2023屆江西省南昌市高三二模數(shù)學(xué)（理）試題

2023屆江西省南昌市高三二模數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過解二次不等式和對(duì)數(shù)不等式求出集合，然后由交集運(yùn)算得出答案．【詳解】由可得，所以，由，即，可得，所以，所以.故選：D．2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算得到，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】復(fù)數(shù)滿足，，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第四象限.故選：D.3．已知數(shù)列，若，則（

）A．9 B．11 C．13 D．15【答案】B【分析】由題中條件，分別令，，即可得解.【詳解】由，令，則，則，令，則，則.故選：B.4．已知函數(shù)，命題，使得，命題，當(dāng)時(shí)，都有，則下列命題中為真命題的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)依次判斷命題p、q的真假，結(jié)合命題“且”、“或”、“非”的概念，依次判斷即可.【詳解】命題p：當(dāng)時(shí)，，所以，即，則，使得，故命題p為假命題；命題q：當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，又函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，，故命題q為真命題.則命題為真，故A正確；命題為假，故B錯(cuò)誤；命題為假，故C錯(cuò)誤；命題為假，故D錯(cuò)誤.故選：A.5．已知拋物線的準(zhǔn)線為l，點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，若圓M過點(diǎn)且與直線l相切，則圓M與y軸相交所得弦長是（

）A． B． C．4 D．【答案】D【分析】設(shè)，則，，進(jìn)而，解得，利用垂徑定理計(jì)算即可求解.【詳解】由題意得，，則準(zhǔn)線為，設(shè)，因?yàn)閳AM與直線l相切，所以圓的半徑為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，又圓M過點(diǎn)，所以①.又②，由①②，解得，則，設(shè)圓M與y軸交于點(diǎn)B、C，則.故選：D.6．如圖，A，B，C是正方體的頂點(diǎn)，，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，若三棱錐的主視圖、左視圖的面積都是1，俯視圖的面積為2，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】如圖，當(dāng)點(diǎn)P的軌跡為(含邊界)時(shí)符合題意，結(jié)合圖形，即可求解.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，則當(dāng)點(diǎn)P的軌跡為(含邊界)時(shí)，三棱錐的主視圖、左視圖的面積都是1，俯視圖的面積為2，此時(shí)若P與M重合，最小，且最小值為1，若P與Q重合，最大，且最大值為，所以的取值范圍為.故選：D.7．已知單位向量滿足，則的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由兩邊平方，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算即可求出夾角.【詳解】記的夾角為，則，由，即，兩邊平方，得，即，即，則，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，所以，又，則．故選：C．8．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合對(duì)數(shù)換底公式判斷即可．【詳解】，，綜上，.故選：A．9．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，保持?jǐn)?shù)列中各項(xiàng)順序不變，對(duì)任意的，在數(shù)列的與項(xiàng)之間，都插入個(gè)相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，則（

）A．4056 B．4096 C．8152 D．8192【答案】C【分析】插入組共個(gè)，可知前面插入12組數(shù)，最后面插入9個(gè)，從而可得插入的數(shù)之和為，又?jǐn)?shù)列的前13項(xiàng)和，可得【詳解】插入組共個(gè)，∵，∴前面插入12組數(shù)，最后面插入9個(gè)．，∵，∴，又?jǐn)?shù)列的前13項(xiàng)和為，故選：C．10．已知正四面體的棱長為，現(xiàn)截去四個(gè)全等的小正四面體，得到如圖的八面體，若這個(gè)八面體能放進(jìn)半徑為的球形容器中，則截去的小正四面體的棱長最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】正四面體中，頂點(diǎn)在面BCD的投射影為的中心，正四面體外接球球心為點(diǎn)，在直角三角形中求出，，設(shè)小正四面體的棱長，為上面小正四面體底面中心，可得，由題意，八面體的外接球半徑，由此即可解得答案．【詳解】如圖，正四面體中，棱長為；頂點(diǎn)在面BCD的投射影為的中心，正四面體外接球球心為點(diǎn)（截去四個(gè)全等的小正四面體之后得到的八面體的外接球球心同樣為點(diǎn)）．為中點(diǎn)，，，，在中，，在中，，又，則，即，解得，則，設(shè)小正四面體的棱長，為上面小正四面體底面中心，則．由題意，八面體能放進(jìn)半徑為的球形容器，則八面體的外接球半徑．在中，，則，即，解得．所以截去的小正四面體的棱長最小值為．故選：B．11．已知正實(shí)數(shù)a使得函數(shù)有且只有三個(gè)不同零點(diǎn)，若，則下列的關(guān)系式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)零點(diǎn)的意義用x表示a，再數(shù)形結(jié)合探求出的關(guān)系，然后逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】依題意，由得：，即，令，，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，即直線與函數(shù)與函數(shù)的圖象共有三個(gè)公共點(diǎn)，在同一坐標(biāo)平面內(nèi)作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，它們有公共點(diǎn)，如圖，因此直線必過點(diǎn)，令直線與函數(shù)的圖象另一交點(diǎn)為，與函數(shù)的圖象另一交點(diǎn)為，顯然，且有，由得：，即，而，于是，由得：，即，而，于是，由得：，即，D正確；對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，，函數(shù)在上遞增，即有，因此，則，而，從而，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，若成立，則必有，令，，當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增，而，因此函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，即方程的兩個(gè)根分別在區(qū)間內(nèi)，令，，當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增，而，因此函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，即方程的兩個(gè)根分別在區(qū)間內(nèi)，顯然直線與函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)有4個(gè)，不符合題意，所以，即不正確，C錯(cuò)誤.