普安中學2013年度八年級數(shù)學學科教學設計

普安中學學科教學設計班級學科數(shù)學授課教師教學內容二次根式的概念及其運用課時數(shù)課型新教學目標知識目標理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意義解答具體題目．能力目標提出問題，根據(jù)問題給出概念，應用概念解決實際問題．情感目標教學重點教學難點1．重點：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．難點與關鍵：利用“（a≥0）”解決具體問題．教學方法學習方法教學準備教學環(huán)節(jié)教學活動設計備注教學流程一、復習引入（學生活動）請同學們獨立完成下列三個問題：問題1：已知反比例函數(shù)y=，那么它的圖象在第一象限橫、縱坐標相等的點的坐標是___________．問題2：如圖，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB邊的長是__________．問題3：甲射擊6次，各次擊中的環(huán)數(shù)如下：8、7、9、9、7、8，那么甲這次射擊的方差是S2，那么S=_________．老師點評：問題1：橫、縱坐標相等，即x=y，所以x2=3．因為點在第一象限，所以x=，所以所求點的坐標（，）．問題2：由勾股定理得AB=問題3：由方差的概念得S=.二、探索新知很明顯、、，都是一些正數(shù)的算術平方根．像這樣一些正數(shù)的算術平方根的式子，我們就把它稱二次根式．因此，一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號．（學生活動）議一議：1．-1有算術平方根嗎？2．0的算術平方根是多少？3．當a<0，有意義嗎？老師點評:（略）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、（x≥0，y≥0）．分析：二次根式應滿足兩個條件：第一，有二次根號“”；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0．解：二次根式有：、（x>0）、、-、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：、、、．例2．當x是多少時，在實數(shù)范圍內有意義？分析：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意義．解：由3x-1≥0，得：x≥當x≥時，在實數(shù)范圍內有意義．三、鞏固練習教材P練習1、2、3．四、應用拓展例3．當x是多少時，+在實數(shù)范圍內有意義？分析：要使+在實數(shù)范圍內有意義，必須同時滿足中的≥0和中的x+1≠0．解：依題意，得由①得：x≥-由②得：x≠-1當x≥-且x≠-1時，+在實數(shù)范圍內有意義．例4(1)已知y=++5，求的值．(答案:2)(2)若+=0，求a2004+b2004的值．(答案:)五、歸納小結（學生活動，老師點評）六、布置作業(yè)1．教材P8復習鞏固1、綜合應用5．2．選用課時作業(yè)設計．3.課后作業(yè):《同步訓練》小結本節(jié)課要掌握：1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號．2．要使二次根式在實數(shù)范圍內有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負數(shù)．教學反思普安中學2013年度學科教學設計班級學科數(shù)學授課教師李宇全教學內容二次根式(2)課時數(shù)課型新教學目標知識目標理解（a≥0）是一個非負數(shù)和（）2=a（a≥0），并利用它們進行計算和化簡．能力目標通過復習二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出（a≥0）是一個非負數(shù)，情感目標用具體數(shù)據(jù)結合算術平方根的意義導出（）2=a（a≥0）；教學重點教學難點1．重點：（a≥0）是一個非負數(shù)；（）2=a（a≥0）及其運用．2．難點、關鍵：用分類思想的方法導出（a≥0）是一個非負數(shù)；用探究的方法教學方法學習方法教學準備教學環(huán)節(jié)教學活動設計備注教學流程教學過程一、復習引入（學生活動）口答1．什么叫二次根式？2．當a≥0時，叫什么？當a<0時，有意義嗎？老師點評（略）．二、探究新知議一議：（學生分組討論，提問解答）（a≥0）是一個什么數(shù)呢？老師點評：根據(jù)學生討論和上面的練習，我們可以得出（a≥0）是一個非負數(shù)．做一做：根據(jù)算術平方根的意義填空：（）2=_______；（）2=_______；（）2=______；（）2=______；（）2=_______；（）2=_______．老師點評：是4的算術平方根，根據(jù)算術平方根的意義，是一個平方等于4的非負數(shù)，因此有（）2=4．同理可得：（）2=2，（）2=9，（）2=，（）2=，（）2=0，所以（）2=a（a≥0）例1計算1．（）22．（3）23．（）24．（）2分析：我們可以直接利用（）2=a（a≥0）的結論解題．解：（）2=，（3）2=32·（）2=32·5=45，（）2=，（）2=．三、鞏固練習計算下列各式的值：（）2（）2（）2（）2（4）2四、應用拓展例2計算1．（）2（x≥0）2．（）23．（）24．（）2分析：（1）因為x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4題都可以運用（）2=a（a≥0）的重要結論解題．解：（1）因為x≥0，所以x+1>0（）2=x+1（2）∵a2≥0，∴（）2=a2（3）∵a2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0，∴=a2+2a+1（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2又∵（2x-3）2≥0∴4x2-12x+9≥0，∴（）2=4x2-12x+9例3在實數(shù)范圍內分解下列因式:（1）x2-3（2）x4-4(3)2x2-3五、歸納小結六、布置作業(yè)1．教材P8復習鞏固2．（1）、（2）P97．2．選用課時作業(yè)設計．3.課后作業(yè):《同步訓練》小結本節(jié)課應掌握：1．（a≥0）是一個非負數(shù)；2．（）2=a（a≥0）;反之:a=（）2（a≥0）．教學反思普安中學2013年度學科教學設計班級學科數(shù)學授課教師李宇全教學內容二次根式(3)課時數(shù)課型新教學目標知識目標理解=a（a≥0）并利用它進行計算和化簡．能力目標通過具體數(shù)據(jù)的解答，探究=a（a≥0），利用這個結論解決具體問題．情感目標教學重點教學難點1．重點：＝a（a≥0）．2．難點：探究結論．3．關鍵：講清a≥0時，＝a才成立教學方法學習方法教學準備教學環(huán)節(jié)教學活動設計備注教學流程一、復習引入老師口述并板收上兩節(jié)課的重要內容；1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式；2．（a≥0）是一個非負數(shù)；3．()2＝a（a≥0）．那么，我們猜想當a≥0時，=a是否也成立呢？下面我們就來探究這個問題．二、探究新知（學生活動）填空：=_______；=_______；=______；=________；=________；=_______．（老師點評）：根據(jù)算術平方根的意義，我們可以得到：=2；=0.01；=；=；=0；=．因此，一般地：=a（a≥0）例1化簡（1）（2）（3）（4）分析：因為（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，所以都可運用=a（a≥0）去化簡．