高等數(shù)學(xué)不定積分的定義

高等數(shù)學(xué)課件不定積分的定義$1不定積分的概念1第1頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四$1不定積分的概念2前言在第二章中討論了求已知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的問題,在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中,還常常遇到相反的問題.即已知一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù),如何求這個函數(shù)?如:一質(zhì)點作非勻速直線運動的規(guī)律為s=s(t),則在時刻t的速度反之,若已知質(zhì)點運動的速度為v(t),如何求質(zhì)點的運動規(guī)律s=s(t)?這在數(shù)學(xué)上歸結(jié)為求導(dǎo)運算的逆運算,稱之為不定積分法.第2頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四$1不定積分的概念3例S(t)是v(t)的原函數(shù)定義Definition：一、原函數(shù)與不定積分的概念Conceptofantiderivativeandindefiniteintegral第3頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四$1不定積分的概念4原函數(shù)存在定理theorem簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問題：(1)原函數(shù)是否唯一？例（為任意常數(shù)）(2)若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？第4頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四$1不定積分的概念5關(guān)于原函數(shù)的說明：（1）若，則對于任意常數(shù)，（2）若和都是的原數(shù)，則（C為某個常數(shù)）證Proof

（C為某個常數(shù)）若F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則F(x)+c就是f(x)的全體原函數(shù).(c為任意常數(shù))第5頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四$1不定積分的概念6任意常數(shù)積分號被積函數(shù)不定積分的定義：Definitionofindefiniteintegral：被積表達(dá)式積分變量第6頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四$1不定積分的概念7例Example1

求解解例Example2求第7頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四$1不定積分的概念8例Example3設(shè)曲線通過點（1，2），且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解

solution設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知由曲線通過點（1，2）所求曲線方程為第8頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四$1不定積分的概念9顯然，求不定積分得到一積分曲線族.Y=F(x)+C的圖形是f(x)的全部積分曲線所構(gòu)成的積分曲線族.積分曲線族里所有積分曲線在點x處的切線彼此平行，斜率均為f(x).如下圖第9頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四$1不定積分的概念10xyoxy=F(x)第10頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四$1不定積分的概念11結(jié)論：微分運算與求不定積分的運算是互逆的.由不定積分的定義，可知如初等數(shù)學(xué)中:與與arcsin(sinx)=x(x為弧度），sin(arcsinx)=x(x為實數(shù)）乘方與開方互逆指數(shù)與對數(shù)互逆第11頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四$1不定積分的概念12實例啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.二、基本積分表

Fundamentalintegraltable

第12頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四$1不定積分的概念13基本積分表是常數(shù));說明：簡寫為，第13頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四$1不定積分的概念14(或-arccotx+C)(或-arccosx+C)第14頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四$1不定積分的概念15第15頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四$1不定積分的概念16例Example4

求積分解根據(jù)積分公式（2）第16頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四$1不定積分的概念17證Proof等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）三、不定積分的性質(zhì)

Propertiesofindefiniteintegral

第17頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四$1不定積分的概念18例Example5

求積分解Solution（性質(zhì)（1）（2）稱為線性性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)與積分都具有線性運算性質(zhì),但sin(x+y)sinx+siny,ln(x+y)lnx+lny都是非線性運算）第18頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四$1不定積分的概念19例Example6求積分解第19頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四$1不定積分的概念20例Example7求積分解例Example8第20頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四$1不定積分的概念21例9.例10.第21頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四$1不定積分的概念22例11.例12.例13.第22頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四$1不定積分的概念23例14例15例16（檢驗結(jié)果是否正確，只要把結(jié)果求導(dǎo)，看它是否等于被積函數(shù)即可。）第23頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四$1不定積分的概念24例Example17求積分解說明Directions：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分表.第24頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四$1不定積分的概念25解Solution

所求曲線方程為第25頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四$1不定積分的概念26基本積分表(1)不定積分的性質(zhì)原函數(shù)的概念不定積分的概念求微分與求積分的互逆關(guān)系四、小結(jié)Briefsummary第26頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四$1不定積分的概念27思考題Considerationquestion符號函數(shù)Signfunction

在內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？第27頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四$1不定積分的概念28思考題解答

Solutiontoconsiderationquestion不存在.假設(shè)有原函數(shù)故假設(shè)錯誤所以在內(nèi)不存在原函數(shù).結(jié)論每一個含有第一類間斷點的函數(shù)都沒有原函數(shù).第28頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四$1不定積分的概念29練習(xí)題Exercises第29頁，共33頁，2023年，2月20日，星期四$1不定積分的概念30第30頁，共