光在波導(dǎo)中的傳播

關(guān)于光在波導(dǎo)中的傳播第1頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月光通信的迅速發(fā)展，促進(jìn)了對(duì)與之有密切聯(lián)系的光波導(dǎo)技術(shù)的研究。光波導(dǎo)技術(shù)是一種以光的電磁場(chǎng)理論為基礎(chǔ)，對(duì)光波實(shí)施限制和傳輸?shù)募夹g(shù)。其中，介質(zhì)波導(dǎo)和光纖是兩種最常用和最重要的光波導(dǎo)。下面將以射線理論和電磁場(chǎng)理論分析光波在介質(zhì)波導(dǎo)和光纖中的傳導(dǎo)模式和傳播特性，并介紹導(dǎo)波光學(xué)器件的典型應(yīng)用。第一節(jié)光在平板波導(dǎo)中的傳播一、平板光波導(dǎo)的射線理論平板型波導(dǎo)是介質(zhì)波導(dǎo)中最簡(jiǎn)單、最基本的結(jié)構(gòu)，理論分析也具有代表性。故本節(jié)就平板型波導(dǎo)從射線理論和電磁場(chǎng)理論兩個(gè)方面進(jìn)行分析。第2頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（一）

導(dǎo)波與輻射模最簡(jiǎn)單的平板型光波導(dǎo)是由沉積在襯底上的一層均勻薄膜構(gòu)成（因而又叫做薄膜波導(dǎo)），如圖4-1所示，它的折射率n1比覆蓋層（通常為空氣）的折射率n0及襯底層折射率n2都高，且n1>n2>n0。設(shè)薄膜厚度為h，沿y方向薄膜不受限，在薄膜與襯底的界面（下界面）上平面波產(chǎn)生全反射的臨界角為，而在薄膜與覆蓋層的界面（上界面）上平面波產(chǎn)生全反射的臨界角為，根據(jù)全反射原理，有：第3頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由于n2>n0，所以，當(dāng)平面波的入射角變化時(shí)，波導(dǎo)內(nèi)可產(chǎn)生不同的波型。當(dāng)入射角滿足時(shí)，入射平面波在上下界面均產(chǎn)生全反射，此時(shí)形成的波稱為導(dǎo)波。只有導(dǎo)波能將能量集中在波導(dǎo)中導(dǎo)行，在平板型光波導(dǎo)中即是由導(dǎo)波來(lái)傳輸光能量的。而輻射模卻通過(guò)界面向外輻射能量，是不希望存在的寄生波。當(dāng)時(shí)，在下界面的全反射條件被破壞；當(dāng)時(shí)，上下界面的全反射條件均被破壞。在這兩種情況下均有一部分能量從波導(dǎo)中輻射出去，此時(shí)的波稱為輻射模。第4頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（二）

平板光波導(dǎo)中的導(dǎo)波

1.波的特征方程與橫向諧振條件當(dāng)平面波的入射角大于臨界角時(shí)才能形成導(dǎo)波。但在的范圍內(nèi)，的取值并不是連續(xù)的，只有當(dāng)入射角滿足某些條件時(shí)，才能在薄膜中形成導(dǎo)波。圖4-2表示平板波導(dǎo)中構(gòu)成導(dǎo)波的平面波示意圖，實(shí)線ABCD和A’B’C’D’代表平面波的兩條射線。虛線BB’和CC’則代表向上斜射的平面波的兩個(gè)波陣面，

圖4-2平板波導(dǎo)中的平面波

第5頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月所以B、B’點(diǎn)應(yīng)有相同的相位，C、C’點(diǎn)也有相同的相位?？梢?jiàn)由B到C和由B’至C’所經(jīng)歷的相位變化之差為的整數(shù)倍。于是兩射線的相位差為：其中：根據(jù)圖中的幾何關(guān)系，上式可變?yōu)椋?/p>

