河南省高三下學期5月仿真模擬考試文科數(shù)學試題

河南省2021-2022學年高三下學期5月仿真模擬考試數(shù)學（文科）第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合A={三角形}，B＝{等腰三角形}，C＝{矩形}，D＝{菱形}，則（）A． B． C． D．{正方形}2．若復數(shù)，則（）A．8 B．64 C．10 D．1003．已知向量，不共線，向量，，若O，A，B三點共線，則（）A． B． C． D．4．不等式組表示的可行域的面積為（）A．6 B．7 C．12 D．145．設，是兩個不同的平面，則“中有三個不共線的點到的距離相等”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．觀察數(shù)組，，，，，…，根據(jù)規(guī)律，可得第8個數(shù)組為（）A． B． C． D．7．定義矩陣運算，則（）A． B． C． D．8．函數(shù)的最大值為（）A．2 B．3 C．4 D．59．當時，函數(shù)取得最小值，則（）A． B．1 C． D．210．在四面體ABCD中，BA，BC，BD兩兩垂直，，，則四面體ABCD內(nèi)切球的半徑為（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)在上單調(diào)，且，則的可能取值（）A．只有1個 B．只有2個 C．只有3個 D．有無數(shù)個12．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，以為直徑的圓與C在第一象限的交點為A，直線與C的左支交于點B，且．設C的離心率為e，則（）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應位置．13．拋物線的焦點到準線的距離為______．14．小李與小張計劃周日上午到某景區(qū)游玩，他們各自從不同地方出發(fā)去往景區(qū)售票點．當天上午小李八點到達景區(qū)售票點，小張未到，他決定最多等他四十分鐘，如果超過四十分鐘小張未到，他就先進景區(qū)．若小張將在八點十分到九點的任意時刻到達景區(qū)售票點，則小李與小張一同進入景區(qū)的概率為______．15．已知是公比為2的等比數(shù)列，為的前n項和，且，則______，______．（本題第一空2分，第二空3分）16．已知函數(shù)為定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且，則在上的值域為______．三、解答題：共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，．（1）若，求外接圓的面積；（2）若，求的周長．18．（12分）如圖，在正三棱柱中，D是BC的中點．（1）證明：平面．（2）求四棱錐與三棱錐的體積之比．19．（12分）在中國文娛消費中，視聽付費市場規(guī)模不斷增長，從2010年到2018年在線音樂市場規(guī)模變化情況如下表所示：年份201020112012201320142015201620172018市場規(guī)模（億元）0.50.91.62.84.71124將2010年作為第1年，設第i年的市場規(guī)模為億元．（1）與哪一個更適宜作為市場規(guī)模y關于i的回歸方程？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）中的判斷及表中的數(shù)據(jù)，求市場規(guī)模y關于i的回歸方程．（系數(shù)精確到0.0001）參考數(shù)據(jù)：令，，，，，，，．附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．20．（12分）已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）討論在區(qū)間上極值點個數(shù)．21．（12分）已知橢圓的右焦點為，且點到坐標原點的距離為．（1）求C的方程．（2）設直線與C相切于點P，且與直線相交于點Q．①若Q的縱坐標為1，直線FQ與C相交于A，B兩點，求．②判斷是否為定值．若是，求出該定值；若不是，說明理由．（二）選考題：共10分．請考生從第22，23兩題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一個題目計分．22．[選修4—4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知點A的極坐標為，將點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到點B，按順時針方向轉(zhuǎn)得到點C．（1）求點B和點C的極坐標，并求點B和點C的直角坐標；（2）設P為坐標系中的任意一點，求的最小值．23．[選修4—5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)．（1）當，時，求不等式的解集．（2）若的最小值為6，證明：．2021~2022年度河南省高三仿真模擬考試數(shù)學參考答案（文科）1．D【解析】本題考查集合的交集和并集，考查邏輯推理的核心素養(yǎng)．因為既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，所以{正方形}．2．C【解析】本題考查復數(shù)的運算與復數(shù)的模，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．因為，所以．3．A【解析】本題考查共線向量，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．因為O，A，B三點共線，所以，所以，，即，又因為向量，不共線，所以，則．4．