邊界層分析求解

邊界層分析求解第1頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四熱線風(fēng)速儀

在離平壁前端x處用熱線風(fēng)速儀，測得沿壁面方向方向上各點(diǎn)的流速，這一分布呈現(xiàn)類似拋物線型。在u=0.99u∞

處以外的流體，可以認(rèn)為不受流體粘性的影響，稱其為主流區(qū)。而u=0.99u∞以內(nèi)的區(qū)域，存在明顯速度梯度，稱為邊界層區(qū)。第2頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四

流體流過固體壁面時(shí)，由于壁面層流體分子的不滑移特性，在流體黏性力的作用下，近壁流體流速在垂直于壁面的方向上會(huì)從壁面處的零速度逐步變化到來流速度。twt∞u

δt

δ0x

普朗特通過觀察發(fā)現(xiàn)，對于低黏度的流體，如水和空氣等，在以較大的流速流過固體壁面時(shí)，在壁面上流體速度發(fā)生顯著變化的流體層是非常薄的。第3頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四邊界層內(nèi)：平均速度梯度很大；y=0處的速度梯度最大滿足牛頓粘性定律：式中：τ——粘滯力，N/m2;

μ——?jiǎng)恿φ扯?kg/(m·s)

在速度邊界層內(nèi)存在較大的速度梯度，因此粘滯力也較大。由于粘滯力的牽制，在這一邊界層內(nèi)流體微團(tuán)只能沿著壁面平行地分層流動(dòng)，稱為層流邊界層。第4頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四流體流過固體壁面的流場就人為地分成兩個(gè)不同的區(qū)域。twt∞u

δt

δ0x其一是邊界層流動(dòng)區(qū)，這里流體的黏性力與流體的慣性力共同作用，引起流體速度發(fā)生顯著變化；其二是勢流區(qū)，這里流體黏性力的作用非常微弱，可視為無黏性的理想流體流動(dòng)，也就是勢流流動(dòng)。第5頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四2）邊界層的厚度當(dāng)速度變化達(dá)到時(shí)的空間位置為速度邊界層的外邊緣，那么從這一點(diǎn)到壁面的距離就是邊界層的厚度twt∞u

δt

δ0x?。嚎諝馔饴悠桨澹碚撽P(guān)系式為：u=10m/s：第6頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四要使邊界層的厚度遠(yuǎn)小于流動(dòng)方向上的尺度(即)，也就是所說的邊界層是一個(gè)薄層，這就要求雷諾數(shù)必須足夠的大,即

因此，對于流體流過平板，滿足邊界層假設(shè)的條件就是雷諾數(shù)足夠大。由此也就知道，當(dāng)速度很小、黏性很大時(shí)或在平板的前沿，邊界層是難以滿足薄層性條件。第7頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四3)臨界雷諾數(shù)

隨著x的增大，δ（x）也逐步增大，同時(shí)黏性力對流場的控制作用也逐步減弱，從而使邊界層內(nèi)的流動(dòng)變得紊亂。

把邊界層從層流過渡到紊流的x值稱為臨界值，記為xc，其所對應(yīng)的雷諾數(shù)稱為臨界雷諾數(shù)，即第8頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四流體平行流過平板的臨界雷諾數(shù)大約是

對于管內(nèi)的流動(dòng)運(yùn)動(dòng)，取臨界雷諾數(shù)2300第9頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四粘性底層：在紊流邊界層內(nèi)，由于緊貼壁面處那一層薄層內(nèi)粘滯力甚大，流體仍具有層流的特征。紊流支層：粘性底層上方稱為紊流支層，在該層內(nèi)粘滯力較小，流體具有紊流的特點(diǎn)。邊界層厚度=粘性底層+紊流支層

第10頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四

由以上兩式可以發(fā)現(xiàn)，流體的主流速度w∞越大，層流邊界層厚度δ層以及粘性底層的厚度δ底越薄；x增大時(shí)，層流邊界層厚度δ層隨x0.5成正比增加，而粘性底層則隨x0.1成正比增加，這表明當(dāng)x增大時(shí)，δ底增加很少。

