高考數(shù)學一輪復習第7章立體幾何第2講空間幾何體的表面積與體積

第二講空間幾何體的表面積與體積知識梳理·雙基自測知識梳理知識點一柱、錐、臺和球的側面積和體積側面積體積圓柱圓錐S＝2πrh側V＝_S·h__＝πr2h底111S＝_πrl__側V＝S·h＝πr2h＝3πr2l2－r233底11圓臺S＝π(r＋r)lV＝(S＋S＋S·S)·h＝3π(r＋r＋rr)h21223側12上下上下12直棱柱正棱錐S＝_ch__側V＝_Sh__底1S＝ch′2側1V＝Sh3底11正棱臺S＝(c＋c′)h′V＝(S＋S＋S·S)h23側上下上下4V＝πR3球S＝_4πR2球面3知識點二幾何體的表面積(1)棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是_各面面積之和__.(2)圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖分別是_矩形__、_扇形__、_扇環(huán)形__；它們的表面積等于_側面積__與底面面積之和．重要結論1．長方體的外接球：a2＋b2＋c2球心：體對角線的交點；半徑：r＝___(a,b,c為長方體的長、寬、高)．22．正方體的外接球、內切球及與各條棱相切的球：3(1)外接球：球心是正方體中心；半徑r＝_2a__(a為正方體的棱長)；a(2)內切球：球心是正方體中心；半徑r＝_2__(a為正方體的棱長)；2(3)與各條棱都相切的球：球心是正方體中心；半徑r＝_2a__(a為正方體的棱長)．3．正四面體的外接球與內切球(正四面體可以看作是正方體的一部分)：6(1)外接球：球心是正四面體的中心；半徑4r＝_a__(a為正四面體的棱長)；6(2)內切球：球心是正四面體的中心；半徑r＝_12a__(a為正四面體的棱長)．雙基自測題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)多面體的表面積等于各個面的面積之和．(√)(2)臺體的體積可轉化為兩個錐體的體積之差．(√)(3)錐體的體積等于底面積與高之積．(×)3(4)已知球O的半徑為R,其內接正方體的棱長為a,則R＝2a.(√)(5)圓柱的一個底面積為S,側面展開圖是一個正方形,那么這個圓柱的側面積是2πS.(×)題組二走進教材2．(必修2PT1)已知圓錐的表面積等于12πcm2,其側面展開圖是一個半圓,則底面圓的半徑為(B)27A．1cmC．3cmB．2cm3D．cm2πrl＋πr2＝12π[解析]由條件得：2πr,∴3r2＝12,∴r＝2.＝πl(wèi)題組三走向高考3．(2020·天津卷)若棱長為23的正方體的頂點都在同一球面上,則該球的表面積為(C)A．12πB．24πD．144πC．36π[解析]這個球是正方體的外接球,其半徑等于正方體的體對角線長的一半,232＋232＋23即R＝2＝3,2所以,這個球的表面積為S＝4πR2＝4π×32＝36π.故選：C．4．(2018·課標全國Ⅰ)已知圓柱的分別為O,O,過直線OO的平面截該圓柱截面是面積為8的正方形,則該圓柱的表面積為(B)上、下底面的中心所得的1212A．122πC．82πB．12πD．10π[解析]設圓柱底面半徑為r,則4r2＝8,即r2＝2.∴S＝2πr2＋4πr2＝12π.圓柱表面積5．(2020·浙江卷)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示,則該幾何體的體積(單位：cm3)是(A)714B．3C．3D．6[解析]由三視圖可知,該幾何體是上半部分是三棱錐,下半部分是三棱柱,且三棱錐的一個側面垂直11棱錐的高為1,棱柱的底面為等腰直角三角形,棱柱的高為2,所以幾何體的體積為：××2×132于底面．117×1＋×2×1×2＝＋2＝3.23故選：A．考點突破·互動探究考點一幾何體的表面積——自主練透例1(1)(2021·北京模擬)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的表面積是(C)A．2＋5C．2＋25B．4＋5D．5(2)(2021·安徽江南十校聯(lián)考)已知某幾何體的三視圖如圖所示,網格紙上小正方形的邊長為1,則該幾何體的表面積為(B)9πB．