2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教書用書第八章　平面解析幾何

;第八章平面解析幾何(選擇性必修第一冊)

第1節(jié)直線與方程

課程標(biāo)準(zhǔn)要求

1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算

公式.

2.掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、

兩點(diǎn)式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.

3.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.

4.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).

5.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式,會求兩條平行直線

間的距離.

必備知識.課前回顧⑦歷袁材夯實(shí)四基

底腳識梳理

1.直線的傾斜角

(1)定義：當(dāng)直線1與X軸相交時(shí),取X軸作為基準(zhǔn),X軸正向與直線1

向上方向之間所成的角叫做直線1的傾斜角.當(dāng)直線1與X軸平行或

重合時(shí)一，規(guī)定它的傾斜角為0°.

⑵范圍:直線1傾斜角的取值范圍是［0,』).

2.斜率公式

(1)直線1的傾斜角為a(a#90°)，則斜率1<=回’L.

—

(2)PYxi,yi),P2(x2,y,在直線1上，且Xi%則1的斜率

3.直線方程的五種形式

名稱方程適用范圍

點(diǎn)斜式y(tǒng)_y0=k(x-xo)不含直線X=X0

斜截式y(tǒng)=kx+b不含垂直于X軸的直線

不含直線X=X1(X1WX2)和

兩點(diǎn)式=

直線y=yi(yi^y2)

不含垂直于坐標(biāo)軸

截距式

+=1和過原點(diǎn)的直線

Ax+By+C=O,

一般式平面內(nèi)所有直線都適用

A2+B2W0

■釋疑

(1)“截距式”中截距不是距離,在用截距式時(shí),應(yīng)先判斷,截距是否為

0,若不確定，則需分類討論.

(2)求直線方程時(shí)要注意判斷直線斜率是否存在;每條直線都有傾斜

角，但不一定每條直線都存在斜率.

4.兩條直線的位置關(guān)系

(1)兩條直線平行與垂直

①兩條直線平行：

(i)對于兩條不重合的直線若其斜率分別為L,k2,則有L〃b

<^>ki=k2.

(五)當(dāng)直線L,12不重合且斜率都不存在時(shí)，

②兩條直線垂直：

(i)如果兩條直線L,b的斜率存在，設(shè)為L,k2,則有L_Lk=

ki?1<2=-1.

(五)當(dāng)其中一條直線的斜率不存在,而另一條的斜率為0時(shí)一，L，L

(2)兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

直線L：Aix+Biy+C1=O,GAzx+B2y+C2=0,則L與b的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程

@*+B1y+Ct=0,

+叫。/

組'2V+G2=的A解AR.

5.幾種距離

⑴兩點(diǎn)R(xhyi),P2(x2,yj之間的距離

?pp?+S-yi)z

Iitao+Hjfo+C|

(2)點(diǎn)Po(Xo,y。)至!J直線1:Ax+By+C=O的距離d=而由.

⑶兩條平行直線間的距離公式

兩條平行直線Ax+By+C尸0與Ax+By+C2=0間的距離d=存壽.

■釋疑

(1)應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)應(yīng)將方程化為最簡的一般形式.

(2)應(yīng)用兩條平行線間的距離公式時(shí)應(yīng)使兩平行線方程中x,y的系數(shù)

分別對應(yīng)相等.

層重要結(jié)論

1.直線系方程

(1)與直線Ax+By+C=O平行的直線系方程是Ax+By+m=O(m￡R且mWC).

(2)與直線Ax+By+C=O垂直的直線系方程是Bx-Ay+n=O(nGR).

(3)過直線L：Aix+Biy+G=O與l2:A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直線系方程為

Aix+B,y+Ci+人(Azx+B2y+C2)=0(入￡R),但不包括12.

2.兩直線平行的充要條件

直線LAx+Biy+Ci=O與直線12:A2x+B2y+C2=0平行的充要條件是

AR-AZBLO,且AQ-A2GWO.

3.兩直線垂直的充要條件

直線L：A1x+Biy+C=0與直線l2:A2x+B2y+C2=0垂直的充要條件是

AIAZ+BIB2=0.

—?對點(diǎn)自測三

1

1.經(jīng)過點(diǎn)A(8,-2),斜率為二的直線方程為(D)

A.x-2y-12=0B.x+2y+4=0

C.2x+y-14=0D.x+2y-4=0

解析：由題意，直線過點(diǎn)A(8,-2),

1

且斜率為一4

根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，

1

可得y-(-2)=-2(x-8),

即x+2y-4=0.故選D.

2.(選擇性必修第一冊P57習(xí)題T3改編)直線l:xsin30°+ycos

150°+a=0的斜率為(A)

在-

解析：cos150°=-z,sin30°=2,

1

所以■.故選A.

3.已知直線1平分圓C:x?+y2-6x+6y+2=0的周長,且直線1不經(jīng)過第三

象限,則直線1的傾斜角。的取值范圍為(A)

A.[90°,135°]B.[90°,120°]

C.[60°,135°]D.[90°,150°]

解析：圓C:x2+y2-6x+6y+2=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+(y+3T=16,

故直線1過圓C的圓心(3,-3).

因?yàn)橹本€1不經(jīng)過第三象限，

結(jié)合圖象可知，tan0W-1,9e[90°,135°].故選A.

4.(選擇性必修第一冊P72練習(xí)T2改編)直線l.:2x+(m+l)y+4=0與直

線l2:mx+3y-2=0平行，貝m=;若1,±12,貝Um=.

2m+l?

解析：若li〃k,則有"?=3NN

故m=2或-3.

若li±l2,2m+(m+l)X3=0,

3

解得m=-s.

3

答案:2或-35

5.直線2x+2y+l=0,x+y+2=0之間的距離是.

解析：先將2x+2y+l=0化為x+y+z=O,

粵隨

則兩平行線間的距離為d=了.

