2023屆天津市七校聯(lián)考高三下學(xué)期總復(fù)習(xí)質(zhì)量調(diào)查（一）數(shù)學(xué)試題

2023屆天津市七校聯(lián)考高三下學(xué)期總復(fù)習(xí)質(zhì)量調(diào)查（一）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．集合，，則（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)補(bǔ)集定義求出，再根據(jù)交集定義即可求出．【詳解】因?yàn)椋曰?，所以，故選：A．2．若，則“”是“”的（

）.A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】舉出反例，證明出充分性和必要性均不成立.【詳解】不妨設(shè)，滿足，但不滿足，充分性不成立，若，滿足，但不滿足，故必要性不成立，所以是的既不充分也不必要條件.故選：D3．設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的圖象可能為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】依據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值特征進(jìn)行鑒別即可解決.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)閯t為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸軸對(duì)稱，排除選項(xiàng)AC；又，則排除選項(xiàng)D.故選：B4．某滑冰館統(tǒng)計(jì)了某小區(qū)居民在該滑冰館一個(gè)月的鍛煉天數(shù)，得到如圖所示的頻率分布直方圖（將頻率視為概率），則下列說法正確的是（

）A．該小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最少C．估計(jì)該小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)的中位數(shù)為16D．估計(jì)小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)的平均值為15【答案】B【分析】根據(jù)直方圖寫出對(duì)應(yīng)該滑冰館的鍛煉天數(shù)區(qū)間的頻率，再結(jié)合各選項(xiàng)的描述及中位數(shù)、平均數(shù)的求法判斷正誤．【詳解】由圖知：、、、、、的頻率分別為、、、、、，對(duì)于A：內(nèi)的天數(shù)最少，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：估計(jì)鍛煉天數(shù)超過15天的概率為，故B正確；對(duì)于C：由、、頻率和為，設(shè)中位數(shù)為x，則，可得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：平均天數(shù)為天，故D錯(cuò)誤；故選：B．5．已知，，，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及中間值比較大小【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，故，而單調(diào)遞增，故，，所以.故選：D6．已知，且，則（

）.A．3 B．6 C．12 D．18【答案】B【分析】先由指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，利用換底公式得到，從而得到，計(jì)算出.【詳解】由得：，由換底公式可得：，則，所以，因?yàn)?，所以故選：B7．?dāng)€尖是古代中國(guó)建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，常見的有圓形攢尖?三角攢尖?四角攢尖?六角攢尖等，多見于亭閣式建筑，某園林建筑為四角攢尖，它主要部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，若這個(gè)正四棱錐的棱長(zhǎng)均為2，則該正四棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正四棱錐的性質(zhì)，即可求得、的長(zhǎng)，根據(jù)椎體體積公式，即可得答案.【詳解】如圖所示，正四棱錐棱長(zhǎng)均為2，連接AC、BD交于點(diǎn)O，連接PO根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，可得平面ABCD.所以，，所以正四棱錐的體積.故選：C8．已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，拋物線的準(zhǔn)線與交于M，N兩點(diǎn)，且為正三角形，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出拋物線準(zhǔn)線方程，進(jìn)而得到，由等邊三角形得到邊長(zhǎng)之間的比例關(guān)系，得到齊次式，化為，求出離心率.【詳解】的準(zhǔn)線方程為，經(jīng)過點(diǎn)，中，令得，解得，故，因?yàn)闉檎切危?，即，?lián)立，解得，方程兩邊同時(shí)除以得，解得或（舍去），故雙曲線的離心率為.故選：A9．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值，有下面四個(gè)說法：（

）①函數(shù)的最小正周期可能為②的取值范圍是；③當(dāng)取最大值時(shí)，是函數(shù)的一條對(duì)稱軸；④當(dāng)取最大值，是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心．以上四個(gè)說法中，正確的個(gè)數(shù)是（