78－49πD．45－2C．78－π(3)(多選題)(2021·山東濰坊期末)等腰直角三角形直角邊長為1,現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉一周,則所形成的幾何體的表面積可以為(AB)A．2πC．22πB．(1＋2)πD．(2＋2)π[解析](1)由三視圖知,該幾何體是底面為等腰三角形,其中一條側棱與底面垂直的三棱錐(SA⊥平1151面ABC),如圖所示,由三視圖中的數(shù)據(jù)可計算得S＝2×2×2＝2,S＝2×5×1＝2,S＝2×5×1△ABC△SAC△SAB51＝2,S＝2×2×5＝5,所以S＝2＋25.故選C．△SBC表面積1是一個長方體中挖去一個球,如圖所示．8(2)由三視圖可知該幾何體27π9π9∴S＝3×3×2＋3×5×4－＋＝78－π.故選B．424(3)若繞直角邊旋轉一周形成的幾何體是圓錐,其表面積為π＋2π；若繞斜邊旋轉一周形成的幾何體是兩同底圓錐構成的組合體,其表面積為2π,故選A、B．(1)旋轉體的表面積問題注意其軸截面及側面展開圖的應用．(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．(3)已知幾何體的三視圖求其表面積,一般是先根據(jù)三視圖判斷空間幾何體的形狀,再根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)與幾何體的表面積公式,求其表面積．〔變式訓練1〕(2020·河南開封二模)已知某個幾何體的三視圖如圖所示,根據(jù)圖中標出的數(shù)據(jù),可得出這個幾何體的表面積是(C)A．6B．8＋46D．4＋6C．4＋26[解析]由三視圖得幾何體如圖所示,該幾何體是一個三棱錐,底面是一個底和高均為2的等腰三角形,一個側面是一個底和高均為2的等腰三角形,另外兩個側面是腰長為AC＝AB＝22＋12＝5,底邊AD長為22的其高為52－22＝3,等腰三角形,11故其表面積為S＝2××22＋2××22×3＝4＋26.22故選C．考點二幾何體的體積例2(1)(2021·浙江金色聯(lián)盟百校聯(lián)考)一個空間幾何體的三視圖(：cm)如圖所示,則該幾——師生共研π1A．＋63π1B．＋36π1C．＋66π1D．＋33(2)(2021·云南師大附中月考)如圖,某幾何體的三視圖均為邊長為2的正方形,則該幾何體的體積是(D)58A．6B．316D．3C．1(3)(2021·湖北武漢部分學校質檢)某圓錐母線長為4,其側面展開圖為半圓面,則該圓錐體積為83π__._3(4)(2020·江蘇省南通市通州區(qū))如圖,在正四棱柱ABCD－ABCD中,P是側棱CC上一點,且CP＝111111V12PC．設三棱錐P－DDB的體積為V,正四棱柱ABCD－ABCD的體積為V,則V1的值為_6__.1111111cm,高為1cm的半個圓錐和三棱錐S－ABC組成11的,如圖,三棱錐的高為SO＝1cm,底面△ABC中,AB＝2cm,AC＝1cm,AB⊥AC．故其體積V＝××π×1×123211π1＋××2×1×1＝＋cm3.故選A．3263(2)由題意三視圖對應的幾何體如圖所示,所以幾何體的體積為正方體的體積減去2個三棱錐的體積,11即V＝23－2×××2×2×2＝3,故選3216D．(3)該圓錐母線為4,底面半徑為2,高為23,183π2×23＝.23V＝×π×3(4)設正四棱柱ABCD－ABCD的底面邊長AB＝BC＝a,高AA＝b,11111則VABCD－ABCD＝S×AA＝a2b,11111四邊形ABCD1111VP－DDB＝VB－DDP＝S△DDP·BC＝×ab·a＝a2b,3326111VP－DDB1V1＝,即＝.∴11VABCD－ABCD6V611118俯視圖改為,則該幾何體的體積為_3__,表面積為_83__.[引申]若將本例(2)中的[解析]幾何體為如圖所示的正三棱錐(棱長都為22)．