式中n1、h是薄膜波導(dǎo)的參數(shù)，k0是自由空間的波數(shù)，它決定于工作波長(zhǎng)，、與波導(dǎo)的結(jié)構(gòu)參數(shù)n1、n2、n0和入射角有關(guān)。當(dāng)波導(dǎo)和入射波長(zhǎng)給定時(shí)，上式是關(guān)于未知數(shù)的方程，它確定了形成導(dǎo)波的入射角的條件，因而叫薄膜波導(dǎo)的特征方程。特征方程是討論導(dǎo)波特性的基礎(chǔ)。

全反射時(shí)相位變化

第6頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月而對(duì)于TM波（即電場(chǎng)矢量E平行于紙面的p波），有：

從B’到C’，平面波在其傳播方向上沒(méi)有經(jīng)歷過(guò)反射，其相位變化了,而從B到C，平面波在B點(diǎn)和C點(diǎn)各經(jīng)歷了一次全反射。在C點(diǎn)（下界面）全反射時(shí)相位變化了，而在B點(diǎn)（上界面）全反射時(shí)相位變化了，這里，相位變化都以反射波比入射波超前計(jì)算。根據(jù)全反射時(shí)相位變化公式，對(duì)于TE波（即電場(chǎng)矢量E垂直于紙面的s波），有：

第7頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月特征方程中是薄膜中波矢量在x方向的分量，它是薄膜中的橫向相位常數(shù)，可表示為：于是特征方程可寫(xiě)為：

該式表明，由波導(dǎo)的某點(diǎn)出發(fā)，沿波導(dǎo)橫向往復(fù)一次回到原處，總的相位變化應(yīng)是的整數(shù)倍。這使原來(lái)的波加強(qiáng)，即相當(dāng)于在波導(dǎo)的橫向諧振，因而叫做波導(dǎo)的橫向諧振條件。橫向諧振特性是波導(dǎo)導(dǎo)波的一個(gè)重要特性。

2．導(dǎo)波的模式

對(duì)給定的波導(dǎo)、工作波長(zhǎng)和整數(shù)m，由特征方程可求出形成導(dǎo)波的入射角。以該角入射的平面波即形成一個(gè)導(dǎo)波模式。

第8頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)、以s波的表達(dá)式代入時(shí)，得出模式為T(mén)E波；當(dāng)以p波的表達(dá)式代入時(shí)，得出模式為T(mén)M波。

當(dāng)m=0,1,2,…時(shí)，可得到TE0、TM0、TE1、TM1、TE2、TM2…模。m表示了各模式的特點(diǎn)，稱為模序數(shù)。各模式的特性可用橫向相位常數(shù)k1x及以下幾個(gè)參數(shù)表示：

橫向相位常數(shù)k1x決定導(dǎo)波模式在薄膜內(nèi)的橫向駐波規(guī)律，和決定導(dǎo)波在上、下界面的橫向衰減規(guī)律，即決定了導(dǎo)波模式的橫向分布圖形。稱為軸向相位常數(shù)(或傳播常數(shù))，它表示導(dǎo)波模式的縱向傳播規(guī)律，是導(dǎo)波的一個(gè)重要參數(shù)。

第9頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于給定的模式有確定的值，因而也有確定的軸向相位常數(shù)。但特征方程是超越方程，得不到解析形式的解。

