靜電場的唯一性定理

靜電場的唯一性定理第1頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四2005.2北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫唯一性定理對于靜電場，給定一組邊界條件，空間能否存在不同的恒定電場分布？——回答：否！邊界條件可將空間里電場的分布唯一地確定下來該定理對包括靜電屏蔽在內(nèi)的許多靜電問題的正確解釋至關(guān)重要理論證明在電動力學(xué)中給出，p59給出普物方式的論證論證分三步：引理——疊加原理——證明第2頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四2005.2北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫幾個引理引理一：在無電荷的空間里電勢不可能有極大值和極小值證明（反證）若有極大，則極大極小若有極小，同樣證明第3頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四2005.2北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫引理二：若所有導(dǎo)體的電勢為0，則導(dǎo)體以外空間的電勢處處為0即意味著空間電勢有極大值，違背引理一證明（反證）在無電荷空間里電勢分布連續(xù)變化，若空間有電勢大于0（或小于0）的點，而邊界上電勢又處處等于零——必出現(xiàn)極大值或極小值——矛盾推廣：若完全由導(dǎo)體所包圍的空間里各導(dǎo)體的電勢都相等（設(shè)為U0），則空間電勢等于常量U0第4頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四2005.2北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫引理三：若所有導(dǎo)體都不帶電，則各導(dǎo)體的電勢都相等證明（反證）若不相等，必有一個最高，如圖設(shè)U1>U2、U3，——導(dǎo)體1是電場線的起點——其表面只有正電荷——導(dǎo)體1上的總電量不為0——與前提矛盾引理二(＋)引理三可推論：所有導(dǎo)體都不帶電的情況下空間各處的電勢也和導(dǎo)體一樣，等于同一常量第5頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四2005.2北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫疊加原理在給定各帶電導(dǎo)體的幾何形狀、相對位置后，賦予兩組邊界條件：1：給定每個導(dǎo)體的電勢UⅠk（或總電量QⅠk）2：給定每個導(dǎo)體的電勢UⅡk（或總電量QⅡk)設(shè)UⅠ、UⅡ滿足上述兩條件，則它們的線性組合

U=a

UⅠ+bUⅡ必滿足條件3:3：給定每個導(dǎo)體的電勢Uk=a

UⅠk+bUⅡk（或總電量Qk=QⅠk

a

k+bQⅡk）特例：取UⅠk＝UⅡk，則U=UⅠ－UⅡ(a=1,b=-1)滿足4：給定每個導(dǎo)體的電勢為0

第6頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四2005.2北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫唯一性定理給定每個導(dǎo)體電勢的情形設(shè)對應(yīng)同一組邊值有兩種恒定的電勢分布相當(dāng)于所有導(dǎo)體上電勢為0時的恒定電勢分布說明場分布是唯一的第7頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四2005.2北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫與電勢參考點有關(guān)，不影響電勢梯度給定每個導(dǎo)體上總電量的情形

第k個導(dǎo)體上的電量電量與場強、電勢的關(guān)系設(shè)對應(yīng)同一組邊值有兩種恒定電勢分布說明場分布是唯一的第8頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四2005.2北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫解釋靜電屏蔽唯一性定理表明：一旦找到某種電荷分布，既不違背導(dǎo)體平衡特性，又是物理實在，則這種電荷分布就是唯一可能的分布。

圖中是根據(jù)導(dǎo)體內(nèi)場強處處為零判斷存在兩種實在的電荷分布的迭加就是唯一的分布

第9頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四2005.2北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫電像法——解靜電問題的一種特殊方法在一接地的無窮大平面導(dǎo)體前有一點電荷q求空間的電場分布和導(dǎo)體表面上的電荷分布基本思想：利用唯一性定理，邊界條件確定了，解是唯一的，可以尋找合理的試探解像電荷第10頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四2005.2北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫解：任一P點的電勢導(dǎo)體上電荷的面密度第11頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四2005.2北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫真空中有一半徑為R的接地導(dǎo)體球，距球心為a(a>R)處有一點電荷Q,求空間各點電勢尋找像電荷對稱性分析，確定像電荷位置使球面上電勢＝0任取P點，利用疊加原理求出像電荷位置對所有都成立，即要求與無關(guān)，要求三角形相似第12頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四2005.2北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫求p點電勢討論：由Gaoss定理收斂于球面上的電通量為－Q’，Q’=球面上的總感應(yīng)電荷，它受電荷Q產(chǎn)生的電場吸引從接地處傳至導(dǎo)體球上，|Q’|<Q,Q發(fā)出的電力線只有一部分收斂于導(dǎo)體球，剩下的伸展至無窮第13頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四2005.2北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫電偶極層設(shè)想一厚度均勻的曲面薄殼，兩面帶有符號相反的面電荷

——電偶極層，如圖，求P點的電勢和場強第14頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四2005.2北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫面元dS在垂直于矢徑r方向的投影定義電偶極層強度：——單位面積上的電偶極矩

第15頁，共17頁，2023年，2月20日，星期四2005.2北京大學(xué)物理學(xué)院王稼軍編寫P點的電場強度

電偶極層的電勢和場強只與對場點所張的立體角有關(guān)幾何上決定，電偶極層兩側(cè)立體角有的躍變負(fù)電荷一側(cè)：

曲面S對場點P所張的立體角正電荷一側(cè)：第16頁，共17頁，202