48∴V＝8－4×＝,333S＝4××(22)2＝83.4求體積的常用方法直接法對于規(guī)則的幾何體,利用相關公式直接計算首先把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體,然后進行體積計算；或者把不規(guī)割補法則的幾何體補成規(guī)則的幾何體,不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體,便于計算等體選擇合適的底面來求幾何體體積,常用于求三棱錐的體積,即利用三棱錐的任積法一個面可作為三棱錐的底面進行等體積變換注：若以三視圖的形式給出的幾何體問題,應先得到直觀圖,再求解．〔變式訓練2〕(1)(2020·海南)已知正方體ABCD－ABCD的棱長為2,M、N分別為BB、AB的中點,則三棱錐A－NMD1111111的體積為_3__.(2)(2021·開封模擬)如圖所示,正三棱柱ABC－ABC的底面邊長為2,側棱長為3,D為BC的中點,則111三棱錐A－BDC的體積為(C)113A．3C．1B．23D．2(3)(2017·浙江)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為(A)11A．6B．31C．2D．1(4)(2021·浙北四校模擬)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm),則該幾何體的體積(單位：cm3)是A．8C．16[解析](1)如圖B．8πD．16π,∵正方體ABCD－ABCD的棱長為2,M、N分別為BB、AB的中點,1111111∴S＝×21×1＝2,△ANM11∴VA－NMD＝VD－AMN＝××2＝3,321111故答案為：3.3AD＝(2)如題圖,在正△ABC中,D為BC的中點,則有AB＝3,又因為平面BBCC⊥平面ABC,AD⊥112BC,AD?平面ABC,由面面垂直的性質定理可得AD⊥平面BBCC,即AD為三棱錐A－BDC的底面BDC上的高,111111111BDC·AD＝××2×3×3＝1,故選C．32所以V三棱錐A－BDC＝·S△31111(3)由三視圖可畫出三棱錐的直觀圖如圖所示．其底面是等腰直角三角形ACB,直角邊長為1,三棱錐的11高為1,故體積V＝××1×1×1＝.故選A．32161視圖的圖形可知,幾何體是等邊圓柱斜切一半,所求幾何體的體積為：×2π×4＝8π.故選B．22(4)由三考點三球與幾何體的切、接問題——多維探究角度1幾何體的外接球例3(1)(2021·河南中原名校質量測評)已知正三棱錐P－ABC的底面邊長為3,若外接球的表面積為16π,則PA＝_23或2__.(2)(2020·新課標Ⅰ)已知A,B,C為球O的球面上的三個點,⊙O為△ABC的外接圓．若⊙O的面積為114π,AB＝BC＝AC＝OO,則球O的表面積為(A)1A．64πC．36πB．48πD．32π(3)(2019·全國)已知三棱錐P－ABC的四個頂點在球O的球面上,PA＝PB＝PC,△ABC是邊長為2的正三角形,E、F分別是PA,PB的中點,∠CEF＝90°,則球O的體積為(D)A．86πC．26πB．46πD．6π[解析](1)由外接球的表面積為16π,可得其半徑為2,設△ABC的中心為O,則外接球的球心一定在1PO上,由正三棱錐P－ABC的底面邊長為3,得AO＝3,在Rt△AOO中,由勾股定理可得(PO－2)2＋(3)21111＝22,解得PO＝3或PO＝1,又PA2＝PO＋AO,故PA＝9＋3＝23或PA＝1＋3＝2,故答案為：23或2.212111(2)由題意可知圖形如圖：⊙O的面積為4π,1可得OA＝2,1AB則＝2OA＝4,sin60°1∴AB＝4sin60°＝23,∴AB＝BC＝AC＝OO＝23,1外接球的半徑為：R＝AO2＋OO＝4,211球O的表面積為：4×π×42＝64π,故選A．(3)∵PA＝PB＝PC,△ABC為邊長為2的等邊三角形,APB＝90°,∴PA＝∴P－ABC為正方體一部分,2R＝2＋2＋2＝6,66PB＝PC＝2,644即R＝,∴V＝πR3＝π×＝6π.2338名師點撥幾何體外接球問題的處理(1)解題關鍵是確定球心和半徑,其解題思維流程是：(R—球半徑,r—截面圓的半徑,h—球心到截面圓心的距離)．注：若截面為非特殊三角形可用正弦定理求其外接圓半徑r.