解：（1）==3（2）==4（3）==5（4）==3三、鞏固練習教材P7練習2．四、應用拓展例2填空：當a≥0時，=_____；當a<0時，=_______，并根據(jù)這一性質回答下列問題．（1）若=a，則a可以是什么數(shù)？（2）若=-a，則a可以是什么數(shù)？（3）>a，則a可以是什么數(shù)？分析：∵=a（a≥0），∴要填第一個空格可以根據(jù)這個結論，第二空格就不行，應變形，使“（）2”中的數(shù)是正數(shù)，因為，當a≤0時，=，那么-a≥0．（1）根據(jù)結論求條件；（2）根據(jù)第二個填空的分析，逆向思想；（3）根據(jù)（1）、（2）可知=│a│，而│a│要大于a，只有什么時候才能保證呢？a<0．解：（1）因為=a，所以a≥0；（2）因為=-a，所以a≤0；（3）因為當a≥0時=a，要使>a，即使a>a所以a不存在；當a<0時，=-a，要使>a，即使-a>a，a<0綜上，a<0例3當x>2，化簡-．分析：(略)五、歸納小結本節(jié)課應掌握：=a（a≥0）及其運用，同時理解當a<0時，＝－a的應用拓展．六、布置作業(yè)1．教材P8習題21．13、4、6、8．2.綜合提高題1．先化簡再求值：當a=9時，求a+的值，甲乙兩人的解答如下：甲的解答為：原式=a+=a+（1-a）=1；乙的解答為：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17．兩種解答中，_______的解答是錯誤的，錯誤的原因是__________．2．若│1995-a│+=a，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判斷1995-a的值是正數(shù)還是負數(shù)，去掉絕對值）3.若-3≤x≤2時，試化簡│x-2│++。小結本節(jié)課應掌握：=a（a≥0）及其運用，同時理解當a<0時，＝－a的應用拓展．教學反思普安中學2013年度學科教學設計班級學科數(shù)學授課教師李宇全教學內容二次根式的乘除課時數(shù)課型新教學目標知識目標理解·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并利用它們進行計算和化簡能力目標利用逆向思維，得出=·（a≥0，b≥0）并運用它進行解題和化簡．情感目標教學重點教學難點重點：·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及運用．難點：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導出·＝（a≥0，b≥0）．教學方法學習方法關鍵：要講清（a<0,b<0）=，如=或==×．教學準備教學環(huán)節(jié)教學活動設計備注教學流程一、復習引入（學生活動）請同學們完成下列各題．1．填空（1）×=_______，=______；（2）×=_______，=________．（3）×=________，=_______．參考上面的結果，用“>、<或＝”填空．×_____，×_____，×________2．利用計算器計算填空（1）×______，（2）×______，老師點評（糾正學生練習中的錯誤）二、探索新知（學生活動）讓3、4個同學上臺總結規(guī)律．老師點評：（1）被開方數(shù)都是正數(shù)；（2）兩個二次根式的乘除等于一個二次根式，并且把這兩個二次根式中的數(shù)相乘，作為等號另一邊二次根式中的被開方數(shù)．一般地，對二次根式的乘法規(guī)定為·＝．（a≥0，b≥0）反過來:=·（a≥0，b≥0）例1．計算（1）×（2）×（3）×（4）×分析：直接利用·＝（a≥0，b≥0）計算即可．解：（1）×=（2）×==（3）×==9（4）×==例2化簡（1）（2）（3）（4）（5）分析：利用=·（a≥0，b≥0）直接化簡即可．解：（1）=×=3×4=12（2）=×=4×9=36（3）=×=9×10=90（4）=×=××=3xy（5）==×=3三、鞏固練習（1）計算（學生練習，老師點評）①×②3×2③·(2)化簡:;;;;教材P11練習全部四、應用拓展例3．判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正：（1）（2）×=4××=4×=4=8解：（1）不正確．改正：=＝×=2×3=6（2）不正確．改正：×=×===＝4五、歸納小結本節(jié)課應掌握：（1）·＝=（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及其運用．六、布置作業(yè)1．課本P151，4，5，6．（1）（2）．小結本節(jié)課應掌握：·＝=（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及其運用．教學反思普安中學2013年度學科教學設計班級學科數(shù)學授課教師李宇全教學內容二次根式的乘除課時數(shù)課型新教學目標知識目標理解=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它們進行運算．能力目標利用具體數(shù)據(jù)，通過學生練習活動，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出除法規(guī)定，并用逆向思維寫出逆向等式及利用它們進行計算和化簡．情感目標教學重點教學難點1．重點：理解=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及利用它們進行計算和化簡．2．難點關鍵：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法規(guī)定．教學方法學習方法教學準備教學環(huán)節(jié)教學活動設計備注教學流程一、復習引入（學生活動）請同學們完成下列各題：1．寫出二次根式的乘法規(guī)定及逆向等式．2．填空（1）=________，=_________；（2）=________，=________；（3）=________，=_________；（4）=________，=________．規(guī)律：______；______；_______；_______．3．利用計算器計算填空:（1）=_________，（2）=_________，（3）=______，（4）=________．規(guī)律：______；_______；_____；_____。每組推薦一名學生上臺闡述運算結果．（老師點評）二、探索新知剛才同學們都練習都很好，上臺的同學也回答得十分準確，根據(jù)大家的練習和回答，我們可以得到：一般地，對二次根式的除法規(guī)定：=（a≥0，b>0），反過來，=（a≥0，b>0）下面我們利用這個規(guī)定來計算和化簡一些題目．例1．計算：（1）（2）（3）（4）分析：上面4小題利用=（a≥0，b>0）便可直接得出答案．解：（1）===2（2）==×=2（3）===2（4）===2例2．化簡：（1）（2）（3）（4）分析：直接利用=（a≥0，b>0）就可以達到化簡之目的．解：（1）=（2）=（3）=（4）=三、鞏固練習教材P14練習1．四、應用拓展例3．已知，且x為偶數(shù)，求（1+x）的值．分析：式子=，只有a≥0，b>0時才能成立．因此得到9-x≥0且x-6>0，即6<x≤9，又因為x為偶數(shù)，所以x=8．解：由題意得，即∴6<x≤9∵x為偶數(shù)∴x=8∴原式=（1+x）=（1+x）=（1+x）=∴當x=8時，原式的值==6．五、歸納小結本節(jié)課要掌握=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及其運用．六、布置作業(yè)1．教材P15習題21．22、7、8、9．2．分母有理化:(1)=_________;(2)=________;(3)=______.3．