循環(huán)數(shù)列的通項公式

循環(huán)數(shù)列的通項公式大家都知道，數(shù)列在某種程度上來說就是一個函數(shù)，不過它的定義域是自然數(shù)集或者是它的子集：｛1,2,3,…，n｝。因此求數(shù)列的通項公式，實際上就是求函數(shù)的解析式，而初等數(shù)學(xué)中的周期函數(shù)主要是三角函數(shù)，下面就討論一些可以利用三角函數(shù)性質(zhì)的循環(huán)數(shù)列的通項公式的求法。我們先從數(shù)列-1，1，-1，1，…談起，大家利用得較多的是(-1)〃，三 一 兀角形式還可以寫成cosn兀和sin(5-n兀)的形式。這樣數(shù)列1，2,1，2,313131———，—+—，———，TOC\o"1-5"\h\z22 22 221，2，…可以構(gòu)造成:31 31 31—+—，———，—+—，22 22 22它的通項公式可以寫成：a=—+(—1)nx— (nEN)，n2 2或者寫成：a=2+_Lsin7—n兀) (nEN)，n22 2或者寫成：a='+】con兀 (nEN)，n22一般地，數(shù)列a，b，a，b，a，b，……它的通項公式可以寫成：11a=—(a+b)+—(b—a)cosn兀 (nEN)。n2 2如何求數(shù)列(bn｝:1，2,3，1，2,3，1，2,3，……和數(shù)列｛%｝:1，2,3,4，1，2,3,4，1，2,3,4，……的通項公式呢？

注意到1,2,3可以分解成2-1,2+0,2+1的形式，如果我們能給出-1,0,1,-1,0,1,……的通項公式便可以了，這可以理解成周期為3的數(shù)列，我們，把它與周期為n的函數(shù)y=tanx進(jìn)行改造，使它們能發(fā)生聯(lián)系。事實上，當(dāng)x分別為土，0,|，尋，-，?，……時，tanx的值分別為-伊，0，3,-插，0，$，……這樣-1，0，1,-1,0,1,……的通項公式可以寫成：1^tan（的通項公式可以寫成：1^tan（乃一2）兀，v31b=2+-^tan（乃-2）兀（nEN）o下面再討論數(shù)列{cn}:1,2,3,4,1,2,3,4,……的通項公式。我們先做以下變換：擴(kuò)大2倍：2,4,6,8,2,4,6,8,……減去它們的平均數(shù)5:-3,-1,L3，-3,-1, L3, 分解成兩個數(shù)列：（1） -1, L-1, L -1, L-1, L （2） -2, -2,2, 2, -2, -2,2, 2,……(1的通項公式為(-1)n易得，(2的通項只要求出+1,+1,-1,-1,+1,+1,的通項便可以了，它與(2相差一個系數(shù)(-2)o以上數(shù)列的符號與正弦函數(shù)在四個象限的符號完全一致，它通項:

c1nc1n一2,—2,2,2,—2,—2,2,2, 的通項為:TOC\o"1-5"\h\z1 1c=—2v'2sin~(n兀一一兀) (neN),2n 2 4—3,—1,1,3,—3,—1,1,3, 的通項為：1 1 ， 、c—(—1)n一2\：2sin(n兀一兀) (neN)3n 2 4則原數(shù)列(cn｝的通項為:1 1 1 ,一一、c=-2[5+(—1)n一2^2sin(2n兀一彳兀)] (neN)o此外還可以再把-1,—1,1,1,—1,—1,1,1,……分成兩個數(shù)列：—1—1,0,1,0,—1,0,1,0,和0,—1,0,1,0,—1,0,經(jīng)過化簡便可得它們的通項公式分別為cos穿，和cosm,經(jīng)過化簡便可得TOC\o"1-5"\h\zA A到同上一樣的答案。下面再討論可轉(zhuǎn)化成循環(huán)數(shù)列的一類數(shù)列的通項公式。{叩:1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4,……;: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3,4, 4, 4,……;n1a—(n+1)1a—(n+1)；當(dāng)n為偶數(shù)時，n2對于數(shù)列{氣}來說，當(dāng)n為奇數(shù)時，氣=2，則有：1—、1—(—1)〃」1+(—1)"a=—(n+1) +—n n2 2 2 21—[2n+1—(—1)n] (neN),4

也可以采用以下變形:擴(kuò)大一倍得2{a}: 2,2, 4, 4, 6, 6,……,n減去n得{2a—n} ：1,0, 1, 0, 1, 0, ,n1 /一一、易得2a—n=4[1—(—1)n] (nEN)。討論:1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,n,,,乘以3得{3婦:3,3,3,6,6,6,9,9,9,12,12,12,,,,減去(n+1得{3b—(n+1)}:1,0,—1,1,0,—1,……,n由前面討論得它的通項公式:b‘=—b‘=—Jtann兀

n <3 3(neN)(nEN)(nEN)即有：3b—(n+1)=—Ltan竺1兀n v3 (nEN)(nEN)1 1n+1整理可得：b=-(n+1)—一=tan——兀n3 3.3 3最后討論￡}:n的通項公式。1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,的通項公式。乘以(-4)得:—4,—4,—4,—4,—8,—8,—8,—8,—12,—12,—12,—12, ,加上血+4得：1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,……,它的通項公式為:1 .— 1 1c，=^[5+(—1)n—2?2sin(mn兀一^兀)]又廠=-4c+(n+4)化簡整理