高中人教B第二冊(cè)案:4.1.2第1課時(shí) 指函的性質(zhì)與圖像含解析_第1頁(yè)
高中人教B第二冊(cè)案:4.1.2第1課時(shí) 指函的性質(zhì)與圖像含解析_第2頁(yè)
高中人教B第二冊(cè)案:4.1.2第1課時(shí) 指函的性質(zhì)與圖像含解析_第3頁(yè)
高中人教B第二冊(cè)案:4.1.2第1課時(shí) 指函的性質(zhì)與圖像含解析_第4頁(yè)
高中人教B第二冊(cè)案:4.1.2第1課時(shí) 指函的性質(zhì)與圖像含解析_第5頁(yè)
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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專(zhuān)精【新教材】2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教B版必修第二冊(cè)學(xué)案:4.1.2第1課時(shí)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像含解析4。1。2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像NNN第1課時(shí)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像素養(yǎng)目標(biāo)·定方向課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)法解讀1。了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景,理解指數(shù)函數(shù)的概念.2.掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像.3.初步學(xué)會(huì)運(yùn)用指數(shù)函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題.1。通過(guò)理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.通過(guò)利用計(jì)算機(jī)軟件作指數(shù)函數(shù)的圖像,發(fā)展直觀想象素養(yǎng).3.通過(guò)指數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).必備知識(shí)·探新知知識(shí)點(diǎn)指數(shù)函數(shù)函數(shù)__y=ax__稱為指數(shù)函數(shù),其中a是常數(shù),a>0且a≠1.思考:(1)為什么指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a>0,且a≠1?(2)指數(shù)函數(shù)的解析式有什么特征?提示:(1)①如果a=0,當(dāng)x>0時(shí),ax恒等于0,沒(méi)有研究的必要;當(dāng)x≤0時(shí),ax無(wú)意義.②如果a<0,例如f(x)=(-4)x,這時(shí)對(duì)于x=eq\f(1,2),eq\f(1,4),…,該函數(shù)無(wú)意義.③如果a=1,則y=1x是一個(gè)常量,沒(méi)有研究的價(jià)值.為了避免上述各種情況,所以規(guī)定a>0,且a≠1.(2)①a>0,且a≠1,②ax的系數(shù)為1;③自變量x的系數(shù)為1.指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)0<a<1a>1圖像定義域?qū)崝?shù)集R值域__(0,+∞)__性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)__(0,1)__是__減__函數(shù)是__增__函數(shù)思考:(1)對(duì)于指數(shù)函數(shù)y=2x,y=3x,y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x,y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x,…,為什么一定過(guò)點(diǎn)(0,1)?(2)對(duì)于指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1),在下表中,?處y的范圍是什么?底數(shù)x的范圍y的范圍a>1x>0?x<0?0<a<1x>0?x<0?提示:(1)當(dāng)x=0時(shí),a0=1恒成立,即指數(shù)函數(shù)的圖像一定過(guò)點(diǎn)(0,1).(2)底數(shù)x的范圍y的范圍a>1x>0y>1x<00<y<10<a<1x>00<y<1x<0y>1關(guān)鍵能力·攻重難題型探究題型指數(shù)函數(shù)的概念┃┃典例剖析__■典例1(1)函數(shù)y=(a2-3a+3)·ax是指數(shù)函數(shù),則a的值為_(kāi)_2__.(2)指數(shù)函數(shù)y=f(x)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(π,e),則f(-π)=__eq\f(1,e)__.[分析](1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)解析式的特征列方程求解.(2)設(shè)出指數(shù)函數(shù)的解析式,代入點(diǎn)的坐標(biāo)求f(-π).