已知x=3，y=4，z=5，那么的最后結果是_______．小結本節(jié)課要掌握=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及其運用．教學反思普安中學2013年度學科教學設計班級學科數(shù)學授課教師李宇全教學內容二次根式的乘除(3)課時數(shù)課型新教學目標知識目標最簡二次根式的概念及利用最簡二次根式的概念進行二次根式的化簡運算．能力目標理解最簡二次根式的概念，并運用它把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式情感目標通過計算或化簡的結果來提煉出最簡二次根式的概念，并根據(jù)它的特點來檢驗最后結果是否滿足最簡二次根式的要求．教學重點教學難點1．重點：最簡二次根式的運用．2．難點關鍵：會判斷這個二次根式是否是最簡二次根式．教學方法學習方法教學準備教學環(huán)節(jié)教學活動設計備注教學流程教學過程一、復習引入（學生活動）請同學們完成下列各題（請三位同學上臺板書）1．計算（1），（2），（3）老師點評：=，=，=2．現(xiàn)在我們來看本章引言中的問題：如果兩個電視塔的高分別是h1km，h2km，那么它們的傳播半徑的比是_________．它們的比是．二、探索新知觀察上面計算題1的最后結果，可以發(fā)現(xiàn)這些式子中的二次根式有如下兩個特點：1．被開方數(shù)不含分母；2．被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．那么上題中的比是否是最簡二次根式呢？如果不是，把它們化成最簡二次根式．學生分組討論，推薦3～4個人到黑板上板書．老師點評：不是．=.例1．(1);(2);(3)例2．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的長．解：因為AB2=AC2+BC2所以AB===6.5（cm）因此AB的長為6.5cm．三、鞏固練習教材P14練習2、3四、應用拓展例3．觀察下列各式，通過分母有理數(shù)，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式：==-1，==-，同理可得：=-，……從計算結果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算（+++……）（+1）的值．分析：由題意可知，本題所給的是一組分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以達到化簡的目的．解：原式=（-1+-+-+……+-）×（+1）=（-1）（+1）=2002-1=2001五、歸納小結本節(jié)課應掌握：最簡二次根式的概念及其運用．六、布置作業(yè)1．教材P15習題21．23、7、10．2．選用課時作業(yè)設計．3.課后作業(yè):《同步訓練》填空題1．化簡=_________．（x≥0）2．a(chǎn)化簡二次根式號后的結果是_________．綜合提高題1．已知a為實數(shù)，化簡：-a，閱讀下面的解答過程，請判斷是否正確？若不正確，請寫出正確的解答過程：解：-a=a-a·=（a-1）2．若x、y為實數(shù)，且y=，求的值．小結本節(jié)課應掌握：最簡二次根式的概念及其運用．教學反思普安中學2013年度學科教學設計班級學科數(shù)學授課教師李宇全教學內容二次根式的加減(1)課時數(shù)課型新教學目標知識目標理解和掌握二次根式加減的方法．能力目標先提出問題，分析問題，在分析問題中，滲透對二次根式進行加減的方法的理解．再總結經(jīng)驗，用它來指導根式的計算和化簡．情感目標教學重點教學難點1．重點：二次根式化簡為最簡根式．2．難點關鍵：會判定是否是最簡二次根式．教學方法學習方法教學準備教學環(huán)節(jié)教學活動設計備注教學流程教學過程一、復習引入學生活動：計算下列各式．（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3教師點評：上面題目的結果，實際上是我們以前所學的同類項合并．同類項合并就是字母不變，系數(shù)相加減．二、探索新知學生活動：計算下列各式．（1）2+3（2）2-3+5（3）+2+3（4）3-2+老師點評：（1）如果我們把當成x，不就轉化為上面的問題嗎？2+3=（2+3）=5（2）把當成y；2-3+5=（2-3+5）=4=8（3）把當成z；+2+=2+2+3=（1+2+3）=6（4）看為x，看為y．3-2+=（3-2）+=+因此，二次根式的被開方數(shù)相同是可以合并的，如2與表面上看是不相同的，但它們可以合并嗎？可以的．（板書）3+=3+2=53+=3+3=6所以，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并．例1．計算（1）+（2）+分析：第一步，將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式；第二步，將相同的最簡二次根式進行合并．解：（1）+=2+3=（2+3）=5（2）+=4+8=（4+8）=12例2．計算（1）3-9+3（2）（+）+（-）解：（1）3-9+3=12-3+6=（12-3+6）=15（2）（+）+（-）=++-=4+2+2-=6+三、鞏固練習教材P19練習1、2．四、應用拓展例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．分析：本題首先將已知等式進行變形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=，y=3．其次，根據(jù)二次根式的加減運算，先把各項化成最簡二次根式，再合并同類二次根式，最后代入求值．解：∵4x2+y2-4x-6y+10=0∵4x2-4x+1+y2-6y+9=0∴（2x-1）2+（y-3）2=0∴x=，y=3原式=+y2-x2+5x=2x+-x+5=x+6當x=，y=3時，原式=×+6=+3五、歸納小結、布置作業(yè)教材P21習題21．31、2、3、5．小結本節(jié)課應掌握：（1）不是最簡二次根式的，應化成最簡二次根式；（2）相同的最簡二次根式進行合并．教學反思普安中學2013年度學科教學設計班級學科數(shù)學授課教師李宇全教學內容二次根式的加減(2)課時數(shù)課型新教學目標知識目標運用二次根式、化簡解應用題．能力目標通過復習，將二次根式化成被開方數(shù)相同的最簡二次根式，進行合并后解應用題．情感目標教學重點教學難點講清如何解答應用題既是本節(jié)課的重點，又是本節(jié)課的難點、關鍵點．教學方法學習方法教學準備教學環(huán)節(jié)教學活動設計備注教學流程教學過程一、復習引入上節(jié)課，我們已經(jīng)講了二次根式如何加減的問題，我們把它歸為兩個步驟：第一步，先將二次根式化成最簡二次根式；第二步，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并，下面我們講三道例題以做鞏固．二、探索新知例1．如圖所示的Rt△ABC中，∠B=90°，點P從點B開始沿BA邊以1厘米/秒的速度向點A移動；同時，點Q也從點B開始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點C移動．問：幾秒后△PBQ的面積為35平方厘米？PQ的距離是多少厘米？（結果用最簡二次根式表示）(例1)(例2)分析：設x秒后△PBQ的面積為35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，根據(jù)三角形面積公式就可以求出x的值．解：設x后△PBQ的面積為35平方厘米．則有PB=x，BQ=2x依題意，得：x·2x=35x2=35x=所以秒后△PBQ的面積為35平方厘米．PQ==5答：秒后△PBQ的面積為35平方厘米，PQ的距離為5厘米．例2．要焊接如圖所示的鋼架，大約需要多少米鋼材（精確到0.1m）？