3依

答案:丁

類》考點(diǎn)這賓四黑

關(guān)鍵能力?課堂突破

岐考點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率

1.直線xsina+y+2=0的傾斜角的取值范圍是(B)

.3n

A.[0,n)B.[0,?]U[T,n)

C.[0,?]D.[0,*]U(2JI)

解析:設(shè)直線的傾斜角為0,則有tan0=-sina.

因?yàn)閟inae[-1,1],

所以TWtan9Wl.

又?！闧0,n),

.3n

所以0W0W*或*W0<Ji.

故選B.

2.若圖中直線L,I2,L的斜率分別為腹1<2,廄則（D）

A.ki<k2<k3

B.k3<ki<k2

C.k3<k2<k1

D.ki<k3<k2

解析：因?yàn)镮2,L的傾斜角為銳角，且I2的傾斜角大于L的傾斜角，所以

0<k3<k2,直線L的傾斜角為鈍角，斜率kKO,所以k,<k3<k2.故選D.

3.若點(diǎn)A(4,3),B⑸a),C(6,5)三點(diǎn)共線，則a的值為.

5-3a-3

=64

解析：因?yàn)閗Ac-=l,kAB=i*=a-3.

由于A,B,C三點(diǎn)共線，

所以a-3=l,即a=4.

答案：4

4.直線1過點(diǎn)P(1,0),且與以A⑵1),B(0,戶)為端點(diǎn)的線段有公共

點(diǎn)，則直線1的斜率的取值范圍為.

1-0

解析：如圖，因?yàn)閗AP=RKl,

依-0

kBP=a.=-

所以直線1的斜率ke(-8,一月]U[1,4-00).

答案：(-8,-b]U[l,+8)

一題后悟通

1.在分析直線的傾斜角和斜率的關(guān)系時(shí),要根據(jù)正切函數(shù)1＜汽@門a的

aNw

單調(diào)性，當(dāng)a取值在[0,可，即由0增大到工(a?？蓵r(shí),k由0增大到+

?wn

8,當(dāng)a取值在0,北)，即由N(aW可增大到五(aWn)時(shí),k由-8增

大到0.

2,斜率的兩種求法

⑴定義法:若已知直線的傾斜角a或a的某種三角函數(shù)值,一般根據(jù)

k=tana求斜率.

⑵公式法:若已知直線上兩點(diǎn)A(xi,y),B(x2,y2),一般根據(jù)斜率公式

k=%F，(xiWx2)求斜率.

感考點(diǎn)二直線方程

C?D(1)(多選題)若直線1過點(diǎn)A(1,2),且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對

值相等,則直線1的方程可能為()

A.x-y+l=0B.x+y-3=0

C.2x-y=0D.x-y-l=0

(2)已知點(diǎn)M是直線l:2x-y-4=0與x軸的交點(diǎn),將直線1繞點(diǎn)M按逆

時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°,得到的直線方程是()

A.x+y-3=0B.x-3y-2=0

C.3x-y+6=0D.3x+y-6=0

(3)經(jīng)過兩條直線li：x+y=2,l2:2x-y=l的交點(diǎn)，且直線的一個(gè)方向向

量v=(-3,2)的直線方程為.

2-0

解析：(1)當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)一,斜率為k=i=i=2,所求的直線方程為y=2x,

即2x-y=0;當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí),設(shè)所求的直線方程為x±y=k,把點(diǎn)

A(l,2)代入可得l-2=k或l+2=k,求得k=-l或k=3,故所求的直線方程

為x-y+l=0或x+y-3=0.綜上,所求的直線方程為2x-y=0,x-y+l=0或

x+y-3=0.故選ABC.

(2)設(shè)直線1的傾斜角為a,則tana=k=2,

直線1繞點(diǎn)M按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°,

■2+1

所得直線的斜率k'=tan(a+4)=i-2xi=-3.

又點(diǎn)M(2,0),

所以y=~3(x-2),即3x+y-6=0.故選D.

⑶聯(lián)立I""1，解得x=l,y=l,

又直線的方向向量v=(-3,2),

2

所以直線的斜率k=-3,

2

則直線方程為y-l=N(x-l),

即2x+3y-5=0.

答案:(l)ABC(2)D(3)2x+3y-5=0

.解題策略:

在求直線方程時(shí)，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式

的適用條件.若采用截距式,應(yīng)注意分類討論,判斷截距是否為零；若

采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況(或者直接設(shè)為X-Xo=

m(y-y0),meR).

［針對訓(xùn)練］

根據(jù)所給條件求直線的方程：

Via

(1)直線過點(diǎn)(-4,0)，傾斜角的正弦值為前；

⑵直線過點(diǎn)(4,1),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；

⑶直線過點(diǎn)(5,10),到原點(diǎn)的距離為5;

⑷直線過點(diǎn)(2,1)和(-2,3).

解：(1)由題設(shè)知，該直線的斜率存在,故可采用點(diǎn)斜式.

Via

設(shè)傾斜角為a,則sina=1?(0<a<n),

3Vio

從而cosa=±1?,

1

則k=tana=±?.

1

故所求直線方程為y=±3(x+4).

即x+3y+4=0或x-3y+4=0.

⑵設(shè)直線1在x,y軸上的截距均為a.

若a=0,即1過(0,0)及(4,1)兩點(diǎn),

1

所以1的方程為y=*x,

即x-4y=0.

若a#0,則設(shè)1的方程為一工1,

因?yàn)?過點(diǎn)(4,1),

?1

所以＜+?=]?,

所以a=5,

所以1的方程為x+y-5=0.

綜上可知，直線1的方程為x-4y=0或x+y-5=0.

⑶當(dāng)斜率不存在時(shí),所求直線方程為x-5=0;

當(dāng)斜率存在時(shí)-，設(shè)其為k,

則所求直線方程為y-10=k(x-5),

即kx-y+(10-5k)=0.