圖4-3是根據(jù)數(shù)值解畫(huà)出的-曲線，它表明了的變化范圍及變化規(guī)律。不能小于，否則將會(huì)出現(xiàn)輻射模。也不能大于，因而對(duì)于導(dǎo)波，是被限制在兩條直線所夾的扇形區(qū)域之中的。圖中、、分別是m=0,1,2時(shí)導(dǎo)模的截止頻率。圖4-3m=0,1,2時(shí)導(dǎo)波的-曲線第10頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.截止波長(zhǎng)在平板波導(dǎo)中，上下界面之一的全反射條件被破壞，導(dǎo)波即處于截止?fàn)顟B(tài)。由于n1>n2>n0，所以當(dāng)時(shí)導(dǎo)波處于截止臨界狀態(tài)。特征方程可寫(xiě)成如下形式：對(duì)一個(gè)給定的模式，m是常數(shù)。如果工作波長(zhǎng)變化，必須調(diào)整平面波的入射角，才能滿足特征方程，形成導(dǎo)波。當(dāng)時(shí)，導(dǎo)波轉(zhuǎn)化為輻射模，此時(shí)的波長(zhǎng)就是該模的截止波長(zhǎng)，截止波長(zhǎng)用表示。由上式有由特征方程，波長(zhǎng)越大，要求相應(yīng)模式光波的入射角越小。因此，截止波長(zhǎng)實(shí)際上是波導(dǎo)內(nèi)允許存在的光波的最大波長(zhǎng)。第11頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由于下界面處于全反射臨界狀態(tài)，因而不管對(duì)TE波還是TM波，都有，

因此截止波長(zhǎng)表示為：第12頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于TE模和TM模，把不同的代入上式即可得到相應(yīng)的截止波長(zhǎng)。顯然，各模式的截止波長(zhǎng)由波導(dǎo)參數(shù)n1、n2、n0和h決定，與入射光頻率無(wú)關(guān)，它是表示波導(dǎo)本身特征的物理量。不同的模式有不同的截止波長(zhǎng)，模序數(shù)越高，截止波長(zhǎng)越短。TE0模和TM0模的截止波長(zhǎng)最長(zhǎng)。模序數(shù)相同的TE模和TM模的截止波長(zhǎng)不同。TE模的截止波長(zhǎng)較TM模的長(zhǎng)，因而在所有的波導(dǎo)模式中，TE0模的截止波長(zhǎng)最長(zhǎng)。對(duì)于n2=n0的所謂對(duì)稱平板波導(dǎo)，截止波長(zhǎng)為：該式對(duì)TE模和TM模都適用，這就是說(shuō)，對(duì)于對(duì)稱波導(dǎo)，模序數(shù)相同的TE模和TM模具有相同的截止波長(zhǎng)。但是，TE0模（或TM0模）的截止波長(zhǎng)=∞，此時(shí)沒(méi)有截止現(xiàn)象，這是對(duì)稱波導(dǎo)的特有性質(zhì)。

第13頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4.單模傳輸與模式數(shù)量由于TE0模的截止波長(zhǎng)最長(zhǎng)，因而它的傳輸條件最容易滿足。在波導(dǎo)術(shù)語(yǔ)中，把截止波長(zhǎng)最長(zhǎng)（截止頻率最低）的模式叫做基模。平板波導(dǎo)中的TE0模即是基模。如果波導(dǎo)的結(jié)構(gòu)或選擇的工作波長(zhǎng)只允許TE0模傳輸，其它模式均截止，則稱為單模傳輸。當(dāng)n1與n2差別不大時(shí)，TE0模和TM0模非常接近，難以分開(kāi)，此時(shí)仍可認(rèn)為是單模傳輸。因此，單模傳輸?shù)母拍畈⒉粐?yán)格。

●單模傳輸?shù)臈l件是：第14頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

與該m對(duì)應(yīng)的模式處于截止?fàn)顟B(tài)，而比它低的模式處于導(dǎo)行狀態(tài)。波導(dǎo)中導(dǎo)波模式的數(shù)量是TE模和TM模的模式數(shù)量之和。膜越厚（h越大），n1與n2差別越大，波導(dǎo)中的模式數(shù)量就越多。

當(dāng)單模傳輸?shù)臈l件被破壞（如工作波長(zhǎng)縮短）時(shí)，即出現(xiàn)多模共存現(xiàn)象。多模共存時(shí)的模數(shù)量可由特征方程求得：

●模數(shù)量第15頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、平板光波導(dǎo)的波動(dòng)理論

