《復(fù)數(shù)的概念》示范課教學(xué)設(shè)計【高中數(shù)學(xué)教案】

《復(fù)數(shù)的概念》教學(xué)設(shè)計第1課時◆◆ 教學(xué)目標(biāo)1.了解數(shù)集的擴(kuò)充過程，了解引進(jìn)復(fù)數(shù)的必要性．2.理解復(fù)數(shù)及其相關(guān)概念：實部、虛部、虛數(shù)、純虛數(shù)等，明確復(fù)數(shù)的分類．3.掌握復(fù)數(shù)相等的充要條件，并能應(yīng)用這一條件解決有關(guān)問題．◆ ◆ 教學(xué)重難點(diǎn)◆ 教學(xué)重點(diǎn)：理解復(fù)數(shù)的必要性，明白復(fù)數(shù)及其相關(guān)概念，掌握復(fù)數(shù)的幾種類．教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)數(shù)的分類及相關(guān)概念的辨析．◆ ◆ 課前準(zhǔn)備PPT課件．◆◆ 教學(xué)過程一、整體概覽問題1：閱讀課本，回答下列問題：（1）本章將要研究哪類問題？（2）本章要研究的對象在高中的地位是怎樣的？（3）本章研究的起點(diǎn)是什么？目標(biāo)是什么？師生活動：學(xué)生帶著問題閱讀課本，老師指導(dǎo)學(xué)生概括總結(jié)章引言的內(nèi)容.預(yù)設(shè)的答案：（1）本章將要研究復(fù)數(shù).（2）復(fù)數(shù)，一方面是解決人類生活生產(chǎn)實際問題的需要，另一方面也是解決數(shù)學(xué)自身發(fā)展所遇到矛盾的需要.（3）起點(diǎn)是“數(shù)”的認(rèn)識過程，目標(biāo)是通過研究復(fù)數(shù)，明確復(fù)數(shù)的概念，了解復(fù)數(shù)的運(yùn)用.設(shè)計意圖：通過章引言的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生明晰下一階段的學(xué)習(xí)目標(biāo)，初步搭建學(xué)習(xí)內(nèi)容的框架.二、問題導(dǎo)入問題2：類似x2=-師生活動：學(xué)生先回憶初中學(xué)過的有理數(shù)集、實數(shù)集等．【想一想】是否可以引入一個新的單位使得類似x2=－1的方程有解師生活動：引入一個新數(shù)i，把i叫做虛數(shù)單位，并且規(guī)定：（1）i21；（2）實數(shù)與i可以進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算：實數(shù)a與數(shù)i相加記為：a+i實數(shù)b與數(shù)i相乘記為：bi，并規(guī)定0?i=0實數(shù)a與bi相加記為：a+bi引語：要解決這個問題，就需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的概念.（板書：復(fù)數(shù)的概念）【新知探究】1．分析實例，感知復(fù)數(shù)的概念，逐步分析出實數(shù)與i的四則運(yùn)算．問題3：規(guī)定i的平方等于，即，稱i為虛數(shù)單位．（1）你認(rèn)為可以怎樣表示2與i

的和？又該怎樣表示3減去i

？（2）你認(rèn)為5與i

的乘積可以怎樣表示？預(yù)設(shè)的答案：（1）；（2）追問：這些還表示實數(shù)嗎？如何定義復(fù)數(shù)集，復(fù)數(shù)集中原有的加法、乘法運(yùn)算律仍然成立嗎？（讓學(xué)生自由發(fā)揮，分組討論，一起判斷，教師點(diǎn)評.）預(yù)設(shè)的答案：全體復(fù)數(shù)組成的集合叫做復(fù)數(shù)集，記作C，記作，其中i為虛數(shù)單位，a實部；b虛部．復(fù)數(shù)集中原有的加法、乘法運(yùn)算律仍然成立．設(shè)計意圖：感知復(fù)數(shù)的概念，分析出實數(shù)與i的四則運(yùn)算2.在大量實例感知的基礎(chǔ)上，總結(jié)出復(fù)數(shù)的概念．問題4：下列數(shù)，分別有什么特點(diǎn)？預(yù)設(shè)的答案：的實部是3，虛部是2；－2的實部是－2，虛部是0；的實部是0，虛部是6.追問：根據(jù)實數(shù)a和b的取值不同，我們可以將復(fù)數(shù)分成哪幾類？師生活動：當(dāng)且僅當(dāng)時，Z=a+bi表示實數(shù)；當(dāng)時，Z=a+bi叫做虛數(shù)；特別的，當(dāng)時，Z=a+bi叫做純虛數(shù)．預(yù)設(shè)的答案：即：設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析和歸納的能力.