高中線性規(guī)劃練習(含詳細解答)

第21頁共21頁高中線性規(guī)劃練習(含詳細解答)線性規(guī)劃練習1.“截距”型考題在線性約束條件下，求形如的線性目標函數(shù)的最值問題，通常轉(zhuǎn)化為求直線在軸上的截距的取值.結(jié)合圖形易知，目標函數(shù)的最值一般在可行域的頂點處取得.掌握此規(guī)律可以有效避免因畫圖太草而造成的視覺誤差.1.【2012年高考·廣東卷理5】已知變量滿足約束條件，則的最大值為() 2.(2012年高考·遼寧卷理8)設變量滿足，則的最大值為A．20 B．35C3.(2012年高考·全國大綱卷理13)若滿足約束條件，則的最小值為。4.【2012年高考·陜西卷理14】設函數(shù)，是由軸和曲線及該曲線在點處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則在上的最大值為．5.【2012年高考·江西卷理8】某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50計，投入資金不超過54萬元，假設種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元韭菜6噸0.9萬元0.3萬元

為使一年的種植總利潤（總利潤=總銷售收入總種植成本）最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積（單位：畝）分別為（）A．50，0B．30，20C．20，30D．0，506.(2012年高考·四川卷理9)某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗原料2千克，原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，要求每天消耗、原料都不超過12千克.通過合理安排生產(chǎn)計劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是（）A、1800元B、2400元C、2800元D、3100元7.(2012年高考·安徽卷理11)若滿足約束條件：；則的取值范圍為.8．(2012年高考·山東卷理5)的約束條件，則目標函數(shù)z=3x－y的取值范圍是 A．[，6] B．[，－1] C．[－1，6]D．[－6，]9．(2012年高考·新課標卷理14)設滿足約束條件：；則的取值范圍為.2.“距離”型考題10.【2010年高考·福建卷理8】設不等式組所表示的平面區(qū)域是,平面區(qū)域是與關(guān)于直線對稱,對于中的任意一點A與中的任意一點B,的最小值等于()A.B.4C.D.211.(2012年高考·北京卷理2)設不等式組，表示平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是ABCD3.“斜率”型考題12.【2008年高考·福建卷理8】若實數(shù)x、y滿足則的取值范圍是（）A.(0,1)B. C.(1,+) D.13.（2012年高考·江蘇卷14）已知正數(shù)滿足：則的取值范圍是．4.“平面區(qū)域的面積”型考題14.【2012年高考·重慶卷理10】設平面點集，則所表示的平面圖形的面積為ABCD15.（2007年高考·江蘇卷理10）在平面直角坐標系，已知平面區(qū)域且，則平面區(qū)域的面積為（）A．B．C．D．16.（2008年高考·安徽卷理15）若為不等式組表示的平面區(qū)域，則當從－2連續(xù)變化到1時，動直線掃過中的那部分區(qū)域的面積為.17.（2009年高考·安徽卷理7）若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分，則的值是（A）（B）（C）（D）高18.（2008年高考·浙江卷理17）若，且當時，恒有，則以,b為坐標點所形成的平面區(qū)域的面積等于__________.5.“求約束條件中的參數(shù)”型考題規(guī)律方法：當參數(shù)在線性規(guī)劃問題的約束條件中時，作可行域，要注意應用“過定點的直線系”知識，使直線“初步穩(wěn)定”，再結(jié)合題中的條件進行全方面分析才能準確獲得答案.19.（2009年高考·福建卷文9）在平面直角坐標系中，若不等式組（為常數(shù)）所表示的平面區(qū)域內(nèi)的面積等于2，則的值為A.－5B.1C.2D.320.【2012年高考·福建卷理9】若直線上存在點滿足約束條件，則實數(shù)的最大值為（）A．B．1C．D．221.（2008年高考·山東卷理12）設二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為，使函數(shù)的圖象過區(qū)域的的取值范圍是（）A．[1，3]B．[2，]C．[2，9]D．[，9]22.