用射線法討論平板波導(dǎo)，物理概念清楚、明確，得出的許多結(jié)論不僅對(duì)平板波導(dǎo)，而且對(duì)其它形式的介質(zhì)波導(dǎo)也是很有價(jià)值的。但對(duì)波導(dǎo)中各模式對(duì)應(yīng)的電磁場(chǎng)的具體分布形式，射線法尚不能給出滿意的解答，必須應(yīng)用電磁場(chǎng)的波動(dòng)理論結(jié)合波導(dǎo)的邊界條件來(lái)確定。

第16頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)在平板波導(dǎo)中，襯底和覆蓋層的長(zhǎng)度延伸到無(wú)窮遠(yuǎn)，薄膜的寬度遠(yuǎn)大于它的厚度。因此，可以認(rèn)為平板波導(dǎo)中的光波只在x方向受到限制（見(jiàn)圖），并設(shè)平板波導(dǎo)的幾何結(jié)構(gòu)和折射率分布沿y方向不變，即折射率分布n(x)只與x有關(guān)，相應(yīng)的模式也只是x坐標(biāo)的函數(shù)。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，下面只討論TE模的場(chǎng)分布形式。對(duì)于TE模，在圖4-1所選的坐標(biāo)系中，它的電磁場(chǎng)分量為、和。由于電場(chǎng)與磁場(chǎng)有確定的關(guān)系，因此下面只分析電場(chǎng)Ey。第17頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于定態(tài)單色波，其電磁場(chǎng)滿足波動(dòng)方程，若不考慮時(shí)間因子，則波動(dòng)方程將轉(zhuǎn)化為亥姆霍茲方程。對(duì)于TE模，其電場(chǎng)只有沿y方向的一個(gè)分量Ey，并且Ey可以表達(dá)為

式中，是傳播常數(shù)。將上式代入亥姆霍茲方程，得到各層中的電場(chǎng)應(yīng)滿足的亥姆霍茲方程：j=0,1,2對(duì)于的非對(duì)稱波導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，由于是導(dǎo)波，在薄膜中應(yīng)是駐波解，可用余弦函數(shù)表示；在襯底和覆蓋層中應(yīng)是衰減解，可用指數(shù)函數(shù)表示。在覆蓋層、波導(dǎo)和襯底中的解Ey(x)可以表述為：

第18頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月上式中，A0、A1、A2是三個(gè)區(qū)域中的電場(chǎng)復(fù)振幅，是一常數(shù)相位角，k1x是薄膜內(nèi)x方向的橫向相位常數(shù)，和是導(dǎo)波在上、下界面的橫向衰減常數(shù)。將Ey(x)各表達(dá)式代入亥姆霍茲方程得到：

薄膜波導(dǎo)中的邊界條件為：在x=0和x=h處，電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量Ey連續(xù)，磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量Hz(∝dEy/dx)連續(xù)，得：

（在x=0處，Ey連續(xù)）

(在x=0處，Hz連續(xù))

（在x=h處，Ey連續(xù)）

(在x=h處，Hz連續(xù))第19頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月有了上述7個(gè)方程式，就可聯(lián)解出場(chǎng)方程Ey(x)中的7個(gè)未知數(shù)，再由模式本征方程可求出不同m值對(duì)應(yīng)的值。這樣，就可以確定出覆蓋層、波導(dǎo)和襯底中的場(chǎng)分布。

下圖給出了TE0、TE1、TE2及TE3四種模式的場(chǎng)分布?？梢钥闯?，在波導(dǎo)內(nèi)，場(chǎng)呈余弦分布，而在覆蓋層和襯底內(nèi)，均作指數(shù)衰減。