問題5：兩個實數(shù)可以相等，兩個復(fù)數(shù)可以相等嗎？師生活動：兩個復(fù)數(shù)，如果實部與虛部都對應(yīng)相等，我們就說著兩個復(fù)數(shù)相等，記作．追問：兩個復(fù)數(shù)可以比較大小嗎？預(yù)設(shè)的答案：兩個復(fù)數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)都是實數(shù)時，可以比較大?。O(shè)計意圖：進(jìn)一步理解復(fù)數(shù)的概念【鞏固練習(xí)】例1.(1)給出下列三個命題：①若z∈C，則z2≥0；②2i－1的虛部是2i；③2i的實部是0.其中真命題的個數(shù)為()A．0B．1C．2D．3(2)已知復(fù)數(shù)z＝a2－(2－b)i的實部和虛部分別是2和3，則實數(shù)a，b的值分別是a＝________，b＝________.(3)下列命題正確的是__________(填序號)．①若x，y∈C，則x＋yi＝1＋2i的充要條件是x＝1，y＝2；②若實數(shù)a與ai對應(yīng)，則實數(shù)集與純虛數(shù)集一一對應(yīng)；③實數(shù)集的補(bǔ)集是虛數(shù)集．師生活動：學(xué)生分析解題思路，給出答案．預(yù)設(shè)的答案：(1)對于①，當(dāng)z∈R時，z2≥0成立，否則不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，所以①為假命題；對于②，2i－1＝－1＋2i，其虛部為2，不是2i，所以②為假命題；對于③，2i＝0＋2i，其實部是0，所以③為真命題(2)由題意，得a2＝2，－(2－b)＝3，所以a＝±eq\r(2)，b＝5.(3)①由于x，y都是復(fù)數(shù)，故x＋yi不一定是代數(shù)形式．因此不符合兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件，故①是假命題．②當(dāng)a＝0時，ai＝0為實數(shù)，故②為假命題．③由復(fù)數(shù)集的分類知，③正確，是真命題．設(shè)計意圖：通過類比理解復(fù)數(shù)的表示方法，讓學(xué)生經(jīng)歷抽象過程、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．例2.已知m∈R，復(fù)數(shù)z＝＋(m2＋2m－3)i，當(dāng)m為何值時．①z為實數(shù)？②z為虛數(shù)？③z為純虛數(shù)？師生活動：依據(jù)復(fù)數(shù)的分類列出方程(不等式)組求解．預(yù)設(shè)的答案：①要使z為實數(shù)，需滿足m2＋2m－3＝0，且有意義，即m－1≠0，解得m＝－3.②要使z為虛數(shù)，需滿足m2＋2m－3≠0，且有意義，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.③要使z為純虛數(shù)，需滿足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.設(shè)計意圖：通過例題，進(jìn)一步明確復(fù)數(shù)的分類，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．例3.(1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求實數(shù)x，y的值；(2)關(guān)于x的方程3x2－eq\f(a,2)x－1＝(10－x－2x2)i有實根，求實數(shù)a的值．師生活動：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件求解．預(yù)設(shè)的答案：(1)由復(fù)數(shù)相等的充要條件，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,y＝x＋1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f(1,2).))(2)設(shè)方程的實根為x＝m，則原方程可變?yōu)?m2－eq\f(a,2)m－1＝(10－m－2m2)i．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m2－\f(a,2)m－1＝0，,10－m－2m2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,a＝11，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(5,2)，,a＝－\f(71,5)，))所以實數(shù)a的值為a＝11或－eq\f(71,5).