第11頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四4)要點(diǎn)?(1)邊界層厚度δ

與壁的定型尺寸L相比極小，δ

<<L?(2)邊界層內(nèi)存在較大的速度梯度?(3)邊界層流態(tài)分層流與紊流；紊流邊界層緊靠壁面處仍有層流特征，粘性底層（層流底層）?(4)流場可以劃分為邊界層區(qū)與主流區(qū)（縱向）?層流邊界段：Re數(shù)很小，粘性力占優(yōu)勢，忽略慣性力?過度邊界段：Re數(shù)處于之間，粘性力和慣性力相當(dāng)?紊流邊界段：Re數(shù)很大，慣性力主導(dǎo)，忽略粘性力第12頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四慣性力指當(dāng)物體加速時(shí)，慣性會(huì)使物體有保持原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的傾向，若是以該物體為參照物，看起來就仿佛有一股方向相反的力作用在該物體上，因此稱之為慣性力。因?yàn)閼T性力實(shí)際上并不存在，實(shí)際存在的只有原本將該物體加速的力，因此慣性力又稱為假想力。

慣性系:相對于地球靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體.非慣性系:相對地面慣性系做加速運(yùn)動(dòng)的物體.第13頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四2.熱（溫度）邊界層（Thermalboundarylayer）當(dāng)流體流過平板而平板的溫度tw與來流流體的溫度t∞不相等時(shí)，在壁面上方也能形成溫度發(fā)生顯著變化的薄層，常稱為熱邊界層。Tw1）定義第14頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四2）熱邊界層厚度當(dāng)壁面與流體之間的溫差達(dá)到壁面與來流流體之間的溫差的0.99倍時(shí)，即，此位置就是邊界層的外邊緣，而該點(diǎn)到壁面之間的距離則是熱邊界層的厚度,記為湍流：溫度呈冪函數(shù)分布層流：溫度呈拋物線分布湍流邊界層貼壁處的溫度梯度明顯大于層流故：湍流換熱比層流換熱強(qiáng)！第15頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四在同一位置上熱邊界層厚度與速度邊界層厚度的相對大小與流體的普朗特?cái)?shù)Pr有關(guān)，也就是與流體的熱擴(kuò)散特性和動(dòng)量擴(kuò)散特性的相對大小有關(guān)。由此式可以看出，熱邊界層是否滿足薄層性的條件，除了Re×足夠大之外還取決于普朗特?cái)?shù)的大小，當(dāng)普朗特?cái)?shù)非常小時(shí)（Pr<<1）,熱邊界層相對于速度邊界層就很厚，反之則很薄。普朗特?cái)?shù)Pr的物理意義:表征流體的熱擴(kuò)散特性和動(dòng)量擴(kuò)散特性的相對大小3）速度邊界層厚度與熱邊界層厚度的關(guān)系第16頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四當(dāng)Pr>1時(shí)，Pr=υ/a，υ>a，粘性擴(kuò)散>熱量擴(kuò)散，速度邊界層厚度>溫度邊界層厚度。當(dāng)Pr<1時(shí)，Pr=υ/a，υ<a，粘性擴(kuò)散<熱量擴(kuò)散，速度邊界層厚度<溫度邊界層厚度。也可以從公式得出T∞u∞T∞x0δδtu∞x0δδt(a)Pr<1(b)Pr>1第17頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四要點(diǎn)：熱邊界層的邊界線將流體的溫度場劃分為兩個(gè)區(qū)域，只有在熱邊界層中才有溫度變化，而在熱邊界層以外可以認(rèn)為溫度梯度為零，當(dāng)做等溫流動(dòng)區(qū)。對于層流，壁面法線方向熱量傳遞靠導(dǎo)熱方式，邊界層內(nèi)溫度分布為拋物線；對于紊流，粘性底層的熱量傳遞靠導(dǎo)熱，而在底層以外的紊流支層，除導(dǎo)熱外，主要靠速度脈動(dòng)引起的對流混合作用。對于導(dǎo)熱系數(shù)不高的流體，紊流換熱熱阻主要取決于粘性底層的導(dǎo)熱過程，邊界層的溫度梯度在粘性底層最大，而在紊流支層變化平緩。第18頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四流型：層流和紊流第19頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四3.引入邊界層概念的意義縮小計(jì)算區(qū)域。對對流換熱問題的研究可集中在邊界層區(qū)域內(nèi)邊界層內(nèi)的流動(dòng)與換熱可以利用邊界層的特點(diǎn)進(jìn)一步簡化第20頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四二、數(shù)量級分析與邊界層微分方程1.數(shù)量級分析(orderofmagnitude)1)定義:比較方程中各量或各項(xiàng)的量級的相對大小；保留量級較大的量或項(xiàng)；舍去那些量級小的項(xiàng)，方程大大簡化第21頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四例：二維、穩(wěn)態(tài)、強(qiáng)制對流、層流、忽略重力的對流換熱為例2)實(shí)例分析第22頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四主流速度：溫度：壁面特征長度：邊界層厚度：x與l相當(dāng)，即：注意：0(1)、0()表示數(shù)量級為1和，1>>

