2016考研高等數(shù)學(xué)之微分中值定理導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用基礎(chǔ)階段復(fù)習(xí)點(diǎn)撥

【考試點(diǎn)·點(diǎn)睛】2016第一部分微分中值定理導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用考點(diǎn)梳 二、法 三、 第二部 /course/15326.html考研數(shù)學(xué)經(jīng)典400題精講（數(shù)學(xué)一） 考研數(shù)學(xué)《微積分》十五年分類詳解（數(shù)學(xué)三 /course/15215.html 導(dǎo)學(xué)：復(fù)習(xí)目標(biāo)一、中值定理，（放入級(jí)數(shù)中講在可導(dǎo)則至少存在一點(diǎn)例例設(shè)，則在區(qū)間（-1，0）內(nèi)，方程有2個(gè)實(shí)根；在（-1，1）內(nèi)有2個(gè)根例例 證明存 證：設(shè)∴

使例 。解: 存使即例， 例如使。推論：如使。推論：II， 對(duì)任意滿x，都有設(shè)∵∴∵∴例 ，證 求導(dǎo)證例二、法1、型 2 型：如：3 型：如4 5 型：如：6 型：如：7 型：如：22 ）型 法 , 后）有導(dǎo)數(shù)和，且 例：三 與之間）日型余（2）皮亞諾余項(xiàng) 1)2)四、1(函數(shù)單調(diào)性的判定法)y=f(x)在[ab]上連續(xù)在(ab)內(nèi)可導(dǎo).(1)如果在(a,b)內(nèi)f￠x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)增加;, 駐點(diǎn)←ⅱ

1

滿足關(guān)系 點(diǎn)處

， A、取得極大 某鄰域內(nèi)單增D、在某鄰域內(nèi)單減例2．已知函數(shù)對(duì)一切 ，，則A、是的極小 例3． 的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，，，則是的極大值 分別為最小,最大值11在拋物線上的第一象限部分求一點(diǎn)P，過P點(diǎn)作切線，使該切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角1如則曲線是凹（凸）的,可能的拐點(diǎn)和不存在的點(diǎn)1設(shè)，試討論 的性態(tài)x-(-01(1,++0-+0+----0+y漸近線如 如則稱 2、

漸近線（斜漸近線不討論∵ ∵ 例3 曲 的漸近線有44例1、當(dāng)， 即∴證：設(shè)

∴設(shè)∴例3、當(dāng) 證：令 ∵ 例4 證明設(shè)令 →在上最大值為,最小值為55，

，證明

時(shí)∴單減6設(shè)在上可導(dǎo)，且單調(diào)減6 ∴，即單調(diào)減，即 一、 型 ▼ 不存在時(shí) ；二、由于、在上都滿 , . 又對(duì)任 .答上述證明方法是錯(cuò)誤的．因?yàn)閷?duì)于兩個(gè)不同的函數(shù) 同．也就是說在內(nèi)不一定存在同一個(gè)，使得式和式同時(shí)成立． 少存在一點(diǎn)，使．還至少存在一點(diǎn),使分析單純從所要證明的結(jié)果來看，首先應(yīng)想到用定理．由題設(shè)知 內(nèi)至少存在一點(diǎn)使 證由于 內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使 ， 內(nèi)至少存在一點(diǎn)， ．由，所 例3. 為滿足方 分析證明一個(gè)方程在某個(gè)區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根的問題，就目前所掌握的知識(shí)來看主要有兩種方， ， ．求 證． 定理知，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得 . 在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根 分析由于直線 的斜率為，所以上述命題的本質(zhì)是要證明在 內(nèi)存在一點(diǎn)，使得． 一點(diǎn)，使得即可．這是一個(gè)用定理解決的問題在上滿足定理的前兩個(gè)條件沒問題，只是由題設(shè)我們還不能直接得到所滿足的是羅和2之間．因此由介值定理知，在內(nèi)必存在一點(diǎn)，使得．這樣在上對(duì)應(yīng)用羅證存在一 ，使上連續(xù),在設(shè)內(nèi)必存在一點(diǎn)，使得 上可導(dǎo)內(nèi)必存在一點(diǎn),．．明．方法一用定理證分析要用 ． ． 可．本問題中的原函數(shù)為．證． 一點(diǎn)，使得 .方法二用日中值定理分析要用日中值定理證明一個(gè)含有中值的等式，第一步要將含有的項(xiàng)全部移到等式的右端，其余第二步是把等式右端中的都換為,

. 的原函 .本問題 的原函 . 的原函 . . 證. 上滿 內(nèi)必存在一點(diǎn),使,.,.方法三用中值定理分析用中值定理證明一個(gè)含有中值 的等式,其第一步也是將含有的項(xiàng)全部移到等式的右端,其余的. 第三步把(4)式右端中的全都換為，并設(shè)分子函數(shù) ．即．第四步是 的原函 分別． ，驗(yàn) ，所=． 證．

.總結(jié)例5中方法一、方法二及方法三的分析，是用定理、日中值定理及中值定理證明含有中值這種等式的一般方法和思路，一定要掌握其要領(lǐng)．至于在遇到具體問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)用哪個(gè)定理 等的導(dǎo)數(shù)，是非常有用的．下面我們應(yīng)用例5中介紹的方法和思路再討論一個(gè)問題．例6.設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo) ，試證明在內(nèi)必存在一點(diǎn)，使．分析 把(6)式右端的都換成，并．．．證． ．即.例7.設(shè)在上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)， ，.證明存在，.證由于函數(shù)

(在與 之間 ，，若， 都可作 ，

，；若，則介于與之間， 介于與之間．由于在．總結(jié)用 數(shù)，并且已知其多點(diǎn)函數(shù)值時(shí)，更應(yīng)注意應(yīng)用練習(xí)7的方法去證明．例8.求函 日余項(xiàng)的3 解，．..因此，所求3階,其中介于 例9.求函 解，．，所 是 時(shí) ．上式即 的帶有佩亞諾型余項(xiàng)的階麥克勞林 等例10.利 解由于是求時(shí)的極限，故分子和分母中的函數(shù)都要用麥克勞林 去表示．利用函數(shù)的麥 若將上式代入函數(shù)的分母，則分母是一個(gè)最高冪為次的多項(xiàng)式．因此需將函數(shù)和

，．．例11.求極 分析雖然本題是 解 例12.求解所求極限 例13. 分析這是一 ， ．因 時(shí)，必 ，所．總結(jié)數(shù)列的極限既使是未定式也不能直接應(yīng)用法則，只有將數(shù)列中的換為連續(xù)自變量后，才能應(yīng)例14. ， 分析所求極限為 ， 0，所 解 0知 ． 型未定 應(yīng)用一次法則，． ．．． 考研數(shù)學(xué)經(jīng)典400題精講（數(shù)學(xué)一） HYPER