故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：研究方程根的情況，可以通過轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，借助數(shù)形結(jié)合思想分析問題，使問題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn).12．中國燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，是一種古老的漢族傳統(tǒng)工藝品．燈籠綜合了繪畫、剪紙、紙?jiān)⒋炭p等工藝，與中國人的生活息息相連．燈籠成了中國人喜慶的象征．經(jīng)過歷代燈彩藝人的繼承和發(fā)展，形成了豐富多彩的品種和高超的工藝水平，從種類上主要有宮燈、紗燈、吊燈等類型，現(xiàn)將紅木宮燈、檀木宮燈、楠木紗燈、花梨木紗燈、恭喜發(fā)財(cái)?shù)鯚?、吉祥如意吊燈各一個(gè)隨機(jī)掛成一排，則有且僅有一種類型的燈籠相鄰的概率為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)紅木宮燈、檀木宮燈為；楠木紗燈、花梨木紗燈為；恭喜發(fā)財(cái)?shù)鯚?、吉祥如意吊燈為．先求僅相鄰的種數(shù)，把看作一個(gè)元素，分三種情況討論：排在首尾；排在五個(gè)位置中第二、第四位；排在第三個(gè)位置，同理得僅相鄰，僅相鄰的情況，進(jìn)而得出概率.【詳解】設(shè)紅木宮燈、檀木宮燈為；楠木紗燈、花梨木紗燈為；恭喜發(fā)財(cái)?shù)鯚?、吉祥如意吊燈為．先求僅相鄰的種數(shù)，把看作一個(gè)元素，當(dāng)排在首尾時(shí)，不同的排法有種；當(dāng)排在五個(gè)位置中第二、第四位時(shí)，不同的排法有種；當(dāng)排在第三個(gè)位置時(shí)，不同的排法有種，故僅相鄰共有種排法，同理得僅相鄰，僅相鄰的情況，也都有種排法，所以有且僅有一種類型燈籠相鄰的概率為．故選：A.二、填空題13．已知隨機(jī)變量X的分布列為X01P則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望________．【答案】【分析】根據(jù)為的數(shù)學(xué)期望求解.【詳解】解：因?yàn)殡S機(jī)變量X的分布列為X01P所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，故答案為：14．已知變量x，y滿足，則的最大值為________．【答案】2【分析】作出不等式組所對(duì)應(yīng)的線性規(guī)劃區(qū)域，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】如圖，作出不等式組所對(duì)應(yīng)的線性規(guī)劃區(qū)域：，當(dāng)直線過時(shí)，取得最大值，最大值為，故答案為：2.15．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則________．【答案】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的對(duì)稱性可得，由可得，列出方程組，解出a、b即可求解.【詳解】若函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，不妨令，則，由，得，由，得，所以，即整理，得，其中為常數(shù)，有，解得，所以.故答案為：.16．足球是大眾喜愛的運(yùn)動(dòng)，足球比賽中，傳球球員的傳球角度、接球球員的巧妙跑位都讓觀眾贊不絕口．甲、乙兩支球隊(duì)一場比賽的某一時(shí)刻，三位球員站位如圖所示，其中A，B點(diǎn)站的是甲隊(duì)隊(duì)員，C點(diǎn)站的是乙隊(duì)隊(duì)員，，這兩平行線間的距離為，，點(diǎn)B在直線l上，且，這時(shí)，站位A點(diǎn)球員傳球給站位B點(diǎn)隊(duì)友（傳球球員能根據(jù)隊(duì)友跑位調(diào)整傳球方向及控制傳球力度，及時(shí)準(zhǔn)確傳到接球點(diǎn)），記傳球方向與的夾角為，已知站位B，C兩點(diǎn)隊(duì)員跑動(dòng)速度都是，現(xiàn)要求接球點(diǎn)滿足下面兩個(gè)條件：①站位B點(diǎn)隊(duì)員能至少比站位C點(diǎn)隊(duì)員早跑到接球點(diǎn)；②接球點(diǎn)在直線l的左側(cè)（包括l）；則的取值范圍是________．【答案】【分析】如圖，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)接球點(diǎn)為，根據(jù)，可得點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上，根據(jù)，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，直線與雙曲線的右支交于（在的上方），求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出的斜率，結(jié)合圖象即可的解.【詳解】如圖，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)接球點(diǎn)為，若，得點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，解得，即，設(shè)直線與雙曲線的右支交于（在的上方），令，則，所以，則接球點(diǎn)為位于雙曲線右支與直線圍成的區(qū)域內(nèi)或邊界，則，，因?yàn)橹本€的傾斜角與互補(bǔ)，由圖可知，.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)再結(jié)合雙曲線的定義求得點(diǎn)的軌跡，是解決本題的關(guān)鍵.三、解答題17．如圖是函數(shù)的部分圖象，已知．(1)求；(2)若，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，則，再根據(jù)求得周期，即解；（2）根據(jù)結(jié)合三角恒等變換化簡計(jì)算即可的解.