B【解析】本題考查線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想．作出不等式組表示的可行域（圖略），由圖可知，可行域的面積為．5．B【解析】本題考查面面平行的判定與常用邏輯用語，考查空間想象能力與推理論證能力．如圖，若中的兩點B，C與點A在的兩側(cè)，且這三個點到的距離都相等，則與不平行．若，則中必有三個不共線的點到的距離都相等．故“中有三個不共線的點到的距離相等”是“”的必要不充分條件．6．C【解析】本題考查等差、等比數(shù)列，考查邏輯推理的核心素養(yǎng)．數(shù)組的第一個數(shù)成等差數(shù)列，且首項為2，公差為1；數(shù)組的第二個數(shù)成等比數(shù)列，且首項為2，公比為2．因此第8個數(shù)組為，即．7．B【解析】本題考查新定義與對數(shù)的運算，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．．8．B【解析】本題考查三角恒等變換，考查運算求解能力．，當時，取得最大值，且最大值為3．9．A【解析】本題考查異數(shù)的應用，考查運算求解能力．．當時，；當時，．因此當時，取得最小值．10．C【解析】本題考查三棱錐的體積與表面積，考查空間想象能力與運算求解能力．因為BA，BC，BD兩兩垂直，，，所以，．取CD的中點E，連接AE，則，所以，的面積為，所以四面體ABCD的表面積．又四面體ABCD的體積，所以四面體ABCD內(nèi)切球的半徑．11．C【解析】本題考查三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，考查數(shù)學運算與邏輯推理的核心素養(yǎng)．設的最小正周期為T，則由題意可得，即．由在上單調(diào)，且，得的一個零點為．因為，所以有以下三種情況：①，則；②，則；③，則．故的可能取值只有3個．12．D【解析】本題考查雙曲線的定義及離心率，考查直觀想象與數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．由雙曲線定義可知，∵，∴，又，∴．∵A在以為直徑的圓上，∴，∴，由，得，故．13．1【解析】本題考查拋物線的性質(zhì)，考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．在拋物線中，，即，故該拋物線的焦點到準線的距離為1．14．【解析】本題考查集合概型，考查應用意識．依題意可得，小張八點四十之前到達景區(qū)售票點，兩人可一同進景區(qū)，所以所求概率為．15．0；【解析】本題考查等比數(shù)列，考查抽象概括能力與運算求解能力．因為，所以．因為是公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，則．故．16．【解析】本題考查函數(shù)的綜合，考查邏輯推理、數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)．因為為定義在R上的單調(diào)函數(shù)，所以存在唯一的，使得，則，，即，因為函數(shù)為增函數(shù)，且，所以，．易知在上為增函數(shù)，且，，則在上的值域為．17．解：（1）因為，所以或，則（，舍去）．因為，所以．設外接圓的半徑為R，由正弦定理得，設，則外接圓的面積．（2）由余弦定理可得，代入數(shù)據(jù)，得，解得或3．當時，的周長為；當時，的周長為．評分細則：【1】第（1）問未單獨求C，直接根據(jù)正弦定理求得R，不扣分．【2】第（2）問未寫公式，直接將數(shù)據(jù)代入求得或3，不扣分．18．（1）證明：連接，交于O，連接OD．因為O是的中點，D是BC的中點，所以OD是的中位線，所以．因為平面，平面，所以平面．（2）解：設，．因為D是BC的中點，所以D到AB的距離d等于C到AB的距離的一半，所以，所以．又，所以，即所求體積之比為．評分細則：【1】第（1）問中，未寫面積，平面扣1分．【2】第（2）問中體積之比為2，不扣分．19．解：（1）更適宜．（2），，，因為系數(shù)要求精確到0.0001，所以y關于i的回歸方程為．評分細則：【1】第（2）問若不利用參考數(shù)據(jù)計算，酌情給分．，，中的“^”未寫，共扣1分，不重復扣分．【2】第（2）問中，若考生得到后，就對系數(shù)取近似值，，再將其代入求得，第（2）問共扣2分．最后歸回方程中寫為，不扣分．20．解：（1）當時，，則，所以曲線在點處的切線方程為，即．（2）因為函數(shù)，在區(qū)間上均單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．．當，即時，在區(qū)間上存在唯一的零點m，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上只有1個極值，且為極小值．當，即時，對恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，沒有極值，即極值個數(shù)為0．評分細則：【1】第（1）問中線切方程還可以寫為一般式．【2】第（2）問說明的單調(diào)性，還可以對求導，說明的導函數(shù)大于零即可．當時，在區(qū)間上只有1個極值，未說明是極小值，不扣分．21．解：（1）依題意可得解，，故C的方程為．（2）①因為Q的縱坐標為1，所以直線FQ的方程為，代入，得．設，，則，，故．②設，，由得．因為與C相切，所以，得，所以，，所以．因為與交于點Q，所以，所以，，，所以，則為定值．評分細則：【1】第（2）問①中通過求根公式得出A，B的橫坐標，再求弦長，結(jié)果正確，不扣分．【2】第（2）問②中考生若用C在處的切線方程進行求解，最后同樣得到，需扣1分．22．解：（1）由極坐標的定義可得點B和點C的極坐標分別為，，則點B和點C的直角坐標分別為，．（2）因為A的極坐標為，所以A的直角坐標為．設P的直角坐標為，則，當，時，取得最小值，且最小值為15．評分