1姓.I

由點(diǎn)到直線的距離公式,得W^=5,

3

解得k=4

故所求直線方程為3x-4y+25=o.

綜上可知，所求直線方程為x-5=0或3x-4y+25=0.

y-l*-2

(4)由兩點(diǎn)式得直線方程為遷京，

即x+2y-4=0.

席考點(diǎn)三兩條直線的平行與垂直

1.已知兩條直線li：(a-l)x+2y+l=0,l2:x+ay+3=0平行，則a等于

(D)

A.-1B.2

C.0或-2D.-l或2

解析:法一因?yàn)橹本€li：(a-l)x+2y+l=0的斜率存在,且lt//l2,

S-11

所以-N=-?,

所以a=-l或a=2.

又因?yàn)閮蓷l直線在y軸上的截距不相等，

所以a=-l或a=2時(shí)滿足兩條直線平行.

法二由AB-AZBLO得，(a-1)a-2Xl=0,

解得a=-l或a=2.

4

由A1C2-A2CI^0,得(a-l)X3-1X1W0,即

所以a=-l或a=2.

故選D.

2.已矢口直線li：2ax+(a+l)y+l=0,12:(a+l)x+(a-l)y=O,若li±l2,貝！Ja

等于(B)

11

A.2或弓B.三或T

1

C.3D.-1

解析：因?yàn)橹本€li：2ax+(a+l)y+l=0,12:(a+l)x+(a-l)y=O,li±l2,

所以2a(a+l)+(a+l)(a-l)=0,

解得a=4或a=-l.故選B.

3.經(jīng)過兩條直線2x+3y+l=0和x-3y+4=0的交點(diǎn)，并且垂直于直線

3x+4y-7=0的直線方程為.

x+3y+1=0,

frfy+4=0,

（*=二，

3

=7

解得I-9'

S7

即交點(diǎn)為（-3,可，

因?yàn)樗笾本€與直線3x+4y-7=0垂直，

4

所以所求直線的斜率為k=i

74S

由點(diǎn)斜式得所求直線方程為y-9=3（x+3）,

即4x-3y+9=0.

答案：4x-3y+9=0

一題后悟通;

1.當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到斜率存在的一般情況,

也要考慮到斜率不存在的特殊情況.同時(shí)還要注意x,y的系數(shù)不能同

時(shí)為零這一隱含條件.

2.在判斷兩直線平行、垂直時(shí)一,也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)

系得出結(jié)論.

但考點(diǎn)四距離問題

(1)若兩平行直線L：x-2y+m=0(m>0)與L：2x+ny-6=0之間的距

離是弱，則2m+n等于()

A.0B.1C.-2D.-1

⑵若直線1過點(diǎn)P(T,2)且到點(diǎn)A(2,3)和點(diǎn)B(-4,5)的距離相等,則

直線1的方程為.

解析：(1)因?yàn)長〃b

所以1義n=2X(-2),1X(-6)#2m,

解得n=-4,m2-3,

所以k：x-2y-3=0.

又L,b之間距離是4,

|m+3|r=

所以;^二VA,

解得m=2或m=-8(舍去)，

所以2m+n=0.

故選A.

1

(2)當(dāng)AB〃1時(shí)，有k=k后

1

直線1的方程為y-2=-3(x+l),

即x+3y-5=0.

當(dāng)1過AB的中點(diǎn)時(shí),AB的中點(diǎn)為(T,4),

所以直線1的方程為x-1.

故所求直線1的方程為x+3y-5=0或x=-l.

答案：(1)A(2及+3丫-5=0或*=-1

解題策略

1.點(diǎn)到直線的距離的求法

可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式來求，但要注意此時(shí)直線方程必須為

一般式，

2.兩平行線間的距離的求法

⑴利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一

點(diǎn)到另一條直線的距離.

⑵利用兩平行線間的距離公式.

［針對訓(xùn)練］

(1)(2021?山西太原期中)已知直線l,:mx+y-3=0與直線l2:x-y-m=0

平行，則它們之間的距離是()

A.2倔B,4

C也D.2

(2)已知點(diǎn)P(4,a)到直線4x-3y-l=0的距離不大于3,則a的取值范圍

是?

解析：(1)因?yàn)橹本€li：mx+y-3=0與直線l2:x-y-m=0平行,

m1-3

所以

解得m=-l.

所以直線L的方程為x-y+3=0,直線b的方程為x-y+l=0.

由平行直線間的距離公式,得d=Jlz+T)75=V4故選c

⑵由題意得，點(diǎn)P到直線的距離為

|4X4-3XA-1||15-3a|

""S=~5~.

115-3a|

又W3,

即|15-3a|W15,

解得OWaWlO,

所以a的取值范圍是[0,10].

答案：⑴C⑵[0,10]

啜考點(diǎn)五對稱問題(應(yīng)用性)

CM)(1)直線ax+y+3a-l=0恒過定點(diǎn)M,則直線2x+3y-6=0關(guān)于M點(diǎn)

對稱的直線方程為()

A.2x+3y-12=0B.2x-3y-12=0

C.2x-3y+12=0D.2x+3y+12=0

(2)直線ax+y+3a-1=0恒過定點(diǎn)M,則點(diǎn)M關(guān)于直線2x+3y-6=0對稱的

點(diǎn)N的坐標(biāo)為.

(3)過點(diǎn)P(0,1)作直線1使它被直線L：2x+y-8=0和k：x-3y+10=0截

得的線段被點(diǎn)P平分,則直線1的方程為.

(4)直線1與直線2x+y+3=0關(guān)于y軸對稱,則直線1的方程為.

解析:(1)由ax+y+3aT=0,

可得a(x+3)+(y-l)=0,

儼+3=0,

令I(lǐng)尸1=0,可得x=-3,y=l,

所以點(diǎn)M(-3,1)不在直線2x+3y-6=0上.

