2022年山東省濟南市中考數學真題（試卷+解析）

第7頁共SECTIONPAGES7頁濟南市2022年九年級學業(yè)水平考試數學試題選擇題部分共48分一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.﹣7的相反數是（）A.﹣7 B.7 C. D.﹣2.如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（）A.圓柱 B.球 C.圓錐 D.正四棱柱3.神舟十三號飛船在近地點高度200000m，遠地點高度356000m的軌道上駐留了6個月后，于2022年4月16日順利返回．將數字356000用科學記數法表示為（）A. B. C. D.4.如圖，，點E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，則∠2的度數為（）A.45° B.50° C.57.5° D.65°5.下列綠色能源圖標中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.6.實數a，b在數軸上對應點的位置如圖所示，下列結論正確的是（）A. B. C. D.7.某班級計劃舉辦手抄報展覽，確定了“5G時代”、“北斗衛(wèi)星”、“高鐵速度”三個主題，若小明和小亮每人隨機選擇其中一個主題，則他們恰好選擇同一個主題的概率是（）A. B. C. D.8.若m－n＝2，則代數式的值是（）A.－2 B.2 C.－4 D.49.某學校要建一塊矩形菜地供學生參加勞動實踐，菜地的一邊靠墻，另外三邊用木欄圍成，木欄總長為40m．如圖所示，設矩形一邊長為xm，另一邊長為ym，當x在一定范圍內變化時，y隨x的變化而變化，則y與x滿足的函數關系是（）A.正比例函數關系 B.一次函數關系C.反比例函數關系 D.二次函數關系10.如圖，矩形ABCD中，分別以A，C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點，作直線MN分別交AD，BC于點E，F，連接AF，若BF＝3，AE＝5，以下結論錯誤的是（）A.AF＝CF B.∠FAC＝∠EAC C.AB＝4 D.AC＝2AB11.數學活動小組到某廣場測量標志性建筑AB的高度．如圖，他們在地面上C點測得最高點A的仰角為22°，再向前70m至D點，又測得最高點A的仰角為58°，點C，D，B在同一直線上，則該建筑物AB的高度約為（）（精確到1m．參考數據：，，，）A.28m B.34m C.37m D.46m12.拋物線與y軸交于點C，過點C作直線l垂直于y軸，將拋物線在y軸右側的部分沿直線l翻折，其余部分保持不變，組成圖形G，點，為圖形G上兩點，若，則m的取值范圍是（）A.或 B. C. D.非選擇題部分共102分二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分，直接填寫答案．）13.因式分解：______．14.如果小球在如圖所示的地板上自由地滾動，并隨機的停留在某塊方磚上，那么它最終停留在陰影區(qū)域的概率是______．15.寫出一個比大且比小的整數_____．16.代數式與代數式的值相等，則x＝______．17.利用圖形的分、和、移、補探索圖形關系，是我國傳統(tǒng)數學的一種重要方法．如圖1，BD是矩形ABCD的對角線，將△BCD分割成兩對全等的直角三角形和一個正方形，然后按圖2重新擺放，觀察兩圖，若a＝4，b＝2，則矩形ABCD的面積是______．18.規(guī)定：在平面直角坐標系中，一個點作“0”變換表示將它向右平移一個單位，一個點作“1”變換表示將它繞原點順時針旋轉90°，由數字0和1組成的序列表示一個點按照上面描述依次連續(xù)變換．例如：如圖，點按序列“011…”作變換，表示點O先向右平移一個單位得到，再將繞原點順時針旋轉90°得到，再將繞原點順時針旋轉90°得到…依次類推．點經過“011011011”變換后得到點的坐標為______．三、解答題（本大題共9個小題，共78分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）19.計算：．20.解不等式組：，并寫出它的所有整數解．21.已知：如圖，在菱形ABCD中，E，F是對角線AC上兩點，連接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求證：AE＝CF．22.某校舉辦以2022年北京冬奧會為主題的知識競賽，從七年級和八年級各隨機抽取了50名學生的競賽成績進行整理、描述和分析，部分信息如下：a：七年級抽取成績的頻數分布直方圖如圖．（數據分成5組，，，，，）b：七年級抽取成績在7這一組的是：70，72，73，73，75，75，75，76，77，77，78，78，79，79，79，79．