第20頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、耦合模理論

在實(shí)際應(yīng)用中，常常要求將一個(gè)光波導(dǎo)中的能量耦合到相鄰的光波導(dǎo)中去，以實(shí)現(xiàn)方向耦合、開(kāi)關(guān)、調(diào)制、濾波等功能。另一方面，光波導(dǎo)間的耦合有時(shí)又是有害的。因此，有必要研究在光波導(dǎo)中傳輸模間的耦合問(wèn)題。下面以兩個(gè)并列的條形波導(dǎo)為例說(shuō)明此問(wèn)題。折射率為n1和n2的兩個(gè)條形波導(dǎo)并列于折射率為n3的襯底中，一個(gè)波導(dǎo)位于另一個(gè)波導(dǎo)的倏逝波的范圍內(nèi)，彼此間存在著較弱的耦合。

由此簡(jiǎn)單模型出發(fā)，導(dǎo)出模間耦合的公式，并討論典型的激發(fā)條件。

第21頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（一）耦合模方程首先假設(shè)在波導(dǎo)1、2中分別傳輸著模式E1、E2，彼此間不存在耦合，則E1或E2均可表示為：且滿足微分方程：式中，A(x,y)是橫截面的場(chǎng)分布。當(dāng)兩個(gè)波導(dǎo)靠得很近時(shí)，將發(fā)生兩件事：第一，由于幾何結(jié)構(gòu)的變化傳播常數(shù)將發(fā)生變化；第二，因?yàn)閮蓚€(gè)波導(dǎo)彼此處于對(duì)方的倏逝波區(qū)，所以兩波導(dǎo)間將發(fā)生功率交換。

(4-1)(4-2)第22頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月考慮到兩波導(dǎo)間的功率交換，微分方程式（4-2）變?yōu)椋菏街校?4-3)(4-4)和分別為波導(dǎo)1和波導(dǎo)2獨(dú)立存在時(shí)的傳播常數(shù)；c11和c22分別為引入鄰近波導(dǎo)時(shí)波導(dǎo)1和波導(dǎo)2的傳播常數(shù)的改變量；c12和c21稱為互耦系數(shù)，表征兩波導(dǎo)間的能量交換。方程式（4-3）稱為耦合模方程，是研究和討論耦合效應(yīng)的基礎(chǔ)。

第23頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第24頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（二）耦合模方程的解

假設(shè)E1、E2仍然具有指數(shù)形式的解:(4-5)將上式代入方程（4-3），可求得的兩個(gè)解:(4-6)這樣，E1與E2的通解為:第25頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月E1與E2的通解為:(4-7)進(jìn)一步假設(shè)從波導(dǎo)1中泄漏的能量全部被波導(dǎo)2所吸收，則兩波導(dǎo)的總能量沿z軸保持不變，則有:其中:W=E1E1*+E2E2*

將（4-7）代入(4-8)式，得到耦合條件：c12=-c21*(4-8)利用此條件，（4-6）式可簡(jiǎn)化為:第26頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(4-9)利用耦合條件，（4-6）式可簡(jiǎn)化為:式中

:現(xiàn)在式（4-7）通解中只剩系數(shù)A1和A2需確定，它們可由外部激發(fā)條件求出。

(4-10)第27頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（三）典型的激發(fā)條件

（1）兩個(gè)光波導(dǎo)的結(jié)構(gòu)參數(shù)完全一致，僅波導(dǎo)1的輸入端被激發(fā)即已知：(4-11)在這種情況下，耦合模方程的解為:(4-12)第28頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月上式表示兩個(gè)波導(dǎo)內(nèi),場(chǎng)的振幅分別受到余弦和正弦函數(shù)的調(diào)制。在k=0,1,2,…波導(dǎo)1的能量全部傳遞給波導(dǎo)2

在k=0,1,2,…波導(dǎo)2能量又全部回授給波導(dǎo)1

條件又稱為相位匹配。

第29頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）兩個(gè)光波導(dǎo)的結(jié)構(gòu)參數(shù)保持相同，且在輸入端加入相同的激發(fā)信號(hào)光即已知：(4-13)此種情況下，耦合模方程的解為

:(4-14)第30頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月特別當(dāng)C12為純虛數(shù)時(shí)，上式變?yōu)?此時(shí)兩個(gè)波導(dǎo)內(nèi)光波場(chǎng)的唯一區(qū)別是傳播常數(shù)不同，因而傳播速度不同。

