江蘇省南京市高三下學(xué)期5月模擬數(shù)學(xué)試題

2022屆江蘇省南京市高三下學(xué)期5月模擬數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知R為實數(shù)集，集合A＝{x∈Z||x|≤1}，B＝{x|2x－1≥0}，則A∩（）＝（

）A．{－1，0} B．{0，1} C．{－1，0，1} D．【答案】A【分析】根據(jù)集合補集和交集的定義，結(jié)合解絕對值不等式的公式法進行求解即可.【詳解】因為，，所以，故選：A2．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z（1－i）＝4－3i，則|z|＝（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)模的運算律求解.【詳解】解：因為，所以，故選：D3．為慶祝中國共青團成立100周年，某校計劃舉行慶祝活動，共有4個節(jié)目，要求A節(jié)目不排在第一個，則節(jié)目安排的方法數(shù)為（

）A．9 B．18 C．24 D．27【答案】B【分析】由于A節(jié)目有特殊要求，所以先安排A節(jié)目，再安排其它的節(jié)目，從而即可求解.【詳解】解：由題意，先從后面3個節(jié)目中選擇一個安排A節(jié)目，然后其它3個節(jié)目任意排在剩下的3個位置，共有種方法，故選：B.4．函數(shù)的部分圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】通過奇偶性可排除A，通過零點及特值可排除BD，即得結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，所以為奇函數(shù)排除A，又排除B，當，，排除D；故選：C.5．我們知道，任何一個正整數(shù)N可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z），此時lgN＝n＋lga（0≤lga＜1）．當n≥0時，N是一個n＋1位數(shù)．已知lg5≈0.69897，則5100是（

）位數(shù)．A．71 B．70 C．69 D．68【答案】B【分析】運用代入法直接進行求解即可.【詳解】，則其為70位數(shù)，故選：B6．（1＋x）4（1＋2y）a（a∈N）的展開式中，記xmyn項的系數(shù)為f（m，n）．若f（0，1）＋f（1，0）＝8，則a的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用二項展開式求出對應(yīng)的項，列出方程求解即可.【詳解】展開式中含的項為，含的項為，，∴，故選：C7．已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，）的圖象與y軸的交點為M（0，1），與x軸正半軸最靠近y軸的交點為N（3，0），y軸右側(cè)的第一個最高點與第一個最低點分別為B，C．若△OBC的面積為（其中O為坐標原點），則函數(shù)f（x）的最小正周期為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根據(jù)△OBC的面積可求得A，結(jié)合題中已知根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可求得解析式，進而求得最小正周期.【詳解】如下圖，，，，，∴，，∴，，，，∴，故選：D．8．已知，若?x≥1，f（x＋2m）＋mf（x）＞0，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A．（－1，＋∞） B．C．（0，＋∞） D．【答案】B【分析】分和進行分類討論，分別確定m的取值范圍，最后綜合得答案.【詳解】時，，符合題意；時，，即顯然在R上遞增，則對恒成立對恒成立則：；綜上，，故選：B．二、多選題9．設(shè)，a∈R，則下列說法正確的是（

）A．B．“a＞1”是“”的充分不必要條件C．“P＞3”是“a＞2”的必要不充分條件D．a(chǎn)∈（3，＋∞），使得P＜3【答案】BC【分析】根據(jù)雙勾函數(shù)的單調(diào)性，逐一分析，即可求解.【詳解】解：A錯誤，當時，顯然有P小于0B正確，時，，故充分性成立，而只需即可；C正確，可得或，當時成立的，故C正確；D錯誤，因為有，故D錯誤；故選：BC.10．在平面直角坐標系中，已知圓：，則下列說法正確的是（

