江西省萍鄉(xiāng)市高三下學(xué)期5月第三模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題

準(zhǔn)考證號(hào)姓名絕密★啟用前（在此卷上答題無(wú)效）萍鄉(xiāng)市2022屆高三第三次模擬考試試卷理科數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷1至2頁(yè)，第Ⅱ卷3至4頁(yè)．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名填寫在答題卡上．考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考試科目”與考生本人的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．（1）如圖，全集，集合，則陰影部分表示的集合為A．B．C．D．（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，若，則復(fù)數(shù)A.B.C.D.（3）已知命題；命題，則下列為真命題的是A. B. C.D.（4）如圖，直三棱柱中，，若，則異面直線所成角的大小是A．B．C．D．（5）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)巨著，大約成書于公元前300年．漢語(yǔ)的最早譯本是由中國(guó)明代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家徐光啟和意大利傳教士利瑪竇合譯，成書于1607年.該書前6卷主要包括：基本概念、三角形、四邊形、多邊形、圓、比例線段、相似形這7章，幾乎包含現(xiàn)今平面幾何的所有內(nèi)容．某高校要求數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生從這7章里任選4章進(jìn)行選修，則學(xué)生李某所選的4章中，含有“基本概念”這一章的概率為A．B．C．D．（6）已知，則A．B．C．D．（7）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，，若，則A.B.C.D.（8）如圖是計(jì)算的一個(gè)程序框圖，其中判斷框內(nèi)可以填入的條件為A．B．C．D．（9）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與相交于兩點(diǎn)（在第一象限）.若四點(diǎn)共圓，且直線的傾斜角為，則橢圓的離心率為A．B．C．D．（10）現(xiàn)收集到變量的六組觀測(cè)數(shù)據(jù)為：，用最小二乘法計(jì)算得其回歸直線為，相關(guān)系數(shù)為；經(jīng)過(guò)殘差分析后發(fā)現(xiàn)為離群點(diǎn)（對(duì)應(yīng)殘差絕對(duì)值過(guò)大的點(diǎn)），剔除后，用剩下的五組數(shù)據(jù)計(jì)算得其回歸直線為，相關(guān)系數(shù)為.則下列結(jié)論不正確的是A．B．C．D．去掉離群點(diǎn)后，殘差平方和變?。?1）已知定義在上的函數(shù)，對(duì)任意,當(dāng)時(shí)，都有，若存在，使不等式成立，則實(shí)數(shù)的最大值為A.B.C.D.（12）設(shè)，，，則A．B．C．D．萍鄉(xiāng)市2022屆高三第三次?？荚?yán)砜茢?shù)學(xué)第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題～第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求做答.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．（13）已知雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則其離心率為_________．（14）已知單位向量滿足，則向量的夾角為_________．（15）已知分別為銳角的內(nèi)角的對(duì)邊，若，則面積的最大值為_________．（16）如圖，在正方形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將沿翻折到，連結(jié)，在翻折到的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是_________．（將正確說(shuō)法的序號(hào)都寫上）①點(diǎn)的軌跡為圓弧；②存在某一翻折位置，使得；③棱的中點(diǎn)為，則的長(zhǎng)為定值；三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．（17）（本小題滿分12分）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，且成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令,求證：數(shù)列的前項(xiàng)和.（18）（本小題滿分12分）北京冬奧會(huì)于2022年2月4日至20日在北京市和張家口市聯(lián)合舉辦，這是中國(guó)歷史上第一次舉辦冬奧會(huì)，也是中國(guó)繼北京奧運(yùn)會(huì)、南京青奧會(huì)之后第三次舉辦奧運(yùn)賽事.北京冬奧會(huì)的成功舉辦推動(dòng)了我國(guó)冰雪運(yùn)動(dòng)的普及，讓越來(lái)越多的青少年愛(ài)上了冰雪運(yùn)動(dòng)．某高校組織了20000名學(xué)生參加線上冰雪運(yùn)動(dòng)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，并抽取了100名參賽學(xué)生的成績(jī)制作了如下表格：競(jìng)賽得分頻率(1)如果規(guī)定競(jìng)賽得分在為“良好”，在為“優(yōu)秀”，以這100名參賽學(xué)生中競(jìng)賽得分的頻率作為全校知識(shí)競(jìng)賽中得分在相應(yīng)區(qū)間的學(xué)生被抽中的概率．