(2)三條側棱兩兩垂直的三棱錐,可以補成長方體,它們是同一個外接球．注意：不共面的四點確定一個球面．角度2幾何體的內切球例4(1)(2020·新課標Ⅲ)已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內半徑最大的球的體2積為_3π__.(2)(2021·安徽蚌埠質檢)如圖,E,F分別是正方形ABCD的邊AB,AD的中點,把△AEF,△CBE,△CFD折起構成一個三棱錐P－CEF(A,B,D重合于P點),則三棱錐P－CEF的外接球與內切球的半徑之比是_26__.[解析](1)因為圓錐內半徑最大的球應該為該圓錐的內切球,如圖,圓錐母線BS＝3,底面半徑BC＝1,則其高SC＝BS2－BC2＝22,不妨設該內切球與母線BS切于點D,ODBC令OD＝OC＝r,由△SOD∽△SBC,則＝,OSBSr12即＝3,解得r＝2,22－r422V＝3πr3＝3π,故答案為：3π.(2)不妨設正方形的邊長為2a,由題意知三棱錐P－CEF中PC、PF、PE兩兩垂直,∴其外接球半徑R＝PC2＋PF2＋PE26＝2a,下面求內切球的半徑r,2解法一(直接法)：由幾何體的對稱性知,內切球的球心在平面PCH(H為EF的中點)內,M、N、R、S為球與各面的切點,又22＝tan∠CHP＝tan2∠OHN,2r∴tan∠OHN＝＝,∴NH＝2r,2NH2a又PN＝2r,∴22r＝PH＝2a,∴r＝.41(體積法)：V＝r·(S＋S＋S＋S),解法二3C－PEF△PEF△PCE△PCF△CEFa2a32aa,∴r＝,2∴a3＝r·＋a2＋a2＋2×224R6a4故＝·＝26.r2a名師點撥幾何體內切球問題的處理(1)解題時常用以下結論確定球心和半徑：①球心在過切點且與切面垂直的直線上；②球心到各面距離相等．(2)利用體積法求多面體內切球半徑．〔變式訓練3〕(1)(角度1)(2020·南寧摸底)三棱錐P－ABC中,△ABC為等邊三角形,PA＝PB＝PC＝3,PA⊥PB,三棱錐P－ABC的外接球的體積為(B)27π2273πB．2A．C．273πD．27π(2)(角度1)(2021·山西運城調研)在四面體ABCD中,AB＝AC＝23,BC＝6,AD⊥平面ABC,四面體ABCD的體積為3.若四面體ABCD的頂點均在球O的表面上,則球O的表面積是(B)49πA．B．49π449π2C．D．4π63的體積與其內切球體積之比為_π__.(3)(角度2)棱長為a的正四面體[解析](1)因為三棱錐P－ABC中,△ABC為等邊三角形,PA＝PB＝PC＝3,所以△PAB≌△PBC≌△PAC．因為PA⊥PB,所以PA⊥PC,PC⊥PB．以PA,PB,PC為過同一頂點的三條棱作正方體(如圖所示),則正方體的外接球同時也是三棱錐P－ABC的外接球．因為正方體的體對角線長為32＋32＋32＝33,所以其外接4π33273π＝.故選B．333球半徑R＝2.因此三棱錐P－ABC的外接球的體積V＝×322(2)如圖,H為BC的中點,由題意易知AH＝3,設△ABC外接圓圓心為O,則|OC|2＝32＋(3－|OC|)2,1111|AD|149∴|OC|＝23,又×26×3×＝33,∴|AD|＝1,則|OA|2＝|OC|2＋＝,∴S＝4πR2＝49π,故選22411球OB．(3)如圖,將正四面體納入正方體中,顯然正四面體內切球的球心O(也是外接球的球心)、△BCD的中心366,設正四面體的棱長為a,則|AO|＝4a,又|OA|＝a2－a＝a,∴內切球2331O都在正方體的對角線上1136×a×a26V半徑|OO|＝a,∴＝34363＝.正四面體12Vπ4π61內切球a3312名師講壇·素養(yǎng)提升最值問題、開放性問題例5(1)(最值問題)(2018·課標全國Ⅲ)設A,B,C,D是同一個半徑為4的球的球面上四點,△ABC為等邊三角形且其面積為93,則三棱錐D－ABC體積的最大值為(B)A．123B．183D．543C．243(2)(2021·四川涼山州模擬)已知長方體ABCD－ABCD的體積V＝12,AB＝2,若四面體A－BCD的外接111111球的表面積為S,則S的最小值為(C)A．8πB．9πC．16π[解析](1)設等邊△ABC的邊長為a,1S＝