）A．若，則點在圓外B．圓與軸相切C．若圓截軸所得弦長為，則D．點到圓上一點的最大距離和最小距離的乘積為【答案】ABD【分析】選項A，根據(jù)點與圓的位置關(guān)系判斷即可；選項B，根據(jù)直線與圓相切的定義判斷即可；選項C，根據(jù)圓的弦長公式求解即可；選項D，根據(jù)分和兩種情況即可判斷.【詳解】對于A，因為時，將原點代入圓方程可得，故點在圓外，故A正確；對于B，圓化為標準方程即為，則圓心，，顯然圓心到軸距離為等于半徑，所以相切，故B正確；對于C，對根據(jù)題意，，解得，解得所以圓截軸所得弦長為，則，故C不正確；對于D，當時，圓：，所以點在圓上，顯然最小值為，最大值為，故乘積且等于；當時，由選項A知，點在圓外，，所以最大值為，最小值為，乘積為，故D正確.故選：ABD.11．連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次，每次結(jié)果要么正面向上，要么反面向上，且兩種結(jié)果等可能．記事件A表示“3次結(jié)果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次結(jié)果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次結(jié)果中沒有正面向上”，則（

）A．事件B與事件C互斥B．C．事件A與事件B獨立D．記C的對立事件為，則【答案】BCD【分析】對A，根據(jù)事件B包含事件C判斷即可；對B，根據(jù)概率的性質(zhì)，用1減去全為正面和全為反面的情況概率即可；對C，根據(jù)相互獨立事件的公式判斷即可；對D，先求得，再利用條件概率公式求解即可【詳解】選項A：顯然B發(fā)生的情況中包含C，故可同時發(fā)生，錯誤；選項B：，正確；選項C：，故A與B獨立，正確；選項D：，，正確；故選：BCD．12．在一個圓錐中，D為圓錐的頂點，O為圓錐底面圓的圓心，P為線段DO的中點，AE為底面圓的直徑，是底面圓的內(nèi)接正三角形，，則下列說法正確的是（

）A．BE∥平面PACB．PA⊥平面PBCC．在圓錐側(cè)面上，點A到DB中點的最短距離為D．記直線DO與過點P的平面α所成的角為θ，當時，平面α與圓錐側(cè)面的交線為橢圓【答案】BD【分析】根據(jù)線面平行的判定定理，結(jié)合題意，即可判斷A的正誤；根據(jù)線面垂直的判定、性質(zhì)定理，結(jié)合勾股定理，可判斷B的正誤；根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖，分析計算，可判斷C的正誤；根據(jù)圓錐曲線的定義，可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】對于A：假設(shè)BE∥平面PAC，因為平面，平面平面，所以，由題意得BE不與AC平行，所以假設(shè)不成立，則BE不平行平面PAC，故A錯．對于B：因為平面ABC，平面ABC，所以，又AE為底面圓的直徑，正三角形，所以，又，所以平面PAO，所以，又因為，所以，則，所以，所以，同理，，所以，所以，因為，所以平面PBC，故B正確．對于C：將側(cè)面鋪平展開得其中，底面圓周長所以，則，所以A到DB中點的最短距離為圖中AM，若時，由余弦定理可得，因為，所以，故C錯．對于D:設(shè)圓錐頂角為，則，因為，由截曲線知，平面與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，故D正確．故選：BD【點睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓錐的幾何性質(zhì)，并靈活應(yīng)用，難點在于作出圖象，分析并求解各個長度，再結(jié)合圓錐曲線的定義，進行求解，屬中檔題.三、填空題13．在平面直角坐標系xOy中，P是直線3x＋2y＋1＝0上任意一點，則向量與向量＝（3，2）的數(shù)量積為__________．【答案】【分析】設(shè)，利用數(shù)量積的坐標運算求解.【詳解】解：設(shè)，因為P是直線3x＋2y＋1＝0上任意一點，所以，故答案為：-114．寫出一個同時具有下列性質(zhì)（1）（2）（3）的數(shù)列的通項公式：__________．（1）數(shù)列是無窮等比數(shù)列；（2）數(shù)列不單調(diào)；（3）數(shù)列單調(diào)遞減．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)數(shù)列需要滿足的條件，可寫出答案.【詳解】由題意可得，滿足（1）數(shù)列是無窮等比數(shù)列；（2）數(shù)列不單調(diào)；（3）數(shù)列單調(diào)遞減，故答案為：15．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C1與雙曲線C2共焦點，雙曲線C2實軸的兩頂點將橢圓C1的長軸三等分，兩曲線的交點與兩焦點共圓，則雙曲線C2的離心率為__________．【答案】【分析】先利用橢圓和雙曲線的定義得到，，再根據(jù)兩曲線的交點與兩焦點共圓，利用勾股定理求解.【詳解】不妨設(shè)焦點，在x軸上，兩者在第一象限的公共點為P，設(shè)的實半軸長為a，則的長半軸長為3a，半焦距為c，設(shè)，，則，由題意知：P在為直徑的圓上，所以，解得：．故答案為：四、雙空題16．19世紀，美國天文學(xué)家西蒙·紐康在翻閱對數(shù)表時，偶然發(fā)現(xiàn)表中以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率更高．約半個世紀后，物理學(xué)家本福特又重新發(fā)現(xiàn)這個現(xiàn)象，從實際生活得出的大量數(shù)據(jù)中，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率約為總數(shù)的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量b進制隨機數(shù)據(jù)中，以n開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為，如斐波那契數(shù)、階乘數(shù)、素數(shù)等都比較符合該定律．后來常有數(shù)學(xué)愛好者用此定律來檢驗?zāi)承┙?jīng)濟數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實性．根據(jù)本福特定律，在某項大量經(jīng)濟數(shù)據(jù)（十進制）中，以6開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為______；若,，則k的值為__________．【答案】