現(xiàn)從該校參加知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記競(jìng)賽得分結(jié)果為“良好”及以上的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)已知此次知識(shí)競(jìng)賽全校學(xué)生成績(jī)近似服從正態(tài)分布，若學(xué)校要對(duì)成績(jī)不低于分的學(xué)生進(jìn)行表彰，請(qǐng)估計(jì)獲得表彰的學(xué)生人數(shù)．附：若隨機(jī)變量，則.（19）（本小題滿分12分）如圖，在水平放置的直角梯形中，.以所在直線為軸，將向上旋轉(zhuǎn)角得到，其中.(1)證明：平面平面；(2)若平面與平面的夾角余弦值不超過(guò)，求的范圍.（20）（本小題滿分12分）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)與圓的圓心重合，為上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn).若的最小值為2.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線和圓從左向右依次交于四點(diǎn)，且滿足，求直線的方程．（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)．(1)若，求的最大值；(2)若，證明：有兩個(gè)零點(diǎn)．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題做答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．做答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題號(hào)后方框涂黑．（22）（本小題滿分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最小值．（23）（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講已知的最小值為．(1)求的值；(2)若正實(shí)數(shù)滿足，證明：．萍鄉(xiāng)市2022屆高三第三次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（5×12=60分）：DABCB；ACCBB；BD．二、填空題（5×4=20分）：13．；14．；15．；16．①③．三、解答題（共70分）：17.（1）由題意：,,…………（1分）兩式相減得到,又,是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列，………（3分）再由成等差數(shù)列得,得，即,即,……（5分）的通項(xiàng)公式為.…………（6分）（2）由題意知，………（8分）………………（10分）.…………………………（12分）18.(1)由題意知，的可能取值0,1,2,3．………………（1分）由題可知，任意1名學(xué)生競(jìng)賽得分“良好”及以上的概率為，競(jìng)賽得分是“良好”以下的概率為．若以頻率估計(jì)概率，則服從二項(xiàng)分布．…………………（3分）；；；．………………（5分）所以的分布列為:…………………（7分）．（或）……………（8分）（2）………（10分）估計(jì)獲得表彰的學(xué)生人數(shù)為人.…………………（12分）19.(1)由題意，，；……（2分）又；…………………（3分）而…………………（4分）(2)根據(jù)題意，旋轉(zhuǎn)角即；以A為原點(diǎn)，在平面ADF內(nèi)，作AD的垂線為z軸，AD,AB所在直線分別作為x,y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則……（6分），設(shè)為平面BCE的一個(gè)法向量，則，，取………（8分）平面ADF的一個(gè)法向量為，………（9分）記平面ADF與平面BCE的夾角為，則，………………（10分）化簡(jiǎn)得，又，得.……………………（12分）20.(1)由題意知拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，…………（1分）過(guò)P點(diǎn)作準(zhǔn)線l垂線交于H，則當(dāng)M，P，H三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即…（3分）所以拋物線的方程為.…………（4分）(2)根據(jù)題意，可得，，，化簡(jiǎn)得，…………（6分）設(shè)，則，代入上式得…（7分）由題知，直線AD存在斜率，設(shè)其方程為，若，則，不滿足上式；由聯(lián)立，整理得：，恒成立則，……………………（9分）∴……………………（10分）解得，所以直線AD的方程為.………………（12分）21.（1）………(1分)令，由函數(shù)的圖象可知，存在唯一，滿足，且……(2分)故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，……………………(3分)（*），…………(4分)又，則，代入（*）得：；………………(5分)（2），令，則；……(6分)因是關(guān)于的單調(diào)函數(shù)，則與的零點(diǎn)個(gè)數(shù)相同；又，故是的一個(gè)零點(diǎn)…(7分)得，且單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，…………(8分)，；又當(dāng)時(shí)，故在上存在唯一的零點(diǎn)…………………(10分)故在上存在唯一零點(diǎn)，在上存在唯一零點(diǎn)0，即在上有兩個(gè)零點(diǎn)….(11分)所以在有兩個(gè)零點(diǎn).………….(12分)22.(1)將代入，消去t得直線的普通方程為；………………（2分）由得，，即曲線的直角坐標(biāo)方程為.………（5分）（2）設(shè)點(diǎn)…………………（6分）則點(diǎn)到直線的距離…………………（8分）當(dāng)，即時(shí)，，故點(diǎn)到直線的距離最小值為.…（10分）23.(1)，