2023年高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯編及8大專題考試答題思路

2023年高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯編及8大專題考

試答題思路

集合與常用邏輯用語

一組對(duì)象的全體.元素特點(diǎn)：N

子集xeA^>xeBoA^B

關(guān)系真子集XG^4=>XG5,3^0GB、x。任力。月

集相等A=B,B=AoA=B

合

交集力n8={x|戈￡4,且X￡B}

三算并集4U3={x|工￡Q

集C"

T

補(bǔ)集CLA={X|XGZ7且工eA]

能夠判斷真假的語句

與

原命題

常原命題：若p,則q

命題與

用命題四種逆命題：若夕，則。

題與逆

邏命題否命題：若「夕,則

常

輯逆否命題：若，則「夕為逆否

用

用充分條件pnq,p是q的充分條件若命題

邏充要

語必要條件p=>q,q是P的必要條件則?二

TH水1十

充要條件poq,夕，q互為充要條件A-L

用

語或命題p^q,2,U有一為真即為真，p,q均為

邏輯

且命題P^q,2M均為真時(shí)才為真，p,q有一

J在S梢JSW有J1

非命題「p和p為一真一假兩個(gè)互為對(duì)立的命題

全稱量詞V,含全稱量詞的命題叫全稱命題，其否定

里同

存在量詞3,含存在量詞的命題叫特稱命題,其否定

復(fù)數(shù)

規(guī)定：72=-1；實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，?

虛數(shù)單位

立。i4k=1,『上+1=j『無+2=_1/4無+3=_j(k

形如a+bi(d8eR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，〃叫做，

復(fù)數(shù)

bwO時(shí)叫虛數(shù)、〃=0/w0時(shí)叫純虛數(shù)。

復(fù)數(shù)相等a+bi=c+di(a,b,c,deR

共宛復(fù)數(shù)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)。即二二4

復(fù)數(shù)

加減法(a+6?！?c+di)二(a±c)+(6±

乘法m+6i)(c+di)={ac-bd)+(bc-

境—算A~A~

,7.、/ac+bdbe—de

除法(Q+bz),(C+—),+)r

。?+d"c"+d

復(fù)數(shù)二=4+加<一一對(duì)應(yīng)>復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(4,Z0

幾何

意義向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)的模，二二4

平面向量

向量既有大小又有月向的量，表小向量的有向線段的長度口微該向量的t

重。向量長度為o,方向彳璋的向星【6與0m港向量共線】

要平行量方向相同或者相反的兩個(gè)m港向量叫做平行向量，也口哄線向量。

概

向星夾角起點(diǎn)放在一點(diǎn)的兩向量所癖角，范圍是［o,乃|。Z荒的夾角記為

念

<aj)>=0.bcose叫做3在［方向上的投影?！咀⒁猓和队?/p>

重工1,工2不照，存在唯T實(shí)數(shù)對(duì)(4〃)，使2+〃工2。至

基本定理

要

正交問基，(A,//)就是向量"的坐風(fēng)

法

-^表示坐■示(

則

共線條件a/b由工。共線o存在唯一賣數(shù)％,3=(七,“)二〃

定

理垂直條件aLbOa?b=0

加法法則3的平行四邊形法則、三角形法則a+b=

平運(yùn)算算律a+b=b+a,(a+b)+c=4+(b+c)與力區(qū)去運(yùn)

面

法則3-g的三角舲去貝Ij

向減法a-b=

運(yùn)算

量分解MN=ON-OMMN=(

為向量，％>0與一。方向相同，

槐令尢

/I<0與3方向相反，2^|=|2||<7

蛹

各

X~~—*—*—?—??—?

運(yùn)算

種M〃a)=(%4)a,(A+")a=Aa+/.ia,

算律—?—?—?—與數(shù)乘運(yùn)

運(yùn)A(<7+b)=Aa+Ab

算

幡a*b=a-bcos<aj)>a?b

a

主要丁，網(wǎng)

a*a=<陽?同

積運(yùn)蜩|再吃+乃Vzl

算

a?b=b?a,(a+b)?c=a?c+b?c,與上面頻量彳

算律

(瓶)?否=f(4)=A(<7?S)o

不等式與線性規(guī)劃

(1)a>b,b>c=a>c：兩個(gè)實(shí)委

(2)a>b,c>0=>ac>bcia>b,c<0=>ac<be;a>b<

(3)a>b^>a+c>b+c;a=b<

a<b<

質(zhì)(4)a>b,c>a+c>b+d；

(5)a>b>0,c>d>Q=>ac>bd;a>b<

(6)a>b>0,〃eN*,n>l=>an>bni^/a>觀ab>0

解一元二次不室t實(shí)際上就是求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的實(shí)數(shù)根(如果有實(shí)數(shù)根;

