OA

將上面三式設(shè)為（a）式4.1力對點之矩、合力矩定理根據(jù)合力投影定理有

FRy

=Fy1+Fy2上式的兩邊同乘以O(shè)A得

FRy·OA=Fy1·OA+Fy2·OA

（b）將上面式（a）代入式（b）得

Mo（FR）=Mo（F1）+Mo（F2）

上式表明：匯交于一點的兩個力對平面內(nèi)某點力矩的代數(shù)和等于其合力對該點的矩。4.1力對點之矩、合力矩定理如果作用在平面內(nèi)A點有幾個匯交力，可以多次應(yīng)用上述結(jié)論而得到平面匯交力系的合力矩定理，即：平面匯交力系的合力對平面內(nèi)任一點之矩，等于力系中各分力對同一點之矩的代數(shù)和。即：Mo(FR)=Mo(F1)+Mo(F2)+…+Mo(Fn)

(4-2)合力矩定理還適用于有合力的其它力系。4.1力對點之矩、合力矩定理例4-1

力F作用在平板上的A點，已知F=100kN，板的尺寸如圖3-5所示。試計算力F對O點之矩。4.1力對點之矩、合力矩定理

解：由于力臂

OD不易計算，因此直接求力F對O點之矩比較麻煩。為計算方便，將力F分解為相互垂直的兩分力Fx、Fy，分別計算它們對O點之矩，再應(yīng)用合力矩定理，就可得到F對O點之矩。4.1力對點之矩、合力矩定理先將力F進行分解如圖，求其分力

Fx=F·cos60=100×0.5=50kN

Fy=F·sin60=100×0.866=86.6kN分力Fx

至O點的力臂是2m；分力Fy至O點的力臂是2.5m。

4.1力對點之矩、合力矩定理因此力F對O點之矩

Mo（F）=Mo（Fx）+Mo（Fy）=50×2+86.6×2.5=316kN·m4.1力對點之矩、合力矩定理例4-2匯交力系如圖4-6所示，已知F1=40N，F(xiàn)2=30N，F(xiàn)3=50N，桿長OA=0.5m。試計算力系的合力對O點的矩。4.1力對點之矩、合力矩定理解：本例求合力對O點的矩，可不必求此匯交力系的合力，可先求出各力對O點的矩，再根據(jù)合力矩定理即可求得到合力對O點的矩。4.1力對點之矩、合力矩定理Mo（F1）=F1d1=40×0.5×cos30=17.3N·mMo（F2）=－F2

d2=－30×0.5×sin30=