（3）作為一般的情形，考慮兩個(gè)波導(dǎo)的參數(shù)不一致，在z=0處僅波導(dǎo)1被激發(fā)的情形耦合模方程的解為:

式中U=E1(0)第31頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月為了研究波導(dǎo)間的能量傳遞，可計(jì)算出：

顯然，總能量在光波的傳播過(guò)程中保持不變，所以兩個(gè)波導(dǎo)的能量變化是互補(bǔ)的。在條件滿足時(shí)，可實(shí)現(xiàn)波導(dǎo)間能量的完全轉(zhuǎn)移。

在其余的情況下，轉(zhuǎn)移部分的能量所占比例取決于，因而取決于波導(dǎo)間參數(shù)的差異。調(diào)整這些參數(shù)可改變，從而改變波導(dǎo)間耦合的程度。

第32頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)光在光纖中的傳播

本節(jié)從射線理論和波動(dòng)理論兩方面對(duì)光在光纖中傳播的物理圖象進(jìn)行討論。第33頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、光纖的結(jié)構(gòu)特性

光纖的典型結(jié)構(gòu)如圖4-2所示。光纖的核心部分是由圓柱形玻璃纖芯和玻璃包層構(gòu)成，最外層是一種彈性耐磨的塑料護(hù)套。纖芯粗細(xì)、纖芯折射率n1和包層折射率n2，對(duì)光纖的傳光特性起決定性的影響。按照折射率分布劃分，光纖類型分為階躍折射率光纖和漸變(梯度)折射率光纖。

圖4-2光纖的結(jié)構(gòu)第34頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖4-3示出這兩種類型光纖的折射率分布及光線行進(jìn)情況。

圖4-3典型光纖的結(jié)構(gòu)階躍單模階躍多模梯度多模第35頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月隨著纖芯直徑(通常用2a表示)的粗細(xì)不同，光纖中傳輸模式的數(shù)量也不相同。因此，按照光纖傳輸模式的數(shù)量劃分，光纖分為單模光纖和多模光纖。隨著光纖技術(shù)的發(fā)展，還出現(xiàn)了一系列的特種光纖，如塑料光纖、導(dǎo)電光纖、空心光纖、發(fā)光光纖、保偏光纖等。描述光纖傳光特性的基本結(jié)構(gòu)參數(shù)主要有以下幾個(gè)：

1．光纖尺寸如圖4-3所示，光纖結(jié)構(gòu)尺寸包括纖芯直徑2a和包層外徑2b。2．?dāng)?shù)值孔徑NA光纖的數(shù)值孔徑是表示光纖集光能力大小的一個(gè)參數(shù)。3．相對(duì)折射率差相對(duì)折射率差是表示纖芯和包層之間相對(duì)折射率差的一個(gè)參數(shù)，由下式給出：第36頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月通常纖芯和包層折射率相差很小。的取值大約在0.001～0.01范圍，此時(shí)<<1，這種情況稱為弱波導(dǎo)。在弱波導(dǎo)條件下，數(shù)值孔徑NA和相對(duì)折射率差有如下關(guān)系：4．歸一化頻率(或結(jié)構(gòu)參量)歸一化頻率是一個(gè)與光纖中能夠傳輸?shù)哪Ｊ綌?shù)有關(guān)的參數(shù)，其定義為當(dāng)時(shí)，光纖中只能傳輸單一模式。當(dāng)時(shí)，將傳輸多種模式。在弱波導(dǎo)光纖中允許存在的模式數(shù)M可由下式估算：第37頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月5．折射率分布上面分析的都是階躍折射率光纖的情況，其整個(gè)纖芯中折射率是常數(shù)。對(duì)梯度折射率光纖，其纖芯截面的徑向折射率n(r)呈漸變型分布(見(jiàn)圖4-3c)，往往用下式來(lái)表示:式中，是纖芯軸線處()的折射率；r為纖芯內(nèi)任意一點(diǎn)到芯軸的距離；a為纖芯半徑；為相對(duì)折射率差；為折射率分布指數(shù)。