象確定其大于零或者小于零的區(qū)間，在含有字母參數(shù)的不等式中還要根據(jù)參數(shù)曲

等式

以及函數(shù)圖象的開*向，從而確定橙式的解集.

a+b>2y[ab[a,b>0)；ab<(-^)2(

a,beR

血2

212

(a>0,b>0)“>0),er+b*>nh

2

二元一)矯二元一次不等式Ax+By+C>0的解集是平面直角坐標(biāo)系中表示Ax+為，+

等式組的平面區(qū)域。_兀一次不上組的解集是指各個(gè)不等式解集所表不的平面區(qū)除2

約束條件對(duì)變量的制約條件。如果是的y的一次式，則儺性

目標(biāo)函數(shù)求解的最優(yōu)問題的表達(dá)式。如果是的一次式，則儂1

可彳獺滿足線性約束條件的解(x,y)叫可行解.

可行域所有可行解組成的集合叫^^亍域

使目標(biāo)級(jí)取得最大值或者最/」他的可行解叫最優(yōu)解。

簡單的

在線性約束條件下甦性目標(biāo)統(tǒng)的最大值或者最大值的I'E

第一步畫出可行域。

不含

第二步根據(jù)目信數(shù)幾何意義確

問題實(shí)際背景

第三步求出目標(biāo)函數(shù)的最值

解法

含第一步設(shè)朗個(gè)變量，建立約束條件和目標(biāo)整。

實(shí)際背景第二步同不含實(shí)際背景的解法步噱。

算法、推理與證明

順序結(jié)構(gòu)依次執(zhí)行

邏輯

條件結(jié)構(gòu)根據(jù)條件是否成立有不同的流向

結(jié)構(gòu)

算法循環(huán)結(jié)構(gòu)按照一定條件反復(fù)防某些步驟

林

輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件

語句

歸納推理由部分具有某種特征推

合情推理

推理類比推理由一類對(duì)象具有的特征推斷

演繹推理根據(jù)一般性的真命題（或邏輯規(guī)則）導(dǎo)出特殊

磔綜合法由已知導(dǎo)向

數(shù)學(xué)直接證明

與分析法由結(jié)論反推

證明

證明間接證明主要是反證法，反設(shè)結(jié)論、導(dǎo)出矛盾的證明方

數(shù)學(xué)教學(xué)歸納法是以自然數(shù)的歸納公理做為它的理論基礎(chǔ)的，因

歸納然數(shù)有關(guān)的命題。分兩步：首先證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0（

法n=k（左左之%）時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)起

計(jì)數(shù)原理與二項(xiàng)式定理

完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有7%種刁

分類加法

同的方法，…，在第〃類方率中有種不f

計(jì)數(shù)原理

*N—叫++…+7〃??種不同的方法.

完成一件事情，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有叫種彳

分步乘法

法……做第n步有叫種不同的方法.那么完成這件事夬

計(jì)數(shù)原理

方法.

從n個(gè)不同元素中取出7〃。〃<77）個(gè)元素，按照一定

排my素中取出77/（777<〃）個(gè)元素的一個(gè)排列，所有不同排彳

列

排列7〃（7〃<77）個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)47表示。

組

排列數(shù)771

合4二〃(〃-1)(〃-2)…(〃-7〃+1)=0

公式(77-7/?)!