分析：此框架是由AB、BC、BD、AC組成，所以要求鋼架的鋼材，只需知道這四段的長度．解：由勾股定理，得AB==2BC==所需鋼材長度為AB+BC+AC+BD=2++5+2=3+7≈3×2.24+7≈13.7（m）答：要焊接一個如圖所示的鋼架，大約需要13.7m的鋼材．三、鞏固練習教材P19練習3四、應用拓展例3．若最簡根式與根式是同類二次根式，求a、b的值．（同類二次根式就是被開方數(shù)相同的最簡二次根式）分析：同類二次根式是指幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同；事實上，根式不是最簡二次根式，因此把化簡成|b|·，才由同類二次根式的定義得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b．解：首先把根式化為最簡二次根式：==|b|·由題意得∴∴a=1，b=1五、歸納小結本節(jié)課應掌握運用最簡二次根式的合并原理解決實際問題．六、布置作業(yè):教材P21習題21．37．二、填空題1．某地有一長方形魚塘，已知魚塘的長是寬的2倍，它的面積是1600m2，魚塘的寬是_______m．（結果用最簡二次根式）2．已知等腰直角三角形的直角邊的邊長為，那么這個等腰直角三角形的周長是________．（結果用最簡二次根式）3．已知直角三角形的兩條直角邊的長分別為5和5，那么斜邊的長應為（）．（結果用最簡二次根式）A．5B．C．2D．以上都不對4．小明想自己釘一個長與寬分別為30cm和20cm的長方形的木框，為了增加其穩(wěn)定性，他沿長方形的對角線又釘上了一根木條，木條的長應為（）米．（結果同最簡二次根式表示）三、綜合提高題若最簡二次根式與是同類二次根式，求m、n的值．小結本節(jié)課應掌握運用最簡二次根式的合并原理解決實際問題．教學反思普安中學2013年度學科教學設計班級學科數(shù)學授課教師李宇全教學內容二次根式的加減(3)課時數(shù)課型新教學目標知識目標含有二次根式的式子進行乘除運算和含有二次根式的多項式乘法公式的應用．能力目標復習整式運算知識并將該知識運用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等運算．情感目標教學重點教學難點重點：二次根式的乘除、乘方等運算規(guī)律；難點關鍵：由整式運算知識遷移到含二次根式的運算．教學方法學習方法教學準備教學環(huán)節(jié)教學活動設計備注教學流程教學過程一、復習引入學生活動：請同學們完成下列各題:1．計算（1）（2x+y）·zx（2）（2x2y+3xy2）÷xy2．計算（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2老師點評：這些內容是對八年級上冊整式運算的再現(xiàn)．它主要有（1）單項式×單項式；（2）單項式×多項式；（3）多項式÷單項式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的運用．二、探索新知如果把上面的x、y、z改寫成二次根式呢？以上的運算規(guī)律是否仍成立呢？仍成立．整式運算中的x、y、z是一種字母，它的意義十分廣泛，可以代表所有一切，當然也可以代表二次根式，所以，整式中的運算規(guī)律也適用于二次根式．例1．計算:（1）（+）×（2）（4-3）÷2分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式仍然滿足整式的運算規(guī)律，所以直接可用整式的運算規(guī)律．解：（1）（+）×=×+×=+=3+2解：（4-3）÷2=4÷2-3÷2=2-例2．計算（1）（+6）（3-）（2）（+）（-）分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式的多項式乘以多項式運算在乘法公式運算中仍然成立．解：（1）（+6）（3-）=3-（）2+18-6=13-3（2）（+）（-）=（）2-（）2=10-7=3三、鞏固練習課本P20練習1、2．四、應用拓展例3．已知=2-，其中a、b是實數(shù)，且a+b≠0，化簡+，并求值．分析：由于（+）（-）=1，因此對代數(shù)式的化簡，可先將分母有理化，再通過解含有字母系數(shù)的一元一次方程得到x的值，代入化簡得結果即可．解：原式=+=+=（x+1）+x-2+x+2=4x+2∵=2-∴b（x-b）=2ab-a（x-a）∴bx-b2=2ab-ax+a2∴（a+b）x=a2+2ab+b2∴（a+b）x=（a+b）2∵a+b≠0∴x=a+b∴原式=4x+2=4（a+b）+2五、歸納小結本節(jié)課應掌握二次根式的乘、除、乘方等運算．六、布置作業(yè)1.教材P21習題21．31、8、9．2.填空題1．（-+）2的計算結果（用最簡根式表示）是________．2．（1-2）（1+2）-（2-1）2的計算結果（用最簡二次根式表示）是_______．3．若x=-1，則x2+2x+1=________．4．已知a=3+2，b=3-2，則a2b-ab2=_________．3.綜合提高題1．化簡2．當x=時，求+的值．（結果用最簡二次根式表示）小結本節(jié)課應掌握二次根式的乘、除、乘方等運算．教學反思課外知識1．同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后，它們的被開方數(shù)相同，這些二次根式就稱為同類二次根式，就是本書中所講的被開方數(shù)相同的二次根式．2．互為有理化因式：互為有理化因式是指兩個二次根式的乘積可以運用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同時它們的積是有理數(shù)，不含有二次根式：如x+1-與x+1+就是互為有理化因式；與也是互為有理化因式．普安中學2013年度學科教學設計班級學科數(shù)學授課教師李宇全教學內容二次根式復習課課時數(shù)課型新教學目標知識目標使學生進一步理解二次根式的意義及基本性質，并能熟練地化簡含二次根式的式子；能力目標熟練地進行二次根式的加、減、乘、除混合運算．情感目標教學重點教學難點重點：含二次根式的式子的混合運算．難點：綜合運用二次根式的性質及運算法則化簡和計算含二次根式的式子．教學方法學習方法教學準備教學環(huán)節(jié)教學活動設計備注教學流程教學過程設計一、復習1．請同學回憶二次根式有哪些基本性質？用式子表示出來，并說明各式成立的條件．2．二次根式的乘法及除法的法則是什么？用式子表示出來．指出：二次根式的乘、除法則也是在一定條件下成立的．把兩個二次根式相除，計算結果要把分母有理化．3．在二次根式的化簡或計算中，還常用到以下兩個二次根式的關系式：4．在含有二次根式的式子的化簡及求值等問題中，常運用三個可逆的式子：二、例題例1x取什么值時，下列各式在實數(shù)范圍內有意義：分析：(1)題是兩個二次根式的和，x的取值必須使兩個二次根式都有意義；(3)題是兩個二次根式的和，x的取值必須使兩個二次根式都有意義；(4)題的分子是二次根式，分母是含x的單項式，因此x的取值必須使二次根式有意義，同時使分母的值不等于零．x≥-2且x≠0．解因為n2-9≥0，9-n2≥0，且n-3≠0，所以n2=9且n≠3，所以例3分析：第一個二次根式的被開方數(shù)的分子與分母都可以分解因式．把它們分別分解因式后，再利用二次根式的基本性質把式子化簡，化簡中應注意利用題中的隱含條件3-a≥0和1-a＞0．解因為1-a＞0，3-a≥0，所以a＜1，|a-2|＝2-a．(a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0．這些性質化簡含二次根式的式子時，要注意上述條件，并要闡述清楚是怎樣滿足這些條件的．問：上面的代數(shù)式中的兩個二次根式的被開方數(shù)的式子如何化為完全平方式？分析：先把第二個式子化簡，再把兩個式子進行通分，然后進行計算．