c：七、八年級抽取成績的平均數、中位數如下：年級平均數中位數七年級76.5m八年級78.279請結合以上信息完成下列問題：（1）七年級抽取成績在的人數是_______，并補全頻數分布直方圖；（2）表中m的值為______；（3）七年級學生甲和八年級學生乙的競賽成績都是78，則______（填“甲”或“乙”）的成績在本年級抽取成績中排名更靠前；（4）七年級的學生共有400人，請你估計七年級競賽成績90分及以上的學生人數．23.已知：如圖，AB為⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點C，交AB延長線于點D，連接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于點E，過點B作BF⊥CE，垂足為F．（1）求證：CA＝CD；（2）若AB＝12，求線段BF的長．24.為增加校園綠化面積，某校計劃購買甲、乙兩種樹苗．已知購買20棵甲種樹苗和16棵乙種樹苗共花費1280元，購買1棵甲種樹苗比1棵乙種樹苗多花費10元．（1）求甲、乙兩種樹苗每棵的價格分別是多少元？（2）若購買甲、乙兩種樹苗共100棵，且購買乙種樹苗的數量不超過甲種樹苗的3倍，則購買甲、乙兩種樹苗各多少棵時花費最少？請說明理由．25.如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點，與y軸交于點B．（1）求a，k的值；（2）直線CD過點A，與反比例函數圖象交于點C，與x軸交于點D，AC＝AD，連接CB．①求△ABC的面積；②點P在反比例函數的圖象上，點Q在x軸上，若以點A，B，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出所有符合條件的點P坐標．26.如圖1，△ABC是等邊三角形，點D在△ABC的內部，連接AD，將線段AD繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE．（1）判斷線段BD與CE的數量關系并給出證明；（2）延長ED交直線BC于點F．①如圖2，當點F與點B重合時，直接用等式表示線段AE，BE和CE的數量關系為_______；②如圖3，當點F為線段BC中點，且ED＝EC時，猜想∠BAD的度數，并說明理由．27.拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C，直線y＝kx－6經過點B．點P在拋物線上，設點P的橫坐標為m．（1）求拋物線的表達式和t，k的值；（2）如圖1，連接AC，AP，PC，若△APC是以CP為斜邊的直角三角形，求點P的坐標；（3）如圖2，若點P在直線BC上方的拋物線上，過點P作PQ⊥BC，垂足為Q，求的最大值．參考答案第14頁共SECTIONPAGES28頁濟南市2022年九年級學業(yè)水平考試數學試題答案解析選擇題部分共48分一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.﹣7的相反數是（）A.﹣7 B.7 C. D.﹣【答案】B【解析】【分析】據相反數的性質，互為相反數的兩個數和為0，采用逐一檢驗法求解即可．【詳解】解：根據概念，﹣7的相反數是7．故選：B．【點睛】本題考查了相反數的意義，一個數的相反數就是在這個數前面添上“﹣”號：一個正數的相反數是負數，一個負數的相反數是正數，0的相反數是0．2.如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（）A.圓柱 B.球 C.圓錐 D.正四棱柱【答案】A【解析】【分析】由主視圖和左視圖確定是柱體，錐體還是球體，再由俯視圖確定具體形狀．【詳解】解：主視圖和左視圖都是長方形，那么此幾何體為柱體，由俯視圖為圓，可得此幾何體是圓柱．故選：A．【點睛】此題考查了由三視圖判斷幾何體，主視圖和左視圖的大致輪廓為三角形的幾何體為錐體．3.神舟十三號飛船在近地點高度200000m，遠地點高度356000m的軌道上駐留了6個月后，于2022年4月16日順利返回．將數字356000用科學記數法表示為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】用科學記數法表示較大的數時，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數，且n比原來的整數位數少1，據此判斷即可．【詳解】解：356000＝3.56×105．故選：A．【點睛】此題主要考查了用科學記數法表示較大的數，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，確定a與n的值是解題的關鍵．4.如圖，，點E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，則∠2的度數為（）A.45° B.50° C.57.5° D.65°【答案】B【解析】【分析】根據平行線及角平分線的性質即可求解．【詳解】解：∵，