階躍型多模光纖一般芯直徑50～200，0.01～0.02。單模光纖的芯直徑一般小于10。梯度(漸變)型光纖芯徑與階躍型相同，但折射率不是常數(shù)，通常從纖芯軸處往纖芯邊緣按拋物線形遞減()。第38頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、階躍光纖的射線理論

下面用幾何光學(xué)的方法，分析階躍折射率光纖子午面內(nèi)與界面法線成角傳播的光線（從波動(dòng)的角度看就是平面波）的傳播行為，如圖4-4所示，設(shè)單色平面波在真空中的波長(zhǎng)為，波數(shù)為，在折射率為n1的纖芯內(nèi)波數(shù)為，在折射率為n2的包層中波數(shù)為。圖4-4光纖中子午面內(nèi)的光線傳播路徑

第39頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月將芯內(nèi)以角傳播的平面波波矢分解成軸向（z方向）分量和橫向分量（x方向）：?軸向分量通常稱為傳播常數(shù)，表示平面波以行波沿軸向傳播。

?橫向分量由于纖芯和包層界面的反射，當(dāng)橫向來(lái)回一次的相位變化為的整數(shù)倍時(shí)，所有的多重反射波都在x的相同位置上互相增強(qiáng)，因而形成一種不沿軸向減弱的駐波。這樣在纖芯內(nèi)光強(qiáng)的橫向分布沿軸向不變，形成穩(wěn)定的光場(chǎng)分布，這種狀態(tài)稱之為模。而這種模只有在特定的角度下才會(huì)形成，下面看如何確定這些特定的角度。據(jù)上圖，從A點(diǎn)到A’點(diǎn)，光線正好向前曲折全反射一個(gè)周期，在直徑為2a的波導(dǎo)中，其橫向一周期的相位變化為：全反射產(chǎn)生的相位變化第40頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月只有光波在光纖橫向一周期內(nèi)相位的變化為的整數(shù)倍時(shí)，這樣的光波才能沿軸向不減弱地傳播。這一條件為：式中，N取一系列整數(shù)。該方程稱為光纖射線理論的模式本征方程。如給定一整數(shù)N，就可由上式計(jì)算出對(duì)應(yīng)的角度，它即為對(duì)應(yīng)于N的特征反射角。

下圖中，對(duì)應(yīng)于N=0，1，2畫(huà)出了光線的特征反射角以及子午面內(nèi)與橫向相應(yīng)的電場(chǎng)強(qiáng)度分布。第41頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖4-5階躍光纖中子午光線的傳輸和模的電場(chǎng)分布第42頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因?yàn)镹是離散的，所以也是離散的，它表示在光纖中傳輸?shù)墓庵挥性谔囟ǖ姆瓷浣窍虏艜?huì)形成穩(wěn)定的光場(chǎng)分布，這時(shí)才有對(duì)應(yīng)的模式輸出，而不滿足的光線不會(huì)在光纖中形成穩(wěn)定的光場(chǎng)。N決定模的階數(shù)，表示橫向電場(chǎng)強(qiáng)度分布的波節(jié)數(shù)以上討論的是光纖中子午面內(nèi)的傳輸情況。由此看出采用射線方法分析，可以得到光在光纖中傳輸?shù)闹庇^圖像和導(dǎo)波模式的初步概念。但為了更詳細(xì)地掌握光纖的傳輸特性，以及光纖中電磁場(chǎng)的各種分布狀態(tài)(即各種模式的形象描述)，還必須運(yùn)用波動(dòng)光學(xué)理論對(duì)光纖作進(jìn)一步的分析。第43頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、階躍光纖的模式理論1.光纖中的橫向電磁場(chǎng)將光纖置于圓柱坐標(biāo)系中，根據(jù)光纖圓柱形邊界條件，求波動(dòng)方程的解，是光纖模式理論的基本出發(fā)點(diǎn)。下面采用近似模式理論來(lái)討論，即是將光纖中的橫向電場(chǎng)和橫向磁場(chǎng)當(dāng)作標(biāo)量近似處理。第44頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月近似地認(rèn)為光纖中的射線與光纖軸平行傳播，這樣的電磁波可以看成是“準(zhǔn)TEM波”，它在光纖中的縱向分量Ez和Hz極微弱，而橫向場(chǎng)分量Et和Ht極強(qiáng)，另外，考慮到圓柱形光纖的軸對(duì)稱性，因而可將準(zhǔn)TEM波的橫向電場(chǎng)分量Et用沿y軸(或x軸)偏振的標(biāo)量(或)來(lái)表示。