解注意：所以在化簡過程中，例6分析：如果把兩個式子通分，或把每一個式子的分母有理化再進行計算，這兩種方法的運算量都較大，根據(jù)式子的結構特點，分別把兩個式子的分母看作一個整體，用換元法把式子變形，就可以使運算變?yōu)楹喗荩產(chǎn)+b＝2(n+2)，ab=(n+2)2-(n2-4)＝4(n+2)，三、課堂練習1．選擇題：A．a(chǎn)≤2B．a(chǎn)≥2C．a(chǎn)≠2D．a(chǎn)＜2A．x+2B．-x-2C．-x+2D．x-2A．2xB．2aC．-2xD．-2a2．填空題：4．計算：小結1．本節(jié)課復習的五個基本問題是“二次根式”這一章的主要基礎知識，同學們要深刻理解并牢固掌握．2．在一次根式的化簡、計算及求值的過程中，應注意利用題中的使二次根式有意義的條件(或題中的隱含條件)，即被開方數(shù)為非負數(shù)，以確定被開方數(shù)中的字母或式子的取值范圍．3．運用二次根式的四個基本性質進行二次根式的運算時，一定要注意論述每一個性質中字母的取值范圍的條件．教學反思普安中學2013年度學科教學設計班級學科數(shù)學授課教師李宇全教學內容圖形的旋轉（1）課時數(shù)課型新教學目標知識目標了解旋轉及其旋轉中心和旋轉角的概念，了解旋轉對應點的概念及其應用它們解決一些實際問題．能力目標通過復習平移、軸對稱的有關概念及性質，從生活中的數(shù)學開始，經(jīng)歷觀察，產(chǎn)生概念，應用概念解決一些實際問題．情感目標教學重點教學難點1．重點：旋轉及對應點的有關概念及其應用．2．難點與關鍵：從活生生的數(shù)學中抽出概念．教學方法學習方法教學準備小黑板、三角尺教學環(huán)節(jié)教學活動設計備注教學流程教學過程一、復習引入（學生活動）請同學們完成下面各題．1．將如圖所示的四邊形ABCD平移，使點B的對應點為點D，作出平移后的圖形．2．如圖，已知△ABC和直線L，請你畫出△ABC關于L的對稱圖形△A′B′C′．3．圓是軸對稱圖形嗎？等腰三角形呢？你還能指出其它的嗎？（口述）老師點評并總結：（1）平移的有關概念及性質．（2）如何畫一個圖形關于一條直線（對稱軸）的對稱圖形并口述它既有的一些性質．（3）什么叫軸對稱圖形？二、探索新知我們前面已經(jīng)復習平移等有關內容，生活中是否還有其它運動變化呢？回答是肯定的，下面我們就來研究．1．請同學們看講臺上的大時鐘，有什么在不停地轉動？旋繞什么點呢？從現(xiàn)在到下課時鐘轉了多少度？分針轉了多少度？秒針轉了多少度？（口答）老師點評：時針、分針、秒針在不停地轉動，它們都繞時針的中心．如果從現(xiàn)在到下課時針轉了_______度，分針轉了_______度，秒針轉了______度．2．再看我自制的好像風車風輪的玩具，它可以不停地轉動．如何轉到新的位置？（老師點評略）3．第1、2兩題有什么共同特點呢？共同特點是如果我們把時針、風車風輪當成一個圖形，那么這些圖形都可以繞著某一固定點轉動一定的角度．像這樣，把一個圖形繞著某一點O轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉，點O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角．如果圖形上的點P經(jīng)過旋轉變?yōu)辄cP′，那么這兩個點叫做這個旋轉的對應點．下面我們來運用這些概念來解決一些問題．例1．如圖，如果把鐘表的指針看做三角形OAB，它繞O點按順時針方向旋轉得到△OEF，在這個旋轉過程中：（1）旋轉中心是什么？旋轉角是什么？（2）經(jīng)過旋轉，點A、B分別移動到什么位置？解：（1）旋轉中心是O，∠AOE、∠BOF等都是旋轉角．（2）經(jīng)過旋轉，點A和點B分別移動到點E和點F的位置．例2．（學生活動）如圖，四邊形ABCD、四邊形EFGH都是邊長為1的正方形．（1）這個圖案可以看做是哪個“基本圖案”通過旋轉得到的？（2）請畫出旋轉中心和旋轉角．（3）指出，經(jīng)過旋轉，點A、B、C、D分別移到什么位置？（老師點評）（1）可以看做是由正方形ABCD的基本圖案通過旋轉而得到的．（2）畫圖略．（3）點A、點B、點C、點D移到的位置是點E、點F、點G、點H．最后強調，這個旋轉中心是固定的，即正方形對角線的交點，但旋轉角和對應點都是不唯一的．三、鞏固練習教材P65練習1、2、3．四、應用拓展例3．兩個邊長為1的正方形，如圖所示，讓一個正方形的頂點與另一個正方形中心重合，不難知道重合部分的面積為，現(xiàn)把其中一個正方形固定不動，另一個正方形繞其中心旋轉，問在旋轉過程中，兩個正方形重疊部分面積是否發(fā)生變化？說明理由．分析：設任轉一角度，如圖中的虛線部分，要說明旋轉后正方形重疊部分面積不變，只要說明S△OEE`=S△ODD`，那么只要說明△OEF′≌△ODD′．解：面積不變．理由：設任轉一角度，如圖所示．在Rt△ODD′和Rt△OEE′中∠ODD′=∠OEE′=90°∠DOD′=∠EOE′=90°-∠BOEOD=OD∴△ODD′≌△OEE′∴S△ODD`=S△OEE`∴S四邊形OE`BD`=S正方形OEBD=五、歸納小結（學生總結，老師點評）六、布置作業(yè)1．教材P66復習鞏固1、2、3．填空題．1．在平面內，將一個圖形繞一個定點沿著某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動稱為________，這個定點稱為________，轉動的角為________．2．如圖2，△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，點E在AB上，如果△ABC經(jīng)旋轉后能與△ADE重合，那么旋轉中心是點_________；旋轉的度數(shù)是__________．3．如圖3，△ABC為等邊三角形，D為△ABC內一點，△ABD經(jīng)過旋轉后到達△ACP的位置，則，（1）旋轉中心是________；（2）旋轉角度是________；（3）△ADP是________三角形．小結本節(jié)課要掌握：1．旋轉及其旋轉中心、旋轉角的概念．2．旋轉的對應點及其它們的應用．教學反思普安中學2013年度學科教學設計班級學科數(shù)學授課教師李宇全教學內容圖形的旋轉(2)課時數(shù)課型新教學目標知識目標理解對應點到旋轉中心的距離相等；理解對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；理解旋轉前、后的圖形全等．掌握以上三個圖形的旋轉的基本性質的運用．能力目標先復習旋轉及其旋轉中心、旋轉角和旋轉的對應點概念，接著用操作幾何、實驗探究圖形的旋轉的基本性質．情感目標教學重點教學難點1．重點：圖形的旋轉的基本性質及其應用．2．難點與關鍵：運用操作實驗幾何得出圖形的旋轉的三條基本性質．教學方法學習方法教學準備教學環(huán)節(jié)教學活動設計備注教學流程教學過程一、復習引入（學生活動）老師口問，學生口答．1．什么叫旋轉？什么叫旋轉中心？什么叫旋轉角？2．什么叫旋轉的對應點？3．請獨立完成下面的題目．如圖，O是六個正三角形的公共頂點，正六邊形ABCDEF能否看做是某條線段繞O點旋轉若干次所形成的圖形？（老師點評）分析：能．看做是一條邊（如線段AB）繞O點，按照同一方法連續(xù)旋轉60°、120°、180°、240°、300°形成的．二、探索新知上面的解題過程中，能否得出什么結論，請回答下面的問題：1．A、B、C、D、E、F到O點的距離是否相等？2．對應點與旋轉中心所連線段的夾角∠BOC、∠COD、∠DOE、∠EOF、∠FOA是否相等？3．旋轉前、后的圖形這里指三角形△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF、△OFA全等嗎？老師點評：（1）距離相等，（2）夾角相等，（3）前后圖形全等，那么這個是否有一般性？下面請看這個實驗．請看我手里拿著的硬紙板，我在硬紙板上挖下一個三角形的洞，再挖一個點O作為旋轉中心，把挖好的硬紙板放在黑板上，先在黑板上描出這個挖掉的三角形圖案（△ABC），然后圍繞旋轉中心O轉動硬紙板，在黑板上再描出這個挖掉的三角形（△A′B′C′），移去硬紙板．