∴∠AEC=∠1（兩直線平行，內錯角相等），

∵EC平分∠AED，

∴∠AEC=∠CED=∠1，

∵∠1=65°，

∴∠CED=∠1=65°，

∴∠2=180°-∠CED-∠1=180°-65°-65°=50°．

故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質，解題關鍵根據直線平行和角平分線的性質得出角度之間的關系即可得出答案．5.下列綠色能源圖標中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各選項分析判斷即可得解，把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．【詳解】解：A、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；B、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不合題意；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意．故選：B．【點睛】本題考查了中心對稱圖形以及軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與自身重合．6.實數a，b在數軸上對應點的位置如圖所示，下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用數軸與實數的關系，及正負數在數軸上的表示求解．【詳解】解：根據圖形可以得到：，，∴，故A項錯誤，，故B項錯誤，，故C項錯誤，，故D項錯誤．故選：D．【點睛】本題考查了數軸與實數的關系，理解并正確運用是解題的關鍵．7.某班級計劃舉辦手抄報展覽，確定了“5G時代”、“北斗衛(wèi)星”、“高鐵速度”三個主題，若小明和小亮每人隨機選擇其中一個主題，則他們恰好選擇同一個主題的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結果，其中小明和小剛恰好選擇同一個主題結果有3種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：把“5G時代”、“北斗衛(wèi)星”、“高鐵速度”三個主題分別記為A、B、C，