（2010年高考·北京卷理7）設不等式組表示的平面區(qū)域為D，若指數(shù)函數(shù)y=的圖像上存在區(qū)域D上的點，則a的取值范圍是A(1，3]B[2，3]C(1，2]D[3，]23.（2007年高考·浙江卷理17）設為實數(shù)，若{}，則的取值范圍是___________.24.（2010年高考·浙江卷理7）若實數(shù)，滿足不等式組且的最大值為9，則實數(shù)（）ABC1D26.“求目標函數(shù)中的參數(shù)”型考題規(guī)律方法：目標函數(shù)中含有參數(shù)時，要根據(jù)問題的意義，轉(zhuǎn)化成“直線的斜率”、“點到直線的距離”等模型進行討論與研究.25.（2009年高考·陜西卷理11）若x，y滿足約束條件，目標函數(shù)僅在點（1，0）處取得最小值，則a的取值范圍是（）A．（，2）B．（，2）C．D．26.（2011年高考·湖南卷理7）設m>1，在約束條件目標函數(shù)z=x+my的最大值小于2，則m的取值范圍為A．B．C．（1，3）D．7.其它型考題27.（2009年高考·山東卷理12）設x，y滿足約束條件，若目標函數(shù)的值是最大值為12，則的最小值為（）A.B.C.D.428.（2010年高考·安徽卷理13）設滿足約束條件，若目標函數(shù)的最大值為8，則的最小值為________.線性規(guī)劃問題答案解析1.“截距”型考題在線性約束條件下，求形如的線性目標函數(shù)的最值問題，通常轉(zhuǎn)化為求直線在軸上的截距的取值.結(jié)合圖形易知，目標函數(shù)的最值一般在可行域的頂點處取得.掌握此規(guī)律可以有效避免因畫圖太草而造成的視覺誤差.1、選【解析】約束條件對應內(nèi)的區(qū)域(含邊界)，其中畫出可行域，結(jié)合圖形和z的幾何意義易得2、選D；【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，由圖知目標函數(shù)過點時，的最大值為55，故選D.3、答案：【解析】利用不等式組，作出可行域，可知區(qū)域表示的為三角形，當目標函數(shù)過點時，目標函數(shù)最大，當目標函數(shù)過點時最小為.]4、答案2；【解析】當x>0時，，，∴曲線在點處的切線為，則根據(jù)題意可畫出可行域D如右圖：目標函數(shù)，∴當，時，z取得最大值25、選B；【解析】本題考查線性規(guī)劃知識在實際問題中的應用，同時考查了數(shù)學建模的思想方法以及實踐能力.設黃瓜和韭菜的種植面積分別為x、y畝，總利潤為z萬元，則目標函數(shù)為.線性約束條件為

即作出不等式組表示的可行域,易求得點.平移直線，可知當直線，經(jīng)過點，即時z取得最大值，且（萬元）.故選B.點評：解答線性規(guī)劃應用題的一般步驟可歸納為：(1)審題——仔細閱讀，明確有哪些限制條件，目標函數(shù)是什么？(2)轉(zhuǎn)化——設元．寫出約束條件和目標函數(shù);(3)求解——關(guān)鍵是明確目標函數(shù)所表示的直線與可行域邊界直線斜率間的關(guān)系；(4)作答——就應用題提出的問題作出回答．6、答案C【解析]】設公司每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品X桶，乙種產(chǎn)品Y桶，公司共可獲得利潤為Z元/天，則由已知，得Z=300X+400Y，且，畫可行域如圖所示，目標函數(shù)Z=300X+400Y可變形為Y=這是隨Z變化的一族平行直線，解方程組，，即A（4,4）7、答案；【解析】約束條件對應內(nèi)的區(qū)域(含邊界)，其中，畫出可行域，結(jié)合圖形和t的幾何意義易得8、選A；【解析】作出可行域和直線：，將直線平移至點處有最大值，點處有最小值，即.∴應選A.9、答案[－3，3]；【解析】約束條件對應區(qū)域為四邊形內(nèi)及邊界，其中，則2.“距離”型考題10、選B；【命題意圖】本題考查不等式中的線性規(guī)劃以及兩個圖形間最小距離的求解、基本公式（點到直線的距離公式等）的應用，考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力。【解析】由題意知，所求的的最小值，即為區(qū)域中的點到直線的距離的最小值的兩倍，畫出已知不等式表示的平面區(qū)域，如圖所示，可看出點（1，1）到直線的距離最小，故的最小值為，所以選B。評注：在線性約束條件下，求分別在關(guān)于一直線對稱的兩個區(qū)域內(nèi)的兩點距離的最值問題，通常轉(zhuǎn)化為求其中一點(x，y)到對稱軸的距離的的最值問題。結(jié)合圖形易知，可行域的頂點及可行域邊界線上的點是求距離最值的關(guān)鍵點.11、選D；【解析】題目中表示的區(qū)域為正方形，如圖所示，而動點M可以存在的位置為正方形面積減去四分之一圓的面積部分，因此，故選D.3.“斜率”型考題12、選C；【解析】如圖，陰影部分為不等式所對應的平面區(qū)域，表示平面區(qū)域內(nèi)的動點與原點之間連線的斜率，由圖易知，，選C.