希爾伯特的23個(gè)問題

巴黎圣母院的鐘聲迎來了20世紀(jì)。1900年，人們都吧眼光放在未來：無產(chǎn)階級正在組織沸騰的革命，科學(xué)家憧憬著驚人的突破，藝術(shù)家在追逐時(shí)代的潮流……。這一年的8月6日，第二屆國際數(shù)學(xué)家代表會議在巴黎召開。年方38歲的德國數(shù)學(xué)家大衛(wèi)?希爾伯特走上講臺，第一句話就問道：“揭開隱藏在未來之中的面紗，探索未來世紀(jì)的發(fā)展前景，誰不高興呢？”接著，他向到會者，也向國際數(shù)學(xué)界提出了23個(gè)數(shù)學(xué)問題，這就是著名的希爾伯特演說。這一演說，成為世界數(shù)學(xué)史的重要里程碑，為20世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展揭開了光輝的第一頁！科學(xué)發(fā)展的每一個(gè)時(shí)代都有自己的問題。希爾伯特站在當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)研究的最前沿，高瞻遠(yuǎn)矚地用23個(gè)數(shù)學(xué)問題，預(yù)示20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程?，F(xiàn)在，時(shí)光已過去80多年。這23個(gè)問題約有一半已獲得解決，有一些取得了很大進(jìn)展，有些則收效甚微。80年來，人們把解決希爾伯特問題，哪怕是其中一部分，都看成至高無上的榮譽(yù)。據(jù)統(tǒng)計(jì)，從19361974年，被育為數(shù)學(xué)界諾貝爾獎(jiǎng)的菲爾茲（Fields）國際數(shù)學(xué)獎(jiǎng)的20名獲獎(jiǎng)人中，至少有12人的工作與希爾伯特問題有關(guān)。1976年，美國數(shù)學(xué)會組織評論1940年以來的美國十大數(shù)學(xué)成就，就有3項(xiàng)是希爾伯特問題的（1）、（5）、（10）等3個(gè)問題的解決。重要的問題歷來是推動科學(xué)前進(jìn)的杠桿之一，但一位科學(xué)家如此自覺、如此集中地提出一整批問題，并且如此持久地影響一門學(xué)科的發(fā)展，在科學(xué)史上確是罕見的。希爾伯特，1862年生于德國德哥尼斯堡（現(xiàn)為蘇聯(lián)的加里寧格勒）。1884年獲哥尼斯堡大學(xué)博士學(xué)位。1895年擔(dān)任著名的哥廷根大學(xué)教授，直到1943年去世。他最初的研究領(lǐng)域是代數(shù)不變量和代數(shù)數(shù)論。1900年前后致力于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)——元數(shù)學(xué)。后來又轉(zhuǎn)到分析方面，在積分方程、變分法、泛函分析、理論物理等許多領(lǐng)域作出了杰出的貢獻(xiàn)。希爾伯特為發(fā)表1900年的重要演說，曾作過仔細(xì)的準(zhǔn)備。1899年，第二屆國際數(shù)學(xué)家會議的籌備機(jī)構(gòu)邀請希爾伯特在會上作主要發(fā)言。希爾伯特接受了邀請，并計(jì)劃在這世紀(jì)交替之際作一個(gè)相稱的發(fā)言。當(dāng)時(shí)他有兩個(gè)想法：或者作一個(gè)為純粹數(shù)學(xué)辯護(hù)的講演，或者討論一下新世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的方向。為此，他寫信與他的好友，杰出的數(shù)學(xué)家閔可夫斯基進(jìn)行商量。閔可夫斯基于1900年1月5日回信說：“最有吸引力的題材莫過于展望未來，列出在新世紀(jì)里數(shù)學(xué)家應(yīng)當(dāng)努力解決的問題。這樣一個(gè)題材，將會使你的講演在今后幾十年的時(shí)間里成為人們議論的話題。”當(dāng)然，閔可夫斯基也指出了做這類預(yù)見性發(fā)言會遇到的困難。