設(shè)直線2x+3y-6=0關(guān)于M點(diǎn)對稱的直線方程為2x+3y+C=0(CW-6),

|-frF3-6|F3"|

則懺丙一,

解得C=12或C=6(舍去)，

所以所求直線方程為2x+3y+12=0.故選D.

(2)直線ax+2y+3a-l=0化為a(x+3)+y-l=0,

所以該直線恒過定點(diǎn)M(-3,1).

設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線2x+3y-6=0的對稱點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x。,y0),

To*_3

*o+32

-3+>o

F3X等F=。,

則有2

總

367

故點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-詞?).

⑶設(shè)L與1的交點(diǎn)為A(a,8-2a),

則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)B(-a,2a-6)在b上,把B點(diǎn)坐標(biāo)

代入k的方程得-a-3(2a-6)+10=0,

解得a=4,即點(diǎn)A(4,0)在直線1上，

所以由兩點(diǎn)式得直線1的方程為x+4y-4=0.

(4)點(diǎn)(x,y)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-x,y),

所以直線2x+y+3=0關(guān)于y軸對稱的直線1:2x-y-3=0.

367

答案:(1)D(2)(-運(yùn)?)(3)x+4y-4=0(4)2x-y-3=0

解題策略:

解決中心對稱問題的關(guān)鍵在于運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，而解決軸對稱問題,

一般是轉(zhuǎn)化為求對稱點(diǎn)的問題,在求對稱點(diǎn)時(shí),關(guān)鍵是抓住兩點(diǎn)：一是

兩對稱點(diǎn)的連線與對稱軸垂直;二是兩對稱點(diǎn)的中點(diǎn)在對稱軸上，即

抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一個(gè)方程，由“平分”列出一個(gè)方

程,聯(lián)立求解.

［針對訓(xùn)練］

⑴直線2x-y+3=0關(guān)于直線x-y+2=0對稱的直線方程是()

A.x-2y+3=0B.x-2y-3=0

C.x+2y+l=0D.x+2y-l=0

⑵如圖，已知A(4,0),B(0,4),從點(diǎn)P⑵0)射出的光線經(jīng)直線AB反射

后再射到直線0B上,最后經(jīng)直線0B反射后又回到P點(diǎn)，則光線所經(jīng)過

的路程是()

A.3#B.6

C.2匹D,2巡

解析：(1)設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)P(x,y),則P關(guān)于x-y+2=0的對稱點(diǎn)

為P'(xo,y°),

聲-空+2=。,

由Ix-x9=-(y-y0),

<=/，

得l%=x+2,

由點(diǎn)P'(x0,y0)在直線2x-y+3=0上,

則2(y-2)-(x+2)+3=0,

即x-2y+3=0.

故選A.

(2)直線AB的方程為x+y=4,點(diǎn)P(2,0)關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為D(4,2),

關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為C(-2,0),則光線經(jīng)過的路程為|CD|=

皿衛(wèi)2國故選C.

一備選例題

直線x+(a2+l)y+l=0的傾斜角的取值范圍是()

?3?

A.[0,?]B.[彳，口)

wn■n3,

c.[0,?]U(2JI)D.[*2)u[TJi)

1

解析:依題意,直線的斜率k=-^ie[-1,0),因此其傾斜角的取值范

圍是[彳，耳).故選B.

麗若經(jīng)過兩點(diǎn)A(4,2y+l),B(2,-3)的直線的傾斜角為"則y等于

()

A.-1B.-3C.0D.2

-3-2y-l3w

解析：由1<=NT=tan，=-l,得-4-2y=2,所以y=-3.故選B.

CB?已知直線4x+my-6=0與直線5x-2y+n=0垂直，垂足為(t,1),則n

的值為()

A.7B.9C.11D.-7

解析：由直線4x+my-6=0與直線5x-2y+n=0垂直得，20-2m=0,即m=10.

直線4x+10y-6=0過點(diǎn)(t,1),

所以4t+10-6=0,即t=-l.

點(diǎn)(-1,1)又在直線5x-2y+n=0上，

所以-5-2+n=0,即n=7.故選A.

;里口斗侔\山靈活》強(qiáng)方致握混

eF選題明細(xì)表

知識點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練

直線的傾斜角與斜率1,2

直線方程5,8,9

兩條直線的位置關(guān)系3,4,61115

距離問題710,12,14

對稱問題13

A級基礎(chǔ)鞏固練

1.直線x+By+l=O的傾斜角是(D)

?■

A.6B.3

2a

C.MD.%

耳

解析：由直線的方程得直線的斜率為k=-彳，

設(shè)傾斜角為a,則tana=-￥.

又aG[0,Jt),

所以a=6.

故選D.

2.若平面內(nèi)三點(diǎn)A(1,-a),B(2,a2),C(3,5)共線,則a等于(A

A.1±°或0B.丁或0

2+VS2+VS

C.~T~D.~T~或0

解析：由題意知k后嬴，

f+aa?-Hi

即2-1二3-1,

即a(a'-2a-l)=0,

V2

解得a=0或a=l±

故選A.

3.在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線li：ax+y+b=O和直線l2:bx+y+a=O有

可能是(B)

解析：由題意11:y=-ax-b,12:y=-bx-a,當(dāng)a>0,b>0時(shí)，-a<0,-b<0.選項(xiàng)

B符合.故選B.

2

4.(2021?福建漳州高三模擬)已知a-3a+2=0,則直線11：

ax+(3-a)y-a=0和直線12:(6-2a)x+(3a-5)y-4+a=0的位置關(guān)系為

(D)

A.垂直或平行B.垂直或相交

C.平行或相交D.垂直或重合

解析：因?yàn)閍2-3a+2=0,

所以a=l或a=2.

