2014年高考浙江理科數(shù)學(xué)試題及答案(word解析版)

年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（浙江卷）數(shù)學(xué)（理科）第Ⅰ卷（選擇題共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．（1）【2014年浙江，理1，5分】設(shè)全集，集合，則（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】，，故選B．【點(diǎn)評】本題主要考查全集、補(bǔ)集的定義，求集合的補(bǔ)集，屬于基礎(chǔ)題．（2）【2014年浙江，理2，5分】已知是虛數(shù)單位，，則“”是“”的（）（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，反之，，即，則，解得或，故選A．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是充要條件的定義，復(fù)數(shù)的運(yùn)算，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．（3）【2014年浙江，理3，5分】某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的表面積是（）（A）90（B）129（C）132（D）138【答案】D【解析】由三視圖可知直觀圖左邊一個(gè)橫放的三棱柱右側(cè)一個(gè)長方體，故幾何體的表面積為：，故選D．【點(diǎn)評】本題考查了由三視圖求幾何體的表面積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及數(shù)據(jù)所對應(yīng)的幾何量是解題的關(guān)鍵．（4）【2014年浙江，理4，5分】為了得到函數(shù)的圖像，可以將函數(shù)的圖像（）（A）向右平移個(gè)單位（B）向左平移個(gè)單位（C）向右平移個(gè)單位（D）向左平移個(gè)單位【答案】C【解析】，而=，由，即，故只需將的圖象向右平移個(gè)單位，故選C．【點(diǎn)評】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)以及三角函數(shù)的平移變換的應(yīng)用，基本知識的考查．（5）【2014年浙江，理5，5分】在的展開式中,記項(xiàng)的系數(shù)，則=（） （A）45（B）60（C）120（D）210【答案】C【解析】令，由題意知即為展開式中的系數(shù)，故=，故選C．【點(diǎn)評】本題考查二項(xiàng)式定理系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．（6）【2014年浙江，理6，5分】已知函數(shù)，且（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】由得，解得，所以，由，得，即，故選C．【點(diǎn)評】本題考查方程組的解法及不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．（7）【2014年浙江，理7，5分】在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)，的圖像可能是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】函數(shù)，分別的冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)答案A中沒有冪函數(shù)的圖像,不符合；答案B中，中，中，不符合；答案C中，中，中，不符合；答案D中，中，中，符合，故選D．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的圖象，熟練掌握對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．（8）【2014年浙江，理8，5分】記，，設(shè)為平面向量，則（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】由向量運(yùn)算的平行四邊形法可知與的大小不確定，平行四邊形法可知所對的角大于或等于，由余弦定理知，（或），故選D．【點(diǎn)評】本題在處理時(shí)要結(jié)合著向量加減法的幾何意義，將，，，放在同一個(gè)平行四邊形中進(jìn)行比較判斷，在具體解題時(shí)，本題采用了排除法，對錯(cuò)誤選項(xiàng)進(jìn)行舉反例說明，這是高考中做選擇題的常用方法，也不失為一種快速有效的方法，在高考選擇題的處理上，未必每一題都要寫出具體解答步驟，針對選擇題的特點(diǎn)，有時(shí)“排除法”，“確定法”，“特殊值”代入法等也許是一種更快速，更有效的方法．（9）【2014年浙江，理9，5分】已知甲盒中僅有1個(gè)球且為紅球，乙盒中有m個(gè)紅球和n個(gè)籃球，從乙盒中隨機(jī)抽取個(gè)球放入甲盒中．（a）放入個(gè)球后，甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)記為；（b）放入個(gè)球后，從甲盒中取1個(gè)球是紅球的概率記為．則（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】解法一：，=，∴－=，故．又∵，，∴，將一、二、三等獎(jiǎng)各1張分給4個(gè)人有種分法，其中三張獎(jiǎng)券都分給一個(gè)人的有4種分法，因此不同的獲獎(jiǎng)情況共有種．【點(diǎn)評】本題考查排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．（15）【2014年浙江，理15，5分】設(shè)函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】．【解析】由題意或，解得∴當(dāng)或，解得．【點(diǎn)評】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，其它不等式的解法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．（16）【2014年浙江，理16，5分】設(shè)直線()與雙曲線（）兩條漸近線分別交于點(diǎn)，．若點(diǎn)滿足，則該雙曲線的離心率是．【答案】【解析】解法一：由雙曲線的方程可知，它的漸近線方程為和，分別與直線：聯(lián)立方程組，解得，，，設(shè)中點(diǎn)為，由得，則，即，與已知直線垂直，∴，即，即得，即，即，所以．解法二：不妨設(shè)，漸近線方程為即，由消去，得，設(shè)中點(diǎn)為，由韋達(dá)定理得：……①，又，由得，即得得代入①得，得，所以，所以，得．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的離心率，考查直線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．