[解析](1)由題意得a2-3a+3=1,即(a-2)(a-1)=0,解得a=2或a=1(舍).(2)設(shè)指數(shù)函數(shù)為y=ax(a>0且a≠1),則e=aπ,所以f(-π)=a-π=(aπ)-1=e-1=eq\f(1,e).規(guī)律方法:1.判斷一個(gè)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的方法(1)把握指數(shù)函數(shù)解析式的特征:①底數(shù)a>0,且a≠1;②ax的系數(shù)為1;③自變量x的系數(shù)為1. (2)有些函數(shù)需要對(duì)解析式變形后判斷,如y=eq\f(1,3x)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x是指數(shù)函數(shù).2.求指數(shù)函數(shù)解析式的步驟(1)設(shè)指數(shù)函數(shù)的解析式f(x)=ax(a>0且a≠1).(2)利用已知條件求底數(shù)A.(3)寫(xiě)出指數(shù)函數(shù)的解析式.┃┃對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練__■1.(1)函數(shù)f(x)=(2a-3)ax是指數(shù)函數(shù),則f(1)=(D)A.8 B.eq\f(3,2)C.4 D.2(2)指數(shù)函數(shù)y=f(x)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-2,\f(1,4))),那么f(4)·f(2)=__64__.[解析](1)因?yàn)閒(x)=(2a-3)ax為指數(shù)函數(shù),所以2a-3=1,解得a=2,所以f(1)=21=2.(2)設(shè)指數(shù)函數(shù)的解析式為y=ax(a>0且a≠1),因?yàn)楹瘮?shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-2,\f(1,4))),所以eq\f(1,4)=a-2,所以a=2,所以指數(shù)函數(shù)的解析式為y=2x,所以f(4)·f(2)=24×22=26=64.題型指數(shù)函數(shù)的圖像問(wèn)題┃┃典例剖析__■典例2(1)函數(shù)y=ax,y=x+a在同一坐標(biāo)系中的圖像可能是(D)(2)要得到函數(shù)y=23-x的圖像,只需將函數(shù)y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖像(A)A.向右平移3個(gè)單位 B.向左平移3個(gè)單位C.向右平移8個(gè)單位 D.向左平移8個(gè)單位[分析](1)要注意對(duì)a進(jìn)行討論,分0<a<1和a>1兩種情況討論判斷.(2)先對(duì)解析式變形,再進(jìn)行判斷.[解析](1)函數(shù)y=x+a單調(diào)遞增.由題意知a>0且a≠1.當(dāng)0<a<1時(shí),y=ax單調(diào)遞減,直線y=x+a在y軸上的截距大于0且小于1;當(dāng)a>1時(shí),y=ax單調(diào)遞增,直線y=x+a在y軸上的截距大于1。故選D.(2)因?yàn)閥=23-x=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x-3,所以y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖像向右平移3個(gè)單位得到y(tǒng)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x-3,即y=23-x的圖像.規(guī)律方法:1.函數(shù)圖像問(wèn)題的處理技巧(1)抓住圖像上的特殊點(diǎn),如指數(shù)函數(shù)的圖像過(guò)定點(diǎn).(2)利用圖像變換,如函數(shù)圖像的平移變換(左右平移、上下平移).(3)利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性,奇偶性確定函數(shù)的對(duì)稱情況,單調(diào)性決定函數(shù)圖像的走勢(shì).2.指數(shù)型函數(shù)圖像過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的處理策略求指數(shù)型函數(shù)圖像所過(guò)的定點(diǎn)時(shí),只需令指數(shù)為0,求出對(duì)應(yīng)的x與y的值,即為函數(shù)圖像所過(guò)的定點(diǎn).┃┃對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練__■2.(1)圖中曲線C1,C2,C3,C4分別是指數(shù)函數(shù)y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的圖像,則a,b,c,d與1之間的大小關(guān)系是(D)A.a(chǎn)<b<1<c<dB.a(chǎn)<b<1<d<cC.b<a<1<c<dD.b<a<1<d<c(2)若函數(shù)y=ax+m-1(a>0)的圖像經(jīng)過(guò)第一、三和第四象限,則(B)A.a(chǎn)>1 B.a(chǎn)>1,且m<0C.0<a<1,且m>0 D.0<a<1[解析](1)過(guò)點(diǎn)(1,0)作直線x=1,在第一象限內(nèi)分別與各曲線相交,可知1<d<c,b<a<1,故b<a<1<d<C.