當(dāng)a=l時(shí)，L：x+2yT=0,l，2：4x-2y-3=0,

ki=-2,k2=2,

所以k|?k2=T,則兩直線垂直；

當(dāng)a=2時(shí)，L：2x+y-2=0,k：2x+y-2=0,則兩直線重合.故選D.

*7

5.若直線二+Rl（a>0,b>0）過點(diǎn)（1,1）,則a+b的最小值等于（C）

A.2B.3C.4D.5

*F

解析:將(1,1)代入直線,+工1,

11

得《+b=l,a>0,b>0,

11ba

故a+b=（a+b）（a+?）=2+?+^22+2=4,等號當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取到.故選C.

6.（多選題）（2021?山東模擬）若三條直線L：ax+y+l=0,l_2：x+ay+l=0,

13：x+y+a=0不能圍成三角形，則（ABC）

A.a=lB.3=—1

C.a=-2D.a=2

解析:①當(dāng)a=l時(shí)一,直線L,12,%重合,不能構(gòu)成三角形,符合題意.

②當(dāng)aWl時(shí)，若三條直線交于一點(diǎn)，則也不能構(gòu)成三角形.由

（x+ay+1=0,

lx+y+a=O,得直線1口的交點(diǎn)坐標(biāo)為41,1）.代入直線L的

方程ax+y+l=0得a2+a-2=0,解得a=-2或a=l（舍去），符合題意.

③三條直線中有兩條平行或重合，若L和13平行或重合,則a=l;若12

1

和k平行或重合,則a=l;若L和b平行或重合,則-a=-'得a=±l,符

合題意.綜上,可得實(shí)數(shù)a所有可能的值為-1,1,-2.故選ABC.

7.已知坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于直線l1：x-y+l=0的對稱點(diǎn)為A,設(shè)直線k經(jīng)過點(diǎn)

A,則當(dāng)點(diǎn)B（2,T）到直線卜的距離最大時(shí)，直線12的方程為（B）

A.2x+3y+5=0B.3x-2y+5=0

C.3x+2y+5=0D.2x-3y+5=0

信普+1=。，

理=-1,

解析：設(shè)A（x。,y。），依題意可得

卜=T，

解得1，。=1，即A(-1,1).

設(shè)點(diǎn)B(2,-1)到直線12的距離為d,

當(dāng)d=|AB|時(shí)取得最大值，此時(shí)直線12垂直于直線AB.

13

又一UB=2,

3

所以直線卜的方程為y-l=2(x+l),

即3x-2y+5=0.

故選B.

8.已知直線1:(a-2)x+(a+l)y+6=0,則直線1恒過定點(diǎn).

解析:直線1的方程變形為a(x+y)-2x+y+6=0,

x+y=o,

—2x+y+6=0,

由

解得x=2,y=-2,

所以直線1恒過定點(diǎn)(2,-2).

答案：(2,-2)

9.菱形ABCD的頂點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為A(-4,7),C(6,-5),BC邊所在直

線過點(diǎn)P(8,-1).求：

(1)AD邊所在直線的方程；

⑵對角線BD所在直線的方程.

-5-(-1)

解：(l)kBc=6-8=2,

因?yàn)锳D〃BC,

所以k.\o=2.

所以AD邊所在直線的方程為y-7=2（x+4）,

即2x-y+15=0.

-5-76

=6_

（2）kAc（T）=V,

因?yàn)榱庑蔚膶蔷€互相垂直，

所以BD_LAC,

5

所以ki；R-6.

因?yàn)锳C的中點(diǎn)（1,1）,也是BD的中點(diǎn)，

所以對角線BD所在直線的方程為

5

y-l=6（x-l）,

即5x-6y+l=0.

B級綜合運(yùn)用練

10.若三條直線y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一點(diǎn)，則點(diǎn)（m,n）到

原點(diǎn)的距離的最小值為（A）

A.相B."C.2遮D.2小

（y=2x,

解析:聯(lián)立卜十'=3'解得x=l,y=2,

把（1,2）代入mx+ny+5=0得m+2n+5=0,

即m=-5-2n.

點(diǎn)(m,n)到原點(diǎn)距離(二一2,2+厘45加+2)2+5/

V5

當(dāng)n=-2,m=-l時(shí)取.故選A.

11.與直線x-2y+3=0平行,且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4的

直線方程是.

解析:設(shè)所求直線方程為x-2y+入=0,令x=0,得y=2；令y=0,得x=-入，

11

由題意得目義|2|-I-X|=4,解得入=±4.

答案:x-2y±4=0

12.兩平行直線L,b分別過點(diǎn)P(-1,3),Q(2,-1),它們分別繞P,Q旋轉(zhuǎn),

但始終保持平行,則L,b之間的距離的取值范圍是.

解析：因?yàn)長〃b,且P￡L,b,

所以L,b間的最大距離為

|pQ|=V[2-(-l)]2+(-l-3)2=5

又L與b不重合，

所以L,12之間距離的取值范圍是(0,5].

答案：(0,5]

13.已知直線1:3x-y+3=0,求:

⑴點(diǎn)P(4,5)關(guān)于1的對稱點(diǎn)；

⑵直線x-y-2=0關(guān)于直線1對稱的直線方程；

⑶直線1關(guān)于點(diǎn)(1,2)對稱的直線方程.

解：(1)設(shè)P(x,y)關(guān)于直線l:3x-y+3=0的對稱點(diǎn)為P'(x'，y').

因?yàn)閗Pp-,ki=-l,即MrX3=T.①

又PP'的中點(diǎn)在直線3x-y+3=0上，

所以3X三-〒+3=0.②

由①②得I$

把x=4,y=5代入③④得x'=-2,y'=7,

所以點(diǎn)P(4,5)關(guān)于直線1的對稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)為(-2,7).

(2)用③④分別代換x-y-2=0中的x,y,

-4x+3y-93x+4y+3

得關(guān)于1對稱的直線方程為一^-F--2=0,

化簡得7x+y+22=0.