畫樹狀圖如下：

共有9種等可能的結果，其中小明和小剛恰好選擇同一個主題的結果有3種，

∴小明和小剛恰好選擇同一個主題的概率為．

故選：C．【點睛】本題考查了用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．8.若m－n＝2，則代數式的值是（）A.－2 B.2 C.－4 D.4【答案】D【解析】【分析】先因式分解，再約分得到原式＝2（m-n），然后利用整體代入的方法計算代數式的值．【詳解】解：原式?＝2（m-n），當m-n＝2時，原式＝2×2＝4．故選：D．【點睛】本題考查了分式的化簡求值：先把分式化簡后，再把分式中未知數對應的值代入求出分式的值．在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡．化簡的最后結果分子、分母要進行約分，注意運算的結果要化成最簡分式或整式．9.某學校要建一塊矩形菜地供學生參加勞動實踐，菜地的一邊靠墻，另外三邊用木欄圍成，木欄總長為40m．如圖所示，設矩形一邊長為xm，另一邊長為ym，當x在一定范圍內變化時，y隨x的變化而變化，則y與x滿足的函數關系是（）A.正比例函數關系 B.一次函數關系C.反比例函數關系 D.二次函數關系【答案】B【解析】【分析】根據矩形周長找出關于x和y的等量關系即可解答．【詳解】解：根據題意得：，∴，∴y與x滿足的函數關系是一次函數；故選：B．【點睛】本題通過矩形的周長考查一次函數的定義，解題的關鍵是理清實際問題中的等量關系準確地列式．10.如圖，矩形ABCD中，分別以A，C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點，作直線MN分別交AD，BC于點E，F，連接AF，若BF＝3，AE＝5，以下結論錯誤的是（）A.AF＝CF B.∠FAC＝∠EAC C.AB＝4 D.AC＝2AB【答案】D【解析】【分析】根據作圖過程可得，是的垂直平分線，再由矩形的性質可以證明，可得再根據勾股定理可得AB的長，即可判定得出結論．【詳解】解：A，根據作圖過程可得，是的垂直平分線，故此選項不符合題意．B，如圖，由矩形的性質可以證明，∵是的垂直平分線，故此選項不符合題意．C，在中故此選項不符合題意．D，故此選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了作圖-基本作圖，線段垂直平分線的性質、矩形的性質、勾股定理，解決本題的關鍵是掌握基本作圖方法．11.數學活動小組到某廣場測量標志性建筑AB的高度．如圖，他們在地面上C點測得最高點A的仰角為22°，再向前70m至D點，又測得最高點A的仰角為58°，點C，D，B在同一直線上，則該建筑物AB的高度約為（）（精確到1m．參考數據：，，，）A.28m B.34m C.37m D.46m【答案】C【解析】【分析】在Rt△ABD中，解直角三角形求出，在Rt△ABC中，解直角三角形可求出AB．【詳解】解：在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，∴，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，∴，解得：m，故選：C．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握正切函數的定義是解題的關鍵．12.拋物線與y軸交于點C，過點C作直線l垂直于y軸，將拋物線在y軸右側的部分沿直線l翻折，其余部分保持不變，組成圖形G，點，為圖形G上兩點，若，則m的取值范圍是（）A.或 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出拋物線的對稱軸、C點坐標以及當x=m-1和x=m+1時的函數值，再根據m-1＜m+1，判斷出M點在N點左側，此時分類討論：第一種情況，當N點在y軸左側時，第二種情況，當M點在y軸的右側時，第三種情況，當y軸在M、N點之間時，來討論，結合圖像即可求解．【詳解】拋物線解析式變形為：，即拋物線對稱軸為，當x=m-1時，有，當x=m+1時，有，設(m-1,1)為A點，(m+1,1)為B點，即點A(m-1,1)與B(m+1,1)關于拋物線對稱軸對稱，當x=0時，有，∴C點坐標為，當x=m時，有，∴拋物線頂點坐標為，∵直線l⊥y軸，∴直線l為，∵m-1＜m+1，∴M點在N點左側，此時分情況討論：第一種情況，當N點在y軸左側時，如圖，由圖可知此時M、N點分別對應A、B點，即有，∴此時不符合題意；第二種情況，當M點在y軸的右側時，如圖，由圖可知此時M、N點滿足，∴此時不符合題意；第三種情況，當y軸在M、N點之間時，如圖，或者，由圖可知此時M、N點滿足，∴此時符合題意；此時由圖可知：，解得，綜上所述：m的取值范圍為：，故選：D．【點睛】本題考查了二次函數的圖像與性質、翻折的性質，注重數形結合是解答本題的關鍵．非選擇題部分共102分二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分，直接填寫答案．）13.因式分解：______．【答案】【解析】【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】此題考查了公式法的運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．14.如果小球在如圖所示的地板上自由地滾動，并隨機的停留在某塊方磚上，那么它最終停留在陰影區(qū)域的概率是______．【答案】【解析】【分析】根據題意可得一共有9塊方磚，其中陰影區(qū)域的有4塊，再根據概率公式計算，即可求解．