【詳解】（1）設(shè)，函數(shù)的最小正周期為T，則，則，故，解得(負(fù)值舍去)，所以，所以；（2）由（1）得，，得，即，所以，又因，則，所以，所以.18．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為4的菱形，，，點(diǎn)E在線段上，，平面平面．(1)求；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）如圖，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，由線面垂直的性質(zhì)可得，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間共線向量的坐標(biāo)表示求得，結(jié)合空間垂直向量的坐標(biāo)表示計(jì)算即可求解；（2）利用空間向量法求出平面的一個(gè)法向量，結(jié)合數(shù)量積的定義計(jì)算即可求解.【詳解】（1）取AB的中點(diǎn)O，連接BD、DO，過P作DO的平行線PG，在菱形ABCD中，，則為等邊三角形，得，且，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，由，則平面，又平面，所以，由，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，由，得，取PA的中點(diǎn)F，連接OF，則，所以，，有，設(shè)，則，由，得，即，.設(shè)，則，有，由，得，解得，即；（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，，得，令，則，所以，又，所以，故直線DE與平面CDP所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】19．一地質(zhì)探測隊(duì)為探測一礦中金屬鋰的分布情況，先設(shè)了1個(gè)原點(diǎn)，再確定了5個(gè)采樣點(diǎn)，這5個(gè)采樣點(diǎn)到原點(diǎn)距離分別為，其中，并得到了各采樣點(diǎn)金屬鋰的含量，得到一組數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到如下統(tǒng)計(jì)量的值：，，，，，其中．(1)利用相關(guān)系數(shù)判斷與哪一個(gè)更適宜作為y關(guān)于x的回歸模型；(2)建立y關(guān)于x的回歸方程．參考公式：回歸方程中斜率、截距的最小二乘估計(jì)公式、相關(guān)系數(shù)公式分別為，，；參考數(shù)據(jù)：．【答案】(1)用作為y關(guān)于x的回歸模型方程更適宜，理由見解析；(2)【分析】（1）用作回歸模型求出相關(guān)系數(shù)，用作為回歸模型求出相關(guān)系數(shù)，比較大小可得答案；（2）由已知條件求出，可得答案.【詳解】（1）若用作回歸模型，，，所以相關(guān)系數(shù)，若用作為回歸模型，相關(guān)系數(shù)，比較與，，，因?yàn)?，所以用作為y關(guān)于x的回歸模型方程；（2）由（1），，，，，則y關(guān)于x的回歸方程為.20．已知橢圓的焦距為，左、右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為B，過點(diǎn)的直線斜率分別為，直線與直線的交點(diǎn)分別為B，P．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，直線與x軸的交點(diǎn)為R，記的面積為，的面積為，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）列出關(guān)于的方程，求解即可；（2）直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求得點(diǎn)坐標(biāo)，直線的方程與直線的方程聯(lián)立解得點(diǎn)坐標(biāo)，由結(jié)合的范圍求得答案．【詳解】（1）因?yàn)橹本€的斜率為，所以，焦距，因此，解得，所以橢圓的方程是；（2）因?yàn)椋灾本€的方程為，聯(lián)立，整理得．則，故，則．所以．又直線的方程為．聯(lián)立，解得．，因?yàn)?，所以，所以．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中求解范圍問題的常見求法：（1）將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消元得到一元二次方程，根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求解．（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系．（3）利用幾何條件構(gòu)造不等關(guān)系．（4）利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍．（5）利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．21．已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)已知，若存在，使得成立，求證：．【答案】(1)極大值為，無極小值．(2)證明見解析【分析】（1），求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性及極值的定義求解；（2）不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，結(jié)合，得，設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可證得結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減；所以的極大值為，無極小值．（2）不妨設(shè)，因?yàn)椋瑒t，即，所以，由，則，，即，所以即，設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上為增函數(shù)，所以，因?yàn)?，所以．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見解題策略：（1）構(gòu)造差函數(shù)，根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式；（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù)．一般思路為利用條件將問題逐步轉(zhuǎn)化，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，再通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明．22．“太極圖”是關(guān)于太極思想的圖示，其形狀如對(duì)稱的陰陽兩魚互抱在一起，也被稱為“陰陽魚太極圖”．在平面直角坐標(biāo)系中，“太極圖”是一個(gè)圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓，其中黑、白區(qū)域分界線，為兩個(gè)圓心在軸上的半圓，在太極圖