(3)在直線1:3x-y+3=0上取點(diǎn)M(0,3),

關(guān)于(1,2)的對稱點(diǎn)(x'，/),

?+O/+3

所以2=1,xz=2,2=2,y'=1,

所以W⑵，

直線1關(guān)于點(diǎn)(1,2)的對稱直線平行于1,

所以k=3,

所以對稱直線方程為y-l=3X(x-2),

即3x-y-5=0.

14.已知點(diǎn)P(2,T).

⑴求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離為2的直線1的方程；

⑵求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離最大的直線1的方程,并求出最大距離；

⑶是否存在過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離為6的直線?若存在，求出方程;

若不存在,請說明理由.

解:(1)過點(diǎn)P的直線1與原點(diǎn)的距離為2,而點(diǎn)P的坐標(biāo)為⑵-1),顯

然,過點(diǎn)P(2,-1)且垂直于x軸的直線滿足條件,此時(shí)1的斜率不存在,

其方程為x=2.

若斜率存在,設(shè)1的方程為y+l=k(x-2),

即kx-y-2k-l=0.

1-2t~i|

由已知得足旦=2,

3

解得k=4

此時(shí)直線1的方程為3x-4y-10=0.

綜上可得直線1的方程為x=2或3x-4y-10=0.

⑵作圖可得過點(diǎn)P與原點(diǎn)0的距離最大的直線是過點(diǎn)P且與P0垂直

的直線，如圖.

由1_LOP,得k1?媼=一1,

因?yàn)閶?-2,

1

k

所以k1=~ap=2.

由直線方程的點(diǎn)斜式得y+l=2(x-2),

即2x-y-5=0.

所以直線2x-y-5=0是過點(diǎn)P且與原點(diǎn)0的距離最大的直線,最大距離

為1~存~5|有/=

⑶由⑵可知，過點(diǎn)P不存在到原點(diǎn)的距離超過有的直線，因此不存

在過點(diǎn)P且到原點(diǎn)的距離為6的直線.

C級應(yīng)用創(chuàng)新練

旺

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，分別在x軸與直線yV(x+l)上從左

向右依次取點(diǎn)Ak,Bk(k=l,2,…，其中Ai是坐標(biāo)原點(diǎn))，使△AkBkAk+i是等

邊三角形，則△AiB°Au的邊長是.

解析:直線y=T(x+1)的傾斜角為30°，與x軸的交點(diǎn)為P(T,0).

又△ABA是等邊三角形，

所以NPB也=90°,

所以等邊△ABA?的邊長為1,

且A2BI〃A3B2〃…〃A1B,A2B1與直線y=T(x+l)垂直，故△A2B1B2,

△A3B2B3,△A4B3B4,…,AA^Bio均為直角三角形,且依次得到A2B2=2,

人出：3=4,AJB4=8,ASB5=16,AfiB6=32,A7B?=64,A8B8=128,AgB9=256,AioBio=512,

故△AioBioA”的邊長是512.

答案：512

第2節(jié)圓與方程

①課程標(biāo)準(zhǔn)要求

1.掌握確定圓的幾何要素,掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.

2.能根據(jù)給定直線、圓的方程,判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定

兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系.

3.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.

⑨亞激吻夯實(shí)四基

必備知識?課前回顧

品知識梳理

1.圓的定義與方程

定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓

(x-a)2+(y-b)2圓心為(a,b)

標(biāo)準(zhǔn)式

=r2(r>0)半徑為工

方程

充要條件:D2+E2-4F>0

x2+y2+Dx+

一般式

Ey+F=O

圓心坐標(biāo)：(-，-)

半徑廠

2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)M(x。,點(diǎn)與圓(x-a)2+(y-b)2=d的位置關(guān)系:

⑴若M(xo,yo)在圓外,則(Xo~~a)?+(y()-b)

(2)若M(x。,y。)在圓上,則&Z宜垃山工.

⑶若M(xo,y°)在圓內(nèi)，則(x()-a)?+(y()-b)tr)

3.判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法

(1)幾何法:利用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關(guān)系.

d〈r=相交；d=ro相切；d>r=相離.

>3相交；

=2相切;

(3謔.

4.圓與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓Oi：(x-aM+(y-bM=1(ri>0),

外離d>n+n無解

外切df+n一組實(shí)數(shù)解

方法代數(shù)法:聯(lián)立兩圓

幾何法：圓心距d與

位置方程組成方程

n,n的關(guān)系

關(guān)系組的解的情況

相交I匕一。|〈cKn+n兩組不同的實(shí)數(shù)解

內(nèi)切d=(nWm)一組實(shí)數(shù)解

內(nèi)含OWd<|(nWe)無解

_重要結(jié)論

1.以A(xi,y,),B(x2,y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x-Xi)(x-x2)+

(y-yD(y-y2)=0.

2.圓的切線方程常用結(jié)論

2

⑴過圓x,+yW上一點(diǎn)P(x(),y0)的圓的切線方程為x0x+y0y=r.

⑵過圓(x-a)2+(y-b)2=d上一點(diǎn)P(x0,y。)的圓的切線方程為

2

(x()-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r.

⑶過圓x2+y2=*外一點(diǎn)M(x°,y。)作圓的兩條切線,則兩切點(diǎn)所在直線

2

方程為x0x+y()y=r.

3.圓系方程

(1)同心圓系方程：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，其中a,b是定值,r是參數(shù);

(2)過直線Ax+By+C=O與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0交點(diǎn)的圓系方

程：x?+y2+Dx+Ey+F+入(Ax+By+C)=0(入GR);

22

⑶過圓3：x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0和圓C2:x+y+D2x+E2y+F2=0交點(diǎn)的圓系

22

方程：x?+y2+Dix+Eiy+Fi+入(x+y+D2x+E2y+F2)=0(A.WT)(該圓系不含

圓C2,解題時(shí).，注意檢驗(yàn)圓C2是否滿足題意，以防漏解).