（分組討論）根據(jù)圖回答下面問題（一組推薦一人上臺說明）1．線段OA與OA′，OB與OB′，OC與OC′有什么關系？2．∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么關系？3．△ABC與△A′B′C′形狀和大小有什么關系？老師點評：1．OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，也就是對應點到旋轉中心相等．2．∠AOA′=∠BOB′=∠COC′，我們把這三個相等的角，即對應點與旋轉中心所連線段的夾角稱為旋轉角．3．△ABC和△A′B′C′形狀相同和大小相等，即全等．綜合以上的實驗操作和剛才作的（3），得出（1）對應點到旋轉中心的距離相等；（2）對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；（3）旋轉前、后的圖形全等．例1．如圖，△ABC繞C點旋轉后，頂點A的對應點為點D，試確定頂點B對應點的位置，以及旋轉后的三角形．分析：繞C點旋轉，A點的對應點是D點，那么旋轉角就是∠ACD，根據(jù)對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角，即∠BCB′=ACD，又由對應點到旋轉中心的距離相等，即CB=CB′，就可確定B′的位置，如圖所示．解：（1）連結CD（2）以CB為一邊作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD（3）在射線CE上截取CB′=CB則B′即為所求的B的對應點．（4）連結DB′則△DB′C就是△ABC繞C點旋轉后的圖形．例2．如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且DE=，△ABF是△ADE的旋轉圖形．（1）旋轉中心是哪一點？（2）旋轉了多少度？（3）AF的長度是多少？（4）如果連結EF，那么△AEF是怎樣的三角形？分析：由△ABF是△ADE的旋轉圖形，可直接得出旋轉中心和旋轉角，要求AF的長度，根據(jù)旋轉前后的對應線段相等，只要求AE的長度，由勾股定理很容易得到．△ABF與△ADE是完全重合的，所以它是直角三角形．解：（1）旋轉中心是A點．（2）∵△ABF是由△ADE旋轉而成的∴B是D的對應點∴∠DAB=90°就是旋轉角（3）∵AD=1，DE=∴AE==∵對應點到旋轉中心的距離相等且F是E的對應點∴AF=（4）∵∠EAF=90°（與旋轉角相等）且AF=AE∴△EAF是等腰直角三角形．三、鞏固練習教材P64練習1、2．四、應用拓展例3．如圖，K是正方形ABCD內一點，以AK為一邊作正方形AKLM，使L、M在AK的同旁，連接BK和DM，試用旋轉的思想說明線段BK與DM的關系．分析：要用旋轉的思想說明就是要用旋轉中心、旋轉角、對應點的知識來說明．解：∵四邊形ABCD、四邊形AKLM是正方形∴AB=AD，AK=AM，且∠BAD=∠KAM為旋轉角且為90°∴△ADM是以A為旋轉中心，∠BAD為旋轉角由△ABK旋轉而成的∴BK=DM五、歸納小結（學生總結，老師點評）六、布置作業(yè)1．教材P66復習鞏固4綜合運用5、6．2．作業(yè)設計．小結本節(jié)課應掌握：1．對應點到旋轉中心的距離相等；2．對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；3．旋轉前、后的圖形全等及其它們的應用．教學反思普安中學2013年度學科教學設計班級學科數(shù)學授課教師李宇全教學內容圖形的旋轉(3)課時數(shù)課型新教學目標知識目標理解選擇不同的旋轉中心、不同的旋轉角度，會出現(xiàn)不同的效果，掌握根據(jù)需要用旋轉的知識設計出美麗的圖案．能力目標復習圖形旋轉的基本性質，著重強調旋轉中心和旋轉角然后應用已學的知識作圖，設計出美麗的圖案．情感目標教學重點教學難點1．重點：用旋轉的有關知識畫圖．2．難點與關鍵：根據(jù)需要設計美麗圖案．教學方法學習方法教學準備小黑板教學環(huán)節(jié)教學活動設計備注教學流程教學過程一、復習引入1．（學生活動）老師口問，學生口答．（1）各對應點到旋轉中心的距離有何關系呢？（2）各對應點與旋轉中心所連線段的夾角與旋轉角有何關系？（3）兩個圖形是旋轉前后的圖形，它們全等嗎？2．請同學獨立完成下面的作圖題．如圖，△AOB繞O點旋轉后，G點是B點的對應點，作出△AOB旋轉后的三角形．（老師點評）分析：要作出△AOB旋轉后的三角形，應找出三方面：第一，旋轉中心：O；第二，旋轉角：∠BOG；第三，A點旋轉后的對應點：A′．二、探索新知從上面的作圖題中，我們知道，作圖應滿足三要素：旋轉中心、旋轉角、對應點，而旋轉中心、旋轉角固定下來，對應點就自然而然地固定下來．因此，下面就選擇不同的旋轉中心、不同的旋轉角來進行研究．1．旋轉中心不變，改變旋轉角畫出以下圖所示的四邊形ABCD以O點為中心，旋轉角分別為30°、60°的旋轉圖形．2．旋轉角不變，改變旋轉中心畫出以下圖，四邊形ABCD分別為O、O為中心，旋轉角都為30°的旋轉圖形．因此，從以上的畫圖中，我們可以得到旋轉中心不變，改變旋轉角與旋轉角不變，改變旋轉中心會產(chǎn)生不同的效果，所以，我們可以經(jīng)過旋轉設計出美麗的圖案．例1．如下圖是菊花一葉和中心與圓圈，現(xiàn)以O為旋轉中心畫出分別旋轉45°、90°、135°、180°、225°、270°、315°的菊花圖案．分析：只要以O為旋轉中心、旋轉角以上面為變化，旋轉長度為菊花的最長OA，按菊花葉的形狀畫出即可．解：（1）連結OA（2）以O點為圓心，OA長為半徑旋轉45°，得A．（3）依此類推畫出旋轉角分別為90°、135°、180°、225°、270°、315°的A、A、A、A、A、A．（4）按菊花一葉圖案畫出各菊花一葉．那么所畫的圖案就是繞O點旋轉后的圖形．例2．（學生活動）如圖，如果上面的菊花一葉，繞下面的點O′為旋轉中心，請同學畫出圖案，它還是原來的菊花嗎？老師點評：顯然，畫出后的圖案不是菊花，而是另外的一種花了．三、鞏固練習教材P65練習．四、應用拓展例3．如圖，如何作出該圖案繞O點按逆時針旋轉90°的圖形．分析：該備案是一個比較復雜的圖案，是作出幾個復合圖形組成的圖案，因此，要先畫出圖中的關鍵點，這些關鍵點往往是圖案里線的端點、角的頂點、圓的圓心等，然后再根據(jù)旋轉的特征，作出這些關鍵點的對應點，最后再按原圖案作出旋轉后的圖案．解：（1）連結OA，過O點沿OA逆時針作∠AOA′=90°，在射線OA′上截取OA′=OA；（2）用同樣的方法分別求出B、C、D、E、F、G、H的對應點B′、C′、D′、E′、F′、G′、H′；（3）作出對應線段A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′F′、F′A′、A′G′、G′D′、D′H′、H′A′；（4）所作出的圖案就是所求的圖案．五、歸納小結（學生歸納，老師點評）本節(jié)課應掌握：1．選擇不同的旋轉中心、不同的旋轉角，設計出美麗的圖案；2．作出幾個復合圖形組成的圖案旋轉后的圖案，要先求出圖中的關鍵點──線的端點、角的頂點、圓的圓心等．六、布置作業(yè)1．教材P67綜合運用7、8、9．2．如圖，△ABC的直角三角形，BC是斜邊，將△ABP繞點A逆時針旋轉后，能與△ACP′重合，如果AP=3，求PP′的長．小結本節(jié)課應掌握：1．選擇不同的旋轉中心、不同的旋轉角，設計出美麗的圖案；2．作出幾個復合圖形組成的圖案旋轉后的圖案，要先求出圖中的關鍵點──線的端點、角的頂點、圓的圓心等．教學反思普安中學2013年度學科教學設計班級學科數(shù)學授課教師李宇全教學內容中心對稱(1)課時數(shù)課型新教學目標知識目標了解中心對稱、對稱中心、關于中心的對稱點等概念及掌握這些概念解決一些問題．能力目標復習運用旋轉知識作圖，旋轉角度變化，設計出不同的美麗圖案來引入旋轉180°的特殊旋轉──中心對稱的概念，并運用它解決一些實際問題．