）A．l B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)題意可知可得的取值范圍，然后根據(jù)的范圍逐一分析即可得解．【詳解】由得，因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)沒有最值，所以，所以，所以，所以或，所以或，所以②錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，故①正確；所以，可知是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故③正確；又因?yàn)椋盛苠e(cuò)誤，所以正確的是①③，故答案為：B．二、填空題10．若復(fù)數(shù)z滿足（是虛數(shù)單位），則=________.【答案】【分析】化簡(jiǎn)得到，利用復(fù)數(shù)模長(zhǎng)公式求出答案.【詳解】，故.故答案為：11．已知的展開式中的系數(shù)是，則__________．【答案】2【分析】先由通項(xiàng)化簡(jiǎn)整理第k+1項(xiàng)，令x的指數(shù)等于3可得k，然后可解.【詳解】展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以，所以，解得．故答案為：212．已知圓與圓外切，此時(shí)直線被圓所截的弦長(zhǎng)_________．【答案】【分析】將圓的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)兩圓外切，可得圓心距離為半徑之和，可得，接著計(jì)算到直線的距離，最后根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，即且由兩圓向外切可知，解得所以到直線的距離為，設(shè)圓的半徑為則直線被圓所截的弦長(zhǎng)為故答案為：三、雙空題13．為了組建一支志愿者隊(duì)伍，欲從3名男志愿者，3名女志愿者中隨機(jī)抽取3人聘為志愿者隊(duì)的隊(duì)長(zhǎng)，則在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是________，若用X表示抽取的三人中女志愿者的人數(shù)，則________.【答案】/【分析】令事件“抽取的3人至少有一名男志愿者”，事件“抽取的3人中全是男志愿者”，由條件概率公式得出第一空，由X的可能取值以及對(duì)應(yīng)概率得出期望.【詳解】設(shè)事件“抽取的3人至少有一名男志愿者”，事件“抽取的3人中全是男志愿者”，則，即在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是.X可取，，則故答案為：；14．在△ABC中，，，，，則___________，若動(dòng)點(diǎn)F在線段AC上，則的最小值為___________.【答案】/0.5【分析】第一空：用分別表示出，再由數(shù)量積的定義及運(yùn)算律即可求出；第二空：設(shè)，用分別表示出，由數(shù)量積的定義及運(yùn)算律表示出，結(jié)合二次函數(shù)求出最小值.【詳解】第一空：，則，則，又，，故，解得；第二空：設(shè)，，，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：；.四、填空題15．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程有且僅有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性作出函數(shù)的圖像，利用換元法判斷函數(shù)的根的個(gè)數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合即可得出結(jié)論．【詳解】關(guān)于的方程有且僅有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，設(shè)，則當(dāng)，方程有個(gè)根，當(dāng)，方程有個(gè)根，當(dāng)或，方程有2個(gè)根，當(dāng)，方程有4個(gè)根，當(dāng)，方程有0個(gè)根；則必有兩個(gè)根、，有兩種情況符合題意：①，且，此時(shí)，則；②，，此時(shí)，綜上可得的范圍是，故答案為：．【點(diǎn)睛】復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題處理思路：①利用換元思想，設(shè)出內(nèi)層函數(shù)；②分別作出內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)的圖象，分別探討內(nèi)外函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)或范圍；③內(nèi)外層函數(shù)相結(jié)合確定函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得到復(fù)合函數(shù)在不同范圍下的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．五、解答題16．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c（），已知，(1)求；(2)求a，c的值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由正弦定理的邊化角公式結(jié)合三角恒等變換得出；（2）由三角形面積公式得出，再由余弦定理得出，進(jìn)而得出a，c的值；（3）計(jì)算，再由差角公式求解即可.【詳解】（1），，又，.（2），又，，①，即②又，由①②可得，（3），，.17．如圖，梯形所在的平面與等腰梯形所在的平面互相垂直，，，，．(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值；(3)線段上是否存在點(diǎn)G，使得平面？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）證明．然后證明平面．（2）在平面內(nèi)，過作，建立空間直角坐標(biāo)系．求出平面的法向量，平面的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．