?！皛”

—

相當(dāng)于a.定義5個(gè)基本量的數(shù)量級b.其他量的數(shù)量級導(dǎo)出u沿邊界層厚度由0到u:由連續(xù)性方程：第23頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四第24頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四第25頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四表明：邊界層內(nèi)的壓力梯度僅沿x方向變化，而邊界層內(nèi)法向的壓力梯度極小。邊界層內(nèi)任一截面壓力與y

無關(guān)而等于主流壓力可視為邊界層的又一特性第26頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四層流邊界層對流換熱微分方程組：3個(gè)方程、3個(gè)未知量：u、v、t，方程封閉如果配上相應(yīng)的定解條件，則可以求解第27頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四邊界條件：三、外掠平板層流換熱邊界層微分方程式分析解簡述微分方程：第28頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四結(jié)果為：式中,Nux=αx/λ為局部努賽爾數(shù)，無量綱，其大小反映了局部換熱的程度。第29頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四(1)建立邊界層積分方程針對包括固體邊界及邊界層外邊界在內(nèi)的有限大小的控制容積；(2)對邊界層內(nèi)的速度和溫度分布作出假設(shè)，常用的函數(shù)形式為多項(xiàng)式；(3)利用邊界條件確定速度和溫度分布中的常數(shù)，然后將速度分布和溫度分布帶入積分方程，解出和的計(jì)算式；(4)根據(jù)求得的速度分布和溫度分布計(jì)算固體邊界上的§5-4邊界層積分方程組及其求解一.用邊界層積分方程求解對流換熱問題的基本思想第30頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四課后作業(yè)：⑴常物性、不可壓縮流體沿平壁穩(wěn)定流動(dòng)邊界層動(dòng)量積分方程的推導(dǎo)。⑵常物性、不可壓縮流體沿平壁穩(wěn)定流動(dòng)邊界層能量積分方程的推導(dǎo)。第31頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四二、邊界層動(dòng)量積分方程

邊界層動(dòng)量積分方程是把動(dòng)量定律應(yīng)用于一個(gè)控制容積導(dǎo)出的。取常物性、不可壓縮流體的二維穩(wěn)態(tài)強(qiáng)制對流為對象作分析。u∞δ

τw在流體中劃出如圖的控制容積，包括dx一段邊界層，而z方向?yàn)閱挝婚L度?？刂迫莘e左側(cè)面為ab，右側(cè)面為cd，頂面為bd，底面為壁面的ac部分，即取ac為dx。第32頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四u∞u∞δ

τw由于在邊界層內(nèi)y方向上的流速很小，因此推導(dǎo)中只考慮x方向上的動(dòng)量變化，不引入流速v。圖中給出了速度的分布曲線。在距壁面y處流速為u，在y≥δ處u=u∞。先計(jì)算單位時(shí)間內(nèi)出入控制容積的動(dòng)量之差。為此計(jì)算以下各項(xiàng)：（1）穿過控制面ab進(jìn)入控制容積的動(dòng)量為第33頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四u∞u∞δ

τw而同時(shí)穿過cd面流出的動(dòng)量為凈流出的動(dòng)量為（2）沒有流體穿過固體表面ac。但有流體質(zhì)點(diǎn)穿過bd面。根據(jù)質(zhì)量守恒，穿過bd面流入控制容積的質(zhì)量流量等于流出cd面與流入ab面的質(zhì)量流量之差。流入ab面的質(zhì)量流量為:流出cd面的質(zhì)量流量:于是穿過bd面流入控制容積的質(zhì)量流量為:第34頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四u∞u∞δ