情感目標教學重點教學難點1．重點：利用中心對稱、對稱中心、關于中心對稱點的概念解決一些問題．2．難點與關鍵：從一般旋轉中導入中心對稱．教學方法學習方法教學準備小黑板、三角尺教學環(huán)節(jié)教學活動設計備注教學流程教學過程一、復習引入請同學們獨立完成下題．如圖，△ABC繞點O旋轉，使點A旋轉到點D處，畫出旋轉后的三角形，并寫出簡要作法．老師點評：分析，本題已知旋轉后點A的對應點是點D，且旋轉中心也已知，所以關鍵是找出旋轉角和旋轉方向．顯然，逆時針或順時針旋轉都符合要求，一般我們選擇小于180°的旋轉角為宜，故本題選擇的旋轉方向為順時針方向；已知一對對應點和旋轉中心，很容易確定旋轉角．如圖，連結OA、OD，則∠AOD即為旋轉角．接下來根據(jù)“任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角”和“對應點到旋轉中心的距離相等”這兩個依據(jù)來作圖即可．作法：（1）連結OA、OB、OC、OD；（2）分別以OB、OB為邊作∠BOM=∠CON=∠AOD；（3）分別截取OE=OB，OF=OC；（4）依次連結DE、EF、FD；即：△DEF就是所求作的三角形，如圖所示．二、探索新知問題：作出如圖的兩個圖形繞點O旋轉180°的圖案，并回答下列的問題：1．以O為旋轉中心，旋轉180°后兩個圖形是否重合？2．各對稱點繞O旋轉180°后，這三點是否在一條直線上？老師點評：可以發(fā)現(xiàn)，如圖所示的兩個圖案繞O旋轉180°都是重合的，即甲圖與乙圖重合，△OAB與△COD重合．像這樣，把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心．這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點．例1．如圖，四邊形ABCD繞D點旋轉180°，請作出旋轉后的圖案，寫出作法并回答．（1）這兩個圖形是中心對稱圖形嗎？如果是對稱中心是哪一點？如果不是，請說明理由．（2）如果是中心對稱，那么A、B、C、D關于中心的對稱點是哪些點．分析：（1）根據(jù)中心對稱的定義便直接可知這兩個圖形是中心對稱圖形，對稱中心就是旋轉中心．（3）旋轉后的對應點，便是中心的對稱點．解：作法：（1）延長AD，并且使得DA′=AD（2）同樣可得：BD=B′D，CD=C′D（3）連結A′B′、B′C′、C′D，則四邊形A′B′C′D為所求的四邊形，如圖23-44所示．答：（1）根據(jù)中心對稱的定義便知這兩個圖形是中心對稱圖形，對稱中心是D點．（2）A、B、C、D關于中心D的對稱點是A′、B′、C′、D′，這里的D′與D重合．例2．如圖，已知AD是△ABC的中線，畫出以點D為對稱中心，與△ABD成中心對稱的三角形．分析：因為D是對稱中心且AD是△ABC的中線，所以C、B為一對的對應點，因此，只要再畫出A關于D的對應點即可．解：（1）延長AD，且使AD=DA′，因為C點關于D的中心對稱點是B（C′），B點關于中心D的對稱點為C（B′）（2）連結A′B′、A′C′．則△A′B′C′為所求作的三角形，如圖所示．三、鞏固練習教材P74練習2．四、應用拓展例3．如釁，在△ABC中，∠C=70°，BC=4，AC=4，現(xiàn)將△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置．（1）若平移的距離為3，求△ABC與△A′B′C′重疊部分的面積．（2）若平移的距離為x（0≤x≤4），求△ABC與△A′B′C′重疊部分的面積y，寫出y與x的關系式．分析：（1）∵BC=4，AC=4∴△ABC是等腰直角三角形，易得△BDC′也是等腰直角三角形且BC′=1（2）∵平移的距離為x，∴BC′=4-x解：（1）∵CC′=3，CB=4且AC=BC∴BC′=C′D=1∴S△BDC`=×1×1=（2）∵CC′=x，∴BC′=4-x∵AC=BC=4∴DC′=4-x∴S△BDC`=（4-x）（4-x）=x2-4x+8五、歸納小結（學生歸納，老師點評）本節(jié)課應掌握：1．中心對稱及對稱中心的概念；2．關于中心的對稱點的概念及其運用．六、布置作業(yè)1．教材P73練習1．2．填空題1．關于某一點成中心對稱的兩個圖形，對稱點連線必通過_________．2．把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形是_________圖形．3．用兩個全等的直角非等腰三角形可以拼成下面圖形中的哪幾種：_______（填序號）（1）長方形；（2）菱形；（3）正方形；（4）一般的平行四邊形；（5）等腰三角形；（6）梯形．4.如圖，把一張長方形ABCD的紙片，沿EF折疊后，ED′與BC的交點為G，點D、C分別落在D′、C′的位置上，若∠EFG=55°，則∠1=（）A．55°B．125°C．70°D．110°小結本節(jié)課應掌握：1．中心對稱及對稱中心的概念；2．關于中心的對稱點的概念及其運用．教學反思普安中學2013年度學科教學設計班級學科數(shù)學授課教師李宇全教學內容中心對稱(2)課時數(shù)課型新教學目標知識目標理解關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分；能力目標理解關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形；掌握這兩個性質的運用．情感目標復習中心對稱的基本概念（中心對稱、對稱中心，關于中心的對稱點），提出問題，讓學生分組討論解決問題，老師引導總結中心對稱的基本性質．教學重點教學難點1．重點：中心對稱的兩條基本性質及其運用．2．難點與關鍵：讓學生合作討論，得出中心對稱的兩條基本性質．教學方法學習方法教學準備教學環(huán)節(jié)教學活動設計備注教學流程教學過程一、復習引入（老師口問，學生口答）1．什么叫中心對稱？什么叫對稱中心？2．什么叫關于中心的對稱點？3．請同學隨便畫一三角形，以三角形一頂點為對稱中心，畫出這個三角形關于這個對稱中心的對稱圖形，并分組討論能得到什么結論．（每組推薦一人上臺陳述，老師點評）（老師）在黑板上畫一個三角形ABC，分兩種情況作兩個圖形（1）作△ABC一頂點為對稱中心的對稱圖形；（2）作關于一定點O為對稱中心的對稱圖形．第一步，畫出△ABC．第二步，以△ABC的C點（或O點）為中心，旋轉180°畫出△A′B′和△A′B′C′，如圖1和用2所示．(1)(2)從圖1中可以得出△ABC與△A′B′C是全等三角形；分別連接對稱點AA′、BB′、CC′，點O在這些線段上且O平分這些線段．下面，我們就以圖2為例來證明這兩個結論．證明：（1）在△ABC和△A′B′C′中，OA=OA′，OB=OB′，∠AOB=∠A′OB′∴△AOB≌△A′OB′∴AB=A′B′同理可證：AC=A′C′，BC=B′C′∴△ABC≌△A′B′C′（2）點A′是點A繞點O旋轉180°后得到的，即線段OA繞點O旋轉180°得到線段OA′，所以點O在線段AA′上，且OA=OA′，即點O是線段AA′的中點．同樣地，點O也在線段BB′和CC′上，且OB=OB′，OC=OC′，即點O是BB′和CC′的中點．因此，我們就得到1．關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分．2．關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形．例1．如圖，已知△ABC和點O，畫出△DEF，使△DEF和△ABC關于點O成中心對稱．分析：中心對稱就是旋轉180°，關于點O成中心對稱就是繞O旋轉180°，因此，我們連AO、BO、CO并延長，取與它們相等的線段即可得到．解：（1）連結AO并延長AO到D，使OD=OA，于是得到點A的對稱點D，如圖所示．（2）同樣畫出點B和點C的對稱點E和F．（3）順次連結DE、EF、FD．則△DEF即為所求的三角形．例2．