河南省平頂山市許昌市汝州市九校聯(lián)盟高三下學期押題信息卷（二）數(shù)學（理）試題

2022屆河南省平頂山市、許昌市、汝州市九校聯(lián)盟高三下學期押題信息卷（二）數(shù)學（理）試題一、單選題1．在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點的坐標是，則（

）A．1＋3i B．1－3i C．－1＋3i D．－1－3i【答案】D【分析】由點的坐標確定，再利用復數(shù)乘法法則進行計算【詳解】由題知，，則．故選：D．2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出A，B集合所表示的范圍，取其公共部分即可.【詳解】因為，又，所以．故選:B．3．已知是定義在R上的奇函數(shù)，且時，，則（

）A．27 B．－27 C．54 D．－54【答案】A【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)可計算，即得答案.【詳解】由已知可得，，因此，．故選:A．4．已知，是兩條直線，，，是三個平面，則下列說法錯誤的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】B【分析】由直線、平面的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】A選項，面面平行具有傳遞性，故A選項正確；B選項，若，，則可能包含于，故B選項錯誤；C選項，若，，則，故C選項正確；D選項，根據(jù)面面垂直的判定定理可知D選項正確．故選：B．5．某校計劃在課外活動中新增攀巖項目，為了解學生喜歡攀巖和性別是否有關(guān)，面向全體學生開展了一次隨機調(diào)查，其中參加調(diào)查的男、女生人數(shù)相同，并繪制成等高條形圖（如圖所示），則下列說法正確的是（

）參考公式：，．A．參與調(diào)查的學生中喜歡攀巖的女生人數(shù)比喜歡攀巖的男生人數(shù)多B．參與調(diào)查的女生中喜歡攀巖的人數(shù)比不喜歡攀巖的人數(shù)多【答案】C【分析】A選項，根據(jù)男生女生參加調(diào)查人數(shù)相同和喜歡攀巖的人數(shù)比例，得到喜歡攀巖的男生人數(shù)比喜歡攀巖的女生多；B選項，參與調(diào)查的女生中喜歡攀巖的人數(shù)占30%，不喜歡攀巖的人數(shù)占70%，從而作出判斷；C選項，列出列聯(lián)表，計算卡方，與6.635比較大小得到結(jié)論；D選項，如果不確定參與調(diào)查的男、女生人數(shù)，無法計算，故D選項錯誤.【詳解】對于選項A：因為參加調(diào)查的男、女生人數(shù)相同，而男生中喜歡攀巖的占80%，女生中喜歡攀巖的占30%，所以參與調(diào)查的學生中喜歡攀巖的男生人數(shù)比喜歡攀巖的女生人數(shù)多，所以選項A錯誤；對于選項B：參與調(diào)查的女生中喜歡攀巖的人數(shù)占30%，不喜歡攀巖的人數(shù)占70%，所以參與調(diào)查的女生中喜歡攀巖的人數(shù)比不喜歡攀巖的人數(shù)少，所以選項B錯誤；對于選項C：若參與調(diào)查的男、女生人數(shù)均為100人，根據(jù)圖表，列出2×2列聯(lián)表如下：喜歡不喜歡合計男8020100女3070100合計11090200所以，所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為喜歡攀巖和性別有關(guān)，C正確；對于選項D：如果不確定參與調(diào)查的男、女生人數(shù)，無法計算，D錯誤．故選：C．6．設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得到，，即可得到答案.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以.函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，所以．故選：C7．二項式展開式中，的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】寫出二項式的展開式的通項公式，求出指定項的系數(shù).【詳解】展開式通項為，令，解得：k＝4，展開式的的系數(shù)為．故選：A．8．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的一個解析式（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】逆向：的圖像的圖像【詳解】將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的4倍，縱坐標不變，得到，再將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到．故選：D9．2019年版第五套人民幣1元硬幣保持1999年版第五套人民幣1元硬幣外形、外緣特征、“中國人民銀行”行名、漢語拼音面額、人民幣單位、花卉圖案、漢語拼音行名等要素不變，調(diào)整了正面面額數(shù)字的造型，背面花卉圖案適當收縮，直徑由25毫米調(diào)整為22.25毫米，正面面額數(shù)字“1”輪廓線內(nèi)增加隱形圖文“￥”和“1”，邊部增加圓點，材質(zhì)保持不變．為了測算如圖所示的直徑為22.25毫米的圓形幣中花卉圖案的面積，進行如下實驗，即向該圓形幣內(nèi)隨機投擲100個點，若恰有33個點落在花卉圖案上，則據(jù)此可估算花卉圖案的面積是（