τw相應(yīng)帶入控制體的動(dòng)量（略去u∞沿x變化引入的高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)）為根據(jù)動(dòng)量定律，在x方向上的動(dòng)量變化必須等于x方向上作用在控制體表面上外力的代數(shù)和。作用在控制體表面上x方向上的外力，有作用于ac面上的切應(yīng)力τwdx以及ab和cd兩面壓力之差第35頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四u∞u∞δ

τw于是動(dòng)量定律可表達(dá)為由于存在以下關(guān)系：于是式(c)可改寫成為重新組合可得第36頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四由伯努利方程知,而代入(e)式，得根據(jù)邊界層理論，在邊界層外的主流區(qū)u∞-u=0。改寫上式積分上限得這就是卡門在1921年導(dǎo)出的邊界層動(dòng)量積分方程。由積分方程求出的分析解稱為近似解，以區(qū)別于微分方程的精確解.第37頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四二、邊界層能量積分方程u∞t∞把能量守恒定律應(yīng)用于控制容積可推導(dǎo)出邊界層能量積分方程。x方向上為dx，y方向上大于流動(dòng)邊界層即熱邊界層厚度，而z方向上為單位長度的一個(gè)控制容積如圖所示。

在常物性、流速不致引起耗散熱的條件下，考察控制容積的能量守恒。在邊界層數(shù)量級分析中已經(jīng)得出結(jié)論結(jié)論：推導(dǎo)中僅考慮y方向上的導(dǎo)熱第38頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四u∞t∞（1）單位時(shí)間內(nèi)穿過ab面進(jìn)入控制容積的熱量為單位時(shí)間內(nèi)穿過cd面帶出控制容積的熱量為（2）單位時(shí)間內(nèi)穿過bd面進(jìn)入控制容積的質(zhì)量流量為由它帶入控制容積的熱量為:第39頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四u∞t∞（3）穿過ac面，因貼壁流體層導(dǎo)熱帶出控制容積的熱量為在穩(wěn)態(tài)條件下，根據(jù)能量守恒進(jìn)入與帶出控制容積的熱量相等，于是可得:整理后得第40頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四因?yàn)樵跓徇吔鐚右酝鈚∞-t=0，上式積分上限可改為δt，得三、邊界層積分方程組求解示例作為邊界層積分方程組求解的示例，仍以穩(wěn)態(tài)常物性流體強(qiáng)制掠過平板層流時(shí)的換熱作為討論對象。壁面具有定壁溫的邊界條件。在常物性條件下，動(dòng)量積分方程不受溫度場的影響，可先單獨(dú)求解，解出層流邊界層厚度及摩擦系數(shù)，然后求解能量積分方程，解出熱邊界層厚度及換熱系數(shù)。第41頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四1.求解流動(dòng)邊界層厚度及摩擦系數(shù)為求解上式，還需補(bǔ)充邊界層速度分布函數(shù)u=f(y)。選用以下有4個(gè)任意常數(shù)的多項(xiàng)式作為速度分布的表達(dá)式:

u=a+by+cy2+dy3第42頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四式中，4個(gè)待定常數(shù)由邊界條件及邊界層特性的推論確定，即y=0時(shí) u=0且y=δ時(shí) u=u∞且由此求得4個(gè)待定常數(shù)為于是速度分布表達(dá)式為第43頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四以，并按x=0時(shí)，δ=0，將式(6)分離變量，并積分得將式(4)對y求導(dǎo)，得壁面(y=0)速度梯度將式(4)和(5)分別代入式(3),積分得第44頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四無量綱表達(dá)式為

其中Rex=u∞x/υ,其特性尺度為離平板前緣的距離x。在x處的壁面局部切應(yīng)力:∴

第45頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四在工程計(jì)算中常使用局部切應(yīng)力與流體動(dòng)壓頭之比，稱為摩擦系數(shù)，亦稱范寧摩擦系數(shù)，其表達(dá)式為2.求解熱邊界層厚度及換熱系數(shù)

先求解熱邊界層厚度。為從式（2）求解熱邊界層厚度，除u=f(y)已由式（4）確定外，還需要補(bǔ)充熱邊界層內(nèi)的溫度分布函數(shù)t=f(y)。對此，亦選用帶4個(gè)常數(shù)的多項(xiàng)式： t=e+fy+gy2+hy3第46頁，共51頁，2023年，2月20日，星期四式中，4個(gè)待定常數(shù)由邊界條件及熱邊界層特性的推論確定，即y=0時(shí) t=tw且y=δ