（學生練習，老師點評）如圖，已知四邊形ABCD和點O，畫四邊形A′B′C′D′，使四邊形A′B′C′D′和四邊形ABCD關于點O成中心對稱（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）．二、鞏固練習教材P70練習．三、應用拓展例3．如圖等邊△ABC內有一點O，試說明：OA+OB>OC．分析：要證明OA+OB>OC，必然把OA、OB、OC轉為在一個三角形內，應用兩邊之和大于第三邊（兩點之間線段最短）來說明，因此要應用旋轉．以A為旋轉中心，旋轉60°，便可把OA、OB、OC轉化為一個三角形內．解：如圖，把△AOC以A為旋轉中心順時針方向旋轉60°后，到△AO′B的位置，則△AOC≌△AO′B．∴AO=AO′，OC=O′B又∵∠OAO′=60°，∴△AO′O為等邊三角形．∴AO=OO′在△BOO′中，OO′+OB>BO′即OA+OB>OC四、歸納小結（學生總結，老師點評）五、布置作業(yè)1．教材P74復習鞏固1綜合運用6、7．2．選作課時作業(yè)設計．小結本節(jié)課應掌握：中心對稱的兩條基本性質：1．關于中心對稱的兩個圖形，對應點所連線都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分；2．關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形及其它們的應用．教學反思普安中學2013年度學科教學設計班級學科數(shù)學授課教師李宇全教學內容中心對稱(3)課時數(shù)課型新教學目標知識目標了解中心對稱圖形的概念及中心對稱圖形的對稱中心的概念，掌握這兩個概念的應用．能力目標復習兩個圖形關于中心對稱的有關概念，利用這個所學知識探索一個圖形是中心對稱圖形的有關概念及其它的運用．情感目標教學重點教學難點1．重點：中心對稱圖形的有關概念及其它們的運用．2．難點與關鍵：區(qū)別關于中心對稱的兩個圖形和中心對稱圖形．教學方法學習方法教學準備教學環(huán)節(jié)教學活動設計備注教學流程教學過程一、復習引入1．（老師口問）口答：關于中心對稱的兩個圖形具有什么性質？（老師口述）：關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分．關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形．2．（學生活動）作圖題．（1）作出線段AO關于O點的對稱圖形，如圖所示．（2）作出三角形AOB關于O點的對稱圖形，如圖所示．（2）延長AO使OC=AO，延長BO使OD=BO，連結CD則△COD為所求的，如圖所示．二、探索新知從另一個角度看，上面的（1）題就是將線段AB繞它的中點旋轉180°，因為OA=OB，所以，就是線段AB繞它的中點旋轉180°后與它重合．上面的（2）題，連結AD、BC，則剛才的兩個關于中心對稱的兩個圖形，就成平行四邊形，如圖所示．∵AO=OC，BO=OD，∠AOB=∠COD∴△AOB≌△COD∴AB=CD也就是，ABCD繞它的兩條對角線交點O旋轉180°后與它本身重合．因此，像這樣，把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．（學生活動）例1：從剛才講的線段、平行四邊形都是中心對稱圖形外，每一位同學舉出三個圖形，它們也是中心對稱圖形．老師點評：老師邊提問學生邊解答．（學生活動）例2：請說出中心對稱圖形具有什么特點？老師點評：中心對稱圖形具有勻稱美觀、平穩(wěn)．例3．求證：如圖任何具有對稱中心的四邊形是平行四邊形．分析：中心對稱圖形的對稱中心是對應點連線的交點，也是對應點間的線段中點，因此，直接可得到對角線互相平分．證明：如圖，O是四邊形ABCD的對稱中心，根據(jù)中心對稱性質，線段AC、BD必過點O，且AO=CO，BO=DO，即四邊形ABCD的對角線互相平分，因此，四邊形ABCD是平行四邊形．三、鞏固練習教材P72練習．四、應用拓展例4．如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若將矩形折疊，使C點和A點重合，求折痕EF的長．分析：將矩形折疊，使C點和A點重合，折痕為EF，就是A、C兩點關于O點對稱，這方面的知識在解決一些翻折問題中起關鍵作用，對稱點連線被對稱軸垂直平分，進而轉化為中垂線性質和勾股定理的應用，求線段長度或面積．解：連接AF，∵點C與點A重合，折痕為EF，即EF垂直平分AC．∴AF=CF，AO=CO，∠FOC=90°，又四邊形ABCD為矩形，∠B=90°，AB=CD=3，AD=BC=4設CF=x，則AF=x，BF=4-x，由勾股定理，得AC2=BC2+AB2=52∴AC=5，OC=AC=∵AB2+BF2=AF2∴32+（4-x）=2=x2∴x=∵∠FOC=90°∴OF2=FC2-OC2=（）2-（）2=（）2OF=同理OE=，即EF=OE+OF=五、歸納小結（學生歸納，老師點評）六、布置作業(yè)1．教材P74綜合運用5P75拓廣探索8、9．2．如圖，直線y=2x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，將△AOB繞點O順時針旋轉90°得到△A1OB1．（1）在圖中畫出△A1OB1；（2）設過A、A1、B三點的函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c，求這個解析式．小結本節(jié)課應掌握：1．中心對稱圖形的有關概念；2．應用中心對稱圖形解決有關問題．教學反思普安中學2013年度學科教學設計班級學科數(shù)學授課教師李宇全教學內容中心對稱（4）課時數(shù)課型新教學目標知識目標理解P與點P′點關于原點對稱時，它們的橫縱坐標的關系，掌握P（x，y）關于原點的對稱點為P′（-x，-y）的運用．能力目標復習軸對稱、旋轉，尤其是中心對稱，知識遷移到關于原點對稱的點的坐標的關系及其運用．情感目標教學重點教學難點1．重點：兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P（x，y）關于原點的對稱點P′（-x，-y）及其運用．2．難點與關鍵：運用中心對稱的知識導出關于原點對稱的點的坐標的性質及其運用它解決實際問題．教學方法學習方法教學準備教學環(huán)節(jié)教學活動設計備注教學流程教學過程一、復習引入（學生活動）請同學們完成下面三題．1．已知點A和直線L，如圖，請畫出點A關于L對稱的點A′．2．如圖，△ABC是正三角形，以點A為中心，把△ADC順時針旋轉60°，畫出旋轉后的圖形．3．如圖△ABO，繞點O旋轉180°，畫出旋轉后的圖形．老師點評：老師通過巡查，根據(jù)學生解答情況進行點評．（略）二、探索新知（學生活動）如圖23-74，在直角坐標系中，已知A（-3，1）、B（-4，0）、C（0，3）、D（2，2）、E（3，-3）、F（-2，-2），作出A、B、C、D、E、F點關于原點O的中心對稱點，并寫出它們的坐標，并回答：這些坐標與已知點的坐標有什么關系？老師點評：畫法：（1）連結AO并延長AO（2）在射線AO上截取OA′=OA（3）過A作AD′⊥x軸于D′點，過A′作A′D″⊥x軸于點D″．∵△AD′O與△A′D″O全等∴AD′=A′D″，OA=OA′∴A′（3，-1）同理可得B、C、D、E、F這些點關于原點的中心對稱點的坐標．（學生活動）分組討論（每四人一組）：討論的內容：關于原點作中心對稱時，①它們的橫坐標與橫坐標絕對值什么關系？縱坐標與縱坐標的絕對值又有什么關系？②坐標與坐標之間符號又有什么特點？提問幾個同學口述上面的問題．老師點評：（1）從上可知，橫坐標與橫坐標的絕對值相等，縱坐標與縱坐標的絕對值相等．（2）坐標符號相反，即設P（x，y）關于原點O的對稱點P′（-x，-y）．兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P（x，y）關于原點O的對稱點P′（-x，-y）．例1．如圖，利用關于原點對稱的點的坐標的特點，作出與線段AB