【詳解】解：根據題意得：一共有9塊方磚，其中陰影區(qū)域的有4塊，∴它最終停留在陰影區(qū)域的概率是．故答案為：【點睛】本題考查了概率公式：熟練掌握隨機事件A的概率P（A）=事件A可能出現的結果數除以所有可能出現的結果數；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0是解題的關鍵．15.寫出一個比大且比小的整數_____．【答案】3（答案不唯一）【解析】【分析】先對和進行估算，再根據題意即可得出答案．【詳解】解：∵＜2＜3＜4＜，∴比大且比小的整數有2，3，4.故答案為：3（答案不唯一）．【點睛】此題考查了估算無理數的大小，估算出與是解題的關鍵．16.代數式與代數式的值相等，則x＝______．【答案】7【解析】【分析】根據題意列出分式方程，求出方程的解，得到x的值即可．【詳解】解：∵代數式與代數式的值相等，∴，去分母，去括號號，解得，檢驗：當時，，∴分式方程的解為．故答案為：7．【點睛】本題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗．17.利用圖形的分、和、移、補探索圖形關系，是我國傳統(tǒng)數學的一種重要方法．如圖1，BD是矩形ABCD的對角線，將△BCD分割成兩對全等的直角三角形和一個正方形，然后按圖2重新擺放，觀察兩圖，若a＝4，b＝2，則矩形ABCD的面積是______．【答案】16【解析】【分析】設小正方形的邊長為，利用、、表示矩形的面積，再用、、表示三角形以及正方形的面積，根據面積列出關于、、的關系式，解出，即可求出矩形面積．【詳解】解：設小正方形的邊長為，矩形的長為，寬為，由圖1可得：，整理得：，，，，，矩形的面積為．故答案為：16．【點睛】本題主要考查列代數式，一元二次方程的應用，求出小正方形的邊長是解題的關鍵．18.規(guī)定：在平面直角坐標系中，一個點作“0”變換表示將它向右平移一個單位，一個點作“1”變換表示將它繞原點順時針旋轉90°，由數字0和1組成的序列表示一個點按照上面描述依次連續(xù)變換．例如：如圖，點按序列“011…”作變換，表示點O先向右平移一個單位得到，再將繞原點順時針旋轉90°得到，再將繞原點順時針旋轉90°得到…依次類推．點經過“011011011”變換后得到點的坐標為______．【答案】【解析】【分析】根據題意得出點坐標變化規(guī)律，進而得出變換后的坐標位置，進而得出答案．【詳解】解：點按序列“011011011”作變換，表示點先向右平移一個單位得到，再將繞原點順時針旋轉90°得到，再將繞原點順時針旋轉90°得到，然后右平移一個單位得到，再將繞原點順時針旋轉90°得到，再將繞原點順時針旋轉90°得到，然后右平移一個單位得到，再將繞原點順時針旋轉90°得到，再將繞原點順時針旋轉90°得到．故答案為：【點睛】此題主要考查了點的坐標變化規(guī)律，得出點坐標變化規(guī)律是解題關鍵．三、解答題（本大題共9個小題，共78分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）19.計算：．【答案】6【解析】【分析】先根據絕對值的意義，特殊角的三角函數值，負整數指數冪，算術平方根定義進行化簡，然后再進行計算即可．【詳解】解：【點睛】本題主要考查了實數的混合運算，熟練掌握絕對值的意義，特殊角的三角函數值，負整數指數冪，算術平方根定義，是解題的關鍵．20.解不等式組：，并寫出它的所有整數解．【答案】，整數解為1，2【解析】【分析】分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分確定出不等式組的解集，進而確定出整數解即可．【詳解】解不等式①，得，解不等式②，得，在同一條數軸上表示不等式①②的解集原不等式組的解集是，∴整數解為1，2．【點睛】此題考查了一元一次不等式組的整數解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握不等式組的解法是解本題的關鍵．21.已知：如圖，在菱形ABCD中，E，F是對角線AC上兩點，連接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求證：AE＝CF．【答案】見解析【解析】【分析】根據菱形的性質得出，，再利用角的等量代換得出，接著由角邊角判定，最后由全等的性質即可得出結論．【詳解】解：∵四邊形是菱形，E，F是對角線AC上兩點，∴，．∵，∴，即．在和中，，∴，∴．【點睛】本題考查菱形的性質，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練地掌握這些性質和判定定理，并能從題中找到合適的條件進行證明．22.某校舉辦以2022年北京冬奧會為主題的知識競賽，從七年級和八年級各隨機抽取了50名學生的競賽成績進行整理、描述和分析，部分信息如下：a：七年級抽取成績的頻數分布直方圖如圖．（數據分成5組，，，，，）b：七年級抽取成績在7這一組的是：70，72，73，73，75，75，75，76，77，77，78，78，79，79，79，79．c：七、八年級抽取成績的平均數、中位數如下：年級平均數中位數七年級76.5m八年級78.279請結合以上信息完成下列問題：（1）七年級抽取成績在的人數是_______，并補全頻數分布直方圖；（2）表中m的值為______；（3）七年級學生甲和八年級學生乙的競賽成績都是78，則______（填“甲”或“乙”）的成績在本年級抽取成績中排名更靠前；（4）七年級的學生共有400人，請你估計七年級競賽成績90分及以上的學生人數．