從〃個(gè)不同元素中，任意取出個(gè)元素3

項(xiàng)

個(gè)元素的組合，所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫《

式定義

元素的組合數(shù)，用符號(hào)C：表示。

組合

理組合數(shù)m-1)…(〃-7〃+1)_47

公式"7〃！"4：

顏C：=。尸（嘰〃GM且7〃<〃）；C%=

定理(a+b)n=C^an+C：優(yōu)-%+-+C：0n-E+…T

二項(xiàng)

通項(xiàng)公式(._i=(其中0?左左eN,，?eN*)

式XE

c；+-…+CV；c：+c；+

理系數(shù)和

公式G+C：+C；+…=C：+C：+C：+…2”口

函數(shù)、基本初等函數(shù)I的圖像與性質(zhì)

iflil令本質(zhì)：定義域內(nèi)任r自變量對(duì)應(yīng)物的函數(shù)值兩函數(shù)電只要定

解析式法、表格法、圖象法。分段函數(shù)是數(shù)，其定義域是各段定)

表示方法

域的并集

對(duì)定義域內(nèi)間、玉

函數(shù)TEI.Xpx2eI<x2,,

雌單調(diào)性/(.V)是增函數(shù)。/(xj</(x2),

/(.V)是儂數(shù)o/(項(xiàng))>/(x2)o

表7F對(duì)定義域內(nèi)任意X,/(.r)是偶函數(shù)o/(.r)=/(-.r)

奇偶性/(x)是奇理數(shù)o/(—x)=一/(x)。偶函數(shù)圖象關(guān)三

y軸對(duì)稱、奇函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱》

周期性對(duì)定義域內(nèi)任意x,存在m藩常數(shù)T,/(.r+T)=/(.i

指數(shù)函數(shù)0<67<1(-00,+oc)單減，xvO時(shí)y<l,x>0時(shí)0<y

肆y=cfa>l(-oo,+oo)單增，x<0時(shí)0<y<1,x>0時(shí)y

初等對(duì)數(shù)函數(shù)0<a<1在(0,內(nèi))單調(diào)遞減，0<x<l時(shí)y>0,x>l時(shí)y

函數(shù)

y=^axa>l在(0,+oo)單調(diào)遞增，0<\<1時(shí)1，<0,\>1時(shí).”

I

幕整a>0在在(0,內(nèi))單調(diào)遞增，圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)

V=Ta<Q在在(0,f》)單調(diào)遞減

函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應(yīng)用

方程/(X)=0的實(shí)數(shù)根。方程/(X)=0有實(shí)數(shù)根o函

函數(shù)

數(shù)y=/(x)有零點(diǎn)?

零點(diǎn)

存在定理圖象在口，句上連續(xù)不斷，若則y=/

概念把實(shí)際問表達(dá)的數(shù)量變化規(guī)律用函數(shù)關(guān)系刻畫出來的方法風(fēng)

閱讀審題分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)供

函數(shù)

數(shù)學(xué)建模弄清題目中的已知條件和數(shù)量關(guān)系，建立函資

解題步驟解答模型利用數(shù)學(xué)方法得出函數(shù)模型的數(shù)學(xué)結(jié)果。

解釋模型將數(shù)學(xué)問題的結(jié)果轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問題作出答案。

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

函數(shù).I'=/（X）在點(diǎn)X=XQ處的導(dǎo)數(shù)f'■）=lim""+~"、。）.

與幾

何意幾何/'（天）為曲線v=/（x）在點(diǎn)?J6）處的切線斜率，切發(fā)方程是

義不y-/■>）=/'?Xx-與）.

<7=0(C為常數(shù))；(/)'=n/i(〃eN*)；

(A5

(sinx)f=cos^(cosx)r=-sinx；

亞

(/)'=ex，S)'=aTn“(a>0,且awl);

應(yīng)Cn|x[)'=i.

Onx)f=~，Gogx)r=-loge(n>0,且a工1).

XflXa

運(yùn)算[Ax)±g(x)]'=r(,x)±g'(x)；

[/(x)?g(M'=〃x)?g(x)+/(x)?g'(x),［Cf（x）y=cf（x）；

運(yùn)算

[&[=△^里驍必里(g(x)xO),：'g'（x）

頡1

[g⑹?(x)Lg(x)_一g3

復(fù)合函始潟法MJ，=[/(g(x))]'=八g(x))g。).

導(dǎo)

單調(diào)性的各個(gè)區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間；的區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間.

數(shù)/'（x）>0/'（x）<o

研究

及極值/'（7））=0且/'（X）在而附近左負(fù)（正）右正（負(fù)）的事為極?。ù螅┲迭c(diǎn).

函數(shù)

其腦力］上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值卻最小值，最大值和區(qū)間堵點(diǎn)值和區(qū)間內(nèi)的極大值中的最大

應(yīng)者，最小值和區(qū)間禱點(diǎn)和區(qū)間內(nèi)的極小值中的最〃清.