經(jīng)過(guò)以上的近似處理后，據(jù)電磁場(chǎng)波動(dòng)方程，可得到光纖中橫向電場(chǎng)滿足的方程為:考慮光纖中的定態(tài)單色波：

則波動(dòng)方程化為亥姆霍茲方程:

光波在光纖中沿z軸傳播，取柱坐標(biāo)系(r，，z)，令:

橫向場(chǎng)傳播常數(shù)第45頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月取柱坐標(biāo)系下的拉普拉斯算子，則亥姆霍茲方程變?yōu)?由于電磁場(chǎng)在方向(圓周方向)必須滿足周期條件，故可取橫向電場(chǎng)形式為:代入亥姆霍茲方程，則在纖芯及包層中有:第一類貝塞爾(Bessel)方程第二類貝塞爾方程第46頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月這樣波動(dòng)方程的標(biāo)量解為:纖芯中:包層中：

其中，u和w是兩個(gè)無(wú)量綱實(shí)參量，其定義為：它們與歸一化頻率V的關(guān)系為：由邊界條件確定的常數(shù)。

(4-15)第47頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月?根據(jù)貝塞爾函數(shù)性質(zhì)，第一個(gè)解表示在纖芯中電場(chǎng)成駐波分布，第二個(gè)解表示在包層中電場(chǎng)是衰減的。?u表示纖芯中電場(chǎng)的傳播狀態(tài)，而w則代表包層里電場(chǎng)的傳播狀態(tài)。通常u稱為導(dǎo)波的徑向歸一化相移常數(shù)，w稱為導(dǎo)波的徑向歸一化衰減常數(shù)。?m是從0開(kāi)始的正整數(shù)。?知道了光纖中電場(chǎng)，進(jìn)而就可以根據(jù)麥克斯韋方程求出磁場(chǎng)(此處略去這一求解過(guò)程)。它們是分析階躍折射率光纖中光傳播行為的兩個(gè)基本量。?由于和是兩個(gè)沿坐標(biāo)軸y和x的線性偏振量，因此稱此種導(dǎo)波模式為線性偏振模，簡(jiǎn)稱為L(zhǎng)p模。?圖4-5中給出了三種模的電場(chǎng)分布。第48頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.特征方程與截止條件波動(dòng)方程的解(4-15)式應(yīng)滿足邊界條件,即在處的纖芯與包層界面上，橫向電場(chǎng)本身和沿邊界法線上的變化率應(yīng)連續(xù)。由此可以推導(dǎo)出階躍折射率光纖的特征方程為:利用該特征方程，可以求出u或w，進(jìn)而分析光纖中LP模的傳輸特性。因?yàn)樵撎卣鞣匠淌且粋€(gè)超越方程，一般情況下只能求其數(shù)值解。不過(guò)，在某些對(duì)于研究光纖傳輸特性有著普遍意義的特殊情況下，可以將它簡(jiǎn)化成很簡(jiǎn)單的形式求解。第49頁(yè)，課件共53頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于光纖傳輸特性有普遍意義的問(wèn)題是：光纖