（3）求出平面的法向量通過，說明平面與平面不可能垂直．【詳解】（1）∵，且，∴四邊形為平行四邊形，∴．∵平面，平面，∴平面．（2）在平面內(nèi)，過作．∵平面平面，平面平面，又平面，，∴平面，∴，，．如圖建立空間直角坐標(biāo)系：由題意得，∴設(shè)平面的法向量為，則令，則，，∴．平面的一個(gè)法向量為，則．∴平面與平面的夾角的余弦值．（3）線段上不存在點(diǎn)，使得平面，理由如下：設(shè)平面的法向量為，則令，則，，∴．∵，∴平面與平面不可能垂直，從而線段上不存在點(diǎn)，使得平面．18．已知數(shù)列是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，且滿足，，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)求；(3)令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意的，都有.【答案】(1)，(2)(3)證明見解析【分析】（1）利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得到結(jié)果；（2）可轉(zhuǎn)化為等差乘等比類型，利用錯(cuò)位相減法可解；（3）數(shù)列的前項(xiàng)和可利用裂項(xiàng)相消，然后用放縮可證.【詳解】（1）設(shè)的公差為，的公比為，則，.由題意知，，所以，解之得，，當(dāng)時(shí)，，則，，即與矛盾，故舍去；當(dāng)時(shí)，，則，，所以,，滿足題意；所以，.（2）設(shè)，，設(shè)，則，，兩式相減得，所以，即.（3）證明：，，，因?yàn)椋字S著的增大而增大，所以，，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求數(shù)列前項(xiàng)和常見的方法：公式法：適用于等差數(shù)列、等比數(shù)列以及其他特殊數(shù)列.分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和.倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法（這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：；；；；.通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法：先對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征，再運(yùn)用分組求和法求和。19．已知橢圓，若橢圓的短軸長(zhǎng)為且經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn).(1)求橢圓方程；(2)求面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程；(3)若直線與x軸不垂直，在x軸上是否存在點(diǎn)使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為或；(3)存在，，理由見解析【分析】（1）由短軸長(zhǎng)求出，將代入橢圓方程求出，得到答案；（2）直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)三點(diǎn)共線，舍去，當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)出直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，表達(dá)出的面積為，利用基本不等式求出最值，并得到此時(shí)直線的方程；（3）由角相等得到，轉(zhuǎn)化為，在第二問的基礎(chǔ)上，代入化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】（1）由題意得，解得，將代入橢圓方程，得到，故，故橢圓方程為；（2）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)三點(diǎn)共線，不合要求，舍去；當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得，設(shè)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為或；（3）在x軸上存在點(diǎn)使得恒成立，理由如下：因?yàn)?，所以，即，整理得，即，所以，則，解得，故在x軸上存在點(diǎn)，使得恒成立.【點(diǎn)睛】處理定點(diǎn)問題的思路：（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為），（2）利用條件找到與過定點(diǎn)的曲線的聯(lián)系，得到有關(guān)與的等式，（3）所謂定點(diǎn)，是指存在一個(gè)特殊的點(diǎn)，使得無論的值如何變化，等式恒成立，此時(shí)要將關(guān)于與的等式進(jìn)行變形，直至找到，①若等式的形式為整式，則考慮將含的式子歸為一組，變形為“”的形式，讓括號(hào)中式子等于0，求出定點(diǎn)；②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等于0，一方面考慮分子和分母為倍數(shù)關(guān)系，可消去變?yōu)槌?shù).20．已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，令.①證明：當(dāng)時(shí)，；②若數(shù)列滿足，，證明：.【答案】(1)答案見解析；(2)①證明見解析；②證明見解析.【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再討論的符號(hào)即可計(jì)算作答.(2)①等價(jià)變形所證不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性即可；②由已知證明，由①分析探討，等價(jià)轉(zhuǎn)化，再構(gòu)造函數(shù)，利用遞推變換即可作答.【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，恒成立