經(jīng)過一番斟酌，希爾伯特決意選擇第二個(gè)想法，提出一批急需解決的重大數(shù)學(xué)問題。希爾伯特曾指出，歷史上通過提出問題會導(dǎo)致整門新科學(xué)的誕生。他舉了三個(gè)典型例子。第一，貝努利（Bernoulli）的最速降落線問題是現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支——變分法的起源。第二，費(fèi)爾馬（Fermat）問題，它看上去“非常特殊，似乎不十分重要”，卻大大推動了代數(shù)數(shù)論的進(jìn)展，現(xiàn)代代數(shù)數(shù)論中的核心概念“理想數(shù)”正是為了解決費(fèi)爾馬問題而提出的。第三，三體問題，它對現(xiàn)代天體力學(xué)起了關(guān)鍵作用。這三個(gè)問題，既有純粹從數(shù)學(xué)本身提出的，也有從基本自然現(xiàn)象提出的。希爾伯特提出的問題后來也確實(shí)形成了許多新的數(shù)學(xué)分支，達(dá)到了預(yù)期的目的。對希爾伯特來說，在國際數(shù)學(xué)家會議上報(bào)告自己的成果，遠(yuǎn)比提出新問題要容易得多，當(dāng)時(shí)，希爾伯特正當(dāng)科學(xué)創(chuàng)造活動的盛年，業(yè)已作出了許多世所公認(rèn)得成績。人們本來以為他會拿出優(yōu)異的數(shù)學(xué)論文來回答國際數(shù)學(xué)界，卻沒有想到他竟會選擇如此困難的題目來作講演。希爾伯特接受任務(wù)以后，一直作著仔細(xì)的準(zhǔn)備，直到6月份，他的講演稿還沒有寫出來。預(yù)定8月在巴黎舉行國際數(shù)學(xué)家會議的日程已發(fā)到代表們手中，其中沒有列入希爾伯特的講演。7月中旬，他才給閔可夫斯基寄去第一稿的樣本。閔可夫斯基和希爾伯特的另一位學(xué)長和朋友胡爾維茨（A.Hurwitz）對初稿進(jìn)行研究，幫助希爾伯特作了修改。如果從1899年底開始考慮選題算起，希爾伯特為了提出這23個(gè)題目整整花了8個(gè)月的時(shí)間。希伯爾特的演說獲得了極大的成功。各國的數(shù)學(xué)雜志紛紛轉(zhuǎn)載他的演說稿，大批數(shù)學(xué)家投入解決希伯爾特問題的激流中去。第3問題當(dāng)年就被希伯爾特的學(xué)生德恩（Dehn,18781952）所解決。迄今為止，已完滿解決的希爾伯特問題約占一半，有幾個(gè)問題比較籠統(tǒng)，難以判定解決與否，大約還有三分之一的問題仍懸而未決，有的有了部分進(jìn)展，有的則差得很遠(yuǎn)。1975年，在美國的伊利諾斯大學(xué)召開了一次國際數(shù)學(xué)會議，邀請世界著名數(shù)學(xué)家參加，專門研究希爾伯特問題的進(jìn)展。會后出版的論文集詳細(xì)地介紹了各個(gè)問題的進(jìn)展（見《MathematicalDevelopmentsArisingfromHilbertProblems》一書）。大數(shù)學(xué)家韋爾（H-Weyl）在希爾伯特去世時(shí)的悼詞中曾說：“希爾伯特就象穿雜色衣服的風(fēng)笛手，他那甜蜜的笛聲誘惑了如此眾多的老鼠，跟著他跳進(jìn)了數(shù)學(xué)的深河?！睂τ兄镜娜藗儊碚f，這23個(gè)問題正是這樣一種甜蜜的笛聲，我們至今似乎仍能聽到它的召喚。值得高興的是，中國數(shù)學(xué)家在第8和第16問題上曾經(jīng)作出一些貢獻(xiàn)。附錄希爾伯特23問題的解決情況（1） 康托的連續(xù)統(tǒng)基數(shù)問題1874年，康托猜測在可數(shù)集基數(shù)和實(shí)數(shù)集基數(shù)之間沒有別的基數(shù)，即著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。1938年，橋居美國的奧地利數(shù)學(xué)家哥德爾證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和ZF集合論公理系統(tǒng)的無矛盾性。