4.兩圓相交時(shí)公共弦的方程

設(shè)圓Ci:x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0,①

22

圓C2:x+y+D2x+E2y+F2=0.②

若兩圓相交,則有一條公共弦,其公共弦所在直線方程由①-②得，即

(D-D2)x+(E-E2)y+(F-F2)=0.

—?對點(diǎn)自測三

1.若點(diǎn)(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(A)

A.(-1,1)

B.(0,1)

C.(-°°,-1)U(1,+8)

D.±1

解析:點(diǎn)(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內(nèi)部，

所以(1-a)2+(l+a)2<4,

解得-l〈a<L

故選A.

2.(多選題)已知圓M的一般方程為x2+y2-8x+6y=0,則下列說法正確的

是(ABD)

A.圓M的圓心為(4,-3)

B.圓M被x軸截得的弦長為8

C.圓M的半徑為25

D.圓M被y軸截得的弦長為6

解析:圓M的一般方程為x2+y2-8x+6y=0,則(x"+(y+3)2=25.圓的圓

心坐標(biāo)為(4,-3),半徑為5.顯然選項(xiàng)C不正確,A,B,D均正確.故選

ABD.

3.(選擇性必修第一冊P98習(xí)題T1改編)圓Q:x?+y2-4x=0在點(diǎn)P(l,)

處的切線方程為(D)

A.x+vy-2=0B,x+vy-4=0

C,x-y+4=0D.x-y+2=0

解析：因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上,且圓心Q的坐標(biāo)為(2,0),

所以ki>Q=2-1=-,

所以切線的斜率k=T,

所以切線方程為y-V五丁(x-1),

即x-*Sy+2=0.

故選D.

4.圓(x+2￥+y2=4與圓&-2)2+@-1)2=9的位置關(guān)系為(B)

A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離

解析：兩圓圓心分別為(-2,0),(2,1),半徑分別為2和3,圓心距

,V42+12V17

d==.

因?yàn)?-2<d<3+2,

所以兩圓相交.故選B.

5.若方程x2+y2+ax+2ay+2a"+a-l=0表示圓，則a的取值范圍

是.

?3

解析：方程x?+y2+ax+2ay+2a2+aT=0可化為(x+.)2+(y+a)2=Ta2-a+l.

因?yàn)樵摲匠瘫硎緢A，

3

所以Ta'-a+l>0,

即3a2+4a_4<0,

2

所以-2<a&.

2

答案：(-2,3)

芙鄉(xiāng)溶支波實(shí)四翼

關(guān)鍵能力?課堂突破

席考點(diǎn)一圓的方程

1.半徑為2的圓C的圓心在第四象限,且與直線x=0和x+y=2應(yīng)均相

切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(C)

A.(x-l)2+(y+2)2=4

B.(x-2)2+(y+2)=2

C.(x-2)2+(y+2)2=4

D.(x-2烏?+(y+2烏2=4

解析：設(shè)圓心坐標(biāo)為(2,-a)(a>0),則圓心到直線x+y=2倔的距離

|2-<-2V2|

d=*=2,

所以a=2,

所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y+2)2=4.

故選C.

2.已知圓C過點(diǎn)A(6,0),B(1,5),且圓心在直線1:2x-7y+8=0上,則圓

C的方程為.

5-0

解析:法一(幾何法)kAii=i-?=-l,

S7

則AB的垂直平分線方程為y-2=x-i,

即x-y-l=0,

(x-y-1=0,

聯(lián)立方程組3"+&=°,

(6-3)2+(0-2)2V13

故圓C的方程為(x-3)2+(y-2)2=13(圓的任何一條弦的垂直平分線過

圓心).

法二(待定系數(shù)法)設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.

4(l-a)z+(5-b)2=r2,

由題意可得《2a-7b+8=0,

"a=3,

b=2,

解得y=i3,

故所求圓C的方程為(x-3)2+(y-2)2=13.

答案：(x-3)2+(y-2)2=13

3.經(jīng)過三點(diǎn)(2,-1),(5,0),(6,1)的圓的一般方程為.

解析:設(shè)所求圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,

22+(-1)2+2D-E+F=0,

S2+OZ+5D+O+F=O,

{_______62+l2+6D+E+F=0,

D=-4,

E=?,

解得=-s,

故所求圓的一般方程為x"+y"-4x-8y-5=0.

答案：x2+y2-4x-8y-5=0

一題后悟通

求圓的方程的兩種方法

⑴直接法:根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出

方程.

⑵待定系數(shù)法：

①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,依據(jù)已

知條件列出關(guān)于a,b,r的方程組,從而求出a,b,r的值；

②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)

已知條件列出關(guān)于D,E,F的方程組,進(jìn)而求出D,E,F的值.

圜考點(diǎn)二與圓有關(guān)的最值問題

口角度-利用幾何法求最值

CSH)⑴在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓C:(x-3)2+(y-a)2=4上存在

兩點(diǎn)A,B滿足：NA0B=60°,則實(shí)數(shù)a的最大值是()

A.5B.3C.D.2戶

(2)已知M(x,y)為圓C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)Q(-2,3).

①求|MQ|的最大值和最小值；

②求壽的最大值和最小值；

③求y-x的最大值和最小值.

(1)解析:根據(jù)題意，圓C的圓心為(3,a),在直線x=3上,

分析可得，當(dāng)圓心距離x軸的距離越遠(yuǎn)，ZAOB越小.

如圖，當(dāng)a>0時(shí),圓心C在x軸上方，若OA,OB為圓的切線且NA0B=60°,

此時(shí)a取得最大值，

此時(shí)NA0C=30°,

有|0C|=2|AC|=4,

即(3-0)2+(a-0)2=16,

解得a=Q

故實(shí)數(shù)a的最大值是貨.