）（單位：平方毫米）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知可得圓的面積以及花卉圖案的占比，再利用面積型的幾何概型的計算公式可估算卉圖案的面積.【詳解】設(shè)花卉圖案的面積為，則由題意可得，解得．故選A．10．設(shè)，，在平面直角坐標系內(nèi)，點為角終邊上任意一點，則的一個對稱中心為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)三角函數(shù)變換，求，再設(shè)，利用三角函數(shù)的對稱性，即可求解.【詳解】根據(jù)已知得到，，所以，又因為，所以，所以點．不妨取，所以，令，，，，所以對稱中心為，，當時，函數(shù)的一個對稱中心是故選：A11．已知拋物線的焦點為F，過點F的直線（不與x軸垂直）交拋物線于A，B兩點，以AB為直徑作圓Q，過點引圓Q的兩條切線，切點為P，S，若∠PMS＝90°，則直線AB的斜率為（

）A．1 B．－2 C．1或 D．1或－2【答案】C【分析】根據(jù)拋物線定義得到圓Q與準線相切，從而求出MQ的斜率和方程為，設(shè)出直線AB的方程，利用韋達定理得到AB的中點坐標，代入方程中，求出直線AB的斜率.【詳解】如圖，分別作，垂直準線于，，作QT垂直準線于T，連接SQ，則，故圓Q與準線相切，故T與P重合．因為∠PMS＝90°，故軸，又MS，MT為圓Q的切線，故MQ平分∠TMS，故MQ的斜率為－1，則直線MQ的方程為．設(shè)，直線AB的方程為，，代入，整理得，故，．代入為，解得：m＝1或m＝－2，故或故選：C．12．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將不等式變?yōu)?，將問題轉(zhuǎn)化為圖象在下方的部分恰有兩個橫坐標為整數(shù)的點，利用導數(shù)可求得的圖象，由此可確定，進而得到參數(shù)范圍.【詳解】由題意知：定義域為，則由得：；設(shè)，則，當時，；當時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；又，可得圖象如下圖所示：如圖所示：，，，，將解集中恰有兩個整數(shù)轉(zhuǎn)化為圖象在下方的部分恰有兩個橫坐標為整數(shù)的點，恒過點，當時，圖象在下方的部分恰有兩個橫坐標為整數(shù)的點，又，，，即實數(shù)的取值范圍為.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查根據(jù)函數(shù)不等式整數(shù)解的個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，解題關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為直線與曲線位置關(guān)系的判斷問題，結(jié)合導數(shù)確定曲線的圖象后，采用數(shù)形結(jié)合的方式，根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)確定臨界點，進而確定參數(shù)范圍.二、填空題13．已知向量，，若，則實數(shù)x的值為______．【答案】【分析】利用向量運算法則和數(shù)量積列出方程，求出實數(shù)x的值.【詳解】，因為，所以，解得：．故答案為：14．已知雙曲線的兩條漸近線所夾銳角為，則雙曲線的離心率為_____________．【答案】【分析】根據(jù)漸近線方程的斜率得到漸近線與軸夾角小于，由，得，從而求出離心率【詳解】由于，雙曲線的漸近線方程為，，所以雙曲線的漸近線與軸夾角小于，由，得，則雙曲線的離心率．故答案為：15．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若a＝2，b＝3，，則△ABC外接圓的半徑為______．【答案】【分析】求出一邊長及其對角的正弦值即可.【詳解】由正弦定理得，，，由余弦定理得，解得．又，所以外接圓半徑．故答案為：.16．在三棱錐中，平面ABC，是邊長為2的正三角形，，Q為三棱錐外接球球面上一動點，則點Q到平面PAB的距離的最大值為______【答案】【分析】根據(jù)給定條件求出三棱錐外接球半徑及球心O到平面PAB的距離即可推理計算作答.【詳解】令三棱錐外接球球心為O，正所在平面截球面所得小圓圓心為，連接，如圖，則平面ABC，而正邊長為2，即有，因平面ABC，則三棱錐外接球球心為O在過線段PA中點，且垂直于線段PA的平面內(nèi)，顯然過線段PA中點垂直于線段PA的平面與平面ABC平行，則，于是得球O的半徑，取PB中點，AB中點D，連接，因是直角三角形，則是平面PAB截球O所得截面小圓圓心，因此，平面PAB，而，，則平面ABC，必有，，于是得四邊形是平行四邊形，，由球面的性質(zhì)知，點Q是經(jīng)過點的球面直徑端點且球心在點與Q之間時，點Q到平面PAB的距離最大，此最大距離為，所以點Q到平面PAB的距離的最大值為.【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及幾何體的外接球問題，根據(jù)給定條件結(jié)合球的截面小圓性質(zhì)確定出球心位置是解題的關(guān)鍵.三、解答題17．某高校從大三學生中隨機抽取100名小語種學生，將其參加考試的小語種成績（均為整數(shù)）分成六組后，得到如圖頻率分布直方圖，已知．(1)求，的值；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計樣本中100名大三小語種學生的小語種成績的眾數(shù)、中位數(shù)（結(jié)果保留到0.1）．【答案】(1)【分析】（1）由各組的頻率和為1列方程，結(jié)合可求出，的值；（2）由頻率分布直方圖可知第4組的數(shù)最多，從而可求出眾數(shù)，由于交3組的頻率和小于，前4組的頻率和大于，所以可知中位數(shù)在第4組，設(shè)中位數(shù)為分，則有，從而可求出中位數(shù)【詳解】(1)由題意，解得(2)由頻率分布直方圖可知眾數(shù)為75分．由（1）知，因為前3組的頻率和為，前4組的頻率和為，所以中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為分，則有，解得所以樣本中100名大三小語種學生的小語種成績的眾數(shù)為75分，中位數(shù)為73.3分．18．已知等差數(shù)列的前項和為，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由求和公式結(jié)合通項公式列出方程組，求解得出數(shù)列的通項公式；（2）由結(jié)合求和公式得出對恒成立，再由的單調(diào)性得出的取值范圍.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為．由得解得故．(2)因為，所以即對恒成立．設(shè)，，則，當時，；當時，；當且時，，所以．綜上，的取值范圍為．19．如圖，在三棱柱中，△ABC是邊長為2的正三角形，頂點在底面ABC的投影為AB的中點O，已知與底面ABC內(nèi)所有直線所成角中的最小值為，M為棱上一點．(1)求三棱錐的體積；(2)若，求二面角的正弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）通過選擇不同的底面和高，將求三棱錐的體積轉(zhuǎn)化為求三棱錐的體積；（2）建立合適的空間直角坐標系，即可求解.【詳解】(1)因為在三棱柱中，O為在底面投影，所以面ABC，面．又因為O為AB中點，所以，AC＝2，所以．因為與底面ABC內(nèi)所有直線所成角中的最小值為，且面ABC，所以，，所以．(2)以O(shè)為原點，OB，OC，為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，可得，，，，，又因為，所以，所以，，．設(shè)為平面ABM的一個法向量，則即，令，則；設(shè)為平面CBM的一個法向量，則

