圓錐曲線(xiàn)第二定義在一些題目中的應(yīng)用

共5頁(yè)，第4頁(yè)圓錐曲線(xiàn)第二定義在一些題目中的應(yīng)用北京一零一中學(xué)數(shù)學(xué)組何效員圓錐曲線(xiàn)的第二定義：平面上到定點(diǎn)與到定直線(xiàn)的距離的比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線(xiàn)概念的重要組成部分，它揭示了圓錐曲線(xiàn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，是圓錐曲線(xiàn)在極坐標(biāo)系下具有統(tǒng)一形式的基本保證。利用圓錐曲線(xiàn)的第二定義，在某些情形下，可以更方便的求解一些題目。但當(dāng)我們利用第二定義時(shí)，有時(shí)候會(huì)忽略一個(gè)條件，即平面上的這個(gè)定點(diǎn)不能在定直線(xiàn)上，否則得到的曲線(xiàn)不是圓錐曲線(xiàn)。如：考慮坐標(biāo)平面上，到定點(diǎn)與到定直線(xiàn)的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡討論如下：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為，直線(xiàn)去掉一點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為，兩條直線(xiàn)去掉一點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在。下面我們就一些具體的題目來(lái)體會(huì)第二定義的妙用。例1已知橢圓內(nèi)一點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，橢圓上有一點(diǎn)使的值最小，求點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：若按常規(guī)思路，設(shè)點(diǎn)，右焦點(diǎn)，則，求其最小值無(wú)疑是困難，觀察，設(shè)點(diǎn)到右準(zhǔn)線(xiàn)的距離，，，這樣就轉(zhuǎn)化為在橢圓上尋找一點(diǎn)到的距離與到直線(xiàn)的距離和最小，當(dāng)且僅當(dāng)直線(xiàn)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)和直線(xiàn)之間時(shí)取得，此時(shí)的坐標(biāo)為.例2已知橢圓方程為，求與這個(gè)橢圓有公共焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)，使得它們的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積最大，并求出相應(yīng)的四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)。分析：本體若通過(guò)橢圓與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立求解交點(diǎn)坐標(biāo)，繼而討論四邊形面積的表達(dá)式，求出使面積最大時(shí)的雙曲線(xiàn)方程，計(jì)算會(huì)十分麻煩，考慮到橢圓和雙曲線(xiàn)有共同的焦點(diǎn)，不妨利用第二定義求解。設(shè)所求雙曲線(xiàn)方程為，其中，設(shè)兩曲線(xiàn)在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，分別為橢圓，雙曲線(xiàn)的上準(zhǔn)線(xiàn)，過(guò)作于，于，，，解得，代入橢圓方程，得，利用雙曲線(xiàn)與橢圓的對(duì)稱(chēng)性知，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得，故所求雙曲線(xiàn)方程為，相應(yīng)的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為.利用這個(gè)結(jié)論，我們可以很輕松地證明1997年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試第8題。例4證明：過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)作直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于、兩點(diǎn)，若實(shí)數(shù)使得的直線(xiàn)恰好有3條，則.