【答案】（1）38，理由見解析（2）77（3）甲（4）七年級競賽成績90分及以上人數約為64人【解析】【分析】（1）根據題意及頻數分布直方圖即可得出結果；（2）根據中位數的計算方法求解即可；（3）由七八年級中位數與甲乙學生成績的比較即可得出結果；（4）用總人數乘以七年級競賽成績90分及以上的學生人數占總的人數的比例求解即可．【小問1詳解】解：由題意可得：70≤x<80這組的數據有16人，∴七年級抽取成績在60≤x<90的人數是：12+16+10=38人，故答案為：38；補全頻數分布直方圖如圖所示；【小問2詳解】解：∵4+12=16<25，4+12+16>25，∴七年級中位數在70≤x<80這組數據中，∴第25、26的數據分別為77，77，∴m=，故答案為：77；【小問3詳解】解：∵七年級學生的中位數為77<78，八年級學生的中位數為79>78，∴甲的成績在本年級抽取成績中排名更靠前，故答案為：甲；【小問4詳解】解：（人）答：七年級競賽成績90分及以上人數約為64人．【點睛】題目主要考查統(tǒng)計的相關應用，包括頻數分布直方圖及用部分估計總體、中位數的求法等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵．23.已知：如圖，AB為⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點C，交AB延長線于點D，連接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于點E，過點B作BF⊥CE，垂足為F．（1）求證：CA＝CD；（2）若AB＝12，求線段BF的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，欲證明CA＝CD，只要證明即可．（2）因為為直徑，所以，可得出三角形CBF為等腰直角三角形，即可求出BF，由此即可解決問題．【小問1詳解】證明：連接∵與相切于點，∴，∴，∵，∴，∵所對的圓周角為，圓心角為，∴，∴，∴．【小問2詳解】∵為直徑，∴，在中，，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查切線的性質，圓周角定理、解直角三角形等知識，解題的關鍵是靈活運用這些知識解決問題，學會條件常用輔助線，屬于中考?？碱}型．24.為增加校園綠化面積，某校計劃購買甲、乙兩種樹苗．已知購買20棵甲種樹苗和16棵乙種樹苗共花費1280元，購買1棵甲種樹苗比1棵乙種樹苗多花費10元．（1）求甲、乙兩種樹苗每棵的價格分別是多少元？（2）若購買甲、乙兩種樹苗共100棵，且購買乙種樹苗的數量不超過甲種樹苗的3倍，則購買甲、乙兩種樹苗各多少棵時花費最少？請說明理由．【答案】（1）甲種樹苗每棵40元，乙種樹苗每棵30元（2）當購買甲種樹苗25棵，乙種樹苗75棵時，花費最少，理由見解析【解析】【分析】（1）設每棵甲種樹苗的價格為x元，每棵乙種樹苗的價格y元，由“購買20棵甲種樹苗和16棵乙種樹苗共花費1280元，購買1棵甲種樹苗比1棵乙種樹苗多花費10元”列出方程組，求解即可；（2）設購買甲種樹苗棵，則購買乙種樹苗棵，購買兩種樹苗總費用為元得出一次函數，根據一次函數的性質求解即可．【小問1詳解】設甲種樹苗每棵元，乙種樹苗每棵元．由題意得，，解得，答：甲種樹苗每棵40元，乙種樹苗每棵30元．【小問2詳解】設購買甲種樹苗棵，則購買乙種樹苗棵，購買兩種樹苗總費用為元，由題意得，，由題意得，解得，因為隨的增大而增大，所以當時取得最小值．答：當購買甲種樹苗25棵，乙種樹苗75棵時，花費最少．【點睛】本題考查了一次函數的應用，二元一次方程組的應用，找到正確的數量關系是本題的關鍵．25.如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點，與y軸交于點B．（1）求a，k的值；（2）直線CD過點A，與反比例函數圖象交于點C，與x軸交于點D，AC＝AD，連接CB．①求△ABC的面積；②點P在反比例函數的圖象上，點Q在x軸上，若以點A，B，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出所有符合條件的點P坐標．【答案】（1），；（2）①8；②符合條件的點坐標是和．【解析】【分析】（1）將點代入，求出，即可得，將點代入，即可求出k；（2）①如圖，過A作軸于點，過作軸于點，交于點，求出，，得到CE，進一步可求出△ABC的面積；②設，．分情況討論：ⅰ、當四邊形為平行四邊形時，ⅱ、當四邊形為平行四邊形時，計算即可．【小問1詳解】解：將點代入，得，，將點代入，得，反比例函數的解析式為．【小問2詳解】解：①如圖，過A作軸于點，過作軸于點，交于點，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．②分兩種情況：設，．ⅰ、如圖，當四邊形為平行四邊形時，∵點向下平移1個單位、向右平移個單位得到點，∴點向下平移1個單位，向右平移個單位得到點，∴，，∴．ⅱ、如圖，當四邊形為平行四邊形時，∵點向上平移1個單位，向左平移個單位得到點，∴點向上平移1個單位，向左平移個單位得到點，∴，，∴．綜上所述，符合條件的點坐標是和．【點睛】本題考查一次函數與反比例函數的綜合，待定系數法求函數解析式，平行四邊形的性質，解題的關鍵是掌握待定系數法求函數解析式，平行四邊形的性質．26.如圖1，△ABC是等邊三角形，點D在△ABC的內部，連接AD，將線段AD繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE．（1）判斷線段BD與CE的數量關系并給出證明；（2）延長ED交直線