評注：在線性約束條件下，對于形如的目標函數(shù)的取值問題，通常轉(zhuǎn)化為求點、之間連線斜率的取值.結(jié)合圖形易知，可行域的頂點是求解斜率取值問題的關(guān)鍵點.在本題中，要合理運用極限思想，判定的最小值無限趨近于1.13、答案；【解析】可化為：.設，則題目轉(zhuǎn)化為：已知滿足，求的取值范圍.作出（）所在平面區(qū)域（如圖），求出的切線的斜率，設過切點的切線為，則，要使它最小，須.∴的最小值在處，為.此時，點在上之間.當（）對應點時，，∴的最大值在處，最大值為7.∴的取值范圍為，即的取值范圍是4.“平面區(qū)域的面積”型考題14、選；【解析】由對稱性：圍成的面積與圍成的面積相等，得：所表示的平面圖形的面積為圍成的面積既15、選B；【解析】令，則，代入集合A，易得，其所對應的平面區(qū)域如圖陰影部分，則平面區(qū)域的面積為×2×1＝1，∴選B.評注：本題涉及雙重約束條件，解題的關(guān)鍵是采用換元的思想去尋求平面區(qū)域所對應的約束條件，從而準確畫出相應的平面區(qū)域.16、答案；【解析】如圖，陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域，其中：.當從－2連續(xù)變化到1時，動直線掃過的平面區(qū)域即為與之間的平面區(qū)域，則動直線掃過中的那部分平面區(qū)域的面積即為四邊形的面積，由圖易知，其面積為：.評注：本題所求平面區(qū)域即為題設平面區(qū)域A與動直線在從－2連續(xù)變化到1時掃過的平面區(qū)域之間的公共區(qū)域，理解題意，準確畫圖是解題的關(guān)鍵.AxDyCOy=kx+17、選A；【解析】不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分AxDyCOy=kx+∴△ABC=，設與的交點為D，則由知，∴，∴，選A.18、答案1；【解析】如圖，陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域，要使得恒有成立，只須平面區(qū)域頂點的坐標都滿足不等式，易得所以所形成的平面區(qū)域的面積等于1.評注：本題是線性規(guī)劃背景下的不等式恒成立問題，只須考慮可行域的頂點即可.作為該試卷客觀題的最后一題，熟悉的題面有效避免了學生恐懼心理的產(chǎn)生，但這并不等于降低了對數(shù)學能力、數(shù)學思想方法的考查，真可謂簡約而不簡單.5.“求約束條件中的參數(shù)”型考題19、選D；【解析】作出不等式組所圍成的平面區(qū)域.如圖所示，由題意可知，公共區(qū)域的面積為2；∴|AC|=4，點C的坐標為（1，4）代入得a=3，故選D.點評：該題在作可行域時，若能抓住直線方程中含有參數(shù)a這個特征，迅速與“直線系”產(chǎn)生聯(lián)系，就會明確可變形為的形式，則此直線必過定點(0，1)；此時可行域的“大致”情況就可以限定，再借助于題中的其它條件，就可輕松獲解.20、選B；分析：本題考查的知識點為含參的線性規(guī)劃，需要畫出可行域的圖形，含參的直線要能畫出大致圖像.解答：可行域如圖：所以，若直線上存在點滿足約束條件，則，即。評注：題設不等式組對應的平面區(qū)域隨參數(shù)m的變化而變化，先局部后整體是突破的關(guān)鍵.21、選C；【解析】區(qū)域是三條直線相交構(gòu)成的三角形（如圖）,其中，使函數(shù)的圖象過區(qū)域,由圖易知，只須區(qū)域M的頂點不位于函數(shù)圖象的同側(cè)，即不等式(a＞0，a≠1)恒成立，即評注：首先要準確畫出圖形；其次要能結(jié)合圖形對題意進行等價轉(zhuǎn)化；最后要能正確使用“同側(cè)同號、異側(cè)異號”的規(guī)律.22、選A；【解析】這是一道略微靈活的線性規(guī)劃問題，作出區(qū)域D的圖象，聯(lián)系指數(shù)函數(shù)的圖象，能夠看出，當圖象經(jīng)過區(qū)域的邊界點（2，9）時，a可以取到最大值3，而顯然只要a大于1，圖象必然經(jīng)過區(qū)域內(nèi)的點.23、答案；【解析】如圖10，直線，由題意，要使得不等式組表示的區(qū)域包含在圓的內(nèi)部，則直線應位于直線與軸之間（包括直線及軸），即，所以的取值范圍是.評注：由集合之間的包含關(guān)系到對應平面區(qū)域之間的包含關(guān)系是解決本題的第一突破口；另外，在直線的旋轉(zhuǎn)變化中，確定關(guān)鍵的兩個特殊位置、軸是解決本題第二突破口，這對考生的想象能力、數(shù)形結(jié)合能力都提出了非常高的要求.24、選C；【思路點撥】畫出平面區(qū)域，利用的最大值為9，確定區(qū)域的邊界．【規(guī)范解答】選C．令，則，z表示斜率為-1的直線在y軸上的截距．當z最大值為9時，過點A，因此過點A，所以．6.“求目標函數(shù)