1963年，美國數(shù)學(xué)家科恩（P-Cohen）證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和ZF公理是彼此獨(dú)立的。因此，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不能用世所公認(rèn)的ZF公理證明其對錯(cuò)。希爾伯特第一問題在這一意義上已獲解決。（2）算術(shù)公理的無矛盾性歐氏幾何的無矛盾性可歸結(jié)為算術(shù)公里的無矛盾性。希爾伯特曾提出用形式主義計(jì)劃的證明論方法加以證明。歌德爾在1931年發(fā)表不完備性定理加以否定。1936年根茨（G?Gentzen,19091945）在使用超限歸納法的條件下證明了算術(shù)公理的無矛盾性。（3） 兩個(gè)等底等高四面體的體積相等問題問題的意思是：存在兩個(gè)等高等底的四面體，它們不可能分解為有限個(gè)小四面體，使這兩組四面體彼此全等。德恩證明確實(shí)存在著這樣的兩個(gè)四面體（1900）。（4） 兩點(diǎn)間以直線為距離最短線問題次問題提得過于一般。滿足此性質(zhì)的幾何學(xué)很多，因而需加以某些限制條件。1973年蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家波格列洛夫（Poglelov）宣布，在對稱距離情況下，問題獲得解決。（5） 一個(gè)連續(xù)變換群的李氏概念，定義這個(gè)群的函數(shù)不假定是可微的這個(gè)問題簡稱連續(xù)群的解析性，即是否每一個(gè)局部歐氏群都一定是李群？中間經(jīng)過馮?諾伊曼（1933對緊群情形）、邦德里雅金（Pontrja-qin）（交換群情形，1939）、歇瓦萊（Chevalley）（1941對可解群情形）的努力，于1952年，由格利森（Gleason）、蒙哥馬利（Montgomery）、齊賓（Zippin）共同解決了，得到了完全肯定的結(jié)果。（6） 物理學(xué)的公理化希爾伯特建議用數(shù)學(xué)的公理化方法推演出全部物理，首先是概率論和力學(xué)。1933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫（Kolmogoroff）將概率論公理化。后來在量子力學(xué)、量子場論方面取得了很大成功。但是物理學(xué)是否能全盤公理化，很多人表示懷疑。（7） 某些數(shù)的超越性問題要求證明：若是代數(shù)數(shù)，是無理數(shù)的代數(shù)數(shù)，則一定是超越數(shù)或至少是無理數(shù)（例如和）。1934年蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家蓋爾封特（A.O.Gelfond）證明這是對的。1935年，德國數(shù)學(xué)家施奈德（Schneider）也獨(dú)立地解決了這一問題。（8） 素?cái)?shù)問題素?cái)?shù)是一個(gè)古老的研究領(lǐng)域。希爾伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、歌德巴赫（Goldbach）猜想以及攣生素?cái)?shù)問題。黎曼猜想至今未能解決。歌德巴赫猜想亦未最終解決，中國陳景潤取得領(lǐng)先地位。目前攣生素?cái)?shù)的最佳結(jié)果也屬于陳景潤。（9） 在任意數(shù)域中證明最一般的互反律該問題已由德國數(shù)學(xué)家阿廷（E?Artin）給予基本解決（1927），但至今仍在繼續(xù)發(fā)展類域理論。（10） 丟番圖（Diophantus）方程的可解性求出一個(gè)整數(shù)系數(shù)方程的整數(shù)根，稱為丟番圖（約210290，古希臘數(shù)學(xué)家）方程可解。希爾伯特問，是否能用一種有限步構(gòu)成的一般算法判斷一個(gè)丟番圖方程的可解性？