2022-2023學(xué)年河北省衡水中學(xué)高三下學(xué)期一調(diào)考試數(shù)學(xué)試題

2022—2023衡水中學(xué)下學(xué)期高三年級(jí)一調(diào)考試數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。共4頁(yè)，總分150分，考試時(shí)間120分鐘。第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合，，則A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則A． B． C． D．53．已知，且，則A． B．C． D．4．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)之差成等差數(shù)列．現(xiàn)有一高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1，2，4，7，11，16，22，則該數(shù)列的第100項(xiàng)為A．4923 B．4933 C．4941 D．49515．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，點(diǎn)在準(zhǔn)線上，滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn)），，則的面積為A． B． C． D．6．碳達(dá)峰，是指在某一個(gè)時(shí)點(diǎn)，二氧化碳的排放不再增長(zhǎng)，達(dá)到峰值之后開(kāi)始下降；碳中和，是指企業(yè)、團(tuán)體或個(gè)人測(cè)算在一定時(shí)間內(nèi)直接或間接產(chǎn)生的溫室氣體排放總量，通過(guò)植樹(shù)造林、節(jié)能減排等形式，以抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量，實(shí)現(xiàn)二氧化碳“零排放”．某地區(qū)二氧化碳的排放量達(dá)到峰值。億噸后開(kāi)始下降，其二氧化碳的排放量S（單位：億噸）與時(shí)間基（單位：年）滿足函數(shù)關(guān)系式，已知經(jīng)過(guò)5年，該地區(qū)二氧化碳的排放量為億噸．若該地區(qū)通過(guò)植樹(shù)造林、節(jié)能減排等形式，能抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量為億噸，則該地區(qū)要實(shí)現(xiàn)“碳中和”至少需要經(jīng)過(guò)(lg2≈0.3)A．28年 B．29年 C．30年 D．31年7．從2，3，4，5，6，7，8，9中隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)一個(gè)比大，一個(gè)比小的概率為.已知為上述數(shù)據(jù)中的x%分位數(shù)，則x的取值可能為A．50 B．60 C．70 D．808．已知是函數(shù)的零點(diǎn)，是函數(shù)的零點(diǎn)，且滿足，則實(shí)數(shù)的最小值是A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知向量，，則A． B．C．向量與的夾角為 D．向量在向量上的投影向量為10．已知函數(shù)，若函數(shù)的部分圖象如圖所示，則關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間為D．的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到11．已知分別為圓與圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為直線上的一點(diǎn)，則A．的最小值為B．的最小值為C．的最大值為D．的最小值為12．已知正四面體的棱長(zhǎng)為，其所有頂點(diǎn)均在球的球面上．已知點(diǎn)滿足，，過(guò)點(diǎn)作平面平行于和，平面分別與該正四面體的棱相交于點(diǎn)，則A．四邊形的周長(zhǎng)是變化的B．四棱錐體積的最大值為C．當(dāng)時(shí)，平面截球所得截面的周長(zhǎng)為D．當(dāng)時(shí)，將正四面體繞旋轉(zhuǎn)90°后與原四面體的公共部分的體積為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若命題“”是假命題，則實(shí)數(shù)的最大值為.14．定義在R上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是增函數(shù)，給出下列三個(gè)命題：①的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱；②在區(qū)間上是減函數(shù)；③其中所有真命題的序號(hào)是．15．為檢測(cè)出某病毒的感染者，醫(yī)學(xué)上可采用“二分檢測(cè)法”：假設(shè)待檢測(cè)的總?cè)藬?shù)是，將2m個(gè)人的樣本混合在一起做第1輪檢測(cè)（檢測(cè)一次），如果檢測(cè)結(jié)果為陰性，可確定這批人未感染；如果檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，可確定其中有感染者，則將這批人平均分為兩組，每組2m-1人的樣本混合在一起做第2輪檢測(cè)，每組檢測(cè)1次……依此類推，每輪檢測(cè)后，排除結(jié)果為陰性的那組人，而將每輪檢測(cè)后結(jié)果為陽(yáng)性的組再平均分成兩組，做下一輪檢測(cè)，直到檢測(cè)出所有感染者（感染者必須通過(guò)檢測(cè)來(lái)確定）．若待檢測(cè)的總?cè)藬?shù)為8，采用“二分檢測(cè)法”檢測(cè)，經(jīng)過(guò)4輪共7次檢測(cè)后確定了所有感染者，則感染者人數(shù)的所有可能值為；若待檢測(cè)的總?cè)藬?shù)為，且假設(shè)其中有不超過(guò)2名感染者，采用“二分檢測(cè)法”所需的檢測(cè)總次數(shù)記為，則的最大值為.16．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，為上任意一點(diǎn)（異于左、右頂點(diǎn)），點(diǎn)為的內(nèi)心，則的最大值為.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（10分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，設(shè).(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若，求滿足條件的最小正整數(shù).18．（12分）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，是邊上的一點(diǎn)，且.