5【分析】第一空，將代入即可求得答案；第二空，根據(jù)得到的表達式，結(jié)合的值可得方程，解得答案.【詳解】由題意可得：（1）（2），而，故，則．故答案為：五、解答題17．在△ABC中，記角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，，求sin∠ADC．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角轉(zhuǎn)化，進而能求得;（2）根據(jù)已知，可以確定各個角的三角函數(shù)值，進而求得與的關(guān)系，就能求得sin∠ADC．【詳解】(1)由正弦定理有，所以，又，則有；(2)如下圖，由，則，所以，可知，設(shè)，所以，則有，所以，又，所以，又有，所以．18．已知數(shù)列的前項和為，．從下面①②③中選取兩個作為條件，剩下一個作為結(jié)論．如果該命題為真，請給出證明；如果該命題為假，請說明理由．①；②為等差數(shù)列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．【答案】答案見解析【分析】選①②作為條件，可得，即可求出和，進而得到③.選①③作為條件，可得，即可得到，進而得到②選②③作為條件，可得，，進而得到①【詳解】解：選①②作為條件，③作為結(jié)論由，，，所以，則有，，所以可知，則有，得故可知，又符合，所以，則有．選①③作為條件，②作為結(jié)論由當為奇數(shù)，當為偶數(shù)，故，是以公差為，首項為的等差數(shù)列選②③作為條件，①作為結(jié)論為等差數(shù)列，，即19．如圖1，在平行四邊形ABCD中，AB＝2，，∠ABC＝30°，AE⊥BC，垂足為E．以AE為折痕把△ABE折起，使點B到達點P的位置，且平面PAE與平面AECD所成的角為90°（如圖2）．(1)求證：PE⊥CD；(2)若點F在線段PC上，且二面角F－AD－C的大小為30°，求三棱錐F－ACD的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平面PAE與平面AECD所成的角為90°，得到平面平面AECD，進而得到平面AECD即可；（2）由平面AECD，和，得到EA，EC，EP兩兩垂直，則以E為坐標原點，分別以EA，EC，EP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)，求得平面AFD的一個法向量，平面ACD的一個法向量，根據(jù)二面角F-AD-C為30°，由，求得即可.【詳解】(1)∵平面PAE與平面AECD所成的角為90°，∴平面平面AECD，平面平面，又，平面PAE，∴平面AECD，平面AECD，∴．(2)∵平面AECD，∴，，又∵，∴EA，EC，EP兩兩垂直，以E為坐標原點，分別以EA，EC，EP為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系E-xyz，Rt△ABE中，，，∴，，則，∴，，，，設(shè)，∴，∴，設(shè)平面AFD的一個法向量為，，，則，∴，不妨設(shè)，則，，∴，∵y軸⊥平面ACD，∴平面ACD的一個法向量∵二面角F-AD-C為30°，∴，即，∴，∴，∴F到平面AECD的距離，，∴．20．