1950年前后，美國數(shù)學(xué)家戴維斯（Davis）、普特南（Putnam）、羅賓遜（Robinson）等取得關(guān)鍵性突破，1970年，蘇聯(lián)的馬蒂塞維奇（Matijasevic）最終證明：第10問題的答案是否定的。盡管得出了否定的結(jié)果，卻產(chǎn)生了一系列很有價(jià)值的副產(chǎn)品，其中不少和計(jì)算機(jī)科學(xué)有密切關(guān)系。（11） 任意代數(shù)數(shù)系數(shù)的二次型德國人海塞（Hasse）和西格爾（Siegel）在20年代獲重要結(jié)果。60年代，法國的魏依（A?Weil）取得了新進(jìn)展。（12） 將阿貝爾域上的克羅內(nèi)克定理推廣到任意的代數(shù)有理域上去這一問題只有一些零星的結(jié)果，離徹底解決還相差很遠(yuǎn)。（13） 用兩變量函數(shù)解一般七次方程的不可能性七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依賴于3個(gè)參數(shù)a、b、c；x=x（a,b,c），這一函數(shù)能否用兩變量函數(shù)表示出來？這一問題已接近解決。蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿諾爾德（V?I?Arnold）解決了連續(xù)函數(shù)的情形（1957）。1964年維土斯金（Vituskin）又推廣到連續(xù)可微函數(shù)情形。如果求解析函數(shù)，則問題尚未解決。（14）某些完備函數(shù)系的有限性的證明這和代數(shù)不變量問題有關(guān)。日本數(shù)學(xué)家永田雅宜給出了漂亮的反例（1959）。（15） 舒伯特（Schubert）計(jì)數(shù)演算的嚴(yán)格基礎(chǔ)一個(gè)典型問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾條直線能和這四條直線都相交？舒伯特給出了一個(gè)直觀解法。希爾伯特要求將問題一般化，并給以嚴(yán)格基礎(chǔ)?，F(xiàn)在已有了一些可計(jì)算的方法，它和代數(shù)幾何學(xué)有密切聯(lián)系。但嚴(yán)格的基礎(chǔ)迄今仍未確立。（16） 代數(shù)曲線和代數(shù)曲面的拓?fù)鋯栴}這個(gè)問題分為兩部分。前半部涉及代數(shù)曲線含有閉的分枝曲線的最大數(shù)目。后半部分要求討論的極限環(huán)的最大個(gè)數(shù)和相對位置，其中X、Y是x、y的n次多項(xiàng)式。蘇聯(lián)的彼德羅夫斯基（Petrovsk）院士曾證時(shí)極限環(huán)的個(gè)數(shù)不超過3。1979年，中國的史松齡以及王明淑分別舉出有四個(gè)極限環(huán)的反例。（17） 半正定形式的平方和表示一個(gè)實(shí)系數(shù)n元多項(xiàng)式對一切數(shù)組（Xp…必n）都恒大于或等于0，是否都能寫成平方和的形式？1927年，阿廷證明這是對的。（18） 用全等多面體構(gòu)造空間德國數(shù)學(xué)家比勃巴赫（Bieberbach）（1910）、萊因哈特（Reinhardt）（1928）作出部分解決。（19） 正則變分問題的解是否一定解析這一問題的研究很少。伯恩斯坦（S?Bernstein）和彼德羅夫斯基等得出了一些結(jié)果。（20） 一般邊值問題這一問題得進(jìn)展十分迅速，已成為一個(gè)很大的數(shù)學(xué)分支。目前還在繼續(xù)研究。（21） 具有指定單值群的線性微分方程解的存在性證明已由希爾伯特本人（1905）和勒爾（H-Rohrl）（1957）、德利涅（P?DQligne）（1970）等人所解決。（22） 由自守函數(shù)構(gòu)成的解析函數(shù)的單值化它涉及艱深的黎曼曲面論，1907年克伯（P?Koebe）獲重要突破，其他方面尚未解決。（23） 變分法的進(jìn)一步發(fā)展這不是一個(gè)明確的數(shù)學(xué)問題，只是談了對變分法的一般看法。20世紀(jì)變分法有了長足發(fā)展。從上面