故選C.

⑵解:①由圓C:x2+y2-4x-14y+45=0,

可得(x-2)2+(y-7)2=8,

所以圓心C的坐標(biāo)為⑵7),半徑廠2低.

又|QC|』Q+2)H(7T)Z=*

所以|MQ|皿=4倔+2自60,

IMQ|i=4吃2伍2低

jr3

②可知信表示直線MQ的斜率k.

設(shè)直線MQ的方程為y-3=k(x+2),

即kx-y+2k+3=0.

因?yàn)橹本€MQ與圓C有交點(diǎn)，

|24-7+2fc+3|行

所以

可得2-6WkW2+0

所以上的最大值為2+遮,最小值為2-6

③設(shè)y-x=b,則x-y+b=O.

當(dāng)直線y=x+b與圓C相切時(shí)一,截距b取到最值，

所以J1N+(7)2=2“*,

解得b=9或1.

所以y-x的最大值為9,最小值為1.

解題策略

處理與圓有關(guān)的最值問題時(shí),應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)

式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解,其中以下幾類轉(zhuǎn)化較為常見:

⑴形如m==-的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題.

⑵形如m=ax+by的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題.

⑶形如m=(x-a)之+(y-b)2的最值問題,可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離的平方的

最值問題.

口角度二利用代數(shù)法求最值

設(shè)點(diǎn)P(x,y)是圓(x-3)2+y2=4上的動點(diǎn),定點(diǎn)A(0,2),B(0,-2),

—>—?

則|PA+PB\的最大值為.

—?—>

解析：由題意,知以(-X,2-y),?=(-X,-2-y),

—>—>

所以產(chǎn)4PB=(-2x,-2y),

由于點(diǎn)P(x,y)是圓上的點(diǎn)，

故其坐標(biāo)滿足方程(x-3)2+y2=4,

故y2=-(x-3)2+4,

所以?PA+PB?=〃/十4月2匹名

由圓的方程(x-3)2+y2=4,易知1WXW5,

所以當(dāng)x=5時(shí)，1%尸叫的值最大,最大值為2V°X5-5=10.

答案：10

解題策略:

根據(jù)已知條件列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式,再根據(jù)關(guān)系式的特征選用基本

不等式、函數(shù)單調(diào)性等方法求最值.

［針對訓(xùn)練］

⑴已知實(shí)數(shù)x,y滿足(x-2)2+(y-l)2=l,則的最大值與最小值分

別為和.

(2)已知A(0,2),點(diǎn)P在直線x+y+2=0上，點(diǎn)Q在圓C:x2+y2-4x-2y=0

上,則IPA|+1PQ|的最小值是.

r+i

解析：⑴由題意，得丁表示過點(diǎn)A(O,T)和圓(x-2)2+(yT)2=l上的動

點(diǎn)P(x,y)的直線的斜率.當(dāng)且僅當(dāng)直線與圓相切時(shí),直線的斜率分別

I于I

取得最大值和最小值.設(shè)切線方程為y=kx-1,即kx-y-l=O,則五石=1,

?+V7

解得k=丁，

所以Zmax=3,Z”in=3.

⑵因?yàn)閳AC:x2+y2-4x-2y=0,

故圓C是以C(2,1)為圓心,半徑廠用的圓.

設(shè)點(diǎn)A(0,2)關(guān)于直線x+y+2=0的對稱點(diǎn)為A'(m,n),

/誓+學(xué)+2=0,

(—=1,

故I-

pre=T,

解得In=-2，故A'(-4,-2).

連接A'C交圓C于Q,由對稱性可知

|PA|+|PQ|=|A/P|+|PQ|^|AZQ|=|AZC|-r=2.

1方5/F

答案：(I)F(2)2VS

慢考點(diǎn)三直線與圓的位置關(guān)系

幅度-位置關(guān)系的判斷

(SO已知點(diǎn)M(a,b)在圓O:x2+y2=l夕卜,則直線ax+by=l與圓0的位置

關(guān)系是()

A.相切B.相交C.相離D.不確定

22

解析：因?yàn)镸(a,b)在圓。x+y=1外，

所以a2+b2>l,

而圓心。到直線ax+by=l的距離

"2-A1|宣

d=J/.=7?Z4^Z<1,

所以直線與圓相交.

故選B.

解題策略

判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的方法

(1)幾何法:利用d與r的關(guān)系.

(2)代數(shù)法:聯(lián)立方程組,消元得一元二次方程之后利用△判斷.

⑶點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法:若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線

與圓相交.

口角度二弦長問題

d列2二Z)若3a2+3bL，-4c2=0,貝！J直線ax+by+c=O被圓0:x2+y2=l所截得的弦

長為()

213

A.3B.1C.2D.4

4

解析：因?yàn)閍2+b?Vc2,

閨第

所以圓心0(0,0)到直線ax+by+c=0的距離d=心田=2,

所以直線ax+by+c=0被圓x2+y2=l所截得的弦長為

h典)z1

2N2=2XN=1.故選B.

解題策略,

弦長的兩種求法

(1)代數(shù)法:將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個(gè)一元二次

方程.在判別式△>0的前提下,利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長公式求

弦長.

⑵幾何法:若弦心距為d,圓的半徑長為r,則弦長1=23yp.

口角度三切線問題

翩⑥已知點(diǎn)P(8+1,2-8),點(diǎn)M(3,1),圓C:(X-1尸+(y-2)2=4.

⑴求過點(diǎn)P的圓C的切線方程；

⑵求過點(diǎn)M的圓C的切線方程,并求出切線長.

解:由題意得圓心C(l,2),半徑r=2.

⑴因?yàn)楸R+-)2+(22)2=4,

所以點(diǎn)P在圓C上.

2^-2

又