即，令，則．所以．所以二面角的正弦值為．20．已知函數(shù)，．(1)當a＝2時，求曲線在處的切線方程；(2)討論關(guān)于x的方程的實根個數(shù)．【答案】(1)(2)答案不唯一，具體見解析【分析】（1）由a＝2，利用導數(shù)的幾何意義求解；（2）由得到，令，利用導數(shù)法求解.【詳解】(1)當a＝2時，，，則切線的斜率為，又，所以曲線在處的切線方程是，即．(2)即為，化簡得，令，則，令，則，令，得．當時，，即在上單調(diào)遞增；當時，，即在上單調(diào)遞減．①當時，，即，所以在R上單調(diào)遞減．又，所以有唯一零點0；②當時，，，所以存在，，又，令，，所以在上單調(diào)遞減，，即，所以存在，，xnm－0＋－單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減則，又，所以存在，；同理，，又，所以存在，，由單調(diào)性可知，此時有且僅有三個零點0，，．綜上，當時，有唯一零點，方程有唯一的實根；當時，有且僅有三個零點，方程有3個實根．【點睛】方法點睛：用導數(shù)研究函數(shù)的零點（方程的根），一方面用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點存在性定理判斷；另一方面，也可將零點問題（方程的根）轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合來解決．21．已知橢圓與拋物線交于y軸上的同一點M，過坐標原點O的直線l與相交于點A，B，直線MA，MB分別與相交于點D，E．(1)①求橢圓與拋物線的方程；②證明：MD，ME的斜率之積為定值．(2)記△MAB、△MDE的面積分別為、，求的最小值，并求取最小值時直線MA的方程．【答案】(1)①，；②證明見解析(2)最小值為，直線MA的方程為或【分析】（1）由C1，C2交于y軸上的同一點M，可求得a的值；，將題目轉(zhuǎn)化為求MA，MB的斜率的關(guān)系.（2）選擇合適的底和高來計算三角形的面積.【詳解】(1)（i）解：若M點坐標是，則a＝0，不合題意，所以橢圓與y軸交于點，所以拋物線與y軸交于點，所以，解得a＝2，所以橢圓的方程為，拋物線的方程．（ii）證明：設(shè)直線l的方程為，，．由，則，，則，故，即，即，故MD，ME的斜率之積為定值．(2)解：設(shè)直線MA的方程為，直線MB的方程為，且，由解得或，故，；由解得或故，；由（1）可知，MA⊥MB，故．由解得或故，．由解得或故，．由（1）可知，MD⊥ME，故當且僅當，即時等號成，故的最小值為，此時，故直線MA的方程為或．【點睛】(1)

直線與拋物線的