用

/（x）在區(qū)間［a,6］上是連讀的，用分點(diǎn)a=Z）<再<…<知<%<…<%=6將區(qū)間

口力］等分成"個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間［4卜項(xiàng)］上任取一點(diǎn)點(diǎn)（i=l,2,…,〃），

。（講=螃￡?，&）?

如果（）是［］上的連續(xù)函數(shù)，并且有f（）（）則

型/xqbFx=/x,

S3J：/（x聲=尸（6）一尸（a）?

定積

分[^(x)dr=Arff(x)dx(k為常數(shù))；

；

順f[/a)土g(x)孜=f/aXx土。(加

=J：〃秘+J：f(x)dx.

區(qū)間［a,b］上的連續(xù)的曲線丁=/（>）.和直愛x=。工=6（。*b）,y=0所圍成的曲邊悌形

簡單

的面積S=1|/（力也.

郵

三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

基定義任意角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(.r,y)時(shí)，sin2=y,cosa二

本

同角三角.221sina

問

sin'a+cos'a=1,--------=tanao

國婁慶系cosa

題

誘導(dǎo)公式360°±a,180°±a,-a.90°±a,270°±a,"奇變

值域周期單調(diào)區(qū)間奇偶性

7V_77T_/

角增-—+2左左,—+2k兀

y=sinx2k72?

函[-M]奇整

角(xeR)7T_,37t_,

數(shù)減一+攵一+2K7T

函24,

的_22

數(shù)y=cosx

性增[一萬+2左乃,2左4]

的

質(zhì)(xeR)E2k兀偶統(tǒng)

圖減[2左%,2左乃+4]

與

象

圖y=tanx

與增(一工+左乃,—+k7T

71

象Rk:r奇級(jí)

性(K0左乃+一)122)

2

質(zhì)

上下平移y=/(x)圖象平移同得y=f(x)+k圖象,k>

平匿換

左右平移y=/(x)圖象平移網(wǎng)得y=f(x+cp)圖象，(p

圖

象

X軸方向y=/(x)圖象各，部橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?倍得j，=j

變伸女奐

換y軸方向y=/(x)圖象各題坐磔為原來的A倍得j，=/

中心對(duì)稱v=/(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(。力)對(duì)稱圖象的解析式是y

對(duì)稱變換

軸又痂y=/(.r)圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱圖象的解析式是

三角恒等變換與解三角形

和差角公式倍角公式

.r2tana

sin(a±P)sin2a=--------—

sin2a=2sinacosa

=sinacos/?±cosasinP1+taiTa

_l-tanAa

cos2a=cos2a-sin?acosla=---------

cos(a±/3)1+tan"a

舞=2cos2a-l=l-2sin2(

也=cosacosPsinasin13.n1-cos2a

sina=------------

2

/1ftana±tan521+cos2a

tan(a±/3)=-----------------2tanacos"a=-------------

正切1于tanatan0tan2a=--------—

1—tan"a2

a=b=c射影定理：

S3

1B2sindsinBsinC0a=bcosC+ccos8

夕圓。

定理哪a=2J?sin=2RsinBzc=2RsinC(RHg4￡?)b=qcosC+ccos4

遜三角形兩邊和一邊對(duì)角、三角形兩角與一邊.c=acosB+bcosN

會(huì)a2=b2+”-2bccosA,b2=a2+c2-2accos3：J=/+b2-labcosC0

轉(zhuǎn).b^+c2-^S+cy—l

初cosA=---------------=-------------------1等.

定理2bc2bc

疑兩邊及一角（一角為夾角時(shí)直接使用、一角為一邊對(duì)角時(shí)列方程）.三邊.

角

百

恒S=^-ah.=-bhh=-chr=-6risinC=-icsin^l=idrrsinB.

面積應(yīng)

等222222

俎導(dǎo)出

變S=他￡（及夕底園半徑）；S=L（a+b+c>?（，?內(nèi)切園半徑）.

俎

換4J?2

把要求解的量歸入到可解三角形中.在實(shí)際問題中，往往涉及到多個(gè)三角形，具要根據(jù)已知逐

與三二〒想

次把求解目標(biāo)歸入到一個(gè)可解三角形中.