(1)證明：；(2)若，求.19．(12分)2022年全國(guó)羽毛球錦標(biāo)賽于12月16日在廈門舉辦，受此鼓舞，由一名羽毛球?qū)I(yè)運(yùn)動(dòng)員甲組成的專業(yè)隊(duì)，與羽毛球業(yè)余愛(ài)好者乙、丙組成的業(yè)余隊(duì)進(jìn)行友誼比賽，約定賽制如下：業(yè)余隊(duì)中的兩名隊(duì)員輪流與甲進(jìn)行比賽，若甲連續(xù)贏兩場(chǎng)，則專業(yè)隊(duì)獲勝；若甲連續(xù)輸兩場(chǎng)，則業(yè)余隊(duì)獲勝；若比賽三場(chǎng)還沒(méi)有決出勝負(fù)，則視為平局，比賽結(jié)束．已知各場(chǎng)比賽相互獨(dú)立，每場(chǎng)比賽都分出勝負(fù)，且甲與乙比賽，甲贏的概率為；甲與丙比賽，甲贏的概率為，其中.(1)若第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)可以安排乙與甲進(jìn)行比賽，也可以安排丙與甲進(jìn)行比賽．請(qǐng)分別計(jì)算兩種安排下業(yè)余隊(duì)獲勝的概率；若以獲勝概率大為最優(yōu)決策，問(wèn)：第一場(chǎng)業(yè)余隊(duì)?wèi)?yīng)該安排乙還是丙與甲進(jìn)行比賽？(2)為了激勵(lì)專業(yè)隊(duì)和業(yè)余隊(duì)，賽事組織規(guī)定：比賽結(jié)束時(shí)，勝隊(duì)獲獎(jiǎng)金13萬(wàn)元，負(fù)隊(duì)獲獎(jiǎng)金3萬(wàn)元；若平局，兩隊(duì)各獲獎(jiǎng)金4萬(wàn)元，在比賽前，已知業(yè)余隊(duì)采用了(1)中的最優(yōu)決策與甲進(jìn)行比賽，設(shè)賽事組織預(yù)備支付的獎(jiǎng)金金額共計(jì)X萬(wàn)元，求X的數(shù)學(xué)期望E(X)的取值范圍．20．(12分)如圖，圓錐的高，底面圓的半徑為，延長(zhǎng)直徑到點(diǎn)，使得，分別過(guò)點(diǎn)作底面圓的切線，兩切線相交于點(diǎn)是切線與圓的切點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求點(diǎn)到平面的距離．21．(12分)已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上的點(diǎn)．(1)求的方程；(2)已知過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率為的直線交于兩點(diǎn)，連接交于另一點(diǎn)，連接交于另一點(diǎn).若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求直線的斜率.22．(12分)已知函數(shù).(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若對(duì)任意恒成立，求的取值范圍.數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題1，B2．C3．B4．D5．A6．C7．C8．A二、選擇題9．ABD10．ABC11．AC12．BCD三、填空題13．14．①②15．1或216．四、解答題17．(1)證明：由題意得，因?yàn)?，?分）且，（4分）所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．（5分）(2)解：由(1)得，即，所以.（8分）因?yàn)椋?又隨著的增大而增大，所以，故滿足條件的最小正整數(shù)為.(10分)18．(1)證明：在中，由正弦定理得，則；在中，由正弦定理得，則，（4分）所以，（5分）所以. （6分）(2)解：由，得，.又，所以在和中，由余弦定理得.由，得,整理得. （9分）又，所以在中，由余弦定理得.聯(lián)立得故.(12分)19．解：(1)第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)安排乙與甲進(jìn)行比賽，則業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為；（2分）第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)安排丙與甲進(jìn)行比賽，則業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為.（4分）當(dāng)時(shí)，，（5分）即，所以第一場(chǎng)業(yè)余隊(duì)?wèi)?yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽．（6分）(2)由題意知X的可能取值為8或16．由(1)知第一場(chǎng)業(yè)余隊(duì)?wèi)?yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽，此時(shí)業(yè)余隊(duì)獲勝的概率專業(yè)隊(duì)獲勝的概率，所以非平局的概率（9分）平局的概率，所以.(11分)因?yàn)?，所以，即的?shù)學(xué)期望的取值范圍是. (12分)20．(1)證明：由題意得平面.因?yàn)槭乔芯€與圓的切點(diǎn)，所以平面，且，則.（2分）又，平面，所以平面.又平面，所以平面平面（4分）(2)解：如圖，作，則兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．由題意知，，，，又∽，所以，則，所以，，，，則，，.（6分）設(shè)平面的法向量為，則令，則，，得平面的一個(gè)法向量為.又直線與平面所成角的正弦值為，所以，解得或 （9分）由題意知，為直線與平面的交點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到平面的距離的倍．又平面平面，平面平面，所以點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到直線的距離．在中，，，所以點(diǎn)到直線的距離為，則點(diǎn)到平面的距離為，故點(diǎn)到平面的距離為或.(12分)21．解：(1)由題知，且，（2分）所以，所以.故的方程為.（4分）(2)法一：設(shè)，則，直線的方程為,直線的方程為.設(shè),聯(lián)立，得，（6分）則，得，.又，所以，則.同理可得，.（9分）因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，即，則，所以，化簡(jiǎn)得，整理得，故. (12分)法二：設(shè)，，，則，直線的方程為，直線的方程為.聯(lián)立得，則，所以，則（8分）又，所以，同理可得.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，則，，(10分)即，化簡(jiǎn)得.又，解得，.故. (12分)22．解：(1)當(dāng)時(shí)，，則，所以.（2分）又，所以曲線在