（17）【2014年浙江，理17，5分】如圖，某人在垂直于水平地面的墻面前的點(diǎn)處進(jìn)行射擊訓(xùn)練．已知點(diǎn)到墻面的距離為，某目標(biāo)點(diǎn)沿墻面上的射擊線移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)，需計(jì)算由點(diǎn)觀察點(diǎn)的仰角的大?。?，，，則的最大值是（仰角為直線與平面所成角）．【答案】【解析】解法一：∵，，，∴，過作，交于，1當(dāng)在線段上時(shí)，連接，則，設(shè)，則，（）由，得．在直角中，∴，令，則函數(shù)在單調(diào)遞減，∴時(shí)，取得最大值為2當(dāng)在線段的延長線上時(shí)，連接，則，設(shè)，則，（）由，得，在直角中，，∴，令，則，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)時(shí)，取得最大值為，綜合1，2可知取得最大值為．解法二：如圖以為原點(diǎn)，、所在的直線分別為，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∵，，，∴，由，可設(shè)（其中），，，所以，設(shè)()，，所以，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，所以取得最大值為．解法三：分析知，當(dāng)取得最大時(shí)，即最大，最大值即為平面與地面所成的銳二面角的度量值，如圖，過在面內(nèi)作交于，過作于，連，則即為平面與地面所成的二面角的平面角，的最大值即為，在中，由等面積法可得，，所以．【點(diǎn)評】本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．（18）【2014年浙江，理18，14分】在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．已知，．（1）求角的大??；（2）若，求的面積．解：（1）由題得，即，，由得，又，得，即，所以．（2），，，得，由得，從而，故=，所以，的面積為．【點(diǎn)評】本題主要考查二倍角公式、兩角和差的三角公式、正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．（19）【2014年浙江，理19，14分】已知數(shù)列和滿足．若為等比數(shù)列，且．（1）求與；（2）設(shè)．記數(shù)列的前項(xiàng)和為．（?。┣?；（ⅱ）求正整數(shù)，使得對任意均有．解：（1）∵①，當(dāng)，時(shí)，②，由①②知：當(dāng)時(shí)，，令，則有，∵，∴．∵為等比數(shù)列，且，∴的公比為，則，由題意知，∴，∴．∴．又由，得：，即，∴．（2）（?。?，∴====．（ⅱ）因?yàn)椋?，，；?dāng)時(shí)，，而，得，所以，當(dāng)時(shí)，，綜上，對任意恒有，故．【點(diǎn)評】本題考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式，還考查了分組求和法、裂項(xiàng)求和法和猜想證明的思想，證明可以用二項(xiàng)式定理，還可以用數(shù)學(xué)歸納法．本題計(jì)算量較大，思維層次高，要求學(xué)生有較高的分析問題解決問題的能力．本題屬于難題．（20）【2014年浙江，理20，15分】如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，．（1）證明：平面；（2）求二面角的大小．解：（1）在直角梯形中，由，，得，由，得，即，又平面平面，從而平面，所以，又，從而平面．（2）解法一：作，與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，與交于點(diǎn)，連接，由（1）知，則，所以就是二面角的平面角，在直角梯形中，由，得，又平面平面，得平面，從而，由于平面，得．在中，由，，得；在中，由，得；在中，由，，，得，，從而，在，中，利用余弦定理分別可得，．在中，，所以，，即二面角的大小為．解法二：以的原點(diǎn)，分別以射線，為，軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，，，，．設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，可算得：，，，由，即，可取，由即可取，于是．由題意可知，所求二面角是銳角，故二面角的大小為．【點(diǎn)評】本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查空間想象能力，推理論證能力和運(yùn)算求解能力．（21）【2014年浙江，理21，15分】如圖，設(shè)橢圓:動(dòng)直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限．（1）已知直線的斜率為，用表示點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若過原點(diǎn)的直線與垂直，證明：點(diǎn)到直線的距離的最大值為．解：（1）解法一：設(shè)方程為，，消去得：，由于直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，故，即，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)在第一象限，故點(diǎn)的坐標(biāo)為．解法二：作變換，則橢圓：變?yōu)閳A：，切點(diǎn)變?yōu)辄c(diǎn)，切線（，變?yōu)椋趫A中設(shè)直線的方程為（），由，解得，即，由于，所以，得，即，代入得，即，利用逆變換代入即得：．（2）由于直線過原點(diǎn)且與直線垂直，故直線的方程為，所以點(diǎn)到直線的距離，整理得:，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．所以，點(diǎn)到直線的距離的最大值為．【點(diǎn)評】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、點(diǎn)到直線間的距離、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法、基本不等式應(yīng)用等綜合解題能力．（22）【2014年浙江，理22，14分】已知函數(shù)．（1）若在上的最大值和最小值分別記為，求；（2）設(shè)若對恒成立，求的取值范圍．解：（1）∵，∴，由于，（?。┊?dāng)時(shí)，有，故，所以，在上是增函數(shù)，因此，，故．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，若，，在上是增函數(shù)；若，，在上是減函數(shù)，∴，，由于，因此當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（ⅲ）當(dāng)時(shí)，有，故，此時(shí)在上是減函數(shù)