解

仰

視關(guān)在水平關(guān)以上時(shí)，在視線所在的垂直平面內(nèi)，視淺與水平線所成的角.

角角

俯

形視淺在水平關(guān)以下時(shí)，在視線所在的垂直平面內(nèi)，視淺與水平婚斤成的角.

實(shí)際角

靖方

常用術(shù)語方向角一股是指以觀測(cè)者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到

向

目標(biāo)的方向線所成的角（一般是銳角，如北偏西30。）.

角

方

位某點(diǎn)的指北方向維，依順時(shí)針方向到目標(biāo)方向線之間的水平夾角.

角

等差數(shù)列、等比數(shù)列

按照一定的次例既U的一列數(shù).分有夯、無夯、增值、遞減、擺動(dòng).常數(shù)數(shù)列等.

通項(xiàng)公式數(shù)列｛q｝中的項(xiàng)用示，a?=/（〃）

數(shù)列5,〃=L

an一

㈤｝Sn-S^,n>2.

前〃項(xiàng)和S?=a1+a2+--+a?

累加法4+1=/+/(〃)型

簡單

累乘法4+1=%/(〃)型解決遞推數(shù)列問題的基

的遞

數(shù)本思想是"轉(zhuǎn)化"，即轉(zhuǎn)

轉(zhuǎn)化法K-Pan+qPi(pHO,Lg,O)=晨:一:+q

丹化為兩類基本數(shù)列--等

列解PP

差數(shù)列、等比數(shù)列求解.

法麗a“+i=ca”+d(c00*LdH0)=anA+2=c{an+2).

等

系數(shù)法比較至數(shù)得出義,轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列.

差

滿足4+1—4="（常數(shù)），d>0遞堵、d<0遞減.d=0常變散列.

數(shù)

列等差通項(xiàng)冊(cè)+/=%+Gg=m+〃=p+q。

數(shù)列%=-1"二。卅+(〃一沖d

等應(yīng)%+冊(cè)=2ap=m+〃=2p不為0)

比&｝

前77項(xiàng)i+「”r）

數(shù)SM，S瀏一SM，S加-Sw,…為等差數(shù)歹u.

列

滿足?！?i：a〃=g（gwO的常數(shù)），單猬性由q的正負(fù)，q的定圍確定.

aa==力+〃=p+q，

通項(xiàng)一—一九-1_一^?"爬m(xù)n

等比%=a1q=aq

也aman=a；=?w+〃=2p(公比不為1)

緲！1

同｝%Q7")_%-a電

前77項(xiàng)-aj公比襁于一1時(shí)，

s-]_q]_q

SQM-SQM-s加,…film滋列.

叫q=L

注：表格中九%pg均為正談

數(shù)列求和及其數(shù)列的簡單應(yīng)用

常q(i-g")_q-a應(yīng)]

用?

等b凄列S”='1—q1—qt15S!ll+2+2，H=2-1.

求j%q=L

和

目粽5+3、…+?竽（—i+產(chǎn)）.

數(shù)公

平方和

列式

目標(biāo)

求F+23d----F/=(1+2H----F=

立方和_2」，

和

及如an=2+2”,。"=3".常用裂項(xiàng)方法：域白姆=；（：_,]?；

數(shù)

如〃〃

京a”=2+2",4=(-1)"+2.

為1-if1.11

用111

的裂項(xiàng)法如4=---------=—―------?n2—12(〃-1w+l)

求7傘+1)n〃+1

筒11.1V

和錯(cuò)位

單如/=(2/-1>2"。4n2-l212〃-12n+l)'

方相減去

應(yīng)〃+l_11

法

用的序n，

如d+C：+…+AC：+…+C：.網(wǎng)”一?2”(〃一1)2"Tn-2

翻瞄

等當(dāng)5列基本特征是均勻增力戚者減少.

數(shù)

列等比數(shù)列基本特征是揄S增長，常見的是增產(chǎn)毒問題、存款復(fù)利問須.

模

一個(gè)簡單基本特征是指數(shù)增長的同時(shí)又均勻減少,如年收入增長棗為20%,每年年底要拿澧。（常數(shù)）

型

遞推數(shù)列作為下年度的開銷，即數(shù)列｛4｝滿足?！?1=L2a“一a.

注：表中〃，片均為正整改

空間幾何體與三視圖

空間點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系

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