(2)y=ax(a>0)的圖像在第一、二象限內(nèi),欲使y=ax+m-1的圖像經(jīng)過(guò)第一、三、四象限,必須將y=ax向下移動(dòng).當(dāng)0<a<1時(shí),圖像向下移動(dòng),只能經(jīng)過(guò)第一、二、四象限或第二、三、四象限,故只有當(dāng)a>1時(shí),圖像向下移動(dòng)才可能經(jīng)過(guò)第一、三、四象限.當(dāng)a>1時(shí),圖像向下移動(dòng)不超過(guò)一個(gè)單位時(shí),圖像經(jīng)過(guò)第一、二、三象限,向下移動(dòng)一個(gè)單位時(shí),圖像恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和第一、三象限,欲使圖像經(jīng)過(guò)第一、三、四象限,則必須向下平移超過(guò)一個(gè)單位,故m-1<-1,所以m<0,故選B.題型指數(shù)函數(shù)的定義域、值域問(wèn)題┃┃典例剖析__■典例3(1)當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)f(x)=(a2-1)x的值域?yàn)?1,+∞),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(D)A.(-eq\r(2),-1)∪(1,eq\r(2)) B.(-1,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-eq\r(2))∪(eq\r(2),+∞)(2)函數(shù)y=5eq\r(2x-1)的定義域?yàn)開(kāi)_eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2)))))__.[分析](1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像,函數(shù)值恒大于1,底數(shù)應(yīng)該大于1可得.(2)根據(jù)根式的性質(zhì),被開(kāi)方數(shù)大于或等于0求解.[解析](1)當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)f(x)=(a2-1)x的值總大于1,則底數(shù)a2-1>1,a2>2,所以|a|>eq\r(2),所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-eq\r(2))∪(eq\r(2),+∞).(2)要使函數(shù)y=5eq\r(2x-1)有意義,則2x-1≥0,所以x≥eq\f(1,2).所以函數(shù)y=5eq\r(2x-1)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2))))).規(guī)律方法:函數(shù)y=af(x)定義域、值域的求法(1)定義域:形如y=af(x)形式的函數(shù)的定義域是使得f(x)有意義的x的取值集合.(2)值域:①換元,令t=f(x);②求t=f(x)的定義域x∈D;③求t=f(x)的值域t∈M;④利用y=at的單調(diào)性求y=at,t∈M的值域.提醒:(1)通過(guò)建立不等關(guān)系求定義域時(shí),要注意解集為各不等關(guān)系解集的交集.(2)當(dāng)指數(shù)型函數(shù)的底數(shù)含字母時(shí),在求定義域、值域時(shí)要注意分類(lèi)討論.┃┃對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練__■3.(1)已知集合A={x|y=2eq\s\up7(\f(1,x—4))},B={0,2,4},A∩B=____________;(2)求函數(shù)y=3eq\s\up4(\f(1,eq\r(2x-4)))的定義域和值域.[解析](1)要使y=2eq\s\up7(\f(1,x-4))有意義需x-4≠0,則x≠4,即A={x|x≠4,x∈R},所以A∩B={0,2}.(2)要使函數(shù)y=3eq\s\up4(\f(1,eq\r(2x-4)))有意義,只需2x-4>0,解得x>2;令t=eq\s\up4(\f(1,eq\r(2x-4))),則t>0,由于函數(shù)y=3t在t∈(0,+∞)上是增函數(shù),故3t>1。故函數(shù)y=3eq\s\up4(\f(1,eq\r(2x—4)))的定義域?yàn)椋鹸|x>2},值域?yàn)閧y|y>1}.誤區(qū)警示:此題易忽略2x-4≠0,而誤認(rèn)為2x-4≥0從而造成錯(cuò)誤.易錯(cuò)警示┃┃典例剖析__■典例4若函數(shù)f(x)=ax-1(a>0,a≠1)的定義域和值域都是[0,2],求實(shí)數(shù)a的值.[錯(cuò)解]∵函數(shù)f(x)=ax-1(a>0,a≠1)的定義域和值域都是[0,2],∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a0-1=2,a2-1=0)),∴a=eq\r(3).故實(shí)數(shù)a的值為eq\r(3).[辨析]誤解中沒(méi)有對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論.[正解]當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)f(x)=ax-1在[0,2]上是增函數(shù),由題意可知,eq\b\lc\{\rc\(\a

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