設(shè)計意圖：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題，為應(yīng)用方程思想提供了條件，同時這也是復(fù)數(shù)問題實數(shù)化的體現(xiàn)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng)．【課堂小結(jié)】問題：1．復(fù)數(shù)的概念是什么，如何分類的？2.如何運(yùn)用兩復(fù)數(shù)相等的充要條件？3.兩個復(fù)數(shù)能比較大小的充要條件是什么？師生活動：學(xué)生嘗試總結(jié)，老師適當(dāng)補(bǔ)充.預(yù)設(shè)的答案：1．區(qū)分實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)與復(fù)數(shù)的關(guān)系，特別要明確：實數(shù)也是復(fù)數(shù)，要把復(fù)數(shù)與實數(shù)加以區(qū)別．對于純虛數(shù)bi(b≠0，b∈R)不要只記形式，要注意b≠0.2．應(yīng)用兩復(fù)數(shù)相等的充要條件時，首先要把等號左右兩邊的復(fù)數(shù)寫成代數(shù)形式，即分離實部與虛部，然后列出等式求解．3．若兩個復(fù)數(shù)全是實數(shù)，則可以比較大小，反之，若兩個復(fù)數(shù)能比較大小，則它們必是實數(shù)．設(shè)計意圖：通過梳理本節(jié)課的內(nèi)容，體會虛數(shù)引入的必要性，并讓學(xué)生類比理解復(fù)數(shù)的表示方法，讓學(xué)生經(jīng)歷虛數(shù)產(chǎn)生及復(fù)數(shù)表示過程，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)．布置作業(yè)：【目標(biāo)檢測】1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若a，b為實數(shù)，則z＝a＋bi為虛數(shù)． ()(2)若a為實數(shù)，則z＝a一定不是虛數(shù)． ()(3)bi是純虛數(shù)．()(4)如果兩個復(fù)數(shù)的實部的差和虛部的差都等于0，那么這兩個復(fù)數(shù)相等． ()設(shè)計意圖：鞏固復(fù)數(shù)的概念．2．設(shè)i為虛數(shù)單位，若，a，，則()A． B． C． D．設(shè)計意圖：鞏固運(yùn)用復(fù)數(shù)相等的充要條件．3．下列命題：①若a∈R，則(a＋1)i是純虛數(shù)；②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是純虛數(shù)，則x＝±1；③兩個復(fù)數(shù)不能比較大小．其中錯誤命題的序號是__________．設(shè)計意圖：鞏固純虛數(shù)的概念．4．若復(fù)數(shù)z＝(m＋1)＋(m2－9)i＜0，則實數(shù)m＝________.設(shè)計意圖：鞏固運(yùn)用復(fù)數(shù)的分類．5．實數(shù)m分別取什么數(shù)值時，復(fù)數(shù)z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(1)是實數(shù)；(2)是虛數(shù)；(3)是純虛數(shù)；(4)是0.設(shè)計意圖：鞏固運(yùn)用復(fù)數(shù)的分類．參考答案：1．(1)×(2)√(3)×(4)√2．B【詳解】由，a，，得，，則.故選：B.3．①②③當(dāng)a＝－1時，(a＋1)i＝0，故①錯誤；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是純虛數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1＝0，,x2＋3x＋2≠0，))即x＝1，故②錯；兩個復(fù)數(shù)當(dāng)它們都是實數(shù)時，是可以比較大小的，③中忽視了這一特殊情況，故③錯．4．－3∵z＜0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－9＝0,m＋1＜0))，∴m＝－3.5．由m2＋5m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，由m2－2m－15＝0得m＝5或m＝－3.(1)當(dāng)m2－2m－15