因式分解的十二種方法

第4頁共7頁因式分解的十二種方法:把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解。因式分解的方法多種多樣，現(xiàn)總結如下：1、提公因法如果一個多項式的各項都含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。例1、分解因式x3-2x2-x(2003淮安市中考題)x3-2x2-x=x(x2-2x-1)2、應用公式法由于分解因式與整式乘法有著互逆的關系，如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項式分解因式。例2、分解因式a2+4ab+4b2(2003南通市中考題)解：a2+4ab+4b2=（a+2b）23、分組分解法要把多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前兩項分成一組，并提出公因式a，把它后兩項分成一組，并提出公因式b，從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，從而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m2+5n-mn-5m解：m2+5n-mn-5m=m2-5m-mn+5n=(m2-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法對于mx2+px+q形式的多項式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，則多項式可因式分解為(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x2-19x-6分析：1-3722-21=-19解：7x2-19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法對于那些不能利用公式法的多項式，有的可以利用將其配成一個完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解。例5、分解因式x2+3x-40解x2+3x-40=x2+3x+(EQ\F(3,2))2-(EQ\F(3,2))2-40=(x+EQ\F(3,2))2-(EQ\F(13,2))2=(x+EQ\F(3,2)+EQ\F(13,2))(x+EQ\F(3,2)-EQ\F(13,2))=(x+8)(x-5)注：(EQ\F(3,2))2+40=EQ\F(9,4)+EQ\F(160,4)=EQ\F(169,4)=(EQ\F(3,2))2=(EQ\F(13,2))26、拆、添項法可以把多項式拆成若干部分，再用進行因式分解。例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c–a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)則x+2x-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)注：x3+2x2-5x-6=x3+x2+x2+x-6x-6=x2（x+1）+x（x+1）-6（x+1）=（x+1）（x2+x-6）=（x+1）（x+3）（x-2）10、主元法先選定一個字母為主元，然后把各項按這個字母次數(shù)從高到低排列，再進行因式分解。例10、分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)分析：此題可選定a為主元，將其按次數(shù)從高到低排列解：a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=a2(b-c)-a(b2–c2)+(b2c-c2b)=a2(b-c)-a(b-c)(b+c)+bc(b-c)=(b-c)[a2-a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c)……（十字相乘）11、利用特殊值法將2或10代入x，求出數(shù)P，將數(shù)P分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當?shù)慕M合，并將組合后的每一個因數(shù)寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。例11、分解因式x3+9x2+23x+15解：令x=2，則x+9x+23x+15=8+36+46+15=105將105分解成3個質(zhì)因數(shù)的積，即105=3×5×7注意到多項式中最高項的系數(shù)為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值。（即：3=2+1，5=2+3，7=2+5）則x3+9x2+23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）12、待定系數(shù)法首先判斷出分解因式的形式，然后設出相應整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項式因式分解。例12、分解因式x4–x3-5x2-6x-4分析：易知這個多項式?jīng)]有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。解：設x4–x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd則x4–x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)關于“易知這個多項式?jīng)]有一次因式”，本人理解為最高次方的系數(shù)為1?；蛘咴Ox4–x3-5x2-6x-4=（x+a）(x3+bx2+cx+d)關于待定系數(shù)法，下面還有講解：待定系數(shù)法就是說設原式=（x+a)(x2+bx+c),因為x3一項系數(shù)是一，所以這么設，然后將它展開和原式對比系數(shù)列出3個方程就可以解出a,b,c,然后判斷后邊那個2次的能不能進一步分解，如果a,b,c無解就說明原式無法分解。一元n次方乘根與系數(shù)關系這么推倒，以3次為例，設3個根為x1,x2,x3則任意ax3+bx2+cx+d就可以寫成a(x-x1)(x-x2)(x-x3)將右邊展開和左邊對比系數(shù)就能得到根與系數(shù)的關系。4次及n次方程類似。四次的比較麻煩，必須先設原式=(x+a)(x3+bx2+cx+d)，如果可以解出未知數(shù)，就可以繼續(xù)分解后面那項，如果這樣不行，則要設原式=（x2+ax+