空氣質(zhì)量指數(shù)AQI與空氣質(zhì)量等級的對應(yīng)關(guān)系如下：空氣質(zhì)量指數(shù)AQI空氣質(zhì)量等級[0，50]優(yōu)（50，100]良（100，150]輕度污染（150，200]中度污染（200，300]中度污染（300，＋）嚴重污染下列頻數(shù)分布表是某場館記錄了一個月（30天）的情況：空氣質(zhì)量指數(shù)AQI[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]頻數(shù)（單位：天）36156(1)利用上述頻數(shù)分布表，估算該場館日平均AQI的值；（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點值作代表）7≈0.0824，結(jié)果精確到0.01）(3)為提升空氣質(zhì)量，該場館安裝了2套相互獨立的大型空氣凈化系統(tǒng)．已知每套凈化系統(tǒng)一年需要更換濾芯數(shù)量情況如下：更換濾芯數(shù)量（單位：個）345概率0．20．30．5已知廠家每年年初有一次濾芯促銷活動，促銷期內(nèi)每個濾芯售價1千元，促銷期結(jié)束后每個濾芯恢復(fù)原價2千元．該場館每年年初先在促銷期購買n（n≥8，且n∈N）個濾芯，如果不夠用，則根據(jù)需要按原價購買補充．問該場館年初促銷期購買多少個濾芯，使當年購買濾芯的總花費最合理，請說明理由．（不考慮往年剩余濾芯和下一年需求）【答案】(1)115(3)買9個最劃算，理由見解析【分析】（1）法一：直接根據(jù)平均數(shù)的求解方法計算；法二：根據(jù)頻率進行計算（2）易得空氣質(zhì)量等級達到優(yōu)或良的概率為，再根據(jù)二項分布，利用其對立事件的概率求解即可；（3）分別計算每年年初先在促銷期購買n個濾芯的總花費數(shù)學(xué)期望比較大小即可【詳解】(1)法一：；法二：(2)一個月30天中達到優(yōu)或良的天數(shù)為9，空氣質(zhì)量等級達到優(yōu)或良的概率為，∴未來一周（7天）中該場館至少有兩天空氣質(zhì)量達到優(yōu)或良的概率為；(3)法一：需要更換的濾芯個數(shù)X的所有可能取值為6，7，8，9，10，，，，，∴更換濾芯個數(shù)X的期望為：個若購買8個，則總花費為元，若購買9個，則總花費為9000元，∵，故應(yīng)購買9個最合理．法二：按照這個數(shù)據(jù)，每年需要6到10個濾芯，也就是，9，10，而需求假設(shè)為Z，會有；；那么當時，會有花費的分布為均值同理算出，故此買9個最劃算．21．已知函數(shù)＝（x2－x＋1）ex－3，，e為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)記函數(shù)在（0，＋∞）上的最小值為m，證明：e＜m＜3．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間；(2)證明見解析.【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即得解；（2）求導(dǎo)得到，再求出，再對分類討論得證.【詳解】(1)解：，，，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞減；，，單調(diào)遞增；單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間.(2)解：，，①